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九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》单元测试题
一、单选题
1．如图，抛物线顶点为，经过点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．关于的方程无实数解
2．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知、两点的坐标分别为、，抛物线与线段只有一个交点，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．或
4．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 0 4 3 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随值的增大而减小
C．若是抛物线上不同的两点，则
D．关于的一元二次方程有两个相等的实数根
5．在平面直角坐标系中，定义：已知是的函数，如果对于任意两个不相等的自变量，，当时，的取值范围是，那么将称为这个函数的“级封闭定义域”．例如：函数，当时，，所以是函数的“3级封闭定义域”．下列结论：①是函数的“1级封闭定义域”；②若是函数的“2级封闭定义域”，则；③若函数存在“3级封闭定义域”，则；④函数不存在“4级封闭定义域”．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．关于二次函数，有如下说法：
①图象的开口向上；②图象最低点到x轴的距离为k；
③图象的对称轴为直线；
④一次函数与二次函数的图象分别交于点，则关于x的方程的解为．
其中所有正确说法的序号是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．③④
7．如图，已知一次函数（）的图象与二次函数（）的图象交于，两点，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
8．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（　　）
A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤
二、填空题
9．二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的上方；当时，它的图象位于x轴的下方，那么的解集是 ．
10．如图，直线与抛物线相交于点，，则关于的方程的解是 ．
11．已知二次函数．下列四个结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②若时，随的增大而增大，则；③无论为何值，该函数的图象必经过一个定点；④抛物线的顶点一定不在轴的上方．其中正确结论的序号是 ．
12．抛物线（是常数）经过点和两点，且．以下四个结论：①；②若，则；③若，则关于的一元二次方程必有两个相等的实数根；④点、在抛物线上，若，，总有，则．其中正确的是 （填写序号）．
13．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应．如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是 ．
14．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为 ．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线．当时，该抛物线的顶点坐标是 ；若和是抛物线上的两点对于，，都有，则的取值范围是 ．
16．已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ．
三、解答题
17．已知抛物线（a为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标小1．
(1)求a的值；
(2)设点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，且，求n的值；
②若，求n的最大值．
18．九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
(1)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中________，______；
x … 0 1 2 3 4 …
y … 9 0 3 0 9 …
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；
(2)写出该函数的两条性质：
_________________________________________________________________________；
________________________________________________________________________；
(3)若有两个实数解，则k的取值范围是：_____________________．
19．已知二次函数，（为常数，且）图象经过点．
(1)求二次函数图象的对称轴；
(2)若，当时，的最大值为，求的值；
(3)已知，是该二次函数图象上的两点．若对于，，总有，求的取值范围．
20．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为．
(1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式；
(2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值；
(3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ，且经过点 ，点P 在该抛物线上，横坐标为m，设点 A 的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、、，当的面积被x轴平分时，求m的值；
(3)将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围；
(4)以为对角线作矩形，轴，当抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
22．某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图．已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离米．
(1)请求出抛物线的函数表达式；
(2)求点的坐标．
