资源简介

专题 实数40道压轴题型专训（8大题型）
题型一 平方根相关压轴题
题型二 立方根相关压轴题
题型三 平方根、立方根的规律探究
题型四 无理数整数部分的有关计算
题型五 实数的混合运算
题型六 新定义的实数运算
题型七 与实数运算相关的规律题
题型八 实数运算的实际应用
【经典例题一 平方根相关压轴题】
1．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22 B． C．23 D．
2．探究发散：
(1)完成下列填空
①______，②______，③______，
④______，⑤______，⑥______；
(2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________
(3)利用你总结的规律，计算：若，则______；
(4)有理数在数轴上的位置如图．

化简：．
3．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

(1)求的值；
(2)在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离．
4．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则的值为 ．
5．若，其中a，b均为整数，则 ．
【经典例题二 立方根相关压轴题】
6．观察下列规律回答问题：
(1)_______，_______；
(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______；
(3)根据规律写出与a的大小情况．
7．一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　）
A．人 B．人 C．人 D．人
8．已知实数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9．先阅读材料，再解答问题．
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出，给出了答案．众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：
（1），则59319的立方根是_________位数．
（2）59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是______．
（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，由此可确定59319的立方根的十位数字是_____，因此59319的立方根是______．
（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？
10．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ．
【经典例题三 平方根、立方根的规律探究】
11．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 ．
12．（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①=　； ②=　；③=　．
13．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：______．
14．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
15．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，因为，请确定是______位数；
（2）由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是________，划去32768后面的三位数768得到32，因为，请确定的十位上的数是_____________；
（3）已知13824和分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：=____;．
【经典例题四 无理数整数部分的有关计算】
16．规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
17．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题：
(1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号）
①；②；③；④；⑤若（a为整数），则
(2)当时，解关于x的方程
18．根据下表回答下列问题：
17 18
(1)的算术平方根是 ，的平方根是 ；
(2) ；（保留一位小数）
(3) ， ；
(4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个；
(5)若这个数的整数部分为m，求的值．
19．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ．
20．确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题：
（1）确定的整数部分和小数部分；
（2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
【经典例题五 实数的混合运算】
21．
22．（1）计算：
（2）计算：
23．计算：
（1）＋＋|1－|；
（2）(－2)×－6.
（3）(－1)( ＋1)－(－)－2＋|1－|－(π－2)0＋.
（4）－2(－－)
24．计算（1）()－1＋(1＋)(1－)－；
（2）（2016﹣）0+|3﹣|﹣；
（3）；
（4）9.
25．计算（π-3）0的结果为 ．
【经典例题六 新定义的实数运算】
26．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
27．已知任意一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为（其中，，，）．的前两位数字组成的两位数与的个位上的数字的和记为，交换的百位数字和十位数字并用这两位数字组成的新两位数与的个位数字的和记为．如：当时，，．则的最大值为 ，当能被7整除时，所有符合条件的值的和为 ．
28．定义一种对正整数的“F”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示，若，则第201次“F”的运算的结果是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
29．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为
【经典例题七 与实数运算相关的规律题】
31．已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有
，，，
，成立，且．
(1)求，的值；
(2)猜想第个数（用表示）；
(3)求的值．
32．观察下列等式：
①3－=（－1）2，
②5－=（－）2，
③7－=（－）2，
…
请你根据以上规律，写出第5个等式 ．
33．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
34．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
35．观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算：；
(2)试比较与的大小．
【经典例题八 实数运算的实际应用】
36．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ___，___；
(2)计算：
(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
37．对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题：
(1)______，______；
(2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）；
①；②；③；④若（为整数），则．
(3)当时，解关于的方程．
38．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，．
证明：， 为有理数，
是有理数．
为有理数，是无理数，
．
．
．
(1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
(2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，；
(3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值．
39．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
40．阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目：
(1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1．
