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2025 年河北省秦皇岛市山海关区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 6 < 0}， = { || | > 1}，则 ∩ =( )
A. { | 2 < < 3} B. { | 1 < < 1}
C. { | 2 < < 1 或 1 < < 3} D. { | 3 < < 1 或 1 < < 2}
2.已知复数 满足 3 = (1 + ) ，则| | =( )
A. 10 B. 105 10 C.
2 4
5 D. 5
3
2 2
.若方程36 + = 1 表示焦点在 轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是( )
A. (0,36) B. (0,12) C. (6, + ∞) D. (36, + ∞)
4.科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量 (单位：焦耳)与地震里氏震级
之间的关系为 = 4.8 + 1.5 . 2025 年 1 月 7 日西藏日喀则市发生里氏 6.8 级地震，释放出来的能量为 1，
2025 年 1 月 10 日山西临汾市发生里氏 4.1 级地震，释放出来的能量为 2，则 1 =( )2
A. 10 B. 4.05 C. 100.05 D. 104.05
5.如图，某工厂储存原料的储存仓是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的 2 倍，且圆锥的母线长
是 2，侧面积是 2 ，则该储存仓的体积为( )
A. 33
B. 4 33
C. 7 33
D. 2 3
6 .已知函数 ( ) = sin(3 + 4 )，将 ( )的图象向右平移 (| | < 2 )个单位后，得到函数 ( )的图象，若 ( )
的图象与 ( )的图象关于 轴对称，则 的值为( )
A. 12 B.

6 C.
D. 4 3
2 27.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左顶点为 ，右焦点为 ( , 0)，过点 且斜率为 的直线 与圆
( )2 + 2 = ( )2 3相切，与 交于第一象限的一点 .若 3 ≤ ≤ 1，则 的离心率的取值范围是( )
A. [3,3 + 2 2] B. [3,3 + 4 3]
C. [3 + 2 2, 7 + 4 3] D. [3 + 4 3, 7 + 4 3]
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8.已知 为锐角，且 > 2，2 = cos(2 )，则 的最小值为( )
A. 2 2 3 33 B. 3 C. 3 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据 1， 2，…， 2 ，…， 4 ， 1 < 2 < < 2 < < 4 ，则下列说法错误的是( )
A. 1， 2，…， 4 的下四分位数为
B. + 2 ， 2 +1，…， 4 的中位数为 3 3 +12
C. 1， 2，…， 2 的平均数小于 2 +1， 2 +2，…， 4 的平均数
D. 1 ， 2 ，…， 4 的方差为 1， 2，…， 4 的方差的 倍
10.已知在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，外接圆半径为 5，且满足 4 + 3 ( + ) +
3 ( ) = 8，则下列结论正确的是( )
A. = 45 B. △ 是锐角三角形
C. = 2 5 D. △ 的面积为 10
11.已知函数 ( )的定义域为 ，若满足 (1 ) + ( ) = 1，且函数 ( + 1)是奇函数，则下列结论正确
的是( )
A. (0) = 1 B. (2025) = 2023
C. ( + 2024) = ( ) D. 2025 = 2024 ( ) = 2025
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ( 1.在 )
8的二项展开式中，常数项是______．
13.在平行四边形 中，∠ = 60°， = 32 .若 为 的中点，则向量
在向量 上的投影向量为
______(用 表示)；若 = 3，点 在边 上，满足 = 1 3 ，点 ， 分别为线段 ， 上的动点，满
足 + = 1，则 的最小值为______．
14 1.已知函数 ( ) = 3 3 + 1 有三个极值点 1， 2， 3，且 0 < 3 2 ≤ 3，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }是公差大于 2 的等差数列，其前 项和为 ， 2 = 5，且 1 + 1， 2 + 1， 5 2 成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)令 = ( 1) +1
2 +3
(3 +2) ，求数列{ }的前 项和 ．
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16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥ ， // ， = = 2 = 2 = 2， ⊥底面 ， 是
