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微专题19 圆锥曲线的综合问题
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，难度一般偏大而且经
常以压轴题的形式来呈现.
2.常见的考查题型有范围、最值问题，定点、定值、定直线问题，以
及探索性问题等.
3.首先定点、定值是一种思想，可以理解为动态变化中所存在的不变
的量，常规操作方法为设点，设动直线，与曲线方程联立后，根据
题干所给的一些条件列等式消参得到该动直线的斜率与截距之间的
等量关系，然后得到相关定值.
微点1 最值、范围问题
例1 [2023·全国甲卷] 已知直线 与抛物线
交于，两点， .
（1）求 ；
解：设, ，
由可得，所以 ,
，
所以，即 ，
又，所以 ．
（2）设为的焦点，，为上两点，，求 面
积的最小值.
解：由（1）可得，因为直线 的斜率不可能为零，
所以设直线，, ，
由可得，所以 ,
，
由，得 .
因为，所以 ，
即 ，
即 ，
将,代入上式得 ，
故 ，所以，
由，解得或 ．
设点到直线的距离为 ，则 ，
又
，
所以 的面积
，
又或 ，
所以当时， 的面积取到最小值
．
【规律提炼】
范围和最值问题的求解策略：
（1）用好与范围有关的性质和条件.求范围和最值问题，最终要引入
不等关系，常用的不等关系有的范围、焦点三角形中顶角的范
围、直线与曲线联立后“ ”的范围等.
（2）能够用好相关的工具求解范围和最值.比如函数、均值不等式、
导数等都可以用于求最值，具体问题中要能够根据条件，合理转化
为相应的数学模型进行求解.
【巩固训练】
[2024·四川德阳模拟] 点是直线上的动点， 为坐标原点，
过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点 .
（1）求点的轨迹 的方程；
解：设，则，所以, ，
因为，所以 ，
所以点的轨迹的方程为 .
（2）过曲线上的一点（异于原点）作曲线的切线 交椭圆
于，两点，求 的面积的最大值.
解：设，，， ，
由可得 ，
因为为曲线 的切线，
所以 .
由可得 ，
所以, ，
且，即 ，
所以 .
因为点到的距离 ，
所以 ，当且仅当 即时等号成立（此时满足 ）.
综上可知，的面积的最大值为 .
微点2 定点问题
例2 [2023·全国乙卷] 已知椭圆 的
离心率为,点在 上.
（1）求 的方程；
解：由题意可得解得
所以椭圆的方程为 .
（2）过点的直线交于，两点，直线，与 轴的交点
分别为，，证明：线段 的中点为定点.
证明：由题意可知，直线 的斜率存在，设直线
,, ,
由消去 得
,
则 ,解得
,
可得, .
因为，所以直线 ,
令,解得,即 ,
同理可得 ，
则
,
所以线段的中点是定点 .
【规律提炼】
（1）解决圆锥曲线中的直线过定点问题最常用的方法为先猜后证，
即先利用特殊位置的两条直线联立求交点，得出题干所求的定点后
常规联立求解.
（2）求证直线过定点，常利用直线的截距式方程，通过
求解与之间的关系判断直线所过的定点.
【巩固训练】
已知椭圆的右焦点为，点 在椭圆
上，且椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
解：因为椭圆的离心率，所以 ,所以
,
所以， .
因为点在椭圆 上，
所以,可得，则 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）若直线的斜率存在，交椭圆于，两点，，， 三点不
共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线 过定点.
证明：设直线的方程为，，， ，由
消去整理得 ，
因为交椭圆于, 两点，所以 ，
设,，所以, .
易知轴，因为直线和直线关于直线 对称，所以
，
所以 ，
所以，所以 .
所以直线的方程为 ，
所以直线过定点 .
微点3 定值问题
例3 [2024·成都模拟] 已知抛物线的焦点为 ，过
点作抛物线的两条切线，切点分别为, ,且
.
（1）求抛物线 的方程.
解：因为，所以 ，
设,，则抛物线在点处的切线的斜率为 ，
所以过点且以为切点的切线方程为 .
因为切线过点 ，所以 ，
即 ，
同理可得 ，
所以，是关于的方程 的两个根，
所以, .
因为 ，
所以，即 ，
又，所以 ，
所以抛物线的方程为 .
（2）过点作两条倾斜角互补的直线,，直线交抛物线于,
两点，直线交抛物线于,两点，连接,,,，设, ,
的斜率分别为,,，问： 是否为定值？
若是，求出定值；若不是，请说明理由.
解：由题可知， ，即
，
所以 ，
因为 ,
所以 ，
所以 ，为定值.
【规律提炼】
求定值问题常见的方法：
（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中先去变量，从而得到最值.
【巩固训练】
已知椭圆的左、右顶点分别为，, 是椭
圆上异于，的动点，且满足，当为椭圆 的上
顶点时， 的面积为8.
（1）求椭圆 的标准方程；
解：不妨设椭圆的上顶点为 ，
此时①，
因为 的面积为8，所以 ，
由①②可得, ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点,
,与，不重合，直线,分别与直线交于,两点，求 的值.
解：依题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为 ，
则直线的方程为 ，
由消去 整理得
，
令，得 .
设,，则, ，
易知直线的方程为，令，得点 的纵坐标
，
则 .
同理得 .
所以
.