①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　；
②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　．
(2)对于这个代数式．
①它的最小值为　　；
②若，则的最大值为　　．
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题型一 平方根相关压轴题
题型二 立方根相关压轴题
题型三 平方根、立方根的规律探究
题型四 无理数整数部分的有关计算
题型五 实数的混合运算
题型六 新定义的实数运算
题型七 与实数运算相关的规律题
题型八 实数运算的实际应用
【经典例题一 平方根相关压轴题】
1．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22 B． C．23 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．
【详解】，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
．
故选C．
2．探究发散：
(1)完成下列填空
①______，②______，③______，
④______，⑤______，⑥______；
(2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________
(3)利用你总结的规律，计算：若，则______；
(4)有理数在数轴上的位置如图．

化简：．
【答案】(1)3，0.5，6，0，，
(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
(3)
(4)
【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值；
（2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律．
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可；
（4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：①，②，③，
④，⑤，⑥．
故答案为：3，0.5，6,0，，；
（2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；
（3）若，则，
所以．
故答案为：；
（4）由在数轴上的位置可知，
，且，
所以
．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．
3．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

(1)求的值；
(2)在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用数轴两点间的距离公式计算即可；
（2）利用非负数的性质，得到，的值，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，，
∴点、点所表示的数是一对相反数，即线段的中点为原点，
∴线段中点（即原点）与点之间的距离为．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、算术平方根与绝对值非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．
4．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则的值为 ．
【答案】0
【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可．
【详解】及且x、y、z是两两不等的实数，
且，
，
，，
与、均同号，或，
又，，故、不同号，
，
，
，
故答案为0．
【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键．
5．若，其中a，b均为整数，则 ．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
【经典例题二 立方根相关压轴题】
6．观察下列规律回答问题：
(1)_______，_______；
(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______；
(3)根据规律写出与a的大小情况．
【答案】(1)0.01，100
(2)
(3)当或时，；当或或时，；当或时，
【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳．
（1）根据立方根的概念进行求解、归纳；
（2）运用（1）题规律进行求解；
（3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳．
【详解】（1）解：（1）；；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：0.01、100；
（2）已知，若，用含的代数式表示，则，
故答案为：；
（3），，，，，
与的大小情况为：
当或时，；
当或或时，；
当或时，．
7．一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　）
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】C
【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则分别计算，再根据正数和负数的定义判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则以及正负数的定义是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
∴结果是负数的有个，即男同学有人，
故选：．
8．已知实数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据倒数、相反数的定义，绝对值的意义，算术平方根的定义得出、、及的值，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，，，
∴ ，
故选：．
9．先阅读材料，再解答问题．
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出，给出了答案．众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：
（1），则59319的立方根是_________位数．
（2）59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是______．
（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，由此可确定59319的立方根的十位数字是_____，因此59319的立方根是______．
（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？
【答案】（1）两；（2）9；（3）3；39；（4）47
【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答即可；
（2）先分别求得1至9的立方，然后依据末位数字是几进行判断即可；
（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；
（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．
【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴10＜＜100，
∴59319的立方根是两位数．
故答案为：两．
（2）∵13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729，且59319的个位数字是9，
∴59319的立方根的个位数字是9．
故答案为：9．
（3）∵27＜59＜64，
∴59319的立方根的十位数字是3．
因此59319的立方根是39．
故答案为：3；39．
（4）103823的末位数字是3，
∴103823的立方根的个位数字是7．
∵43=64，53=125，且64＜103＜125，
∴103823的立方根的十位数字是4．
∴103823的立方根是47．
【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键．
10．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ．
【答案】0或﹣1或﹣
【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案.
【详解】∵﹣2x﹣1＝0，
∴＝2x+1，
∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0，
解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣．
故答案为：0或﹣1或﹣．
【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键.
