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专题 实数易错必刷题型专训（87题29个考点）
【易错必刷一 求一个数的算术平方根】
1．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是5
C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1
2．（1）的算术平方根是 ；
（2）的算术平方根是 ．
3．若，则 ．
【易错必刷二 利用算术平方根的非负性解题】
4．已知：，那么 ．
5．已知：，则的值为 ．
6．实数a，b满足，求的算术平方根．
【易错必刷三 估计算术平方根的取值范围】
7．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（ ）
A．之间 B．之间 C．之间 D．之间
8．估算的大小应在（ ）
A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间
9．若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ．
【易错必刷四 求算术平方根的整数部分和小数部分】
10．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
11．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
12．已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【易错必刷五 与算术平方根有关的规律探索题】
13．已知，，则是的 倍．
14．已知，则 ．
15．观察下表后回答问题：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
（1）表格中 ， ；
（2）根据你发现的规律填空：
①已知，则 ， ；
②已知，则 ．
【易错必刷六 算术平方根的实际应用】
16．小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ．
17．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）．
18．如图，有一张长宽比为的长方形纸片，面积为．
(1)分别求长方形纸片的长和宽；
(2)小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由．
【易错必刷七 平方根概念理解】
19．下列正确的是（　　）
A．6是36的算术平方根，即
B．6是的算术平方根，即
C．是49的平方根，即±
D．是4的平方根，即
20．若是的平方根，是的算术平方根，则（ ）
A． B．17 C．或17 D．或7
21．若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
【易错必刷八 求一个数的平方根】
22．的平方根是 ．
23．计算：（1） ；（2） ．
24．若，则的平方根为 ．
【易错必刷九 求代数式的平方根】
25．已知，则（ ）
A． B． C． D．
26．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ．
27．若，则= ．
【易错必刷十 已知一个数的平方根求这个数】
28．若一个正整数的两个平方根为与，则这个数是 ．
29．已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ．
30．若一个正数a的两个平方根分别是和．
(1)求a和b的值；
(2)求的平方根．
【易错必刷十一 利用平方根解方程】
31．计算：
(1)．
(2)
32．解方程．
(1)．
(2)
33．解方程：．
【易错必刷十二 平方根的应用】
34．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断．
35．如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值．
36．勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？

【易错必刷十三 立方根概念理解】
37．下列说法正确的有（ ）
①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数．
A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④
38．下列说法正确的有（ ）
①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；
③平方根与立方根相等的数有0和1；
④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤
39．下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【易错必刷十四 求一个数的立方根】
40．小鹿整理了如下组关于，的数据：
根据以上数据，若设的整数部分为，则的立方根是（ ）
A． B． C． D．
41．若，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．15
42．若非零实数x，y满足，则 ．
【易错必刷十五 已知一个数的立方根求这个数】
43．已知，则的平方根为 ．
44．若，，则 ．
45．已知，的立方根是2．
(1)求的算术平方根；
(2)求的立方根．
【易错必刷十六 立方根的实际应用】
46．小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径．
47．这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长．
48．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
(1)求乙正方体纸盒的体积．
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
【易错必刷十七 算术平方根和立方根的综合应用】
49．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
… …
… …
… …
(1)表格中的______，______．
(2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________．
(3)若，求的值．
（参考数据：）
50．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… …
(1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ；
(2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ；
(3)已知则 ， ．
(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？
51．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___．
(3)类比上述立方根运算：已知，则___，___．
【易错必刷十八 实数的分类】
52．请将下列各数分别填入相应的括号内：
（每两个6之间的5依次多一个），．
正数集合：｛ ，…}；
有理数集合：｛ ，…}；
负数集合：｛ ，…}；
无理数集合：｛ ，…}．
53．把下列各数填在相应的横线上：， ， ，0， ，，，
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
54．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______．
(2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【易错必刷十九 实数概念理解】
55．已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
56．下列判断正确的有（ ）
①平方根与立方根都等于它本身的数为1和0；
②实数包括无理数和有理数；
③有理数和数轴上的点一一对应；
④－是17的平方根；
⑤没有绝对值最小的无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