微点4 参数范围问题
例4 已知椭圆的一个顶点为 ，以椭
圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
解：由题设，，，所以 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点， ，
直线，分别与直线交于点，，当
时，求 的取值范围.
解：直线的方程为 .
由得 ，
由，得 .
设， ，
则, .
直线的方程为 ，
令，得点的横坐标为 .
同理可得点的横坐标为 .
由题设，，， ，所以
，所以, 同号，
所以 .
由题设，，所以 ，
所以的取值范围是 .
【规律提炼】
参数取值范围问题的求解方法：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参
数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是
建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求
其值域，从而确定参数的取值范围.
【巩固训练】
已知抛物线的焦点到双曲线 的渐近
线的距离为 .
（1）求 的值；
解：的焦点为 ，
双曲线的渐近线方程为，不妨取 ，
即 .
由点到直线的距离公式得，解得 .
（2）已知过点的直线与交于，两点，线段的中垂线与 的
准线交于点，且线段的中点为，设，求实数
的取值范围.
解：由（1）知，， .
设直线的方程为 ，
由消去整理得 ，
设，，则， ，
，
.
易得点的坐标为 ，即，
线段 的中垂线的方程为 ，
令，得 ， ，
，
，当且仅当 时等号成立，
实数 的取值范围为 .
1.在解决有关圆与其他圆锥曲线相结合的问题中，一般有两种题型：
第一种为证明圆过定点或者四点共圆问题，证明四点共圆时常利用
圆内接四边形对角互补来证明两条直线的斜率和为0，再证明四点共
圆问题；第二类为证明与圆相关的定值问题，且该定值通常与圆的
半径有关，通常需要证明某个角为直角.
例1 [2024· 山东青岛模拟] 已知双曲线
过点，左、右焦点分别为,，且 .
（1）求 的标准方程.
解：依题意知，双曲线的半焦距, ，
则 ，
则,则 ，
所以的标准方程为 .
（2）设过点的直线与交于，两点，在 轴上是否存在定
点，使得为常数？若存在，求出点 的坐标及该常数的值；
若不存在，请说明理由.
解：依题意，直线的斜率存在，设的方程为 ,
，
由消去得 ，
显然 ，且，
可得且 ，
则, .
设存在符合条件的定点，则 ,
，
所以 ，
要使为常数，则，解得 ，
此时该常数的值为56，
所以在轴上存在点，使得 为常数，该常数为56.
例2 [2020·全国新高考Ⅰ卷] 已知椭圆 的离
心率为，且过点 .
（1）求 的方程.
解：由题设得，，解得， .
所以的方程为 .
（2）点，在上，且，， 为垂足.
证明：存在定点，使得 为定值.
证明：设， .
若直线与轴不垂直，设直线的方程为 ，代入
得 .
于是，
由知 ，故
,可得
.
将①代入上式可得
.
整理得 .
因为不在直线上，所以 ，故
, .
于是的方程为 .
所以直线过点 .
若直线与轴垂直，可得 .
由得 .
又，可得.解得（舍去）， .
此时直线过点 .
令为的中点，即 .
若与不重合，则由题设知是 的斜边，
故 .
若与重合，则 .
综上，存在点，使得 为定值.
2.在解决有关圆锥曲线中的范围或者最值问题时主要分为6种常考题型：
①距离与长度型最值范围问题；
②斜率与倾斜角型最值范围问题；
③面积型最值范围问题；
④向量型最值范围问题；
⑤坐标与截距型最值范围问题；
⑥参数型最值范围问题.
例3 [2024·北京石景山区模拟] 已知过椭圆的右焦点 且
垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为 ，椭圆上不同的两点
,满足条件,,成等差数列，则弦 的
中垂线在 轴上的截距的范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 易知，因为,, 成等差数列，所以
，
利用焦半径公式得 ，，
代入可得.
设线段的中点为 ，因为点,均在椭圆上，
所以 两式作差可得，则，
所以弦 的中垂线的方程为，
当时，，
即弦 的中垂线在轴上的截距为，
因为在椭圆内，所以 ，
解得，所以 .故选C.
例4 [2024·福建宁德模拟] 已知是双曲线 的右焦点，若
直线与双曲线交于，两点，且 ，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设双曲线的左焦点为，，， ，
，，.
设， ，不妨设点A在第三象限，
由双曲线的对称性可得 ，
由可得则 .
（其中 为坐标原点）①，
，
②，
③，
④，
⑤，
当 时，由①②③④⑤整理可得，
又，，
的渐近线的方程为， ，
的取值范围为 .故选C.
例5 [2024·浙江温州一模] 已知抛物线的焦点为 ，抛物线
上的点处的切线为 .
（1）求的方程（用， 表示）；
解：方法一：由，即 ，
得，则在点处的切线的斜率 ，
所以所求切线方程为，即 .
方法二：设切线方程为，与联立，消去
得 ，
因为直线与抛物线相切，所以 ，
即，解得 ，
所以所求切线方程为，即 .
（2）若直线与轴交于点，直线与抛物线交于点，且 为
钝角，求 的取值范围.
解：易知， .设直线的方程为， ，
将直线的方程与抛物线方程联立得 ，
所以，所以 .
因为为钝角，所以 ，
即 ，
即 ，
因为，所以 ，
即 ，
可得，所以 .

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