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微专题22 应用导数求解零点问题
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
高考数学解答题中，函数零点问题是一个重要的考点，是考查
学生函数与方程思想、数学运算能力的重要题型.这类问题通常要求
考生能够准确理解函数零点的定义，掌握函数零点存在定理，并具
备利用函数性质（如单调性、奇偶性等）分析函数零点个数和位置
的能力.主要考查的类型有零点个数问题，已知零点问题求参数范围
（值）问题，已知零点问题证明不等式成立问题等.
微点1 零点个数问题
例1 [2024·湖北武昌实验中学模拟] 已知函数 .
（1）当时，求 的最大值；
解：的定义域是 ，
， .
当时，，令，可得 ，
则当时，，函数 单调递增；
当时，，函数 单调递减.
当时，函数取得最大值，最大值为 .
（2）讨论函数在区间 上零点的个数.
解：由，得 ，
令，，则 ，
当时，由，得 ，
由，得 ，
在区间上单调递增，在区间 上单调递减.
，， ，
作出函数在 上的图象，如图所示
（横、纵坐标单位长度不同），
由图可知，当或时， 在 上有1个零点；
当时，在 上有2个零点；
当或时，在 上没有零点.
【规律提炼】
判断含参数函数零点个数的常用方法：
（1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图，函数零点的个
数问题即是函数图象与轴交点的个数问题.
（2）分离出参数（设为），将函数转化为.根据导数的知
识分析函数在某区间上的单调性，求出极值以及最值，画出草
图.函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问
题，只需要用与函数的极值和最值进行比较即可.
【巩固训练】
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解：由题意得 ，
当时，令，得 ；
令，得 .
所以在上单调递减，在 上单调递增.
当时，令，得或
令，得 .
所以在,上单调递增，在 上单调递减.
②当时， 且等号不恒成立，
所以在 上单调递增.
③当时，令，得或 ；
令，得 .
所以在,上单调递增，在 上单调递减.
①当时，令，得或 ；
（2）若,，证明： 恰有一个零点.
证明：由（1）知，当时，在, 上
单调递增，在 上单调递减，
所以在处取得极大值，在 处取得极小
值 .
因为, ，所以,,,
所以 ，则 ，
所以 .
当 时， ，作出 的大致图象，
如图（横、纵坐标单位长度不同），
由图知， 恰有一个零点.
微点2 已知零点问题求解参数范围（值）问题
例2 [2024·广东汕头模拟] 已知函数 .
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求 的极值；
解：函数的定义域为 ，
且 ，则 ，
依题意得，，则，所以 , .
则当时， ，当时， ，
因此函数在上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在处取得极小值.
故 的极小值为 ，无极大值.
（2）若在上只有一个零点，求 的值.
解：函数在 上只有一个零点，
等价于在 上只有一个零点.
设 ，则函数在 上只有一个零点，
所以在 时只有一解，
即在时只有一解，于是曲线 与直线
只有一个公共点.
令，则，
当时， ，当时， ，
因此函数在上单调递减，在 上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是最小值，最小值为 .
当时， ；当 时， .
画出 的图象，如图，
由图可知，当在上只有一个零点时，
，
所以当在上只有一个零点时， .
【规律提炼】
利用函数零点的情况求参数范围（值）的方法
（1）分离参数法：分离参数后，将原问题转化为
的值域（最值）问题或转化为直线与的图象
的交点个数问题（优选分离，次选分类）求解.
（2）直接利用零点存在定理构建不等式求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式
求解.
【巩固训练】
已知函数 .
（1）当时，求在区间 上的极大值；
解：当时， ，
所以 ，
当时，，函数 单调递增，
当时，，函数 单调递减，
所以 是函数在区间 上的极大值.
（2）若在区间上有零点，求实数 的取值范围.
解：在区间上有零点，等价于在 时有解.
令， ，则 ，
令，则 ，所以 单调递减，
则当时，，即 ，
故在 上单调递减，此时, ，
所以的取值范围为 .
微点3 极值点偏移问题
例3 [2024·广东湛江一模] 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
解：由题可得,，所以 ，
的定义域为 ，
且，由，得 ，
当时，，则在 上单调递增；
当时，，则在 上单调递减.
（2）若方程有两个不同的实数根，，求实数 的取值
范围，并证明 .