57．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③是分数；④负数没有平方根．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【易错必刷二十 实数的性质】
58．下列说法正确的是（ ）
A． B．算术平方根和立方根等于本身的数是1
C．的相反数为 D．没有倒数
59．若a，b为实数，且，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
60．已知实数满足，那么的值为（ ）
A．1 B．2023 C．2024 D．2025
【易错必刷二十一 实数与数轴】
61．数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ．
62．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ．
63．如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m．
(1)实数m的值为_______；
(2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值．
【易错必刷二十二 实数的大小比较】
64．比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与．
65．（1）用“”、“”或“”填空： ；
（2）由（1）可知：
① ；
② ；
③ ；
（3）计算（结果保留根号）：
①；
②．
66．已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根．
(1)求a，b，c的值．
(2)比较与的大小．
【易错必刷二十三 无理数的大小估算】
67．关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数 B．面积为12的正方形的边长是
C．在3和4之间 D．在数轴上可以找到表示的点
68．估算的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
69．若，且、为连续正整数，则=
【易错必刷二十四 无理数整数部分的有关计算】
70．设的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
71．的小数部分为的整数部分为b，则 ，
72．已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ．
【易错必刷二十五 实数的混合运算】
73．计算：
(1)
(2)
74．计算：
(1)
(2)．
75．计算∶
(1)
(2)
【易错必刷二十六 程序设计与实数运算】
76．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（ ）
A．4 B． C． D．2
77．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ）
A．如果输入的x为，输出的结果为0
B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数
C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或
D．输出的结果有可能为0
78．如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（ ）

A．2 B． C． D．
【易错必刷二十七 新定义下的实数运算】
79．若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（ ）
A． B． C． D．
80．对于整数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，则和的距离为（　　）
A．2 B．5 C．6 D．7
81．设都是有理数，规定，，则 ．
【易错必刷二十八 实数的实际应用】
82．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ．
83．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
84．（24-25七年级上·全国·课后作业）将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1）
【易错必刷二十九 与实数运算相关的规律题】
85．请观察下列算式，找出规律并填空．
，，，，…．
(1)第10个算式是____________________；
(2)第个算式为____________________；
(3)根据以上规律解答下题：
求的值．
86．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式：
①；②；③；④；…
(1)写出第⑥个等式；
(2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示）
(3)计算：．
87．观察下列各式：
；；；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： ．
(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式；
(3)应用计算：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 实数易错必刷题型专训（87题29个考点）
【易错必刷一 求一个数的算术平方根】
1．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是5
C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1
【答案】A
【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
根据平方根、算术平方根的性质和应用，逐项判定即可．
【详解】解：A、的平方根是，正确，故此选项符合题意；
B、的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、1的平方根是，1的算术平方根都是1，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（1）的算术平方根是 ；
（2）的算术平方根是 ．
【答案】 2 /
【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求得答案．
（2）根据算术平方根的定义即可求得答案．
【详解】解：（1）的算术平方根是2；
（2）的算术平方根是．
故答案为：2；．
3．若，则 ．
【答案】或1
【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
根据算术平方根等于它本身的数有0和1解答即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得或，
故答案为：或1．
【易错必刷二 利用算术平方根的非负性解题】
4．已知：，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根及偶次幂的非负性，根据算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后求得的值．
【详解】解：∵，
∴，，
则，，
那么，
故答案为：．
5．已知：，则的值为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了乘方、算术平方根的非负性、代数式的值，熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵
∴，
∴
解得，，，
∴．
故答案为：7．
6．实数a，b满足，求的算术平方根．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性可得，，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴的算术平方根为：，
故答案为：．
【易错必刷三 估计算术平方根的取值范围】
7．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（ ）
A．之间 B．之间 C．之间 D．之间
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解．