【经典例题三 平方根、立方根的规律探究】
11．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 ．
【答案】351
【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的值．
【详解】=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点睛】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
12．（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①=　； ②=　；③=　．
【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．
【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解；
（2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可．
【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;
②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，
∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．
（2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（ⅱ）①； ②；③．
故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
13．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．
第一步：，
，
它的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数是9，．
能确定的个位数是9．
第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59
而，可得．
由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．
[解答问题]
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2）填空：______．
【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）．
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可；
（2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】解：（1）第一步：，，，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是2，，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
而，则，可得，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：∵ ，，，
∴，
∴能确定85184的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是4，，
∴能确定85184的立方根的个位数是4．
第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，
而，则，可得，
由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，
即．
故答案为：44．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．
14．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①，又，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写结果：
①________．
②________．
【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论；
②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】（1）①， ，
∴，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而，
∴，
可得，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
15．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，因为，请确定是______位数；
（2）由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是________，划去32768后面的三位数768得到32，因为，请确定的十位上的数是_____________；
（3）已知13824和分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：=____;．
【答案】（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．
【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；
（2）继续分析求出个位数和十位数即可；
（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．
【详解】解：（1）由103=1000，1003=1000000，
∵1000＜32768＜100000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
故答案为：两；
（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，
∴的个位上的数是2，
划去32768后面的三位数768得到32，
因为33=27，43=64，
∵27＜32＜64，
∴30＜＜40．
∴的十位上的数是3．
故答案为：2，3；
（3）由103=1000，1003=1000000，
1000＜13824＜1000000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，
∴的个位上的数是4，
划去13824后面的三位数824得到13，
因为23=8，33=27，
∵8＜13＜27，
∴20＜＜30．
∴=24；
由103=1000，1003=1000000，
1000＜110592＜1000000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，
∴的个位上的数是8，
划去110592后面的三位数592得到110，
因为43=64，53=125，
∵64＜110＜125，
∴40＜＜50．
∴=-48；
故答案为：24，-48．
【点睛】此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．
【经典例题四 无理数整数部分的有关计算】
16．规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据的定义，分别求出的值，再代入计算即可．
【详解】， ， ， ， ， ，，
至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6，
．
故选：A．
17．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题：
(1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号）
①；②；③；④；⑤若（a为整数），则
(2)当时，解关于x的方程
【答案】(1)①②④⑤
(2)或
【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
（1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案；
（2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解： ，故①正确；
，由于，，故②正确；
表示的小数部分，，故③错误；
表示的整数部分，，故④正确；
为整数），，故⑤正确，
故五个命题中为真命题的是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤；
（2）解：，
，
，
，
是的小数部分，
当时，；
当时，，
，
可得，
，
综上可得或．
18．根据下表回答下列问题：
17 18
(1)的算术平方根是 ，的平方根是 ；
(2) ；（保留一位小数）
(3) ， ；
(4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个；
(5)若这个数的整数部分为m，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
(4)
(5)
【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解；
（2）可得，由，，即可求解；
（3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解；
（4）可得，从而可求，即可求解；
（5）由可求，代值计算即可求解．
【详解】（1）解：由表格得
，
，
的算术平方根是，
，
的平方根为，
故答案：，．
（2）解：，
，，
，
故答案：．
（3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；，
，
，
；
故答案：，．
（4）解：介于17．6与17．7之间，
，
，
可取、、、，
整数n有个，
故答案：．
（5）解：，，
的整数部分是，
，
．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键．
19．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“＋”“－”依次相间）的值为 ．
【答案】-22
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解：∵即时，，此时n=1，2，3，
∴；
∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，
∴；
∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵，，
∴即时，，
∴=-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，
故答案为：-22．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
20．确定一个用算术平方根表示的数的整数部分和小数部分时，可以用如下办法：例如，因为，所以，即．故的整数部分是3，小数部分是．又例如，因为，所以，即，故的整数部分是7，小数部分是．请你根据上述办法，解答下列各题：
（1）确定的整数部分和小数部分；
（2）若的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
【答案】（1）整数部分是3，小数部分是；（2）12
【分析】（1）仿照题例，可直接求出的整数部分和小数部分；
（2）根据题例，先确定a、b，再计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，即．
故的整数部分是3，小数部分是；
（2）∵，
∴，即，
同理：，
∴的小数部分为a=，
的小数部分为b=，
∴=4×（+）+8=12．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题关键．
【经典例题五 实数的混合运算】
21．
【答案】-9
【分析】先按照二次根式、零次幂、负指数幂等知识对原式进行化简，然后再进行运算即可.
【详解】解：
=+1-5-4
=-9
【点睛】本题主要考查了二次根式、零次幂、负指数幂等知识，考查知识点多，容易出错，需引起足够关注.
22．（1）计算：
（2）计算：
【答案】（1）4++3；（2）23-- ；
【分析】（1）根据二次根式、绝对值及数的乘方运算法则计算即可.（2）利用平方差公式及乘法结合律计算即可.
【详解】（1）原式=2+2--1++，
=+1++12014，
=4++3.
（2）原式=12-1+，
=11+12--，
=23--.
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
23．计算：
（1）＋＋|1－|；
（2）(－2)×－6.
（3）(－1)( ＋1)－(－)－2＋|1－|－(π－2)0＋.
（4）－2(－－)
【答案】(1);(2);(3) ;(4)
【分析】（1）根据平方根的意义，立方根的意义，绝对值的性质求解即可；
（2）根据乘法分配律和二次根式的性质其解即可；
（3）根据平方差公式，负整指数幂的性质，绝对值的性质，零次幂的性质，二次根式的性质化简计算即可；
（4）根据二次根式的性质，和分母有理化简计算即可求解.
