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广东省2025年高三高考模拟测试（二）数学试卷
本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 复数 在复平面内对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已知集合 则A 中元素的个数为
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
3. 已知平面向量a与b均为单位向量， 则a与a-2b的夹角为
A. B. C. D.
4. 正四棱台ABCD-A B C D 中， 则四棱台的体积为
A. B. C. 56
5. 若直线l:x+y-m=0(m＞0)被圆 C: 截得的弦长为 m,则m=
B. C. 2
6. 已知α为锐角，且 则 cos 2α=
A. B. C. D.
7. P是正四棱柱ABCD-A B C D 表面上的一个动点， 当直线AP 与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，AP与AC 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
8. 已知定义在(0, +∞)上的函数f(x), 对任意x, y＞0满足 f (xy)＜f(x)+f(y)+1,且当x＞1时,f(x)＜-1. 设 则
A. m＞n B. m＜n C. m≥n D. m≤n
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世. 某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度(单位：cm)作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是
A.基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50
B.基地牡丹植株高度不高于70 的频率估计值为30%
C.基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等
D.基地牡丹植株高度的第75 百分位数的估计值小于80
10. 已知函数f(x)= sinx, g(x)= cosx, 则下列结论正确的是
A. f(g(x))为奇函数 B. g(f(x))为偶函数
C. f(g(x))在[0, π]上仅有1个零点 D. g(f(x))的最小正周期为π
11. 已知曲线C: 一条不过原点的动直线l与x，y轴分别交于A，B 两点，则下列结论正确的是
A. 曲线C有4条对称轴
B. 曲线C形成封闭图形的面积大于4-π
C. 当 时，线段AB 中点的轨迹与曲线C 相切
D. 当|OA|+|OB|=1时, 直线l与曲线C 相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
12.设随机变量X 服从正态分布N(2, σ ),且P(X≤4)=0.7, 若P(X≤a) =0.3,则a= .
13. 记双曲线C （a＞b＞0）的离心率为e，若直线3x-y=0与C有公共点，则离心率e的取值范围为 (请用区间表示).
14. 在平面直角坐标系中, 两点P(x ,y ), Q(x ,y )的“曼哈顿距离”定义为 例如点 P(1, 2), Q(-2, - 1)的“曼哈顿距离”为PQ= . 已知点M 在直线y= ex+1上, 点N在函数y= lnx的图象上，则|MN|的最小值为 ， ||MN||的最小值为 .
四、解答题: 本题共5小题, 共77分. 第15 题13 分, 第16、17 题15分, 第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15. (本小题满分13分)
记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知
(1)求 ac;
(2)若b=2acos Acos2C+2ccos Ccos2A, 求△ABC的面积.
16. (本小题满分15分)
已知A, B, C是椭圆W: 上三个不同的点，O是坐标原点.
(1)若A, C是W的左、右顶点, 求 的取值范围；
(2)若点 B在第一象限，是否存在四边形 OABC 满足OB 是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由.
17. (本小题满分15分)
如图, △ABC, △DBC, △EBC 都是等边三角形, 点D, E分别在平面ABC的上方和下方，点O为BC中点.
(1)求证: A, D, O, E四点共面;
(2)若 求直线 OE 与平面ACD 所成角的正弦值的最大值.
18. (本小题满分17分)
一个质点在数轴上从原点开始运动，每次运动的结果可能是原地不动，也可能是向左或向右运动一个单位.记质点原地不动的概率为p，向右运动的概率为q，向左运动的概率为1-p-q, 其中p∈[0,1), q∈(0, 1).
(1)若 求质点运动3次后停在原点右侧的概率；
(2)若p=0.
①规定质点只要运动到原点左侧就立即停止运动，求质点运动5 次后停在原点右侧的概率；
②设计游戏规则如下：第一轮游戏，质点从原点开始运动，设置质点向右运动的概率q=x，若质点运动3次后停在原点右侧，则进入第二轮游戏，否则游戏结束；第二轮游戏，质点重新从原点开始运动，重新设置质点向右运动的概率q=a-x(0＜a＜2)，运动3次后，若质点停在原点右侧，则以质点停留位置对应数轴上的数值作为两轮游戏的最终得分，若质点停在原点左侧或原点处，则两轮游戏的最终得分为0分(规定游戏一轮结束的得分也是0分).记两轮游戏最终得分的期望E(X)=f(x), 若f(x)存在极大值点, 求a的取值范围.
19. (本小题满分17分)
已知数列{an}中每一项( (其中i=1, 2, …, m,m∈N°)构成m数组A= 定义运算S如下： S(A)=(b , b , b , b , …, b m-1, b m),其中当 时， 当 时， 用Sn (A)表示n层嵌套运算S(S(…S(A)…)), n∈N*.现取A=(0, 1), 记Sn(A)中相邻两项组成的数对( 满足 的数对个数为 Bn.
(1)写出S(A), S (A),以及B , B ;
(2)证明：数列 是等比数列；
(3)若 证明：对任意的n∈N*都有

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