【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地，
∴这块菜地的边长为，
∵，
∴，即，
∴估计这块菜地的边长在之间，
故选：B．
8．估算的大小应在（ ）
A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间
【答案】A
【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案．
【详解】解：，，
∴，
故选：A．
9．若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ．
【答案】10（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解．
【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间，
∴，即，
∴，
故答案为：10（答案不唯一）．
【易错必刷四 求算术平方根的整数部分和小数部分】
10．已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可．
【详解】解：由题意得：，
，．
，
．
．
．
的平方根是．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键．
11．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可；
【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是，
∴，，
∴，．
∵是的整数部分，，
∴．
∴．
∵的平方根是．
∴的平方根为．
【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．
12．已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴9的平方根是；
故答案为．
【易错必刷五 与算术平方根有关的规律探索题】
13．已知，，则是的 倍．
【答案】100
【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的移位规律是解本题的关键．根据算术平方根的定义可知：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，则其算术平方根的小数点向相同的方向移动1位，从而可以解答．
【详解】解：，，
是8.73的10倍，
是的100倍．
故答案为：100．
14．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据即可求解．
【详解】解：
故答案为：
15．观察下表后回答问题：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
（1）表格中 ， ；
（2）根据你发现的规律填空：
①已知，则 ， ；
②已知，则 ．
【答案】 0.1 10 17.32 0.01732 560
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义，是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义，求解即可；
（2）根据被开方数中的小数点每移动2位，算术平方根的小数点相应的移动1位，计算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：0.1，10；
（2）①，．
故答案为：17.32；0.01732；
②．
故答案为：560．
【易错必刷六 算术平方根的实际应用】
16．小鹿有一块长方形的彩色卡纸，卡纸的长宽之比为，其面积为，则卡纸的周长是 ．
【答案】70
【分析】本题考查了算术平方根，设长方形纸片的长为，宽为，依题意得出方程，求出长方形的长和宽，即可求出周长．
【详解】解：设卡纸的长为，宽为，
∴，得，
∴（负值不符合题意，已舍去），
∴，，
∴卡纸的周长是（）．
故答案为：70．
17．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有 （精确到1秒）．
【答案】14秒/
【分析】本题考查实数运算，理解算术平方根的意义是解答关键，将代入进行计算即可．
【详解】解：当时，，
∴
∵，解得（秒），
故答案为：14秒．
18．如图，有一张长宽比为的长方形纸片，面积为．
(1)分别求长方形纸片的长和宽；
(2)小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由．
【答案】(1)长方形纸片的长和宽分别是，；
(2)她不能裁出符合要求的长方形.见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用．
（1）设长方形的长为，宽为，再利用长方形的面积公式，列出方程，即可求出结论；
（2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据新纸片的面积，即可得出关于a的方程，利用平方根得出a的值，然后计算出长宽，即可得出结果．
【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：（负值舍去），
∴，．
答：长方形纸片的长和宽分别是，；
（2）解：不能，理由如下：
设长方形纸片的长为，则宽为，
根据题意得：，
解得：（负值舍去），
∴，，
∴她不能裁出符合要求的长方形.
【易错必刷七 平方根概念理解】
19．下列正确的是（　　）
A．6是36的算术平方根，即
B．6是的算术平方根，即
C．是49的平方根，即±
D．是4的平方根，即
【答案】B
【详解】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意；
B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意；
C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意；
D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意．
故选：B．
20．若是的平方根，是的算术平方根，则（ ）
A． B．17 C．或17 D．或7
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根的定义求出m、n的值，然后代入即可求解．
【详解】解：∵是的平方根，是的算术平方根，
∴，，
当，时，；
当，时，；
综上，的值为或17，
故选：C．
21．若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根．熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，是解决问题的关键．
根据平方根性质，列方程解方程即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴．
故答案为：．
【易错必刷八 求一个数的平方根】
22．的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查求一个数的平方根，由可得结论．
【详解】解：∵，
∴的平方根是，
故答案为：．
23．计算：（1） ；（2） ．
【答案】 5 13
【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟练掌握平方根的定义，两式利用平方根定义化简即可得到结果．
【详解】解：（1）；
（2）．
故答案为：（1）5；（2）13
24．若，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，平方根，解一元一次方程；熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】解：因为，
所以，，
所以，，
解得，，
所以，
故的平方根为．
故答案为：．
【易错必刷九 求代数式的平方根】
25．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将等式两边平方即可求出，然后根据完全平方公式和平方根的定义即可求出结论．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】此题考查的是完全平方公式和求平方根，掌握完全平方公式的特征和平方根的定义是解决此题的关键．
26．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得：，，
则，
