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专题 实数及其简单运算重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）
题型一 无理数的基本概念
题型二 无理数的大小估算
题型三 无理数整数部分的有关计算
题型四 实数概念理解
题型五 实数的分类
题型六 实数的性质
题型七 实数与数轴
题型八 实数的大小比较
题型九 实数的混合运算
题型十 程序设计与实数运算
题型十一 新定义下的实数运算
题型十二 实数运算的实际运用
题型十三 与实数运算相关的规律题
知识点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
知识点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【经典例题一 无理数的基本概念】
【例1】在实数：，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数．求出，根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：在实数：，，，，，中，无理数有，，共2个．
故选：B
1．关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数 B．面积为12的正方形的边长是
C．在3和4之间 D．在数轴上可以找到表示的点
【答案】A
【分析】此题考查了无理数、算术平方根、无理数的估算、实数与数轴等知识．根据相关知识逐项进行判断即可．
【详解】A. ，是无理数，故选项错误，符合题意；
B. 面积为12的正方形的边长是，故选项正确，不符合题意；
C. 由得到，故选项正确，不符合题意；
D. 在数轴上可以找到表示的点，故选项正确，不符合题意；
故选：A
2．在实数，0.1414，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数有 个．
【答案】4
【分析】本题考查无理数的判断，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可．
【详解】解：，
实数，0.1414，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数有，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，共4个；
故答案为：4．
3．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，…，，．
有理数集合：｛ …｝；
无理数集合：｛ …｝；
正实数集合：｛ …｝；
负实数集合：｛ …｝；．
【答案】见解析
【分析】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，掌握以上知识是解此题的关键；
根据实数的定义及其分类解答，即可求解；
【详解】解：有理数：有理数是指能够表示为两个整数之比的数，其中分母不能为，这两个整数可以是任意整数，包括正整数、 负整数和零（但分母不能为零），有理数包括了所有的整数、有限小数和无限循环小数；
无理数：无限不循环小数又叫无理数，注意：①无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，②无限循环小数是有理数，可以化成分数，无限不循环小数是无理数；
正实数：正实数是大于的所有实数，不包括 ，正实数包括正整数和正分数；
负实数：负实数是指小于零的实数，包括负有理数和负无理数 ；
根据有理数、无理数、正实数和负实数定义可得：
有理数集合：，
无理数集合：，
正实数集合：，
负实数集合：
【经典例题二 无理数的大小估算】
【例2】根据如表估计 （精确到）．
【答案】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解答本题的关键．
根据表格可得，从而可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
1．正整数a、b分别满足、，则 ．
【答案】16
【分析】此题考查了无理数的估算和代数式值，根据无理数的估算得到，代入即可求出答案．
【详解】解：∵a，b为正整数，、，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：16．
2．已知是25的算术平方根，是的立方根，求小于的最大整数．
【答案】2
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键．根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，再计算，最后根据无理数的估算计算即可．
【详解】解：∵是25的算术平方根，
，
，
∵是的立方根，，
∴，
，
∴，
∵，
∴小于的最大整数2．
3．规定无理数m的整数部分记为，小数部分记为，例如：．请根据上面的规定解答以下两题：
(1)_______；_______．
(2)求的平方根．
【答案】(1)3；
(2)
【分析】本题考查了估算无理数的大小，求一个数的平方根．解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算．
（1）先根据无理数的大小估算办法估算即可．
（2）先根据无理数的大小估算办法估算，然后再计算实数的混合运算，最后再求平方根即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以
（2）解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以的平方根为．
【经典例题三 无理数整数部分的有关计算】
【例3】已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ．
【答案】1
【分析】本题考查无理数的估算．利用无理数的估算求得，的值后代入中，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴的小数部分，
∵，
∴，
∴的小数部分，
∴，
∴的立方根是．
故答案为：．
1．如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较 ．（填“”或“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出的整数部分是3，即可解答求解．
【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为，
根据题意得：，
即，
∴（负值舍去），
∵，即，
∴的整数部分是3，
∴，
∴，
故答案为：．
2．【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是．
【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求：
(1)的值；
(2)的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小．
（1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值；
（2）根据平方根即可解答．
【详解】（1）解：，
即，
，
∴的整数部分是，的小数部分是，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
的平方根是．
3．【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是 ；的小数部分是 ；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【答案】(1)3，
(2)2
