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2024-2025学年浙江省杭州学军中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“直线与直线互相垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数，若在是减函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知圆的方程为，直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点，则为坐标原点等于( )
A. B. C. D.
5.已知函数，的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数( )
A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
6.如图，在三棱柱中，，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙人参加活动，人坐在一排有个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，的中位数大于平均数
B. 数据，，，，，的标准差大于方差
C. 在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强
D. 已知随机变量服从正态分布且，则
10.如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则( )
A. B. C. D.
11.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项是 用数字作答．
13.已知椭圆：的右焦点为，，在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是________．
14.箱子中有大小相同的个小球，分别标有数字，，，，，甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分．经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列的前项和为，已知，，．
求的通项公式；
设数列满足，求的最大值．
16.本小题分
某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表：单位：人
性别 绩效分数达标情况 合计
未达标 达标
男
女
合计
根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？
该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励千元，其他名次无奖励．甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额单位：千元的分布列和数学期望．
附：
参考公式：，其中．
17.本小题分
在三棱柱中，，平面平面．
证明：；
若，，且与平面所成角为，求与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知点，，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线不过原点的直线交于，两点，关于轴的对称点为，直线和的斜率之积为．
求的方程；
判断是否过定点，若是则求出该定点，若不是则说明理由；
证明：不可能为锐角三角形．
19.本小题分
阅读下列材料：
定义：设，是两个项数有限的实数数列．数列和的项满足以下三个条件：
且；
(ⅱ)对于任意的，，，，，有；
．
那么我们就说数列优超于数列，写成或．
定义：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸．
定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则
根据以上材料，回答下列问题：
判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论．
若数列优超于数列，即，证明：的方差一定大于的方差．
若函数，证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以当时，，
所以，
所以．
当时，，
满足，也符合．
因为，所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
由知：，
则，
所以
所以当时，有最大值．
16.解：零假设为：绩效分数达标情况与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；
由题意知可能的取值为，
则；
，
所以甲在前两个月所得奖金总额的分布列为：
数学期望．

17.解：平面平面，平面平面，
平面，，
平面，
平面，，
在三棱柱中，，
在平面内作，则平面，又，
以为原点建立直角坐标系如图，
设，，则，，
平面的法向量
，
由题意，
或
当时，
，，
，；
与所成角的余弦值为．
当时，
，
，；
与所成角的余弦值为．
18.解：设，因为，，且，垂足为，
则点坐标为。
则，，，
已知，即．
因为在线段外，所以，则，
整理可得曲线的方程为．
设，，则
显然的斜率不为零，否则有，，，
此时，
与直线和的斜率之积为，矛盾．
故可设，由，
得，
依题意，且，
且，，．
由，得，
，，
直线和的斜率之积为，
，
即，
，
，解得．
此时恒成立，
，过定点．
由知，，
，．
当，即时，，
，均在的右支，如图．
此时
，
是钝角，是钝角三角形．
当，即或时，，
，分别在的两支不妨设在的右支，则，如图．
设，则
，
过点，，
是钝角，是钝角三角形．
综上可知，不可能是锐角三角形．
19.解：由于，，，，
故；
数列的方差，
数列的方差，
由，知
于是只需证明，
考虑函数，由，知下凸，
于是由定理知，
即证；
对求导，
得，
，
下面我们证明，
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，于是，
设，
则，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
于是，
由，故H，
于是，下凸，
设，，
由，，，知，
于是由定理知，
而，故．
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