上一点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 是 的中点，求平面 与平面 的夹角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
2
已知函数 ( ) = 1 1．
(1)求 ( )的零点个数；
(2)设 0是 ( )的一个零点，证明：曲线 = 在点 ( , 0 0)处的切线也是曲线 = 的切线．
18.(本小题 17 分)
小王是一位篮球运动爱好者，常去居住地附近 ， 两个篮球场馆打篮球.已知小王第一次随机选择一个场馆
打篮球.若前一次选择 场馆，那么下次选择 场馆的概率为 (0 < < 1)；若前一次选择 场馆，那么下次
选择 场馆的概率为 (0 < < 1)．
(1)若 + = 1，0 < ≤ 0.8，求小王前三次选择相同场馆打篮球的概率的最大值；
(2)求小王第二次去 场馆打篮球的概率；
(3)若 = 0.6， = 0.2，设小王前两次选择 场馆打篮球的次数为 ，求 的分布列和数学期望．
19.(本小题 17 分)
蔓叶线是古希腊数学家狄奥克勒斯在公元前 180 年为了解决倍立方问题发现的曲线，蔓叶线与半个圆周一
1 1
起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下左图所示.在平面直角坐标系中，圆 ：( )22 +
2 = 4，点 是
直线 ： = 1 上在第一象限内的任一点，直线 的倾斜角为 ( 为坐标原点)，且交圆 于点 ( 与 不重
3
合) ，第一象限内的点 在直线 上，且满足 = ，一蔓叶线 的方程为 2 = 1 ，如图所示．
(1)求蔓叶线 上任一点横坐标的取值范围；
(2)证明：点 在蔓叶线 上；
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(3)设直线 0： + = 1( 2 + 2 ≠ 0)与蔓叶线 交于不同的三点 ， ， ，且直线 ， ， 的斜率
之和为 2025，证明：直线 0过定点．
参考公式：法国数学家弗朗索瓦 韦达提出了三次方程的韦达定理：若 31， 2， 3是关于一元三次方程 +
2 + + = 0( ≠ 0) 的三个根，则 1 + 2 + 3 = ， 1 2 + 2 3 + 1 3 = ， 1 2 3 = ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.70
13.11 238 8
14.[ 3( 3)2 , + ∞)
15.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ( > 2)，
由 2 = 5，且 1 + 1， 2 + 1， 5 2 成等比数列，
1 + = 5 1 = 3 1 = 2得 ( 1 + + 1)2 = ( 1 + 1)( 1 + 4 2)
，解得 = 2 (舍去)，或 = 3 ．
∴ = 2 + 3( 1) = 3 1；
(2) = ( 1) +1 2 +3 = ( 1) +1 6 +1 = ( 1) +1 1 1 (3 +2) (3 +2)(3 1) ( 3 1 + 3 +2 )，
当 1 1 1 1 1 1为偶数时， = 2 + 5 5 8 + 8+ 11 . . .
1
3 1
1 1 1
3 +2 = 2 3 +2；
当 为奇数时， = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + 5 5 8 + 8+ 11 . . . + 3 1 + 3 +2 = 2+ 3 +2．
1 1
∴ = 2 3 +2
, 为偶数
1 1 ．
2+ 3 +2 , 为奇数
16.解：(1)证明：在四棱锥 中， ⊥ ， // ， = = 1，
则∠ = ∠ = 45°， = 2，
在△ 中， = 2，则 = 2 + 2 2 45° = 2，
即 2 + 2 = 4 = 2，
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于是 ⊥ ，由 ⊥平面 ， 平面 ，
得 ⊥ ，又 ∩ = ， ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)由(1)知， ⊥平面 ，而 平面 ，
则 ⊥ ，又 ⊥ ，
因此∠ 是二面角 的平面角，
在△ 中， ⊥ ， = 2， = 2，
则 = 6，由 是 的中点，得 = ，∠ = ∠ ，
于是 sin∠ = sin∠ = 26 =
3
3 ，
所以平面 与平面 3的夹角的正弦值为 3 ．
17. (1) 2解： 函数 ( ) = 1 1的定义域为( ∞,1) ∪ (1, + ∞)，
2
求导得 ′( ) = + ( 1)2 > 0，
函数 ( )在( ∞,1)和(1, + ∞)上均单调递增，
由 (0) = 2 > 0 1 1， ( 2) = 2 3 < 0，得 ( )在( ∞,1)上有唯一零点 1，
5 5
由 (2) = 2 3 > 0， ( 4 ) = 4 9 < 0，得 ( )在(1, + ∞)上有唯一零点 2，
所以 ( )有且仅有两个零点．
(2)曲线 = 在点( 0, 0)处的切线方程为 0 = 0( 0)，即 = 0 0 0 + 0，
设曲线 = 在点( 3, 3)处的切线斜率为 0，
1 1 1
则 0 = ， 3 = 0， 3 = 0，即切点为( 0 , 0)，3
= ( 1则曲线 在点 0 , 0)处的切线方程为 + 0 =
0( 1
