资源简介

(共49张PPT)
微专题18 直线与圆锥曲线的位置关系
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
直线与圆锥曲线的位置关系的相关考题作为高考中的常考题目，
多数情况以解答题的形式出现，难度一般为中档偏上，通常以弦长、
距离、面积等进行设问.常规解题方法为设点，设线，利用根与系数
的关系得到两动点坐标的和与积的表达式，再结合题目具体求解.同
时也要多挖掘几何性质，用好几何性质通常能够事半功倍.
微点1 弦长问题
例1（1）[2024·郑州质检]斜率为1的直线与椭圆 相交于
，两点，则 的最大值为( )
A.2 B. C. D.
√
[解析] 设点A，B的坐标分别为，，直线 的方程为
，由消去得 ，
由得，则， .
，
， 当时， 取得最大值 ，故选D.
（2）已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为 ，且过点
，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点，则
的取值范围为_______.
[解析] 由题意知，椭圆的焦点在轴上，, ，
所以，所以椭圆的标准方程为.
当直线, 与两坐标轴重合时，.
当直线, 的斜率都存在时，设直线的方程为 ，
由消去可得 ，
所以 .
同理可得 .
所以
，
因为，所以 ，令 ，
.
因为函数在上单调递增，在上单调递减， ，
，所以 ，
可得，则.
综上所述， 的取值范围是 .
【规律提炼】
圆锥曲线中的弦长问题主要涉及两大类问题，一是已知确定的直线
和曲线方程求确定的弦长问题，二是由动直线引起的动弦长，求与
弦长有关的取值范围问题.
（1）解决第一类问题的方法：若载体为双曲线或者椭圆，则通常将
直线方程与曲线方程联立，然后利用弦长公式
，并结合
根与系数的关系计算，若载体为圆则可以直接利用计
算，若载体为抛物线则通常运用定义进行转化，再计算弦长.
（2）第二类问题的解决方法：如果遇见多变量问题，通常需要挖掘
隐藏的多变量之间的关系等式，利用消参的方法将弦长相关的表达
式转化为单变量问题，然后确定变量的取值范围，进而转化为求函
数最值或取值范围问题.
【巩固训练】
1.[2024·山东聊城三模]已知抛物线的焦点 到其
准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则 的最小值为
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
√
[解析] 抛物线的焦点 到其准线的距离为2，
即，则抛物线，焦点.
当直线平行于 轴时，，可得.
当直线不平行于 轴时，设直线，
，，由 得
，则 ，
，所以 .
综上， 的最小值为4.故选B.
2.已知双曲线的下、上焦点分别为,，过 的直线
与双曲线的下支交于，两点，且，则线段 的长
度为( )
A. B.9 C. D.6
√
[解析] 对于双曲线，， ，
，则，
根据对称性不妨设过 的直线为，
由消去 可得 ，
则.
设， ，则①，.
由 ，可得，则.
由①③可得， ，
代入②得，解得 （负值已舍去），
则 ，
所以 .故选C.
微点2 面积与直线方程问题
例2（1）[2024· 新课标Ⅰ卷] 已知点和点 分别为椭圆
上的两点.
①求 的离心率；
解：由已知得,
将点的坐标代入椭圆 的方程，得,解得 ,
,
的离心率 .
②若过点的直线交于另一点，且的面积为9，求 的方程.
解：方法一：设点到直线的距离为 ,
由已知得,解得 .
,易得直线的方程为 .
设过点且与直线平行的直线为，又与直线间的距离为 ，
点在椭圆上， .
联立和,解得,,
所以 或 .
当点的坐标为时，的方程为 ;
当点的坐标为时，的方程为 .
的方程为或 .
方法二：当的斜率不存在时，,
，点到直线 的距离为3，
，不满足题意.
当的斜率存在时，设斜率为 ,则的方程为 ,
由
得 ，
,故 ,
由根与系数的关系得, ，
，
又点到直线的距离 ，
，
,
,
或
，
即 或
,解得或 ，
的方程为或 .
（2）[2024·湖南永州模拟] 已知椭圆 过点
，离心率为.不过原点的直线交椭圆于,
两点.
①求椭圆的标准方程；
解：由题意得可得
所以椭圆的标准方程为 .
②求 面积的最大值.
解：将直线方程与椭圆方程 联立得
，则 ,
可得,且 ，
则 ，
又点到直线的距离 ，所以 的面积
.
令， ，
则 ，
令，可得，则在 上单调递增，
令，可得或，则在 和
上单调递减，
又,, ，
所以当时，取到最大值，最大值为 ，
所以的面积的最大值为 .
【规律提炼】
（1）若待求解的面积是多边形的面积，则要将多边形分成几个三角
形，然后求这几个三角形的面积和，求解过程中，要注意三角形底
