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微专题17 圆锥曲线的方程与性质
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
圆锥曲线的方程与性质作为高考中常考的题目，在高考中一般
是以小题或解答题第一问的形式出现，通常以考查标准方程以及圆
锥曲线的定义为主，常以几何性质作为该类试题的突破口.
微点1 椭圆与双曲线定义、方程的应用
例1（1）[2024· 新课标Ⅱ卷]已知曲线，从
上任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点 的轨
迹方程为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设,则,,
因为 在曲线上，所以 ,
整理得点的轨迹方程为 .故选A.
√
（2）[2023· 新课标Ⅱ卷]已知椭圆 的左、右焦点分别
为，，直线与交于，两点，若 的面积是
面积的2倍，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题可知,，
的面积是面积的2倍，则点到直线的距离
是点 到直线距离的2倍，故 ，化简可得
，即 ，解得
或，
又直线 与C不相交，所以 .故选C.
方法二：不妨设直线与轴的交点为 ，
因为的面积是面积的2倍，所以点到直线
的距离是点到直线距离的2倍，则.
若 在线段上，则，所以，即；
若 在线段的延长线上，则，所以，
即 ，此时直线 与椭圆相离.故选C.
【规律提炼】
椭圆与双曲线的方程问题的求解策略：
（1）当条件中涉及曲线上的点到焦点的距离时，就要考虑应用椭圆
或双曲线的定义求解，要注意二者定义中，一个是“和”一个是“差的
绝对值”；
（2）要能够应用转化与化归思想，根据题意将进行适当的转化，
要注意灵活应用有关焦半径的常用结论.
【巩固训练】
1.[2024·陕西安康模拟]已知椭圆 的左、右焦点
分别为,，点在椭圆上，且 , 的延长线与椭
圆交于点，若 ，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知，， ，
因为 ，所以 ，
即，解得，所以 ，
则，所以 ，
，所以该椭圆的方程为 ，故选C.
2.[2024·山东青岛一模]已知，，设点 是圆
上的点，若动点满足， ，
则点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，可得.
因为 ，所以点在的平分线上.
圆的圆心为原点，半径 ，延长，
交直线于点C，连接，
因为 且，所以，且为的中点，
则 ，，
则 ，
显然，所以点 在以A，B为焦点的双曲线上.
设该双曲线的方程为，
则, ，
由，得，则 ，故双曲线的方程为
，即点的轨迹方程为 .故选A.
微点2 椭圆与双曲线的性质及其应用
考向1 离心率问题
例2（1）已知椭圆的左、右焦点分别为 ,
,，若经过的弦满足，则椭圆 的离心率是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题可知，所以
解得
由 得，
整理得，所以 .故选A.
（2）[2024· 新课标Ⅰ卷] 设双曲线 的左、
右焦点分别为,,过作平行于轴的直线交于， 两点，若
,,则 的离心率为__．
[解析] ，,
又, , ,
,
,, .
考向2 渐近线问题
例3（1）[2023·全国甲卷]已知双曲线 的
离心率为，的一条渐近线与圆交于，
两点，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得，可得 ，
所以双曲线C的渐近线方程为，
易知圆 与渐近线没有交点，
故圆与渐近线 交于A，B两点，
圆心到渐近线的距离 ，
又圆的半径 ，所以
.故选D.
（2）设双曲线 的左、右焦点分别为
，，直线过点且平行于的一条渐近线，交于点 ，若
，则 的渐近线方程为_________.
[解析] 设，不妨设点在 轴下方，如图.
由题意知，， ，
双曲线的一条渐近线方程为，则直线 的方
程为.
由，得，则直线 的斜率为，
则直线的方程为.
由点 在双曲线 上，得.
由①③，得 ，由①②，得，则 ，
整理得,则，所以双曲线的渐近线方程为 .
【规律提炼】
椭圆与双曲线的性质问题的求解策略：
（1）熟练掌握相关性质.椭圆和双曲线有很多的性质类似，例如范围
问题、对称性、通径、焦半径等，具体问题中要能够想到，并且能
够用好.
（2）离心率问题是热点问题，首先要明确两种曲线的离心率范围不
同，其次要清楚求解离心率的方法，基本上都是两种方法：一是得
到关于，的其次等式，进而转化为关于 的方程，通过解方程的方
法求得离心率；二是几何性质法，即通过曲线的性质求解和 的值，
进而求得离心率.
（3）渐近线是双曲线特有的性质，求双曲线
的渐近线方程时可令 ，即得渐近
线方程为.求双曲线的渐近线方程的关键是得到, 的关系,
要注意的是双曲线焦点的位置.已知离心率求渐近线方程时，根据
，可得渐近线方程为
.