0
0 )，即 = 0 1．
由 +1 +10是 ( )的一个零点，得 0 = 0 0 0 0 0 0 1，则
0 + = (1 0) = 0 1
(1 0) = 1 0，
因此直线 = 0 0 0 + 0与直线 = 0 0 1 为同一直线，
所以曲线 = 在点 ( 0, 0)处的切线也是曲线 = 的切线．
18.解：(1)设“小王前三次选择相同场馆打篮球”为事件 ，
1
小王第一次选择 场馆的概率为2，
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若第一次选 A 场馆，第二次也选 A 场馆的概率为 ，第三次还选 A 场馆的概率为 ；
1小王第一次选择 场馆的概率为2，
若第一次选 B 场馆，第二次选 B 场馆的概率为 1 ，第三次还选 B 场馆的概率为 1 ，
1 1
由全概率公式可得： ( ) = 2 + 2 (1 )(1 )，
因为 + = 1，即 = 1 ，
所以 ( ) = 1 2 + 12 2
2 = 2，
又因为 0 < ≤ 0.8，且函数 = 2在(0,0.8]上单调递增，
所以当 = 0.8 时， ( )取得最大值，最大值为 ( ) = 0.82 = 0.64；
(2)设“小王第二次去 场馆打篮球”为事件 ，
1
小王第一次去 场馆的概率为2，
若第一次去 场馆，第二次去 场馆的概率为 1 ；
1
小王第一次去 场馆的概率为2，
若第一次去 场馆，第二次去 场馆的概率为 1 ，
( ) = 1 (1 ) + 1 (1 ) = 1 [2 ( + )] = 1 + 所以 2 2 2 2 ；
(3)已知 = 0.6， = 0.2，
由题意可知， 的可能取值为 0，1，2，
( = 0) 1表示前两次都不选 A 场馆，即第一次选 B 场馆(概率为2 )，第二次也选 B 场馆(第一次选 B 场馆时
第二次选 B 场馆的概率为 1 0.2 = 0.8)，
1
所以 ( = 0) = 2 × (1 0.2) =
1
2 × 0.8 = 0.4，
( = 1) 1有两种情况：第一种情况是第一次选 A 场馆(概率为2 )，第二次选 B 场馆(第一次选 A 场馆时第二
次选 B 场馆的概率为 1 0.6 = 0.4)，
第二种情况是第一次选B场馆( 1概率为2 )，第二次选A 场馆(第一次选B场馆时第二次选A场馆的概率为0.2)，
由全概率公式可得： ( = 1) = 1 12 × (1 0.6) + 2 × 0.2 =
1
2 × 0.4 +
1
2 × 0.2 = 0.2 + 0.1 = 0.3，
( = 2) 1表示第一次选 A 场馆(概率为2 )，第二次也选 A 场馆(第一次选 A 场馆时第二次选 A 场馆的概率为
0.6)，
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所以 ( = 2) = 12 × 0.6 = 0.3，
所以 的分布列为：
0 1 2
0.4 0.3 0.3
所以数学期望 ( ) = 0 × 0.4 + 1 × 0.3 + 2 × 0.3 = 0.9．
2
19. 解：(1)因为蔓叶线 的方程为 2 = 1 ，
2
则1 ≥ 0 且 1 ≠ 0，
由于 2 ≥ 0 恒成立，
2
所以1 ≥ 0 等价于 1 > 0，
解得 < 1，
由图知道，蔓叶线 的位置，所以 ≥ 0，
综上，知道 0 ≤ < 1，
则蔓叶线 上任一点横坐标的取值范围为[0,1)．
(2)证明：设 (1, 0)( 0 > 0)，
已知直线 的方程为 = ( = 0)，
1
将其代入圆 的方程( )2 + 2 12 = 4，
( 1得到 22 ) +
2 2 = 14．
( 1对 22 ) +
2 2 = 14，
进行整理得(1 + 2) 2 = 0，
解得 = 0 或 = 11+ 2，
1
因为 点不是原点，所以 点横坐标为 = 1+ 2．
已知 = ，设 ( , )， (1, 0)， 点横坐标为 =
1
1+ 2．
根据向量坐标运算， = ( , )， = (1 11+ 2 , 0 )，
1 2
因为 = ，所以 = 1 1+ 2 = 1+ 2，
3
= = 1+ 2．
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2( )3
6
=
2 3
2 = 1+ 2 = (1+
2)3 6 1+ 2 6
将 1+ 2代入蔓叶线方程 1 的右边： 2 = = ，1 1+ 2 2 (1+ 2)3 1 (1+ 2)2
1+ 2 1+ 2
3 6
而 2 = ( 21+ 2 ) = (1+ 2)2，
即蔓叶线方程右边的值等于 2等式成立，
所以点 的坐标满足蔓叶线方程，点 在蔓叶线 上．
(3)证明： 2 20： + = 1( + ≠ 0)，
3
齐次化联立直线与曲线，得到 2 = + ，
那么 3 + ( 1) 2 3 = 0，
即 ( 3 ) + ( 1)(

)
2 1 = 0，

根据方程联立得意义可知，所得的关于 的一元三次方程的三个根即为 1， 2， 3，
结合韦达定理知道， 1 + 2 + 3 =
1
= 2025，故 1 = 2025 ，则 1 2025 = ，
代入直线方程，即(1 2025 ) + = 1，
化简得( 2025 ) + 1 = 0，式子恒成立，
则令 1 = 0， 2025 = 0，
解得 = 1， = 2025，
故直线 0过定点(1,2025).原命题成立．
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