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(共33张PPT)
微专题20 函数的图象与性质
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
高考对函数图象与性质的命题多集中于基本初等函数的图象识
别、性质理解及应用，多以选择题、填空题的形式考查.主要考查函
数的定义域、值域的求法，分段函数求值与解不等式问题，函数图
象的判断及函数的奇偶性、单调性、周期性等，难度一般；利用图
象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强，难度较大.
微点1 函数单调性的判断及其应用
例1 [2024·新课标Ⅰ卷]已知函数在 上
单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在上单调递增，所以,且 ,
解得 ,故选B.
√
例2 [2023· 新课标Ⅱ卷]已知函数在区间 单调
递增，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知在区间 上恒成立，
即对任意恒成立.
令 ，可得，
所以在区间 上单调递增，所以，
故，所以，所以 的最小值为 .故选C.
√
【规律提炼】
函数单调性的应用：
（1）比较大小；
（2）解不等式；
（3）已知函数的单调性求参数范围.
【巩固训练】
1.已知函数若对任意的 ,
，都有成立，则实数 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为对任意的,，都有 成立，
所以在 上单调递减，
所以
解得 .故选A.
2.[2024·合肥八中模拟]若，，则“ ”是“
”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若，则 ，
构造函数，易知在上单调递增，所以 ，
即，但不一定成立.
若 ，则，即，即，
所以 .
综上， “”是“ ”的必要不充分条件.
故选B.
微点2 函数周期性、对称性的判断及其应用
例3 [2023· 新课标Ⅱ卷]若为偶函数，则
( )
A. B.0 C. D.1
√
[解析] 方法一：由题可知函数的定义域为 .
令，则，
所以 为奇函数.
令，由为偶函数， 为奇函数，可得
为奇函数，所以 ，故选B.
方法二：由题知函数为偶函数，则 ，
故，解得 ，故选B.
例4 定义在上的函数满足 ，且
为偶函数，则下列说法正确的是( )
A.函数 的周期为2
B.函数的图象关于直线 对称
C.函数 为偶函数
D.函数的图象关于直线 对称
√
[解析] 由 ，可知，
则函数 的周期为4，故A错误；
因为为偶函数，所以 ，
所以函数的图象关于直线对称，也关于点对称，
则 的图象不关于直线对称，故B错误；
假设函数 的图象关于直线对称，由的图象关于
直线对称，可知函数 的周期为2，与题意矛盾，故D错误；
对于C，由 为偶函数，可知，
则 ，故C正确．故选C.
【规律提炼】
（1）在函数奇偶性已知的情况下求参数时，常在定义域内选取互为
相反数的一组数，并求其函数值，使两个函数值相同（或相反），
构建方程求解参数.
（2）对于抽象函数性质的探究，可使用特值法，或依据题意选取适
当的函数模型进行辅助探究.
【巩固训练】
1.若函数 ，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为 ，
所以，
由于 的定义域为，
，故 为奇函数，
故 为奇函数，其他选项均不符合要求.故选C.
2.[2024·贵州遵义二模]已知定义在上的函数满足 ，且
，则下列结论正确的是( )
A.
B. 的周期为4
C.的图象关于直线 对称
D.在 上单调递减
√
[解析] 由 ，
,可得
，
不妨设 ，由，得，
不妨取，则 .
对于A，，故A不正确.
对于B，由 ，得其最小正周期,故B不正确.
对于D，因为为周期函数，所以 在 上不为单调函数，
故D不正确.
对于C，在中，令， ，
则，即 ，
因为，所以，令 ，
则，可得，
又 的定义域为，所以 是偶函数，
所以，
故直线 为 的图象的一条对称轴，故C正确.故选C.
微点3 函数图象及其应用
例5（1）[2024·全国甲卷]函数 在区间
的图象大致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 显然的定义域为 ，因为
，
所以 为偶函数，排除A,C.
因为 ,易知, ,所以 ，排除D.故选B.
（2）[2024·内蒙古赤峰模拟]已知函数 ,
,的零点分别为,, ,则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 令 ,可得,令 ,
可得 ,令 ，可得 ，
则直线与曲线,, 的交点的横坐标
分别为,, .
在同一平面直角坐标系内作出，
, , 的图象，如图，
由图可知，与 的图象有
2个交点，但均有,且，所以 .故选A.
【规律提炼】
图象的应用
1.利用图象研究函数性质问题的思路
对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象，其性质常借助
图象研究：
2.利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式
问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
3.研究函数图象的交点个数
通过图象直接判断函数图象的交点个数.
【巩固训练】
1.[2023·天津卷]函数 的部分图象如图所示，
则 的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由函数图象关于轴对称可知函数 为
偶函数，且.
对于A，若 ,
则 ,
函数为奇函数，其图象关于原点对称，故A不符合题意；
对于B，若 ,则 ,
函数为奇函数，其图象关于原点对称，故B不符合题意；
对于C， 恒成立，故C不符合题意；
对于D，若 ,
则 ,函数为偶函数，
其图象关于轴对称，且 ，
故D符合题意.故选D.
2.[2024·江苏盐城模拟]函数与 的图象的交点个数是
( )
A.2 B.3 C.4 D.6
√
[解析] 易知函数 与 都是偶函数，
其中 ， ，
在同一平面直角坐标系中，作出函数 与 的图象，
如图，
由图可知，两函数图象的交点个数为6.故选D.
1.若函数图象关于某点对称，则函数图象上一定存在关于该点对称的
点，求解参数或函数解析式时可合理的选取这样的一组点.
例1 若函数的图象关于点对称，则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 因为，且的图象关于点对称,
所以 关于点对称的点也在函数 的图象上，
所以,解得 .故选D.
√
2.利用函数图象求解零点个数时，多数转化为两个函数图象的交点问
题，讨论交点时要结合函数的其他性质，如定义域、值域、单调性
等.在函数求解零点个数的问题中，常见的是以分段函数嵌套入二次
函数中，需要结合二次函数根的情况及分段函数值域的情况求解.
例2 已知函数若关于 的方程
有7个不等的实数根，则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 作出函数 的图象，如图所示.
由，
得 ，
因为关于的方程
有7个不等的实数根，所以关于的方程
有7个不等的实数根，
由图可知有3个不等的实数根，
所以 有4个不相等的实数根，
由函数的图象可知，所以 .故选C.

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