故的平方根为：．
故答案为：．
27．若，则= ．
【答案】
【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解．
【详解】解：∵，
∴，或，
∵，，
∴，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键．
【易错必刷十 已知一个数的平方根求这个数】
28．若一个正整数的两个平方根为与，则这个数是 ．
【答案】25
【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出x的值，从而求出这个数．
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
∴，
∴这个数是，
故答案为：．
29．已知的平方根为，已知的平方根为，则的算术平方根是 ．
【答案】5
【分析】此题考查了平方根、算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根的性质，从而完成求解．
根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值，根据代数式的性质计算，即可完成求解．
【详解】解：∵的平方根为，
∴，
∴
∵的平方根为，
∴，
∴，
∴，
∴
∴的算术平方根为5．
故答案为：5．
30．若一个正数a的两个平方根分别是和．
(1)求a和b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)的平方根为
【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
（1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可；
（2）先求出的值，再求出其平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
又25的平方根是，
∴的平方根为．
【易错必刷十一 利用平方根解方程】
31．计算：
(1)．
(2)
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用平方根的定义求解即可；
（2）先将前的系数化1，再利用平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：
或，
解得：或；
（2）解：
或，
解得：或．
32．解方程．
(1)．
(2)
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了利用平方根解方程，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
（1）根据平方根的性质，直接开平方求解即可；
（2）根据立方根的性质，直接开立方求解即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
两边同除以3得：，
两边开方得：或；
（2）解：，
移项得：，
两边同除以3得：，
两边开方得：或
33．解方程：．
【答案】或
【分析】此题主要考查了利用平方根解方程，正确开平方法是解题关键．
移项后等式两边同时开平方法解方程即可得出答案．
【详解】解：，
移项得，
开平方得，
解得：或．
【易错必刷十二 平方根的应用】
34．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】能，理由见解析
【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果．
【详解】解：能，理由如下：
∵正方形贺卡的面积为，
∴正方形的边长为，
设长方形的信封的长为，宽为，依题得：
，
即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．
35．如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．
根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解．
【详解】解：∵空白部分面积之和为，
∴
∴
则
∵
∴
36．勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？

【答案】
【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果．
【详解】解：根据题意，得，
解得（不符合题意，舍去）．
故的长度为．
【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
【易错必刷十三 立方根概念理解】
37．下列说法正确的有（ ）
①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数．
A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④
【答案】C
【分析】考查了平方根、立方根的定义及其表示方法， ①根据一对相反数的立方根仍是一对相反数即可判定；②分别求出64的立方根与平方根，然后即可判定；③理清非负数平方根的表示方法；实数立方根的表示方法即可判定；④考虑数0即可判定．
【详解】解：①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故说法①正确；
②64的立方根是4，故说法②错误；
③表示a的算术平方根，故说法③错误；
④，则不一定是负数，故说法④正确；
故选：C．
38．下列说法正确的有（ ）
①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；
③平方根与立方根相等的数有0和1；
④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤
【答案】D
【分析】本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键；因此此题可根据平方根、立方根及算术平方根的概念可进行求解．
【详解】解：①正数的两个平方根的和等于0，说法正确；
②实数都有一个立方根，说法正确；
③平方根与立方根相等的数有0，原说法错误；
④，3的算术平方根为，故原说法错误；
⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数，说法正确；
故选D．
39．下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误；
②负数有立方根，该选项说法错误；
③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确；
④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误；
∴正确的说法有个，
故选：．
【易错必刷十四 求一个数的立方根】
40．小鹿整理了如下组关于，的数据：
根据以上数据，若设的整数部分为，则的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根的整数部分的相关计算是解题的关键．
【详解】解：根据表中数据可知：的算术平方根是，的算术平方根是，
且，
故，
即的整数部分是，
∴；
故的立方根为：．
故选：B．
41．若，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．15
【答案】A
【分析】本题考查非负性，求一个数的立方根，根据非负性求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选A．
42．若非零实数x，y满足，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算以及相反数．根据和为0的两个数互为相反数，可得，从而得结论．
【详解】解：∵非零实数x，y满足，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【易错必刷十五 已知一个数的立方根求这个数】
43．已知，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根的定义得出，进而求平方根即可．
【详解】解：，
，
，
的平方根为．
故答案为：．
44．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根定义先求出x、y值，再代入计算即可．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：．