【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
（1）先估算的大小，从而求出整数部分，再估算的大小，利用不等式的基本性质估算的大小，从而求出答案即可；
（2）先估算的大小，求出其小数部分a的值，再估算的大小，求出其整数部分b的值，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分是3，
∵，
∴，
∴，即，
∴的整数部分是1，小数部分是，
故答案为：3，；
（2）解：∵，
∴的整数部分是2，小数部分是，
∴，
∵，
∴的整数部分，
∴．
【经典例题四 实数概念理解】
【例4】已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键．
根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得．
【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误；
任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确；
实数与数轴上的点一一对应，故③项正确；
整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，
∴无理数也有无限个，故④项错误．
∴正确的是②③．
故选：B．
1．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．
【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2．关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．有无数个取值
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解．
【详解】解：①当时，
，
，
当时，，只有一个实数根，不符合题意；
当时，解得：，
左边，右边，
此时方程有无数个解，符合题意；
②当时，
，
，
当时，，只有一个实数根，不符合题意；
当时，解得：，
左边，右边，
此时方程有无数个解，符合题意；
综上：实数的值为1或，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
3．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ．
【答案】256
【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可．
【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2，
第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为，
第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为，
第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为，
∴符合题意，
故答案为：256．
【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键．
【经典例题五 实数的分类】
【例5】已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号）
【答案】，，
【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数和无理数的定义，求一个数的算术平方根等知识点，熟练掌握实数的分类及有理数和无理数的定义是解题的关键．
根据有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数进行分类即可．
【详解】解：，
由题意可得，
整数有：，
分数有：，
无理数有：，
故答案为：，，．
1．下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ．
【答案】 6，0 ， ，（每两个9之间依次多一个0）
【分析】本题考查实数的分类及定义，根据实数的分类及定义即可求得答案．
【详解】解：属于整数集合的有6，0；
属于负分数集合的有，；
属于无理数的有，（每两个9之间依次多一个0）；
故答案为：6，0；，，（每两个9之间依次多一个0）．
2．把下列各数分别填入相应的集合里：
，（每两个2之间依次增加一个1），，．
正有理数集合：｛ …}；
负有理数集合：｛ …}；
正无理数集合：｛ …}
负无理数集合：｛ …}．
【答案】；；，（每两个2之间依次增加一个1）；．
【分析】本题考查了实数，根据实数的分类，逐一判断即可解答，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，，
正有理数集合：；
负有理数集合：；
正无理数集合：，（每两个2之间依次增加一个1），；
负无理数集合：．
3．阅读下列材料，解决相关任务：
祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．
例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
任务：
(1)约率是（ ）
A．无理数 B．有限小数 C．整数 D．有理数
(2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数．
【答案】(1)D
(2)
【分析】本题考查了无理数的估算，读懂题意是解本题的关键．
（1）是正分数，是有理数；
（2）根据“调日法”的计算规则，计算求值即可．
【详解】（1）解：是正分数，是有理数．
故选：D；
（2）解：，
首次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为．
且，
，
再次利用“调日法”后得到的一个更为精确的近似分数为，
的近似分数为．
【经典例题六 实数的性质】
【例6】若a，b为实数，且，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解，
本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，，
∴，
故选：．
1．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，
，，
，
故选：B．
2．已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，
∴，，，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
3．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)
(2)
(3)的相反数为
【分析】本题考查了无理数的估算，相反数等知识．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．
（1）由，即可得的整数部分与小数部分；
（2）由，则可得的小数部分为a，同理可得的整数部分为b，代入则可求得值；
（3）估算出的整数部分与小数部分，则得到x与y的值，从而可求得的相反数．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为4，的小数部分为；
故答案为：4；；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为2，小数部分为；
∵，
∴，
∴的整数部分为；
∴；
（3）（3）∵，
∴，
即的整数部分为11，小数部分为，
∴，
∴，
∵的相反数为，
∴的相反数为．
【经典例题七 实数与数轴】
【例7】如下图，一只蜗牛从点A沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B，点A表示．
