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微专题23 应用导数求解恒成立或有
解问题
2025届高考数学二轮复习
【考情分析】
利用导数求解恒成立或有解问题是高考的常考考点，也是高考
的热点问题，其中不等式的恒成立问题经常与导数及其几何意义、
函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般
作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.
（1）讨论 的单调性；
解：由题可知函数的定义域为， ，
故当时， 恒成立，所以函数在 上单调递减.
当时，令，解得 ，
则当时， ；当时， .
所以函数在上单调递增，在 上单调递减.
综上，当时，函数在 上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在 上单调递减.
例1 已知函数 .
微点1 恒成立问题
（2）证明：当时， .
证明：由（1）可知，当时，函数在 上单调递增，
在 上单调递减，
故在 上恒成立，
故要证，只需证 ，
即证 ，即证 .
令 ，则 ，
当时， ；当时， .
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以在上恒成立，故 ，
所以当时， .
【规律提炼】
利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出
不等关系式求解；
（2）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求
出参数的取值范围；
（3）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值
问题.
解：函数的定义域为， .
令，解得 .
与在区间上随 的变化情况如下：
0
极小值
故的单调递增区间为，单调递减区间为 .
【巩固训练】
1.[2024·湖北荆州模拟] 已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若对任意的，都有，求实数 的取值范围.
解：当时，恒成立等价于当 时，
恒成立.
令， ，则， .
当时，，所以在区间 上单调递减；
当时，，所以在区间 上单调递增.
而， ，
所以在区间上的最大值为 .
所以当时，对任意的，都有 .
故实数的取值范围是 .
2.[2024·内蒙古包头模拟] 设函数 ，
.
（1）证明：当时，在上单调递减，在 上单
调递增；
证明：当时， ，
则 ，
若，则当时，， ；
当时，， .
若，则当时，， ；
当时，， .
所以在上单调递减，在 上单调递增.
（2）若当，且时，恒成立，求 的取值范围.
解：当，且时， ，
由，得 ，
即，整理可得 .
令，则 恒成立，
，
整理得 .
若，即，则当时， ，
所以在 上单调递增，
故当时， ，不符合题意.
若，即，则当
时， ，当时， ，
所以在，上单调递减，在 上单调递增.
因为，且为的极大值， ，
所以需满足 ，所以 .
若，即 ，
则 ，
因为，所以由可得 ，
故 .
综上，的取值范围是 .
（1）讨论 的单调性.
解：由题可得
，
因为，所以 ，
所以当时，，在 上单调递减；
当时，，在 上单调递增.
综上，在上单调递减，在 上单调递增.
微点2 能成立问题
例2 [2024·广东广州模拟] 已知 , .
（2）函数的图象上是否存在两点,
（其中），使得直线能与函数的图象在 处的
切线平行？若存在，请求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
解：不存在满足题意的点， ，理由如下.
由题意得，切线斜率 ，
,
由 ，得 ，即 ，
即 .
令，不妨设 ，则，
令 ，
则 ，
所以在 上单调递增，
所以 ，
所以方程无解，则满足条件的点, 不存在.
【规律提炼】
根据不等式有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴
试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值的情况.若
遇到参变分离后不易求解的问题，就要考虑利用分类讨论法或放缩
法.注意恒成立与存在性问题的区别.
【巩固训练】
[2024·江苏常州模拟] 已知函数 ,
.
（1）讨论 的单调性；
解：由题意知，
且 ，
当时，,在 上单调递减.
当时，令，解得 ，
当时，,在区间 上单调递减；
当时，,在 上单调递增.
所以当时，在 上单调递减.
当时，在上单调递增，在 上单调递减.
（2）对于任意的,存在，使得 ，求实数
的取值范围.
解：由题知对任意的 恒成立.
当时， ，不符合题意，舍去.
当时，在 上恒成立,
则在上单调递增，由，解得 ，
符合题意.
综上所述， .
解决双变量问题，首先判断是否为极值点偏移问题，若为极值点偏
移问题，则可根据相应模型进行构造，若不为极值点偏移问题，则
考虑是否可转化为单一变量问题进行处理，转化过程中要注意与函
数性质相结合.
（1）若函数在处取得极值，求实数 的值；
解：由,得 ，
因为函数在 处取得极值，
所以，解得 .
则 ，
令，可得，令，可得 ，
则在上单调递减，在上单调递增，
故在 处取得极小值，满足题意，故 .
例1 [2024·甘肃天水一模] 已知 .
（2）若，存在正实数,，使得 成立，
求 的取值范围.
解：当时，存在正实数， ，使得
，
整理得 ，
令，则 ，
设，则 ，
显然当时，，即 单调递增，
当时，，即 单调递减，
所以 .
因为存在正实数,，使得 成立，
所以 ，
故 ，
解不等式得或 （舍去），
故的取值范围是 .
（1）讨论函数 的单调性；
解：由题意知，的定义域为 ,
，
令 ，则 .
当，即时，，此时,
在 上单调递增.
例2 [2024·山西吕梁模拟] 已知函数, .
当，即 时，令，解得或，
设 ，，
则当时,,当 时, ，
当时, ，
所以在,上单调递增，在 上单调递减；
当时，,当时,,当 时,
，故在上单调递减，在 上单调递增.
综上，当时,在 上单调递增；
当时,在, 上单调递增，
在 上单调递减；
当时,在上单调递减，在 上单调
递增.
（2）若对任意的,,， 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：方法一：不妨设，则 ，
则 ，
令 ，
由题知， 恒成立.
若,则 恒成立，
令，则 ，
易知在上单调递增，在 上单调递减，
所以，所以 .
若，则恒成立，又当时, ，
所以不存在满足条件的 .
综上所述， .
方法二：由，得 ，
等价于 .
令，
则由题意在 上单调递增，即 恒成立.
，令，则 恒成立.
，
当时，,在上单调递增，
又当 时, ，故 不恒成立，不满足题意；
当时，由得,
易知在 上单调递减，在 上单调递增，
因为恒成立，所以 ，
可得 .
综上， .
例3 [2024·四川成都树德中学模拟] 已知函数, .
（1）当时，曲线与曲线 恰有一条公切线
，求实数与 的值；
解：当时，，可得 ，
令，可得 ，
又，所以切点在直线上，则 .
因为，所以，令，则 ，
在方程中，令，可得 ，
所以切点在曲线上，则，所以 .
（2）设函数，若存在, ，使
，且，求 的取值范围.
所以关于 的方程有两个不等正实根，，
则
解：由函数 ，
可得 ，
由题意可知函数有两个极值点，，
由 ，
可得 .
令 ，
则 ，
所以在区间 上单调递增.
因为 ，
所以由，可得 .
令函数,，可得 ，
所以在上单调递减，可得 ，
即 ，
又因为，所以的取值范围是 .

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