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2024-2025学年浙江省金砖高中联盟高一下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，，则“与共线”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则( )
A. B. C. D.
7.在长方体中，，，为线段的中点，是棱的中点，若点为线段上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知正四面体内接于球，球半径为，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 已知，不共线，，，则与可以作为平面向量的一组基底
B. 在中，，，，则这样的三角形有两个
C. 若，满足且与同向，则
D. 已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为
10.设为复数，下面四个命题中，真命题的是( )
A. 若，则为纯虚数
B. ．
C. 若，则点的集合构成的图形的面积为
D. 若复数，满足，，则
11.如图，正方体边长为，，分别是，中点，平面截正方体与棱，分别交于点，，下列选项正确的是( )
A. ，，三线交于一点
B. 是多边形边上的动点，的最大值是
C. 正方体被截面分成上下两部分的体积之比为
D. 棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则它的值域是 ．
13.衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里、南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内如图，选取与孔子雕像底部在同一平面内的三个测量基点，，，且在，，处测得雕像顶点的仰角分别为，，，米，则孔子雕像高为 米
14.已知菱形的边长为，设，若恒成立，则菱形面积的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足和均为实数．
求复数
若是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.本小题分
已知平面向量，，．
若，求与的夹角
若，求向量在向量上的投影向量．
17.本小题分
已知函数，，．
当时，求关于的不等式的解
若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求
若的面积为，为边上的一点，
若，，求长．
若，求长的最小值：
19.本小题分
我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
如图，左边是半径为的半球，右边是底面半径和高都等于的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积．
如图，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”该球台下底半径为，上底半径为，上下底面间的距离为根据祖暅原理，求该球台的体积．
如图，一个球体被平面截下的部分叫做球缺截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高根据祖暅原理，推导半径为，高为的球缺的体积公式．
参考答案
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15.解：设，为实数，所以，
，为实数
所以，故；
由求根公式可知，若和是关于的方程的两个根，．
由韦达定理，，
，
即，．
16.解：，
因为，所以，解得，
此时，，
，，
所以，，
又因为，，
所以向量与的夹角，．
，，所以，解得，
投影向量等于
17.解：当时，，对称轴为，
在上单调递增．
，，，
，，
所以不等式的解为：
根据题意，对任意的，存在，使得成立，
即，
，当，即时，取到最小值，
．
对恒成立，即，
当时，上式显然成立，
当时，，，
令，对成立，
，
实数的取值范围．
18.解：根据正弦定理将原式化简为，展开可得，
，，，，．
的面积为，
由，可得，由，可得，，在中，
由正弦定理可知，，
，
在中，
由余弦定理可知，
在中，，
若，可得，
，
，，当且仅当，即时，等号成立
长的最小值为

19.解：依题意该几何体的体积： ；
如图所示，作出“球台”的轴截面，设球心为，过作交于点，交于点，
依题意，，，
设球的半径为，，
则且，，，
即，重合，球的半径为，
作一个高与底面半径都为的圆柱，用距离上底面距离为的平面去截球台和圆柱，球台的截面面积图形为圆，半径为，
所以面积为，圆柱的截面面积图形为圆环，大圆半径为，小圆半径为，所以面积为，可得两截面的面积相等
由祖暅原理可知，球台的体积等于右边高为的圆柱体积减去一个圆锥体积，圆锥的底面半径为，
．
如图所示，上部分的球缺类似于图一左边半球的上面部分，
因此它的体积等于圆柱的体积减去圆台的体积，圆柱高为，圆台的两个底面分别为，，
，
同理，下半部的球缺体积等于球的体积减去上半部球缺的体积，此时上半部球缺高为，
综合，球缺公式可以统一的表示为
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