和高的选取.
（2）求解面积的最值或取值范围问题时，可根据图形的几何性质，
直接判断面积取得最大值时相关的点、线的位置，若无法判断，则
写出面积的表达式，再结合函数或不等式求解.
【巩固训练】
[2024·天津北辰区三模] 已知椭圆 的离心
率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为， ，且四
边形的面积为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
解：由题意知 ，
，所以 ，
又因为，所以，， ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）直线与椭圆交于，两点，且， 关
于原点的对称点分别为，，若是一个与 无关的
常数，则当四边形的面积最大时，求直线 的方程.
解：设， ，
则 .
由消去整理得 ，
则 ，
， ，
所以 ，
因为是一个与无关的常数，所以 ，
则，可得 ，
， ，所以
.
点到直线的距离 ，
所以 ，
当且仅当，即 时取等号，
因为，所以当时，取得最大值 ，
因为，所以当 取得最大值时，
也取得最大值，
此时的方程为或 .
微点3 直线与圆锥曲线位置关系的综合应用
例3 [2024·广东佛山模拟] 已知双曲线 的
离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点 ,
在双曲线上，线段的中点为 ．
（1）证明：直线的斜率 为定值；
证明：由已知可得所以, ，
所以双曲线的方程为 .
设,， ，则 两式相减，
可得 ，
又线段的中点为，所以 ，
，
所以，得 ，
所以直线的斜率 为定值2.
（2）为坐标原点，若的面积为，求直线 的方程．
解：由（1）设直线的方程为 ，
由消去，整理可得 ，
由，解得或 ，
由根与系数的关系可得， ，所以
，
又原点到直线的距离,
所以 的面积为 ，
化简可得，解得，满足 ，
所以直线的方程为 ．
【规律提炼】
（1）有关线段长度的和、差、积、商问题，可根据曲线的性质将线
段长度直接求出，当不能直接求出时，将线段长度进行转化.可将线
段长度利用某些点的坐标表示或利用待求线段构建三角形，进而用
正弦定理构建边角之间的关系.
（2）强化直线方程与圆锥曲线方程联立得出一元二次方程后的计算
能力，重视根与系数的关系.
【巩固训练】
[2024·北京卷] 已知椭圆，以椭圆 的焦
点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形，过点
且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点， ，过
点和的直线与椭圆的另一个交点为 .
（1）求椭圆 的方程和离心率；
解：由题意知，则 ，
所以椭圆的方程为，离心率为 .
（2）若直线的斜率为0，求 的值．
解：由题意知，直线 的斜率存在，且不为0.
设直线的方程为，, ，
由消去并整理得 ，
由题意得 ，
则,应满足 ，
所以, .
因为直线的斜率为0，所以由椭圆的对称性可知 ，
所以直线的方程为，令 ，
得
，所以 ，
此时应满足即应满足 或
.
综上所述， .
求解直线与圆锥曲线的位置关系时，常用到根与系数的关系，但有
时也会有联立后不结合根与系数的关系的情况，而是直接求解点的
坐标，利用点的坐标表示直线或斜率.有关取值范围的问题，求解过
程中除了通过讨论直线位置确定最值，也会结合不等式或函数等求
解最值.
（1）求椭圆 的方程；
解：, ，
点在椭圆 上，，
解得或 （舍去），
,， 椭圆的方程为 .
例1 [2024·四川乐山三模] 已知椭圆 的左、
右焦点分别为,,,分别是椭圆的上、下顶点，， 分别是椭
圆的左、右顶点，点在椭圆上，且的面积为 .
（2）点是椭圆上的动点（不与,,,重合），是在点 处的
切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线 的斜
率为定值.
证明：易知直线的斜率不为0，设直线的方程为 ,
，
易知直线的方程为，由与有交点可得 .
由可得 .
由得 ，
,, .
，
直线的方程为 ，
令，得，可得 ,
.
故直线 的斜率为定值.
例2 已知双曲线 的离心率为2，且经过
点 .
（1）求双曲线 的方程；
解：由题意可得解得
故双曲线的方程为 .
（2）若直线与双曲线交于，两点，且 为坐标原
点，求 的取值范围.
解：当直线的斜率不存在时，可设, ，
则, ， ，
又，所以 ，
此时 .
当直线的斜率存在时，设其方程为，设 ,
,
由得 ，
所以
因为
，
所以，此时 ，
所以
.
当时， ；
当时， ，
因为,所以，所以 ，
此时 .
综上，的取值范围为 .

展开更多......

收起↑