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2024-2025学年江苏省盐城市五校联考高一下学期4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.复数，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知，是两个不共线的向量，向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，已知角，的对边分别为，，，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知方程的解在内，则( )
A. B. C. D.
6.如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形边长为，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是( )
A. 若为钝角三角形，则
B. 若，则
C. 若，，，则有两解
D. ，则为等腰三角形或直角三角形
10.下列各式的值为的是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中，，分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若的最小值为，则
D. 若对任意的，恒有，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，已知，，，则
13.已知是第二象限角，且，则 ．
14.若平面向量，，，满足，，，且，则的最小值是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
实数取何值时，复数是：
实数
虚数
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值
若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
17.本小题分
若，均为锐角，且．
求的值
若，求的值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知C.
求角
若，且边边上的中线长，求的面积
若是锐角三角形，求的范围．
19.本小题分
定义向量的“伴随函数”为函数的“伴随向量”为
求函数的“伴随向量”的坐标
在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，
(ⅰ)求周长的最大值
(ⅱ)求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为实数，所以
当，即或时，复数是实数；
当，即且时，复数是虚数；
当，即时，复数是．
16.解：若，则，
因为，，
，，
所以，
解得；
向量与的夹角为锐角，则，
因为，，
所以，
又，
所以，解得，
又当与的夹角为，不符题意，
所以，解得，
则的取值范围为．
17. 解： ，均为锐角，且，
所以，
所以，
故 ．
由于，均为锐角，
所以，
由于，
所以，
则
．
18.解：在中，因为，所以根据正弦定理得
又得
所以
因为，所以所以
又所以
由，并结合余弦定理得，解得
又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知，
等式两边平方得，解得负舍
所以的面积
因为是锐角三角形，且由知．
所以即解得
由正弦定理得：
因为所以，所以，
所以，
即的范围为
19.解：因为，
所以函数的“伴随向量”；
由于函数的“伴随向量”为，
所以，
又因为，
所以，
在中，，由余弦定理得：，
即，
又由基本不等式得：，
所以，
即，
所以，当且仅当时，等号成立．
所以，
所以周长的最大值为；
，
又，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以
，
令
所以
即 的取值范围为．
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