解：由，得，
设 ，则，
由，得 ，
当时，，则在 上单调递增；
当时，，则在 上单调递减.
由题意得，，且当 时， ，
当时， ，
作出 的图象，如图所示，
由图可知，当时，方程 有两个不同的实数根，
故的取值范围为 .
不妨设，则， ，
设 ，
则，所以在 上单调递增，
又，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又，，在 上单调递减，
所以，故 .
【规律提炼】
（1）在极值点偏移问题中，证明（或）或
（或）的一般步骤如下：
①构造函数或，求导确
定函数与的单调性；
②确定，满足,且,由函数值与
的大小关系，得
或
与0的大小关系；
③由函数在区间上的单调性得到与或 的大小
关系，从而证明相应结论.
（2）多元表达式可以通过变形将某个含多个变量的式子视为一个整
体，然后进行换元，可将双变量问题转化为单一变量问题.
【巩固训练】
[2024·河南郑州一中模拟] 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
解：因为 ，所以 ，
令，解得 ，令，解得 ，
所以函数的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 .
（2）如果，且，求证： .
证明：由，，不妨设 ，
构造函数， ，
则 ，
所以在上单调递增， ，
所以对任意的 恒成立.
由（1）得，则 ，
所以 ，
即 ，
又因为，，且在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 .
1.函数图象的交点和方程的根，是函数零点问题在题干中的另一种表
现形式，学习过程中应从多种呈现方式中加深对函数零点问题的理解.
2.函数零点问题是高考中的热点问题，而原函数极值点问题可以看作
导数的变号零点问题，也是高考中的常考知识点.
例1 已知函数 .
（1）当时，求曲线在点 处的切线方程；
解：当时，，所以 ，
所以, ，
所以所求切线方程为，即 .
（2）设在区间上的最大值为 ，求
，并判断函数 的零点个数.
解：, ，
则, ，
当时，由，得,，
所以 , 单调递减，
所以在区间上的最大值为 .
当时，若，则,单调递增，
若 ，则, 单调递减，
所以的最大值为 .
所以
当时， ，显然无零点；
当时， ，则 ，
所以在 上单调递增，
又 ，
，
所以根据零点存在定理知，在 上只有一个零点，
综上所述， 只有一个零点.
（1）若是的一个极值点，求 的值；
解：由题知 ，
因为是的一个极值点，所以，即 ，
所以 ，所以 .
令，则 ，
所以在上单调递增，且易知 ，
当时，，当时， ，
所以在上单调递减，在 上单调递增，
所以是的极小值点，即 符合题意，因此的值为 .
例2 已知函数 .
（2）若有两个极值点，，其中，求 的取值范围.
解：因为 ，且
有两个极值点，，所以方程在 上有两个不同
的根，即关于的方程 有两个不同的正数根，
可转化为函数 的图象与函数的图象在 上
有两个不同的交点.
，令，解得 ，
当时，，单调递减，
当 时，，单调递增，
且当 时，，，，
故可作出 的大致图象，如图所示（横、纵坐标单位长度不同），
由图可知，即，即的取值范围为 .
例3 [2024· 福建南平模拟] 已知函数，其中 为自然对
数的底数.
（1）讨论 的单调性.
解：由题意得，，则 ，
由，解得 .
显然 ，若，则当时，,单调递增，
当 时，, 单调递减；
若，则当时，,单调递减，
当 时，, 单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增，在区间 上
单调递减；
当时，在区间上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）若方程有两个不同的实数根, .
（ⅰ）求 的取值范围；
解：由，得 ，
设，由（1）得在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，
又,，当时，，当 时， ，
所以当时，关于的方程 有两个不同的实数根，
即方程有两个不同的实数根，故的取值范围是 .
（ⅱ）证明： .
证明：方法一：不妨设，则 ，
且，由得 .
当时，，即 .
当时， ，
设, ,
则 ,
所以在区间 上单调递增，
则，即 ，
所以 ,
因为,所以，
又， 在区间 上单调递减，
所以，即 ，
又，所以 ，
故，所以 .
综上可得 ，得证.
方法二：不妨设，则，且 ，
由得.
设 ， ，
则 ，
所以在区间 上单调递增，
又， ，
所以，即 .
又，所以 ，
又,,在区间 上单调递减，
所以，即 ，
又，所以 ，得证.

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