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专题 一元一次不等式50道含参问题专训（5大题型）
【题型目录】
题型一 一元一次不等式整数解中的参数问题
题型二 一元一次不等式组整数解中的参数问题
题型三 不等式（组）有解情况求参数
题型四 不等式（组）无解情况求参数
题型五 不等式（组）与方程综合求参问题
【经典例题一 一元一次不等式整数解中的参数问题】
1．若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
2．已知不等式的负整数解恰好是，，，那么满足条件（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数（为常数），当时，的取值范围内恰有一个负整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．若关于x的不等式只有两个负整数解，则a满足的条件是 ．
6．已知不等式的正整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是 ．
7．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
8．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，对于实数对；
（1）若，则 ；
（2）若，则x的最大整数值为 ；
9．已知关于的不等式的自然数解有且只有一个，试求的取值范围．
10．已知关于的不等式．
(1)当时，求该不等式的正整数解
(2)取何值时，该不等式有解，并求出其解集
【经典例题二 一元一次不等式组整数解中的参数问题】
1．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．若关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A． B． C． D．
5．有四个整数解，a的取值范围是 ．
6．已知关于的不等式组恰好有四个整数解，则实数的取值范围是 ．
7．已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则这两个整数解为 ．
8．若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
9．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的正整数解．
10．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①，②中，不等式组的关联方程是___________（填序号）；
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程的解是________；
(3)若方程与都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
【经典例题三 不等式（组）有解情况求参数】
1．若关于x的方程的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
2．若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的不等式组有解，且关于x的方程的解为负数，则满足条件的整数a的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若关于x的方程的解为正整数，且关于x的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如果关于的方程，有非负整数解，且关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和是 ．
6．已知不等式组有解但没有整数解，则a的取值范围为 ．
7．关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
8．如果关于的的不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围是 ．
9．已知关于的不等式组
(1)如果该不等式组有解，求的取值范围；
(2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围．
10．在不等式组的小括号里填一个数m，使不等式组有解．
(1)当时，求出此时不等式组的解集和整数解；
(2)要使不等式组只有2个整数解，直接写出m的取值范围．
【经典例题四 不等式（组）无解情况求参数】
1．已知，关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
2．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它无解，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．某班数学兴趣小组对不等式组，讨论得到以下结论：①若a=5，则不等式组的解集为；②若a=2，则不等式组无解；③若不等式组有解，则a的取值范围为；④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为，其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
4．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：
①若a＝5，则不等式组的解集为；②若a＝1，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组有且只有两个整数解，则，以上四个结论，正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
5．对于不等式组，以下结论中：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则；④若不等式组只有一个整数解，则．其中正确的结论是： （将正确结论的序号填在横线上）．
6．关于x的不等式组，
①若不等式组的解集为，则，；
②若，则不等式组的解集为；
③若不等式组无解，则；
④若不等式只有5个负整数解，则．
其中说法正确的是 ．
7．已知关于的不等式组现有以下结论：
①若，则该不等式组的解集是；
②若该不等式组无解，则；
③若该不等式有三个整数解，则；
④若时，原不等式成立，则．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
8．某班数学兴趣小组对不等式组的解集进行讨论，得到以下结论：
①若 m = 4，则不等式组的解集为 2＜x ≤ 4；
②若 m = 1，则不等式组无解；
③若原不等式组无解，则 m 的取值范围为 m＜2；
④若 7 ≤ m＜8，则原不等式组有 5 个整数解．其中，结论正确的有 ．
9．已知关于x的不等式组．
（1）当a＝5时，求该不等式组的解集；
（2）若该不等式组的解集是空集（无解），求a的最小值；
（3）若该不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围是　　．
10．对于实数，我们定义一种新运算，（其中，均为非零常数），等式的右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数，都取正整数，我们称为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．已知，．
（1）填空：______，______；
（2）若正格线性数，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出来；若没有，请说明理由．
（3）若正格线性数，求满足的正格数对．
【经典例题五 不等式（组）与方程综合求参问题】
1．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
2．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②③④
3．如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知关于x、y的方程组解都为正数，且满足，，，则z的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ．
（2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ．
6．若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
7．（2023下·河南周口·七年级校联考期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
8．若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
9．已知关于的方程组的解均为非负数，
(1)用的代数式表示方程组的解；
(2)求的取值范围；
(3)化简：．
10．我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．根据上述规定，解决下列问题：
(1) ， ；
(2)若为整数，且，求的值；
(3)若、满足方程组，求、的取值范围．
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【题型目录】
题型一 一元一次不等式整数解中的参数问题
题型二 一元一次不等式组整数解中的参数问题
题型三 不等式（组）有解情况求参数
题型四 不等式（组）无解情况求参数
题型五 不等式（组）与方程综合求参问题
【经典例题一 一元一次不等式整数解中的参数问题】
1．若关于的不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式，先解一元一次不等式可得：，然后根据题意可得：，，从而进行计算即可解答．
【详解】，
，
，
不等式的解集中存在负数解，但不存在负整数解，
∴，
∴，
故选：C．
2．已知不等式的负整数解恰好是，，，那么满足条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的负整数解得到关于的不等式组，从而求出的取值范围.
