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微专题21 应用导数求解函数问题
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
导数作为高考数学中的重要工具，其应用广泛且深入.在函数问
题的小题部分，导数常被用来探讨函数的单调性，求极值、最值以
及切线方程等.这些知识点在高考中通常以选择题、填空题的形式出
现，偶尔也会融入解答题的第一问中作为基础铺垫.
微点1 导数几何意义的应用
例1（1）函数的图象在点 处的切线与坐标
轴围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] ，所以 ，
故切线方程为，即，
故切线在轴上的截距为，在 轴上的截距为 ，
故切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .故选A.
√
（2）[2024· 新课标Ⅰ卷] 若曲线在点 处的切线也是曲
线的切线，则 _____．
[解析] ,, 切线的斜率,
切线方程为，即.
设直线 与曲线相切于点 ,
,, ,
解得,,解得 .
【规律提炼】
曲线切线问题的解题策略：
（1）设切点坐标为（有时题中已给出）；
（2）求函数的导数，从而得到曲线在点
处切线的斜率；
（3）得到曲线在点处切线的方程为
；
（4）根据题中所给条件列出方程或方程组求解即可.
【巩固训练】
1.过点且与 的图象相切的直线方程为( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 设过点的图象的切线为，且切点坐标为 ，
则，
由 解得或
所以的方程为 或 .故选C.
√
2.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若曲线 有两条过坐标原点的切
线，则 的取值范围是_______________.
或
[解析] 设切点为,则 ,
由，知，
所以关于 的方程有两个相异的非零实数根，
即关于 的方程有两个相异的非零实数根，
即关于 的方程有两个相异的非零实数根，
所以 且,解得或 .
微点2 应用导数求解单调性、极值、最值问题
例2（1）[2024·山东泰安肥城模拟]已知函数 在区间
上单调递增，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意可知，在 上恒成立，
所以对任意恒成立.
设， ，所以，
所以在 上单调递增，则，
故，即的最大值为 .故选C.
√
（2）[2022·全国甲卷]当时，函数 取得最大值
,则 ( )
A. B. C. D.1
[解析] 由题得，，，所以 ,
，即,，所以 .
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当 时，取得极大值，也是最大值，满足题意.
所以 . 故选B.
√
（3）（多选题）[2023· 新课标Ⅱ卷] 若函数
既有极大值也有极小值，则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 函数的定义域为 ，，
由函数 既有极大值也有极小值，
得方程在 上有两个不等实根.
令，则在 上有两个不等实根，
故
所以,,，故选 .
【规律提炼】
利用导数研究函数的极值、最值等问题的求解策略：
（1）求函数在闭区间上的最值时，在得到函数的极值的基
础上，将区间端点处的函数值,与的各极值进行比较得
到函数的最值；
（2）若所给函数含有参数，则需通过对参数分情况讨论，判断
函数的单调性，从而得到函数的最值；
（3）若函数在区间上有唯一的极值点，则这个极值点就
是函数的最值点，此结论在导数的实际问题中经常使用.
【巩固训练】
1.[2024·江苏泰州中学模拟]若函数在 上
单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在 上单调递增，所以
在 上恒成立，
即对任意恒成立.
令 , ，则，
所以对任意 恒成立.
又因为在上单调递增，所以当时，
故 . 故选D.
√
2.（多选题）已知函数的定义域为，其导函数 的大致图象
如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.函数在 处取得极大值
B.函数在 处取得极值
C.在区间 上单调递减
D.的图象在 处的切线斜率小于0
√
√
√
[解析] 由题图可得，当时，，
当 时，，故函数在上单调递增，
在 上单调递减，故C正确；
函数在 处取得极大值，故A正确；
当时，，
当时，，
所以 在处不存在极值，故B错误；
，即的图象在 处的切线斜率小于0，故D正确.
故选 .
3.（多选题）若函数 既有极小值又有极大值，
则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 由函数 ，
可得，
因为 既有极小值又有极大值，
所以当时，关于 的方程 有两个不同的
实数根，则满足可得
所以， ，，故A，B，C正确.
取,，满足 ，，，
此时不成立，故D错误.故选 .
微点3 导数的综合应用
例3 （多选题）[2024· 新课标Ⅰ卷]设函数 ,则
( )
A.是 的极小值点
B.当时，
C.当时，
D.当时，
√
√
√
[解析] 对于A，因为 ,
所以，
所以在 ,上单调递增，在上单调递减，
所以是 的极小值点，故A正确；
对于B，当时，函数 单调递增,且,
所以，故B错误；
对于C，当 时，，因为,,且在 上单调递减，所以,故C正确；
对于D，当 时，,所以，故D正确.故选 .
【规律提炼】
利用导数解决有关函数值大小比较、极值、最值及函数零点、不等
式等问题时，首先应确定函数，对函数求导，明确函数的单调性，
了解函数图象的大致趋势，画出函数的大致图象以后，再进一步结
合已知条件求解相关问题.