设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值为______；
(2)求的值；
(3)若在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根．
【答案】(1)
(2)
(3)的立方根为2
【分析】本题考查数轴，非负数及二次根式的运算，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义．
（1）通过，在数轴上表示的数进行运算．
（2）化简绝对值进行运算．
（3）根据非负数的意义进行解答．
【详解】（1）解：点在点右侧2个单位处，
点所表示的数为：，即．
故答案为：．
（2）解：，则，，
；
的值为2．
（3）解：与互为相反数，
，
，且，
解得：，，
，
的立方根为2．
1．a，b两数在数轴上对应的点的位置如下图所示．
(1)在数轴上标出，对应的位置，并将a，b，，用“”连接起来；
(2)化简：．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值以及整式的加减，理解绝对值的意义和掌握整式加减的计算方法是得出正确答案的关键．
（1）在数轴上标出、的位置，即可用“”号将a，b，，连接起来；
（2）判断，，再化简即可．
【详解】（1）如图所示．
由数轴上各数对应的位置，得．
（2）因为，
所以，
所以．
2．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．若该圆片从原点沿数轴向右滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点处，设点表示的数为．（所有结果均保留）．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根，熟练掌握实数与数轴的性质是解题关键．
（1）先求出这个圆片的周长，再根据实数与数轴的性质求解即可得；
（2）将（1）的结果代入，先计算立方根，再计算算术平方根即可得．
【详解】（1）解：由题意得：这个圆片的周长为，
∵圆片上的点与数轴上的原点重合．该圆片从原点沿数轴向右滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点处，
∴点表示的数为．
（2）解：由（1）已得：，
∴
，
∴的算术平方根为．
3．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形．
(1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间；
(2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数；
(3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合．
【答案】(1)的长在2和3之间
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键．
（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围；
（2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数；
（3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：，
∴边长为：，
∵，
∴，
∴的长在2和3之间；
（2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：；
（3）解：设点D与数对应的点重合，
由题意得：，
解得：，
∴点D与数对应的点重合．
【经典例题八 实数的大小比较】
【例8】（1）用“”、“”或“”填空： ；
（2）由（1）可知：
① ；
② ；
③ ；
（3）计算（结果保留根号）：
①；
②．
【答案】（1）（2）①②③（3）①②
【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算：
（1）平方法比较大小即可；
（2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可；
（3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴①；
②；
③；
故答案为：①②③；
（3）①原式；
②原式．
1．某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上．
(1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示．
(2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查用数轴上的点表示无理数，无理数的比较大小；
（1）根据题意作出即可；
（2）以为圆心，为半径作弧，则可表示，然后以原点为圆心，为半径作弧表示，然后利用数轴上右边的数大于左边的数解题即可．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）如图所示，
∵在数轴右边的数总比左边的数大，
∴．
2．现有四个实数：①，②，③，④
(1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：_________；无理数：__________．
(2)请在数轴上近似表示出以上四个实数．
(3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
________________________
【答案】(1)①④；②③
(2)见解析
(3)，，，
【分析】本题考查了数轴，实数比较大小，实数的分类，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据有理数和无理数的概念求解即可；
（2）根据数轴的特点把数据表示在数轴上即可；
（3）根据（2）中的数轴上的数据，按从左往右的顺序用“”连接即可．
【详解】（1）解：，
有理数是①④；无理数是②③；
故答案为：①④；②③；
（2）各数在数轴上表示如下：
（3）各数用“”连接为：，
故答案为：，，，．
3．如图1，正方形的面积为4，连结各边中点，得到一个新的正方形．
(1)求出图1中正方形的面积及其边长；
(2)如图2，把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A落在数轴上表示的点处，现正方形分别做以下运动：
①将正方形绕点A顺时针旋转至边与数轴重合，假设此时点B所表示的数为m；
②将正方形沿数轴正方向移动2个单位，假设此时点A所表示的数为n．
试求m，n的值并比较m与n的大小．
【答案】(1)正方形的面积为2，边长为；
(2)，，．
【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握实数与数轴是解题的关键；
（1）先根据算术平方根的应用求出正方形的边长，再根据面积公式求出面积；
（2）①由数轴及（1）可得此时点B所表示的数为m的值，②根据数轴的特点得出n的值，然后再比较大小即可．
【详解】（1）解：∵正方形的面积为4，
∴，，
∴A、B、C、D为各边的中点，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
∴正方形的边长为；
（2）解：①由数轴及（1）可得：，
②，
∵，
∴，
∴．
【经典例题九 实数的混合运算】
【例9】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值的性质和立方根、平方根的定义是解题关键．
（1）先根据绝对值的性质，算术平方根及立方根的定义进行化简，再合并即可；