45．已知，的立方根是2．
(1)求的算术平方根；
(2)求的立方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根及立方根的定义求得，的值，然后将其代入中计算后，再根据算术平方根的定义即可求得答案；
（2）将，的值代入中计算后，再根据立方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，算术平方根及立方根，结合已知条件求得，的值是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，的立方根是2
，，
解得：，，
则；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
则，
即的立方根为．
【易错必刷十六 立方根的实际应用】
46．小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的应用，根据球的体积公式，可得答案．
【详解】解：设铅球的半径为，
∵铅球的体积（），
∴，
解得，
∴铅球的半径为．
47．这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长．
【答案】
【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决．
【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为，
∵长方体铁坯的长为，宽为，高为，
∴，
∴，
解得，
∴加工后正方体铁块的棱长为．
48．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
(1)求乙正方体纸盒的体积．
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键．
（1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可；
（2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可．
【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为，
∴甲正方体纸盒的边长为，
∴甲正方体纸盒的体积为：，
∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，
∴乙正方体纸盒的体积为．
（2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的，
∴丙正方体的体积为：，
∴丙正方体纸盒的棱长为．
【易错必刷十七 算术平方根和立方根的综合应用】
49．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．
… …
… …
… …
(1)表格中的______，______．
(2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________．
(3)若，求的值．
（参考数据：）
【答案】(1)80；
(2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解．
（2）仿照算术平方根的规律探索即可．
（3）根据发现的规律计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
故．
∵，
∴，
故
故答案为：80，．
（2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．
（3）根据平方根的变化规律得：
，
，
．
根据立方根的变化规律得：
，
，
，
．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键．
50．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… …
(1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ；
(2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ；
(3)已知则 ， ．
(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？
【答案】(1)倍
(2)；
(3)；
(4)能直接说出，不能直接说出的值
【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致；
（2）根据规律进行计算即可求解；
（3）根据规律进行计算即可求解；
（4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．
【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍,
故答案为：倍．
（2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；，
故答案为：；．
（3）∵
∴；
（4）解：∵，
∴，不能直接说出的值
【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
51．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___．
(3)类比上述立方根运算：已知，则___，___．
【答案】(1)右；一；
(2)0.235；23.5；
(3)19.13；191.3
【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
【详解】（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．
故答案为：右，一；
（2）∵2.35，
∴0.235，23.5，
故答案为：0.235，23.5；
（3）在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵1.913，
∴19.13，191.3．
故答案为：19.13，191.3．
【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．
【易错必刷十八 实数的分类】
52．请将下列各数分别填入相应的括号内：
（每两个6之间的5依次多一个），．
正数集合：｛ ，…}；
有理数集合：｛ ，…}；
负数集合：｛ ，…}；
无理数集合：｛ ，…}．
【答案】；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个）
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
根据无理数和有理数的定义即可解答．
【详解】解：，
正数集合：；
有理数集合：；
负数集合：（每两个6之间的5依次多一个），；
无理数集合：（每两个6之间的5依次多一个）．
故答案为： ；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个）．
53．把下列各数填在相应的横线上：， ， ，0， ，，，
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
【答案】，0，；，；，
【分析】本题主要考查了实数的分类，先求出算术平方根，立方根，然后按照各自的定义分类即可．
无限循环小数或有限小数是有理数；无限不循环小数是无理数．
【详解】解：，，
整数：，0，；
负分数：，；
无理数：，；
故答案为：，0，；，；，
54．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______．
(2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【答案】(1)甲
(2)见解析
【分析】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键．
（1）根据无理数的概念即可判断；
（2）根据实数相关概念填空即可．
【详解】（1）解：是有理数，和是无理数，
说错的是甲，
故答案为：甲；
（2），，
【易错必刷十九 实数概念理解】
55．已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键．
根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得．