【详解】解：，
，
.
不等式的负整数解恰好是，，，
，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和确定的取值范围.
3．一次函数（为常数），当时，的取值范围内恰有一个负整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出当时，，再由一次函数的增减性得到当时，，再根据当时，的取值范围内恰有一个负整数，进行求解即可．
【详解】解：当时，，
∵，
∴y随x增大而增大，
∴当时，，
∵当时，的取值范围内恰有一个负整数，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，根据不等式的解集情况求参数，正确得到当时，是解题的关键．
4．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
该不等式的最小整数解为12，
把代入方程中，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．若关于x的不等式只有两个负整数解，则a满足的条件是 ．
【答案】
【分析】求得不等式的解集为，根据关于x的不等式只有两个负整数解，即可得出，进而即可求出a满足的条件．
【详解】解：解不等式得：，
关于x的不等式只有两个负整数解，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，理解关于x的不等式的负整数解是，是解题的关键．
6．已知不等式的正整数解只有1，2，3，那么a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据题目中的不等式可以求得x的取值范围为，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而得到，继而求得a的取值范围．
【详解】∵，
∴，
∵原不等式的正整数解只有1，2，3，
∴，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查一元一次不等式的正整数解问题，能根据题意确定的取值范围是解题的关键．
7．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：由得：
，
关于x不等式只有3个正整数解，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
8．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，对于实数对；
（1）若，则 ；
（2）若，则x的最大整数值为 ；
【答案】 8 0
【分析】（1）根据题干信息先求出和，再求，最后代入计算即可；
（2）根据题干信息先求出和，再求解不等式即可．
【详解】解：（1）∵对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，
∴对于实数对，
∴
∴当时，，
故答案为：8；
（2）由（1）得，
∵，
∴，解得，，
∴x的最大整数值为0，
故答案为：0
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，求代数式的值，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式．
9．已知关于的不等式的自然数解有且只有一个，试求的取值范围．
【答案】
【分析】根据题意得出．不等式的解集为，根据自然数解有且只有一个得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵不等式的自然数解只有1个，
∴原不等式的解不可能是x大于某一个数．
∴．
∴不等式的解集为．
∴这个自然数解必为，
∴．
∵，
∴．
∴，即a的取值范围是．
【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，求不等式的整数解，掌握不等式的性质是解题的关键．
10．已知关于的不等式．
(1)当时，求该不等式的正整数解
(2)取何值时，该不等式有解，并求出其解集
【答案】(1)
(2)当时，不等式有解，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解为
【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
【详解】（1）当时，原不等式为∶
．
去分母，得∶
．
解得．
∴它的正整数解为．
（2）．
去分母，得∶
．
移项，合并同类项，得∶
．
当时，不等式有解，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解为．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
【经典例题二 一元一次不等式组整数解中的参数问题】
1．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是．
若三个整数解为，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B．
2．已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键．
先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解的个数确定a的范围即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵原不等式组的整数解有4个为，
∴．
故答案为A．
3．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有3个整数解，即可求解．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴这三个整数是0、1、2，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解不等式组和不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
4．若关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解情况得到关于的不等式进而即可解答．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有个整数解，
∴不等式组的整数解为，
∴，
解得：，
∴符合条件的所有整数的和为，
故选：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集及根据一元一次不等式组的整数解的情况求参数，熟练解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
5．有四个整数解，a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有4个整数解，确定含的式子的取值范围.