（2）根据算术平方根和立方根的定义及绝对值的性质进行化简，再计算即可．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式
．
1．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，立方根，算术平方根，正确计算是解题的关键：
（1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根，立方根，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了实数的混合运算．
（1）利用算术平方根、立方根的法则计算即可；
（2）利用算术平方根、绝对值的法则计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
3．求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算．
（1）先计算立方根，算术平方根，再计算即可；
（2）先计算立方根，算术平方根，再计算即可．
【详解】（1）解：解：原式
；
（2）解：原式
．
【经典例题十 程序设计与实数运算】
【例10】有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值．
(2)若输出的值为，求输入的值．
【答案】(1)当时，；当时，；当时，
(2)3或9
【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可；
（2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．
【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故；
当时，其算术平方根为2，是有理数，故；
当时，其算术平方根为4，是有理数，故；
（2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是，
∴，
当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是，
∴，
综上所述，的值为3或9．
【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键．
1．小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程序．

按照上述运算程序，当时， ．
【答案】/
【分析】本题考查实数的运算，根据运算程序确定出输出结果即可．掌握相应的运算法则是解题的关键．
【详解】解：当时，
得：，
∴．
故答案为：．
2．如图是一个按运算规则进行的数值转换器：
（1）若输入的x为16，则输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ；
（3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ．
【答案】 0或1 5，25（答案不唯一）
【分析】此题考查了算术平方根、实数的分类．熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．
（1）由，，即可得到答案为；
（2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答；
（3）根据题意写出两个满足要求的x值，如25和5，即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴输入的x为16，输出的y值是；
故答案为：
（2）∵1和0的算术平方根还等于它本身，
∴输入0或1后，始终输不出y值，
故答案为：0或1；
（3）∵，5的算术平方根是，
∴两个满足要求的x值可以是25或5．
故答案为：5，25（答案不唯一）．
3．下图是一个数值转换机

(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______．
(3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______．
【答案】(1)；
(2)和1；
(3)5和25．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值；
（3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可．
【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：
（2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
当和1时，始终输不出的值，
故答案为：和1；
（3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
当和5时，输出的y是，
故答案为：5和25．
【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
【经典例题十一 新定义下的实数运算】
【例11】新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．
(1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______；
(2)实数满足关系式，求的“青一区间”．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查无理数的估算，理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．
（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）解：因为，
所以，
即，
所以，所以．
因为，所以的“青一区间”为．
1．定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：．
(1)_______；
(2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率．
（1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案．
（2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
故答案为：．
（2）解：∵，，，
∴，，即对255经过了3次运算后结果为1，
故答案为：3．
2．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出所有满足题意的的整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】（1）2；45；（2），2，3；（3）255
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果；
（2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，，
，；
（2），，且，
，2，3；
（3）第一次：，
第二次：，
第三次：，
∴对100连续求根整数，3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵，，，，
∴，，，
对255只需进行3次操作后变为1，
∵，，，，
对256只需进行4次操作后变为1，
只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ．
（2）若，写出满足题意的的整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为．
（3）对连续求根整数， 次之后结果为．