【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误；
任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确；
实数与数轴上的点一一对应，故③项正确；
整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，
∴无理数也有无限个，故④项错误．
∴正确的是②③．
故选：B．
56．下列判断正确的有（ ）
①平方根与立方根都等于它本身的数为1和0；
②实数包括无理数和有理数；
③有理数和数轴上的点一一对应；
④－是17的平方根；
⑤没有绝对值最小的无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】利用平方根及立方根定义，实数等有关概念分别分析得出答案．
【详解】①平方根与立方根都等于它本身的数是0，故①错误；
②实数包括有理数、无理数，故②正确；
③实数和数轴上的点一一对应，故③错误；
④－是17的平方根，故④正确；
⑤没有绝对值最小的无理数，故⑤正确．
综上，正确的个数有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数，平方根及立方根定义，正确把握相关定义是解题关键．
57．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③是分数；④负数没有平方根．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据实数的定义，无理数和有理数的定义分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①不正确，实数与数轴上的点一一对应；
②不正确，如π，3.010 010 001…是无理数；
③不正确，是无理数；
④正确．故正确的只有1个．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的定义，无理数和有理数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断．
【易错必刷二十 实数的性质】
58．下列说法正确的是（ ）
A． B．算术平方根和立方根等于本身的数是1
C．的相反数为 D．没有倒数
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义逐个判断即可．
【详解】解：A、没有意义，故选项不正确；
B、算术平方根和立方根等于本身的数是0、1，故选项不正确；
C、的相反数为，故选项正确；
D、的倒数是，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、倒数的意义，熟练掌握相关概念是解决本题的关键．
59．若a，b为实数，且，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解，
本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，，
∴，
故选：．
60．已知实数满足，那么的值为（ ）
A．1 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，实数的性质，代数式求值，根据被开方数要大于等于0得到，据此化简绝对值推出，进而得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【易错必刷二十一 实数与数轴】
61．数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先画出图形，再求出的长，然后根据数轴的性质求解即可得．
【详解】解：由题意，画出数轴如下：
∵数轴上点表示的数是，点表示的数是，
∴，
∵点分别位于点的两侧，且到点的距离相等,
∴，
∴点表示的数是，
故答案为：．
62．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为2，
∴，
又∵点在点的右边，
∴点所表示的数为，
故答案为：．
63．如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m．
(1)实数m的值为_______；
(2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键．
（1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值；
（2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为，
∴，
故答案为：；
（2）解：因为与互为相反数，
所以，
因为与均为非负数，
所以，
所以，
所以原式．
【易错必刷二十二 实数的大小比较】
64．比较下列各组数的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．
（1）利用作差法比较即可；
（2）利用作差法比较即可．
【详解】（1）解：因为，
所以；
（2）解：因为，且，
所以，即，
所以．
65．（1）用“”、“”或“”填空： ；
（2）由（1）可知：
① ；
② ；
③ ；
（3）计算（结果保留根号）：
①；
②．
【答案】（1）（2）①②③（3）①②
【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算：
（1）平方法比较大小即可；
（2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可；
（3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴①；
②；
③；
故答案为：①②③；
（3）①原式；
②原式．
66．已知在两个连续的自然数和之间，是的一个平方根．
(1)求a，b，c的值．
(2)比较与的大小．
【答案】(1)，或，
(2)当时，；当时，．
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，根据平方根求原数：
（1）根据无理数的估算方法求出的范围即可求出a、c的值，根据平方根的定义即可求出b的值；
（2）根据（1）所求先求出的结果，再根据实数比较大小的方法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵在两个连续的自然数和之间，
∴或
∵是的一个平方根，
∴；
∴，或，；
（2）解：当，时，，
∵，
∴，
∴；
当时，．
【易错必刷二十三 无理数的大小估算】
67．关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数 B．面积为12的正方形的边长是
C．在3和4之间 D．在数轴上可以找到表示的点
【答案】A
【分析】此题考查了无理数、算术平方根、无理数的估算、实数与数轴等知识．根据相关知识逐项进行判断即可．
【详解】A. ，是无理数，故选项错误，符合题意；
B. 面积为12的正方形的边长是，故选项正确，不符合题意；
C. 由得到，故选项正确，不符合题意；
D. 在数轴上可以找到表示的点，故选项正确，不符合题意；
故选：A
68．估算的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
先估算出的值的范围，然后再估算出的值的范围即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴的值在3到4之间．
故选：B．
69．若，且、为连续正整数，则=
【答案】
【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，为两个连续整数，
∴，，
∴．
故答案为：．
【易错必刷二十四 无理数整数部分的有关计算】
70．设的整数部分是a，小数部分是b，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
71．的小数部分为的整数部分为b，则 ，
【答案】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可．
【详解】解：，
，
的整数部分是1，小数部分是，即，
，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分是，即，
，
故答案为：，．
72．已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ．
【答案】 9
【分析】本题主要考查了无理数的估算、无理数的小数部分等知识点，正确估算成为解题的关键．
