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2024-2025学年浙江省金砖高中联盟高二下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.某人在一次考试中每门课得分如下：，，，，，，则数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.等差数列的前项和为，若，则数列中最小项为( )
A. B. C. D.
7.函数，，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设点是圆与圆的一个交点，过点作直线交圆于另一点，交圆于另一点，若，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，且，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若，则
10.已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是( )
A. 若，则与相互独立
B. 若与相互独立，则
C. 若与互斥，则
D. 若，则
11.下面这些图中，能一笔画连成的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线，它的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率 ．
13.的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则 ．
14.如图，现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且，，分别为棱，，是离最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的右焦点为，，为轴上一点。
求椭圆的方程
过点作与直线垂直的直线交于，两点，当的面积为时，求直线的方程。
16.本小题分
如图，在平面五边形中，，且，，，，将沿折起，使点到点的位置，且，得到如图所示的四棱锥．
求证：平面
若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知定义在上的函数，
若，判断的单调性
若存在两个零点，求的取值范围．
18.本小题分
甲、乙两盒子中各有枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为．
求，的值
求数列的通项公式
并求使不等式成立的最小值．
19.本小题分
已知集合为平面中点的集合，为正整数，若对任意的且，总存在平面中的一条直线恰通过中的个不同的点，称集合为连续共线点集。
若，，，，判断是否为连续共线点集是否为连续共线点集
已知集合为连续共线点集，记集合的元素个数为
(ⅰ)若，求的最大值
(ⅱ)对给定的正整数，求的最小值．
参考答案
1.
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15.解：得，，，
的方程为．
直线的方程为，
则直线的斜率为，
设，，
联立
得．
则，，
所以
．
又因为，
，解得，
所以的方程为．
16.证明：在中，，，
由余弦定理可得，即，
又因为，，所以为正三角形，
设中点为，连接、，由为正三角形可知，
由可知，、平面，，
所以平面，
又因为平面，故BD．
在中，可得，在中，可得，
又因为，可得，所以，
又因为、平面，，
所以平面．
解：因为，所以，再由平面可知，，，
故可以为坐标原点，，，别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
在坐标系中，各点坐标别为：，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则
取，可得，，所以，
设平面的法向量为，则
取，可得，，所以，
设平面与平面所成的角为，由图象可得为锐角，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

17.解：依题意可得，
，故，
设，则，
，，
在上单调递增，
，
在上单调递增．
令，可得，
所以与恰有两个交点，
设，则，
令可得，
当时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，
当时，，
的取值范围是
18.解：，
．
因为，
所以，
即，
所以．
代入得，
整理得，
所以的最小值为．
19.解：直线经过，，个点，直线经过，个点，
直线经过个点，所以为连续共线点集，
没有直线经过中的个点，所以不是连续共线点集；
因为，即直线最多经过中的个点，所以
时，个点在一条直线上，没有一条直线恰经过个点，不满足．
时，个点在一条直线上，则仅剩个点，没有一条直线恰经过个点，不满足．
又当，，，，，时，，，，分别恰经过中，，，个点，为连续共线点集，所以．
设恰经过中的个点
由于经过个点，恰经过个点，最多与交个点，即最少需要多个点
恰经过个点，最多分别与，各交个点，即最少需要多个点
依次类推，恰经过个点，最多分别与，各交个点，即最少需要多个点，
所以当是偶数时，最少需要个点，
当是奇数时，最少需要点
所以为不超过的最小整数．
下面用归纳法构造个元素的点集，为连续共线点集
，时，显然成立
假设时，中有个点，直线恰经过中的个点，
作一条直线不经过原来的个点，且与，，，均各有一个交点，，，，并在上取异于，，，的两个点，，则，，，，各经过，，，，个点，然后任选一点，过该点作不经过其余个点的直线，
则，，，，，各经过，，，，，个点，则点集为连续共线点集，
此时
所以
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