【巩固训练】
1.[2024·福建泉州模拟]如图是函数 的部分图
象，记的导数为 ，则下列选项中值最大
的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图可知，, 为负数，
,为正数，故排除C,D；
设 ，作直线，如图，
显然直线 的斜率，
则 ，可转化为，
所以 的值最大.故选A.
2.（多选题）已知函数 ，则( )
A.当时，在 上单调递减
B.当时，在 上恒成立
C.若有2个零点，则
D.若有极值，则
√
√
[解析] 对于A，B选项，当时，， ，
则当时，，单调递减，
当时， ，单调递增，
， ，故A正确，B错误；
对于C选项，，
当时， ， 单调递增，最多有1个零点，
当时，令 ，得，
当时，， 单调递减，
当时，， 单调递增，
故，当 时， ,
当 时， ，
若 有2个零点，则只需，可得 ，故C正确；
根据选项C分析，结合极值概念可知，
当时，有唯一的极小值，故D错误.故选 .
1.（1）公切线问题也是导数的几何意义的常见应用问题，此类问题
的难点在于切点不确定、斜率不确定.对于公切线问题的求解，突破
口在于对两个函数分别设图象的切点、求导数、写切线方程，然后
根据方程组消元后求解.（2）公切线还可被用来解决函数图象问题，
当一个函数图象始终在另一个函数图象上方时，可将其中一个函数
图象进行平移，使二者相切，找到公切线（临界状态），进而求解.
2.应用导数求解函数问题的过程中，方法是多样化的，可以应用数形
结合的方法、二次求导或结合一些常见的结论等，在学习过程中要
注重积累.
例1 [2024·辽宁名校联盟模拟]若至少存在一条直线与
和的图象均相切，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ,，
设公切线与曲线 相切于点，
与曲线相切于点 ，
则切线方程分别为， ，
所以由①得 ，代入②得
.
令 ，则，
所以当时，，当 时，，
所以在区间 内单调递减，在区间内单调递增，
所以，
又当 时， ，所以的值域为，
所以 的取值范围是 .故选D.
例2 [2024· 广州普通高中模拟]已知直线 恒在曲线
的上方，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设直线与曲线 相切且切点坐标为
，
由得 ，所以切线方程为
，
所以 ， ，
所以.
设 ，则，
当时，，当时， ，
即在上单调递减，在 上单调递增，
所以，所以 .故选A.
例3 [2022·全国乙卷] 已知和 分别是函数
且的极小值点和极大值点.若 ，
则 的取值范围是_______.
[解析] 方法一：【最优解】将函数零点问题转化为函数图象的交点
问题.
因为，所以关于 的方程
有两个根,，即方程 有两个根,，
即函数与函数 的图象有两个不同的交点，
因为,分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数在和上单调递减，在 上单调递增，
所以当，，
即 的图象在图象的上方，
当时，，即 的图象在图象的下方.
当 时，显然不符合题意，所以.
令，，则 ,
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为，
故切线 的方程为 ，
则有，解得，
则切线 的斜率为.
因为函数与函数 的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又 ，所以.
综上所述，的取值范围为 .
方法二：【通性通法】构造新函数，二次求导.
的两个根为,，
因为, 分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在 和上单调递减，在 上单调递增.
设函数，则.
若 ，则在上单调递增，
当的图象与 轴无交点时，显然不符合题意；
当的图象与轴有交点时，设，
则 在上单调递减，在上单调递增，
因为和 分别是函数且 的
极小值点和极大值点，所以此时，不符合题意.
若，则在 上单调递减，
当的图象与轴无交点时，显然不符合题意；
当的图象与 轴有交点时，设，
则在 上单调递增，在上单调递减，
由，得，
因为 和分别是函数且
的极小值点和极大值点，且，所以 ，
即，即，即 ，
故，解得，
又 ，所以.
综上所述，的取值范围为 .
例4 （多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷] 设函数 ，
则( )
A.当时， 有三个零点
B.当时，是 的极大值点
C.存在，，使得为曲线 的对称轴
D.存在，使得点为曲线 的对称中心
√
√
[解析] .
对于A，当时，在 , 上单调递增，
在上单调递减，故 的极大值为,
极小值为,又当 时， ,
当 时， ,所以 有三个零点,A正确.
对于B，当时，在,上单调递增，
在 上单调递减，故是 的极小值点，B错误.
对于C，函数 的图象为中心对称图形，
不是轴对称图形，C错误.
对于D，方法一：令 ,则,令,得,则曲线 的对称中心为
（验证：,
当 时，点为曲线 的对称中心，D正确.
方法二：，假设存在，使得点 为曲线
的对称中心，则，
事实上， ，
于是 ，
由解得，即存在，使得点 为曲线的对称中心，D正确.故选 .

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