先利用估算以及已知条件可得，进而确定以及的小数部分．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴的小数部分是．
故答案为：9，．
【易错必刷二十五 实数的混合运算】
73．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算：
（1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
74．计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键，
（1）利用负数指数幂、开立方、平开方对各项进行化简，再计算即可得到答案；
（2）利用开平方、去绝对值、开立方对各项进行化简，再计算即可得以答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
75．计算∶
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)2
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值，乘方，零指数幂的运算方法是解题的关键，
（1）先进行绝对值，乘方，零指数幂开方的运算，再进行加减计算即可得到答案；
（2）先进行绝对值和乘法运算，再进行加减计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【易错必刷二十六 程序设计与实数运算】
76．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，理解“数值转换机”，根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：当时，是整数，不是无理数；
当时，是整数，不是无理数；
当时，是无理数，
∴输出的的值为，
故选：B．
77．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ）
A．如果输入的x为，输出的结果为0
B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数
C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或
D．输出的结果有可能为0
【答案】C
【分析】本题考查了代数式和实数的运算，理解题中程序图的含义是解题的关键．
根据选项依次输入计算判断即可．
【详解】解：A、输入的x为时，，
∴，
∴，正确，不符合题意；
B、当输入的无理数为：时，，
∴，
∴，为有理数，正确，不符合题意；
C、当输入的x是1012时，输出，
当输入的x是时，，
∴，
∴，故选项错误，符合题意；
D、由选项A得，当x为，输出的结果为0，正确，不符合题意；
故选：C．
78．如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，读懂程序框图的走向是解题关键．依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值．
【详解】解：的算术平方根是8，是有理数，
取的立方根为，是有理数，
取的算术平方根为，是无理数，即可输出，
输出的值是．
故选：B．
【易错必刷二十七 新定义下的实数运算】
79．若实数a，b满足，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可．
【详解】∵
∴与是关于6的“如意数”．
故选：A．
80．对于整数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，则和的距离为（　　）
A．2 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】此题考查了无理数的估算和新定义，先估算出的范围，再根据新定义得到，，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
则，
则和的距离为6，
故选：C．
81．设都是有理数，规定，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义首先计算括号内的，然后根据新定义即可求解．
【详解】由题意可知，，
，
故答案为：．
【易错必刷二十八 实数的实际应用】
82．设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ．
【答案】或1/1或
【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值．
【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式，
∴，，
解得：，，
则或．
故答案为：或1．
83．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
【答案】(1)
(2)该座钟大约发出了420次滴答声
【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可；
（2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，；
（2）（次）．
答：该座钟大约发出了420次滴答声．
【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键．
84．将一个半径为10cm的圆柱体容器里的药液倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？（结果精确到0.1）
【答案】17.7cm
【分析】由题意得，圆柱体和长方体里面的药液是一样的，所以体积相同，根据高度一样，结合体积公式可得两个容器底面积相等，列出式子求出即可．
【详解】解：由题意得两个容器底面积相等，所以体积相同，再根据体积公式可得两个容器的底面积相等，即正方形面积为π×102＝100π
设长方体容器底面边长为x
∴x2=100π
∴x==
长方体容器底面边长为≈17.7cm．
答：长方体容器的底面边长约为17.7cm．
【点睛】本题主要考查了实数的实际应用，能够得出底面积相等，列出方程，准确的解出方程是解决本题的关键．
【易错必刷二十九 与实数运算相关的规律题】
85．请观察下列算式，找出规律并填空．
，，，，…．
(1)第10个算式是____________________；
(2)第个算式为____________________；
(3)根据以上规律解答下题：
求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由所给示例即可求解；
（2）由所给示例即可总结规律；
（3）由（2）中所得结论即可求解．
【详解】（1）解：由示例可得：；
故答案为：
（2）解：
故答案为：
（3）解：原式．
【点睛】本题考查实数运算中的规律问题．旨在考查学生的抽象概括能力和运算能力．
86．观察下列算式：
①；②；③；④；…
(1)写出第⑥个等式；
(2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示）
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可；
（2）通过观察可得第个等式为；
（3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可．
【详解】（1）解：第⑥个等式为，
故答案为：；
（2）第个等式为，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键．
87．观察下列各式：
；；；
请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
(1)猜想： ．
(2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式；
(3)应用计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据提供的解法可得答案；
（2）根据规律推广至一般情况即可；
（3）利用上述规律方法解答即可．
【详解】（1），
故答案为：，；
（2）由上述规律可得，
；
（3）．
【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质化简，找到规律是解题的关键．
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