（4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】 ，，
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键．
（1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案；
（2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值；
（3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案；
（4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解．
【详解】解：（1）∵，，，
，
∴，
∴，，
故答案为：，；
（2）∵，且，
∴，
∴满足题意的的整数值为：，，，
故答案为：，，；
（3）第一次：，
第二次：，
第三次：，
故答案为：；
（4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下：
由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，
∵，，
∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，
∵，，
∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，
∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为，
故答案为：．
【经典例题十二 实数运算的实际运用】
【例12】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1)，
(2)圆的周长较小
【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；
（2）求出两种形状的扇子的周长即可．
【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为，
由题意得，，，
，，
故答案为：，；
（2）解：圆形扇的周长为：，
正方形扇的周长为：，，
∴圆的周长较小．
1．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，．
证明：， 为有理数，
是有理数．
为有理数，是无理数，
．
．
．
(1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
(2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，；
(3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)，
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容．
（1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解；
（2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明；
（3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
， 为有理数，
，，
，，
故答案为：，；
（2）证明：，
，
，，， 为有理数，
，都是有理数，
，，
，；
（3）解：，
的整数部分，小数部分，
，
，
，
， 为有理数，
，
解得：，
，．
2．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为．
(1)求该长方形的长宽各为多少
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗 并说明理由．
【答案】(1)长方形的长30米，宽20米
(2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析
【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案；
（2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．
【详解】（1）解：长方形长宽之比为，
设该长方形花坛长为米，宽为米，
依题意得：，
，
∴或（不合题意，舍去）
，
答：该长方形的长30米，宽20米；
（2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下：
两个小正方形的边长比为，
设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：，
，
，
或（不合题意，舍去）
，
，
所以不能改造出这样两块不相符的实验田．
【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系．
3．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【答案】(1)，，，；
(2)见解析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
【详解】（1）由面积公式，可得
∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．
故答案为：，，，；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键．
【经典例题十三 与实数运算相关的规律题】
【例13】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
（1）根据题干例举的等式，即可答案；
（2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意：；
（2）解：；
（3）解：原式
．
1．先观察等式，再解答问题：
①；②；
③；……
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数）
(3)应用上述结论，请计算的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关．
（1）利用题中等式的计算规律得出结果；
（2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为；
（3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果．
【详解】（1）解：由题意可知，
，
故答案为：，；
（2）解：结合①②③，得：
；
（3）解：．
2．我们来看下面的两个例子：
，，
和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
，
和都是的算术平方根，
而的算术平方根只有一个，所以 （填空）
（1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？
（2）运用以上结论，计算：的值．
【答案】（1）；（2）120
【分析】此题主要考查了实数运算以及算术平方根，正确由特殊值分析式子变化规律是解题关键．
（1）直接利用算术平方根的定义得出答案；
（2）直接利用得出答案．
【详解】解：，
和都是的算术平方根，
而的算术平方根只有一个，所以；
（1）根据题意，当时，
则；
（2）．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律= ；
(2)计算．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键；
（1）通过观察得出规律，根据规律即可解答；