（4）两种曲线的性质问题也常常和向量、圆等知识综合考查，解题
过程中要回归定义，灵活应用基本性质和常用结论，并注重数形结
合和函数与方程思想的综合应用.
【巩固训练】
1.[2024·陕西西安模拟]已知双曲线 的焦点
关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线 的离心率为( )
A.2 B. C. D.
√
[解析] 双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
设 关于直线的对称点为，
由题意可得 解得
又点在双曲线上，所以 ，整理得，
得离心率 ，故选D.
2.[2024·江苏泰州模拟]已知， 分别是椭圆
的左、右焦点，过的直线与交于点 ，
与轴交于点，若，，则 的离心率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，设，因为 ，
所以，，则 .
因为，所以 ，
所以 ，
.
又 ，所以，则 ，
又 ，所以
，
整理得，故C的离心率 .
故选A.
3.[2023· 新课标Ⅰ卷] 已知双曲线 的左、
右焦点分别为，.点在上，点在轴上， ，
，则 的离心率为_ ___.
[解析] 方法一（坐标法）依题可设,, ，
由，可得，所以 ,
又，所以由可得，即 .
因为点在上，所以，即 ，
即，解得或（舍去），所以 .
方法二（几何法）由可得，设 ,
，由对称性可得，
易知点 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.
又， ,所以，
所以 ，即，可得，
所以, .
在中，由余弦定理可得 ，
即，得 .
微点3 抛物线方程与性质的应用
例4（1）[2024·重庆涪陵区模拟]抛物线有一个重要性质：从焦点发
出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对
称轴.已知抛物线，在抛物线“内部”平行于 轴的光线射
向抛物线，交抛物线于点（不为原点），过点作的切线 ，过
坐标原点作，垂足为，反射光线与直线交于点 ，点
，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题可知，反射光线必经过抛物线C的焦点.
设切线与轴交于点 ，如图，取入射光线上一点，
切线 上一点，且，都不与点重合.
由 ，可得 .
由抛物线的性质易知，所以 .
因为 ，所以， ，
则 .
又，所以，即 ，
所以，所以点的轨迹是以 为圆
心，以1为半径的圆.
可得 ，所以,
即 的取值范围为 .故选B.
（2）（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷] 抛物线的准线为，
为上动点，过作的一条切线， 为切点，
过作的垂线，垂足为 ，则( )
A.与 相切
B.当，，三点共线时，
C.当时，
D.满足的点 有且仅有2个
√
√
√
[解析] 点到准线的距离为1,圆A的半径为1，
故 与相切，选项A正确.
当，A，B三点共线时，， ，，
则，选项B正确.
当 时，,得,
当点的坐标为时， , ，不满足；
当点的坐标为 时，,,
不满足 ，选项C不正确.
设抛物线的焦点为，则，
连接， ,由抛物线的定义可得，
则满足的点在线段 的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的方程为 ,
由得 ,
因为,所以满足的点 有且仅
有2个，选项D正确.故选 .
【规律提炼】
（1）求解与抛物线有关的问题时，要结合抛物线的定义，能对抛物
线上的点到焦点的距离与到准线的距离灵活转化；（2）利用抛物线
的性质解题时，要灵活运用抛物线的焦半径构造与之相关的几何图形.
【巩固训练】
已知，抛物线的焦点为，准线为，点是直线与
轴的交点，过抛物线上一点作直线的垂线，垂足为，直线 与
相交于点.若，则 的面积为_ ____.
[解析] 如图，不妨设 在第一象限，
由，得 ，
又点，点，点 ，所以
，则为 的一个三等分
点，且.
因为 ，所以，则 ，
所以.
设，则 .由题意得，解得，
因为点 在抛物线上，所以 ，
所以 .
焦点三角形面积和最大张角问题，通常会对焦点三角形进行求解.
例1 [2024·陕西商洛模拟] 已知椭圆 的长轴
长为20，离心率为，左、右焦点分别为,，若上的点 满足
，则 的面积是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知可得所以椭圆 .
由椭圆的定义得 ,所以
，
在 中，由余弦定理得
，
由①②可得，所以 的面积
.故选A.
例2 [2024·广东佛山模拟] 已知圆 与双曲线
，若存在点在双曲线 上，使得过点
作圆的两条切线，切点分别为，，且，则双曲线
的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得（ 为原点），
则双曲线与圆有交点，所以，即 ，
所以，
所以双曲线 的离心率的取值范围是 .故选B.
例3 [2024·天津红桥区二模] 过抛物线的焦点 的直线与
抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点，若 ，
则 的面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设抛物线的准线为，过点A作于点 ，过点B作
于点，过点B作于，交于点D.
设 ，因为，所以，所以 ，
所以，
在 中，，所以 ，
因为 ，所以 ，
又，所以.
由 ，可得，
所以 ，
所以，
所以 ，
所以 .
故选B.

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