【详解】（1）原式 .
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式
.
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，关键是灵活利用绝对值、平方差公式，负整指数幂的性质，绝对值的性质，零次幂的性质，二次根式的性质等进行化简.
24．计算（1）()－1＋(1＋)(1－)－；
（2）（2016﹣）0+|3﹣|﹣；
（3）；
（4）9.
【答案】(1) 3－2；(2) ﹣2；（3）；（4）
【详解】试题分析：（1）根据负整数幂的性质和平方差公式化简，再合并同类二次根式即可；
（2）根据零指数幂和绝对值、二次根式的化简计算即可；
（3）先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（4）根据二次根式的性质化简二次根式，然后根据乘法运算先算乘法，再算加减即可.
试题解析：（1） ()－1＋(1＋)(1－)－
＝5＋(1－3)－
＝5－2－2
＝3－2.
（2）（2016﹣）0+|3﹣|﹣
=（2016﹣）0+|3﹣|﹣
=1+2﹣3﹣2
=﹣2
（3）
＝－－2＋
＝
（4）9
=
=
25．计算（π-3）0的结果为 ．
【答案】﹣6
【详解】根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.
故答案为﹣6．
【经典例题六 新定义的实数运算】
26．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
【答案】301
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握算术平方根的意义及新定义的意义是解题的关键；根据的意义，对每个无理数进行估算即可．
【详解】解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；
∴
．
故答案为：301．
27．已知任意一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为（其中，，，）．的前两位数字组成的两位数与的个位上的数字的和记为，交换的百位数字和十位数字并用这两位数字组成的新两位数与的个位数字的和记为．如：当时，，．则的最大值为 ，当能被7整除时，所有符合条件的值的和为 ．
【答案】 741 900
【分析】由已知条件可得，，由、的取值范围得，由、、为正整数可确定得最大，即可求出的最大值；由整式加法运算化简得，，可得能被整除，由、在取值范围内分类讨论即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
，
，
，，
，
，，
且、、为正整数，
要使的最大值，
取最大，
，，
，
解得：，
的最大值为；
，
，
能被整除，
能被整除，
①当，时
能被整除，
，
解得：，
；
②当，时
能被整除，
，
解得：，
；
③当，时
能被整除，
，
解得：，
；
；
故答案：，．
【点睛】本题考查了新定义运算，整式加减等，理解新定义，能将问题转化为能被整除，再进行分类讨论是解题的关键．
28．定义一种对正整数的“F”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示，若，则第201次“F”的运算的结果是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】据提供的“F”运算，对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于为奇数应先进行F①运算，发现从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第201次是奇数，这样循环计算一直到第201次“F”运算，得到的结果为8．
本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．
【详解】解：第一次：，
第二次：，，即，
第三次：，
第四次：，即，计算结果为1，
第五次：，
第六次：，，即，计算结果为1，
此后计算结果为8和1循环，
∵201是奇数，
∴第201次运算结果是8．
故选：D．
29．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．
【详解】解：，
，
解得：，故①正确；
若，，
则，故②正确；
，
解得：，故③错误；
，
当时，有最小值，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键．
30．若记表示任意实数的整数部分例如：， ，则（其中“”“”依次相间）的值为
【答案】
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解：∵即时，，此时n=1，2，3，
∴；
∵即时，，此时n=4，5，6，7，8，
∴；
∵即时，，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵，，
∴即时，，
∴=-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，
故答案为：-22．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
【经典例题七 与实数运算相关的规律题】
31．已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有
，，，
，成立，且．
(1)求，的值；
(2)猜想第个数（用表示）；
(3)求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给公式进行求解即可；
（2）先计算出即可发现，；
（3）先推出据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了与实数运算有关的规律题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
32．观察下列等式：
①3－=（－1）2，
②5－=（－）2，
③7－=（－）2，
…
请你根据以上规律，写出第5个等式 ．
【答案】
【分析】观察相同位置的数的变化方式，先得出左边第一项和右边的两个被开方数，再得出左边第二项的被开方数，即可求出答案．
【详解】因为等式左边第一项依次增加2，
所以第5个等式的第一项是11，
因为等式右边的两个被开方数中，后一个数就是该等式的序号数，前一个数比后一个数大1，
所以第5个等式的右边的两个被开方数分别是6和5，
因为等式左边第二项中的被开方数是等式右边两个根式的被开方数的积，
所以这个数是30，
观察其余部分都相同，直接带下来即可，
所以第5个等式是．
故答案为：．
【点睛】此题属于规律探究题，主要考查了数字的变化规律以及每个等式之中的数字之间的关系，要求学生注意观察和推导，考查了学生分析与判断的能力．