（1）利用规律得出原式为，化简即可．
【详解】（1）根据规律可知，
=1+（n为正整数），
故答案为：1+；
（2）由规律可得，原式
．
1．在实数：，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数．求出，根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：在实数：，，，，，中，无理数有，，共2个．
故选：B
2．如图，数轴上，，，四点所代表的数中减的结果为负数的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．根据无理数的估算可得，则可得在数轴上的位置，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，即，
则将在数轴上表示出来如下：

∴数轴上四点所代表的数中减的结果为负数的有点所代表的数，共有2个，
故选：B．
3．下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．其中正确的个数是（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴、实数的大小比较、无理数的估算、平方根与立方根，熟练掌握实数的性质和立方根的性质是解题关键．根据实数与数轴上的点是一一对应的关系即可判断①错误；根据算术平方根可得，再根据实数的大小比较法则即可判断②正确；根据无理数的估算可得，由此即可判断③正确；根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，解方程求出的值，从而可得的值，根据求解即可判断④正确；根据1的立方根是1即可判断⑤错误．
【详解】解：∵实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，
∴数轴上有一个点表示这个无理数，则说法①错误；
∵，，
∴，则说法②正确；
∵，
∴，即，
∵在两个连续整数和之间，
∴，则说法③正确；
∵正实数的平方根是和，
∴，
解得，
∴，
∴，则说法④正确；
∵，
∴1的立方根是1，则说法⑤错误；
综上，正确的个数是3个，
故选：B．
4．任意实数，可以用表示不超过的最大整数，如，，已知，则下列n的值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据[]的意义可先求得的范围，然后再两边同时平方即可，依据[的意义求得的范围是解题的关键．
【详解】解：表示不超过的最大整数，
，
，
故选：．
5．对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可．
【详解】解：∵，
∴
又∵，即
∵和为两个连续整数，
∴
∴
∴的立方根值为，
故选：D．
6．写出一个比大的整数 ．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较、算术平方根，熟练掌握无理数的估算是解题关键．根据可得，再计算算术平方根可得，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
7．在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ．
【答案】
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个实数的范围．
求出每个实数的范围，再判断即可．
【详解】解：，，，，
则，
，
故介于2和3之间的数有，介于3和4之间的数有．
故答案为：；．
8．若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可．
【详解】解：∵，
，
的整数部分，小数部分，
，
故答案为：，
9．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为2，
∴，
又∵点在点的右边，
∴点所表示的数为，
故答案为：．
10．观察下列等式：
……
则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，…，，．
有理数集合：｛ …｝；
无理数集合：｛ …｝；
正实数集合：｛ …｝；
负实数集合：｛ …｝；．
【答案】见解析
【分析】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，掌握以上知识是解此题的关键；
根据实数的定义及其分类解答，即可求解；
【详解】解：有理数：有理数是指能够表示为两个整数之比的数，其中分母不能为，这两个整数可以是任意整数，包括正整数、 负整数和零（但分母不能为零），有理数包括了所有的整数、有限小数和无限循环小数；
无理数：无限不循环小数又叫无理数，注意：①无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，②无限循环小数是有理数，可以化成分数，无限不循环小数是无理数；
正实数：正实数是大于的所有实数，不包括 ，正实数包括正整数和正分数；
负实数：负实数是指小于零的实数，包括负有理数和负无理数 ；
根据有理数、无理数、正实数和负实数定义可得：
有理数集合：，
无理数集合：，
正实数集合：，
负实数集合：
12．实数和在数轴上对应的点如图所示．
(1)将，，，按从小到大的顺序排列起来；
(2)若实数为8的立方根，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的比较大小，立方根和算术平方根；
（1）根据数轴得到，，然后比较大小即可；
（2）先求出的值，然后得到，，，，再化简绝对值和算术平方根，最后合并解题．
【详解】（1）解：由数轴可得，，
，，
将，，，按从小到大的顺序排列起来为．
（2）解：实数为8的立方根，
，
．
由（1）可得，，，
原式．
13．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，，
(2)4
【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法代数式求值等知识点．
（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得算术平方根即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵c是的整数部分，，
∴；
（2）解：将，，代入得：，
∴的算术平方根是4．
14．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：若的整数部分为a，小数部分为b．
(1)求a，b的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)6
【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
（1）先估算的范围，即可得出a，b的值；
（2）把a，b的值代入，再根据实数的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：由(1)得，
，
，
，
．
15．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题：
(1)的“青一区间”是________，的“青一区间”是________；
(2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
【答案】(1)，
(2)的值为或
【分析】本题主要考查无理数的估算，立方根的计算，理解新定义，掌握无理数估算的方法，立方根的计算是解题的关键．
（1）根据材料提示方法计算即可；
（2）根据材料提示方法得到，根据为正整数，得到或，再根据立方根的计算即可求解．
【详解】（1）解：，
∴,
∴的“青一区间”是，的“青一区间”是，
故答案为：，；