【详解】解:
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组解得：，x的整数解有0，1，2，3，
∴
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了已知不等式(组)的解集求不等式(组)中待定字母的取值范围问题，首先把不等式(组)的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解．这类问题有时要运用方程知识或不等式知识，在求解过程中可以利用数轴进行分析．
6．已知关于的不等式组恰好有四个整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式组得，则，
∵该不等式组的解集恰好有四个整数解，
∴四个整数解为4、5、6、7，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解不等式组及不等组的整数解，难度中等，正确解出不等式组的解集，确定a的范围是解决本题的关键．
7．已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则这两个整数解为 ．
【答案】2、1或2、3
【分析】本题两个整数不明确，因而一般化设为，，再利用这个量的交叉传递，得到的值，从而求解．
【详解】解：不等式组整理得，
令整数的值为，，则有：，．
故，
且，
，
或1．
故答案为：2、1或2、3．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
8．若实数使关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案．
【详解】解：，
解①得，
解②得，
∵不等式组有解集，
∴，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的正整数解．
【答案】1，2，3
【分析】解方程组用的代数式表示出、，根据为非正数，为负数列出关于的不等式组，解之求得的范围，即可求得答案．
【详解】解：解方程组得：．
，，
，
解得；
的正整数解是1，2，3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于的不等式组并求求得的范围．
10．若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①，②中，不等式组的关联方程是___________（填序号）；
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程的解是________；
(3)若方程与都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
【答案】(1)②
(2)
(3)
【分析】（1）分别解方程和解不等式组，再根据关联方程的定义进行判断即可；
（2）只需要求出不等式组的整数解即可得到答案；
（3）先求出不等式组的整数解，再根据题意可得与都是关于x的不等式组的解，由此建立关于m的不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：解方程得；
解方程得；
解不等组得，
∴方程的解是不等式组的解，方程的解不是不等式组的解，
∴不等式组的关联方程是，
故答案为：②；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为1，
∵不等式组的一个关联方程的解是整数，
∴这个关联方程的解是，
故答案为：；
（3）解：解不等式组得．
∵方程与都是关于x的不等式组的关联方程，
∴与都是关于x的不等式组的解，
由题意可得，解得．
∴m的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况求参数等等，熟练掌握一元一次不等式组的相关知识是解题的关键．
【经典例题三 不等式（组）有解情况求参数】
1．若关于x的方程的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由于方程的解为非负数解得，再解一元一次不等式组得到，根据不等式有解得到，即可得到的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：由于方程的解为非负数，
∴
，
解一元一次不等式组，
解得，
联立即为，不等式组有解，
，
故，
整数的取值为，，，，
整数k的值的和为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次不等式以及一元一次不等式组．本题解题的关键在于找出的取值范围．
2．若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．
【详解】解：由方程，得，
关于的方程的解为非负整数，
，得，
，
由①，得，
由②，得，
关于的不等式组有解，
，得，
由上可得，，
符合条件的整数的值为：，，，，，
符合条件的整数的值的和为：．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法．
3．已知关于x的不等式组有解，且关于x的方程的解为负数，则满足条件的整数a的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先分别解出两个不等式，再通过其有解求出a的取值范围；再解出方程，并通过其解为负数得到a的取值范围，根据“同小取小，同大取大，大小小大中间找，大大小小无处找”即可确定a的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②，
∵不等式组有解，
∴；
解得；
∴，
∴；
∴，
∴满足条件的整数a有1，2，3，共3个数．
故选：B．
【点睛】本题考查含参数的一元一次方程，一元一次不等式组，属于易错题目，解题的关键在于熟练掌握一元一次不等式的方法，并熟练运用“同小取小，同大取大，大小小大中间找，大大小小无处找”确定不等式组的解集．
4．若关于x的方程的解为正整数，且关于x的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先求出方程的解x= ，根据方程的解为正整数求出a的值，再根据不等式组有解得出a＜1，得出a的值，即可得出选项．
【详解】解：4（2﹣x）+x=ax，
8﹣4x+x=ax，
ax﹣x+4x=8，
（a+3）x=8，
x=，
∵关于x的方程4（2﹣x）+x=ax的解为正整数，
∴a+3=1或a+3=2或a+3=4或a+3=8，