(3)点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离．
23．如果直线经过抛物线的顶点，那么称直线为抛物线的准切线．如，直线经过抛物线的顶点，所以直线是抛物线的准切线．
(1)若直线为抛物线的准切线，试求的值；
(2)已知直线是抛物线（）的准切线，将直线向下平移个单位，得到新直线恰好也是抛物线的准切线．
①请求出直线的解析式；
②若当时，的最小值为，试求出的值．
24．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接．
(1)求a，b的值．
(2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》单元测试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C D C C C D
9．/
10．
11．①③④
12．①②
13．
14．2π
15． 或
16．
17．（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线（a为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标小1，
∴，
解得：；
（2）①由（1）知：，
∵点在抛物线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值为：4．
18．（1）解：①当时，，即，
当时，，即，
故答案为：，；
②如图：A、B即为所描．
③补全图像如图所示．
（2）解：观察函数图形可知：
该函数关于y轴对称；
当或时，y随x的增大而减小，当或时，值y随x的增大而增大；
故答案为：该函数图象关于y轴对称；当或时，y随x的增大而减小，当或时，值y随x的增大而增大；
（3）由图象可知，当时，有3个解，
∴当时，有两个实数解，
故答案为：或．
19．（1）解：二次函数，则对称轴直线为，
由题意知，二次函数的图象过，
，则，
，
二次函数图象的对称轴是；
（2）解：二次函数图象的对称轴是，
，
，
当时，二次函数的图象草图如图1，
由图象可以看出：在范围内，点的位置最高，
∴当时，的值最大，
此时，．
解得；
（3）解：当时，函数图象草图如图2，
点在，之间的抛物线上，此时当点在点的位置时的值最小，
点关于直线的对称点为点，由于，
点在直线下方的抛物线上，
，
又，
，
解得，
又，
，
当时，函数图象的草图如图3，
点在之间的抛物线上，此时点在点处的值最小，
点关于直线的对称点为点，由于，
点在直线下方的抛物线上，
或，
又，
或，
解得或（不合题意舍去），
综上所述，的取值范围是或．
20．（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：，
则，即点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）证明：设点的横坐标分别为，
令，
则为上述方程的两个根，
则，
则点，
则，
则，
则的面积为定值；
（3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则，
∵点的纵坐标相同，则，
则，
则，
则，
即，
解得：（ 不合题意的值已舍去），
则抛物线的表达式为：，
则点的坐标分别为：；
四边形为梯形，
当时，
设直线表达式为，
由点的坐标得，解得：，
直线表达式为，
设直线的表达式为：，代入，得：，解得：，
则直线的表达式为：，
当时，
设直线表达式为，
由点的坐标得，解得：，
直线表达式为，
设直线的表达式为：，代入，得：，解得：，
则直线的表达式为：，
分别联立和抛物线的表达式得：或，
解得：或（不合题意的值已舍去），
即点或．
21．（1）解：∵，
∴，
即，
∵抛物线 （、c是常数）的对称轴是直线 ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图：
∵点P 在该抛物线上，横坐标为m，
∴，
∵的面积被x轴平分，
∴是的中线，
∵点A的坐标为．
∴，
整理得，
，
∴，
故；
（3）解：∵设点 A 的坐标为，过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，
∴直线的解析式为，
依题意，，
∴顶点坐标为，
则关于对称轴对称的点为，
∵将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，且图象G与直线只有一个公共点时，
当经过点，得，
解得；
当经过点，得，
解得，
当点P在直线的下方，
则，
解得，
当经过点，得，
整理得，
解得或，
当直线在点的上方，点Q的下方（或经过点Q）时，
则；
∵，
∴，
综上：故图象G与直线只有一个公共点时，则或或或；
（4）解：∵以为对角线作矩形，轴，
∴当时，如图所示：
此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意；
当时，如图所示：
此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意；
当时，
则整理得，
解得或，
当时，如图所示：
此时抛物线在矩形内部y随x的增大而减小，符合题意；
当时，如图所示：
此时抛物线在矩形内部y随x的增大而增大，不符合题意；
综上：抛物线在矩形内部y随x的增大而减小时， m的取值范围为或或．
22．（1）解：由题可得，将代入，得，
∴，
∵抛物线的顶点横坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，
得（负值舍去），
∴；
（3）解：由题意可得，，
解得，（舍去），
∴此时石头到轴的距离为米．
23．（1）解：，
顶点为，
直线为抛物线的准切线，
，
解得，；
（2）①，
顶点为，
直线向下平移个单位，得到直线：，
直线、都是抛物线的准切线，
∴方程的解是，
即，
∵
即直线的解析式为：，
②顶点为在直线：上，
∴，
，
∴抛物线的表达式为：，
当时，，
当时，，
∵，顶点为，
i）当，即时，在，取得最小值，
∴，
解得，或（舍去），
ii）当，即时，在顶点处，取得最小值，
∴
，
iii）当，即时，在，取得最小值，
∴，
方程无解，
综上所述，或；
24．（1）∵二次函数的图象经过点，，
∴
解得
（2）存在．由（1），得，，
∴二次函数的解析式为．
令，得，
解得，．
∵二次函数的图象与x轴交于点A，B，
∴点，，
∴．
设点，
∴，
∴，
解得，，
∴点，．
（3）令，得，
∴点，
设直线AC的解析式为
解得
∴直线的解析式为．
设点，则点，
∴．
∵点，
∴．
∵，
∴．
∵轴，
∴∥轴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长
．
∵
∴当时，的周长有最大值，最大值为，
∴的周长的最大值为．
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