（2）解：无理数（为正整数）的“青一区间”为，
∴无理数（为正整数）的“青一区间”为，
∴，则，
同理，的“青一区间”为，
∴，则，
∴，
∵为正整数，
∴或，
∴当时，；
当时，；
∴的值为或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 实数及其简单运算重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）
题型一 无理数的基本概念
题型二 无理数的大小估算
题型三 无理数整数部分的有关计算
题型四 实数概念理解
题型五 实数的分类
题型六 实数的性质
题型七 实数与数轴
题型八 实数的大小比较
题型九 实数的混合运算
题型十 程序设计与实数运算
题型十一 新定义下的实数运算
题型十二 实数运算的实际运用
题型十三 与实数运算相关的规律题
知识点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
知识点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【经典例题一 无理数的基本概念】
【例1】在实数：，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数 B．面积为12的正方形的边长是
C．在3和4之间 D．在数轴上可以找到表示的点
2．在实数，0.1414，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0），，中，无理数有 个．
3．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，…，，．
有理数集合：｛ …｝；
无理数集合：｛ …｝；
正实数集合：｛ …｝；
负实数集合：｛ …｝；．
【经典例题二 无理数的大小估算】
【例2】根据如表估计 （精确到）．
1．正整数a、b分别满足、，则 ．
2．已知是25的算术平方根，是的立方根，求小于的最大整数．
3．规定无理数m的整数部分记为，小数部分记为，例如：．请根据上面的规定解答以下两题：
(1)_______；_______．
(2)求的平方根．
【经典例题三 无理数整数部分的有关计算】
【例3】已知的小数部分是的小数部分是，则的立方根是 ．
1．如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，所得的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受到启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形，请你仿照上面的探究方法，比较 ．（填“”或“”或“”）
2．【阅读理解】，即，的整数部分是1，小数部分是．
【解决问题】已知是的整数部分，是的小数部分，求：
(1)的值；
(2)的平方根．
3．【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题：
(1)的整数部分是 ；的小数部分是 ；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【经典例题四 实数概念理解】
【例4】已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
1．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．有无数个取值
3．有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ．
【经典例题五 实数的分类】
【例5】已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号）
1．下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ；属于负分数集合的有 ；属于无理数的有 ．
2．把下列各数分别填入相应的集合里：
，（每两个2之间依次增加一个1），，．
正有理数集合：｛ …}；
负有理数集合：｛ …}；
正无理数集合：｛ …}
负无理数集合：｛ …}．
3．阅读下列材料，解决相关任务：
祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第六位的人，他给出的两个分数形式的近似值：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．
例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
任务：
(1)约率是（ ）
A．无理数 B．有限小数 C．整数 D．有理数
(2)已知，请使用两次“调日法”，求的近似分数．
【经典例题六 实数的性质】
【例6】若a，b为实数，且，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
1．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是 ．
3．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【经典例题七 实数与数轴】
【例7】如下图，一只蜗牛从点A沿数轴向右爬行2个单位长度后到达点B，点A表示．
设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值为______；
(2)求的值；
(3)若在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数．求的立方根．
1．a，b两数在数轴上对应的点的位置如下图所示．
(1)在数轴上标出，对应的位置，并将a，b，，用“”连接起来；
(2)化简：．
2．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．若该圆片从原点沿数轴向右滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点处，设点表示的数为．（所有结果均保留）．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
3．如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形．
(1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间；
(2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，求点D在数轴上表示的数；
(3)在（2）的基础上以数1对应的点为折点，将数轴向右对折，则点D与数________对应的点重合．
【经典例题八 实数的大小比较】
【例8】（1）用“”、“”或“”填空： ；
（2）由（1）可知：
① ；
② ；
③ ；
（3）计算（结果保留根号）：
①；
②．
1．某数学兴趣小组发现，通过图1构造直角三角形的方法可以分别画出长度为的线段．同理，利用直尺和圆规在图2中可以将这些无理数分别表示在数轴上．
(1)请你在图2中，用直尺和圆规继续表示．
(2)为了方便进一步研究，该小组在图3中绘制了一个与图2单位长度一致的数轴，请你利用图2的结论，在图3中直接表示与，并比较它们的大小．
2．现有四个实数：①，②，③，④
(1)将以上四个实数分别填入相应的横线上（填序号）．
有理数：_________；无理数：__________．
(2)请在数轴上近似表示出以上四个实数．
(3)请将以上四个实数按从小到大的顺序排列，用“”连接．
________________________
3．如图1，正方形的面积为4，连结各边中点，得到一个新的正方形．
(1)求出图1中正方形的面积及其边长；
(2)如图2，把正方形放到数轴上，使得边与数轴重合，且点A落在数轴上表示的点处，现正方形分别做以下运动：