解得：a=﹣2或a=﹣1或a=1或a=5；
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥a，
∵关于x的不等式组有解，
∴a＜1，
∴a只能为﹣1和﹣2，
故选B．
【点睛】考查了解一元一次方程、解一元一次不等式和解一元一次不等式组等知识点，能得出a的取值范围和a的值是解此题的关键．
5．如果关于的方程，有非负整数解，且关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】-3
【分析】先解方程，再根据有非负整数解求出a的取值范围，再根据不等式组有解求出符合条件的a即可；
【详解】解方程，得，
∵有非负整数解，
∴，
解得：，
解不等式组得，
∵不等式组有解，
∴，
解得：，
∴，
则符合条件的所有整数a的和为：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解，结合一元一次方程计算是解题的关键．
6．已知不等式组有解但没有整数解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】解两个不等式求得x的范围，由不等式组有解，但没有整数解可得关于a的不等式组，解之可得答案．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
有解但没有整数解，
，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为 ．
【答案】5
【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的的值即可解答本题．
【详解】解：解方程，得：，
由题意得，
解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有解，
，
则，
符合条件的整数的值的和为，
故答案为5．
【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．如果关于的的不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解不等式组，可得该不等式组的解，根据该不等式组仅有5个整数解，可得答案．本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．
【详解】解：解不等式组，得，
∵关于的的不等式组有且仅有5个整数解，即6，5，4，3，2，
∴
解得．
故答案为：
9．已知关于的不等式组
(1)如果该不等式组有解，求的取值范围；
(2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式组有解得出，解关于a的不等式即可；
（2）不等式组有个整数解得出，解关于a的不等式组即可．
【详解】（1）解：∵关于的不等式组有解，
∴，
解得：，
即此时的取值范围是．
（2）解：关于的不等式组的解集为：，
∵该不等式组有个整数解，
∴四个整数解为，4，5，6，
∴，
解得：，
即此时的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解题的关键是根据不等式组解的情况列出关于a的不等式或不等式组．
10．在不等式组的小括号里填一个数m，使不等式组有解．
(1)当时，求出此时不等式组的解集和整数解；
(2)要使不等式组只有2个整数解，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)不等式组的解集为，整数解为
(2)
【分析】（1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集和整数解；
（2）求出每个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解即可得到m的取值范围．
【详解】（1）解：当时，不等式组为，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
把解集表示在数轴上如下：
∴不等式组的解集为，整数解为；
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵使不等式组只有2个整数解，
∴，
解得，
即m的取值范围是．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法及整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【经典例题四 不等式（组）无解情况求参数】
1．已知，关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】D
【分析】分别求得不等式组中每一个不等式的解集，再根据不等式组无解以及解答即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，解得，
∵关于的不等式组无解，
∴，
解得，
又，且为整数，
∴且为整数，
∴的值为，，，，0，1，2，3，4，共9个．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数的范围，求不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．
2．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它无解，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由不等式的解集为可得，可判断①，由不等式组无解，可得，可判断②④，由整数解为2，3，4，可得，可判断③，从而可得答案．
【详解】解：关于的不等式组的解集为，
∴，
∴，故①符合题意；
当，不等式组为，不等式组无解，故②不符合题意；
当它的整数解仅有3个，则整数解为：2，3，4，
∴，
∴，故③符合题意；
若无解，则，
∴，故④符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是不等式组的整数解问题，不等式组的解集问题，无解问题，掌握确定不等式组的解集的方法是解本题的关键．
3．某班数学兴趣小组对不等式组，讨论得到以下结论：①若a=5，则不等式组的解集为；②若a=2，则不等式组无解；③若不等式组有解，则a的取值范围为；④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为，其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】A