33．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过观察找出第n个算式的规律为n(n+3)，写出所得代数式；再找出所求代数式的规律，按照裂项法展开计算即可．
【详解】解：∵=1×4+1，
=2×5+1，
=3×6+1，…，
观察以上各式发现规律，由规律可知：a4=4×7+1，a5=5×8+1，a6=6×9+1，a7=7×10+1
an=n·(n+3)+1
验证：a4=
故依次为：a5=5×8+1，a6=6×9+1，a7=7×10+1
∴an=n·(n+3)+1
∴
=
=
=
=
故选：C
【点睛】本题考查了规律型的数字在二次根式中的应用，观察出数字规律或正确计算出相关项并采用裂项法是进行快速计算的关键．
34．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
（1）根据题干例举的等式，即可答案；
（2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意：；
（2）解：；
（3）解：原式
．
35．观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题：
，
，
,
，
…
(1)计算：；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)2022
(2)
【详解】解：（1）原式
．
（2），
，
．
又,
，
，
．
【经典例题八 实数运算的实际应用】
36．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ___，___；
(2)计算：
(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可；
（2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可；
（3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；；
故答案为：；1；
（2）解：∵，，，，…，
∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，
∵，
∴
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
37．对任意的实数有如下规定：用表示不大于的最大整数，称为的整数部分，用表示的值，称为的小数部分．例如：．请回答下列问题：
(1)______，______；
(2)当时，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）；
①；②；③；④若（为整数），则．
(3)当时，解关于的方程．
【答案】(1)2，；
(2)①②④；
(3)
【分析】本题考查了无理数的估算
（1）根据无理数的估算可得，再根据题干规定即可求解；
（2）根据题干规定逐一判断即可；
（3）根据，方程可变形为，再将代入，即可求出的值．
【详解】（1）解：，
，
，，
故答案为：2，；
（2）解：表示的小数部分，
，
①命题是真命题；
根据定义可得，，
②命题是正命题；
表示的小数部分，
，
③命题是假命题；
，
，
，
，即，
④命题是真命题，
故答案为：①②④；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，不等式的性质，一元一次方程的应用，真假命题的判断，正确理解题干规定是解题关键．
38．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，．
证明：， 为有理数，
是有理数．
为有理数，是无理数，
．
．
．
(1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ；
(2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，；
(3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)，
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容．
（1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解；
（2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明；
（3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解．
【详解】（1）解：，
，
， 为有理数，
，，
，，
故答案为：，；
（2）证明：，
，
，，， 为有理数，
，都是有理数，
，，
，；
（3）解：，
的整数部分，小数部分，
，
，
，
， 为有理数，
，
解得：，
，．
39．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1)，
(2)圆的周长较小
【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；
（2）求出两种形状的扇子的周长即可．
【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为，
由题意得，，，
，，
故答案为：，；
（2）解：圆形扇的周长为：，
正方形扇的周长为：，，
∴圆的周长较小．
40．阅读材料：若点，在数轴上分别表示实数，，那么，之间的距离可表示为．例如，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：表示5，在数轴上对应的两点之间的距离．根据以上信息，完成下列题目：
(1)已知，，为数轴上三点，点对应的数为，点对应的数为1．
①若点对应的数为，则，两点之间的距离为　　；
②若点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是　　．
(2)对于这个代数式．
①它的最小值为　　；
②若，则的最大值为　　．
【答案】(1)①3；②
(2)①7；②4
【分析】（1）①根据两点间的距离公式解答即可；②根据两点间的距离公式解答即可；
（2）①根据两点间的距离的几何意义解答；②根据两点间的距离公式填空．
【详解】（1）解：①，两点之间的距离为；
故答案为：3；
②设点对应的数是，
则有，
解得或1（舍去），
故答案为：；
（2）解：①根据数轴的几何意义可得和3之间的任何一点均能使取得的值最小，
当时，的最小值为7．
故答案为：7；
②，
，，
，
的最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，实数与数轴，解题的关键是了解两点间的距离公式和两点间距离的几何意义．
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