①将正方形绕点A顺时针旋转至边与数轴重合，假设此时点B所表示的数为m；
②将正方形沿数轴正方向移动2个单位，假设此时点A所表示的数为n．
试求m，n的值并比较m与n的大小．
【经典例题九 实数的混合运算】
【例9】计算：
(1)；
(2)．
1．计算：
(1)；
(2)．
2．计算：
(1)；
(2)．
3．求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【经典例题十 程序设计与实数运算】
【例10】有一个数值转换器，运算流程如下：
(1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值．
(2)若输出的值为，求输入的值．
1．小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程序．

按照上述运算程序，当时， ．
2．如图是一个按运算规则进行的数值转换器：
（1）若输入的x为16，则输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ；
（3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ．
3．下图是一个数值转换机

(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______．
(3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______．
【经典例题十一 新定义下的实数运算】
【例11】新定义：若无理数（T为正整数）的被开方数满足（n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．
(1)的“青一区间”为_______，的“青一区间”为_______；
(2)实数满足关系式，求的“青一区间”．
1．义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：．
(1)_______；
(2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1．
2．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算： ； ．
（2）若，写出所有满足题意的的整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
3．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ．
（2）若，写出满足题意的的整数值 ．
如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为．
（3）对连续求根整数， 次之后结果为．
（4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ．
【经典例题十二 实数运算的实际运用】
【例12团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
1．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，．
证明：， 为有理数，
是有理数．
为有理数，是无理数，
．
．
．
(1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
(2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，；
(3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值．
2．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为．
(1)求该长方形的长宽各为多少
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗 并说明理由．
3．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得______．
因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【经典例题十三 与实数运算相关的规律题】
【例13】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
1．先观察等式，再解答问题：
①；②；
③；……
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数）
(3)应用上述结论，请计算的值．
2．我们来看下面的两个例子：
，，
和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
，
和都是的算术平方根，
而的算术平方根只有一个，所以 （填空）
（1）猜想：一般地，当时，与之间的大小关系是怎样的？
（2）运用以上结论，计算：的值．
3．观察下列各式：
①
②
③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律= ；
(2)计算．
1．在实数：，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，数轴上，，，四点所代表的数中减的结果为负数的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法：①数轴上没有点表示这个无理数；②；③在两个连续整数和之间，那么；④若正实数的平方根是和，则；⑤1的立方根是．其中正确的个数是（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
4．任意实数，可以用表示不超过的最大整数，如，，已知，则下列n的值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
5．对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　)
A． B． C． D．
6．写出一个比大的整数 ．
7．在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ．
8．若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ．
9．如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为 ．
10．观察下列等式：
……
则的值为 ．
11．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，…，，．
有理数集合：｛ …｝；
无理数集合：｛ …｝；
正实数集合：｛ …｝；
负实数集合：｛ …｝；．
12．实数和在数轴上对应的点如图所示．
(1)将，，，按从小到大的顺序排列起来；
(2)若实数为8的立方根，求代数式的值．
13．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的算术平方根．
14．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：若的整数部分为a，小数部分为b．
(1)求a，b的值；
(2)求的值．
15．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题：
(1)的“青一区间”是________，的“青一区间”是________；
(2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
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