【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，逐一判断即可．
【详解】解：①若a=5，则不等式组的解集为3＜x≤5，正确；
②若a=2，则不等式组无解，正确；
③若不等式组有解，则a的取值范围为a>3，原说法错误；
④若不等式组有且只有两个整数解，则整数解为：4，5，则5≤a＜6，正确；
正确的结论的序号是①②④．
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：
①若a＝5，则不等式组的解集为；②若a＝1，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组有且只有两个整数解，则，以上四个结论，正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【分析】将和代入不等式组，再根据口诀可得出不等式解集情况，从而判断①②；由不等式组无解，并结合大大小小的口诀可得的取值范围，此时注意临界值；由不等式组只有2个整数解可得的取值范围，从而判断④．
【详解】解：①若a＝5，则不等式组为，此不等式组的解集为2＜x≤5，此结论正确；
②若a＝1，则不等式组为，此不等式组无解，此结论正确；
③若不等式组无解，则a的取值范围为a≤2，此结论正确；
④若不等式组有且只有两个整数解，则4≤a＜5，此结论正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
5．对于不等式组，以下结论中：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则；④若不等式组只有一个整数解，则．其中正确的结论是： （将正确结论的序号填在横线上）．
【答案】①②/②①
【分析】根据一元一次不等式组的解法逐个判断即可得．
【详解】解：①若，则不等式组的解集为，原结论正确；
②若，则不等式组无解，原结论正确；
③若不等式组无解，则的取值范围为，原结论错误；
④若不等式组只有一个整数解，则，原结论错误；
综上，正确的结论的序号是①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
6．关于x的不等式组，
①若不等式组的解集为，则，；
②若，则不等式组的解集为；
③若不等式组无解，则；
④若不等式只有5个负整数解，则．
其中说法正确的是 ．
【答案】①②③④
【分析】先求解各不等式组，再根据所给条件求解即可．
【详解】解：，
解（1）得，
解（2）得，
若不等式组的解集为，则，，解得，，故①正确；
若，则，不等式组的解集为，故②正确；
③若不等式组无解，则即，故③正确；
④若不等式只有5个负整数解，则，即，故③正确；
故答案为①②③④
【点睛】此题主要考查了不等式组的解法与不等式的整数解，注意不等式解集的取法：①大大取大，②小小取小③大小小大取中④大大小小取不着.
7．已知关于的不等式组现有以下结论：
①若，则该不等式组的解集是；
②若该不等式组无解，则；
③若该不等式有三个整数解，则；
④若时，原不等式成立，则．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②③
【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．
【详解】解：关于x的不等式组
整理得，
①∵a=0，
∴它的解集是0≤x＜1，故本小题正确；
②∵不等式组无解，
∴a≥1，故本小题正确；
③∵该不等式有三个整数解，则-3＜a≤-2，故本小题正确；
④若-1≤x＜1时，原不等式成立，则a≤-1，故本小题错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
8．某班数学兴趣小组对不等式组的解集进行讨论，得到以下结论：
①若 m = 4，则不等式组的解集为 2＜x ≤ 4；
②若 m = 1，则不等式组无解；
③若原不等式组无解，则 m 的取值范围为 m＜2；
④若 7 ≤ m＜8，则原不等式组有 5 个整数解．其中，结论正确的有 ．
【答案】①②④
【分析】将m=4和m=1代入不等式组，再根据口诀可得出不等式解集情况，从而判断①②；由不等式组无解，并结合大大小小的口诀可得a的取值范围，此时注意临界值；由7≤m＜8，可得不等式组3、4、5、6、7共5个整数解，从而判断④．
【详解】解：①若m=4，则不等式组为，此不等式组的解集为2＜x≤4，此结论正确；
②若m=1，则不等式组为，此不等式组无解，此结论正确；
③若不等式组无解，则m的取值范围为m≤2，此结论错误；
④若7≤m＜8，则原不等式组有3、4、5、6、7共5个整数解，此结论正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
9．已知关于x的不等式组．
（1）当a＝5时，求该不等式组的解集；
（2）若该不等式组的解集是空集（无解），求a的最小值；
（3）若该不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围是　　．
【答案】（1）1＜x＜9；（2）37；（3）21≤a<25
【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集是空集求出a的范围即可；
（3）根据不等式的解集和不等式组的整数解求出a的范围即可．
【详解】解：（1）
解不等式①得，解得
解不等式②得，解得
∴当a＝5时，解不等式②得
∴不等式组的解集是1＜x＜9
（2）解不等式①，得x＜9
解不等式②，得
∵该不等式组的解集是空集
∴
解得：
∴a的最小值是37；
（3）∵不等式①的解集是x＜9，不等式②的解集是
又∵该不等式组有且仅有3个整数解
∴有三个整数解，并且这三个整数解为6、7、8
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解情况，解题的关键在于能够熟练掌握解不等式的相关知识.
10．对于实数，我们定义一种新运算，（其中，均为非零常数），等式的右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对．若实数，都取正整数，我们称为正格线性数，这时的叫做正格线性数的正格数对．已知，．
（1）填空：______，______；
（2）若正格线性数，问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出来；若没有，请说明理由．
（3）若正格线性数，求满足的正格数对．
【答案】（1）；（2）有，；（3）
【分析】（1）根据题意解二元一次方程组；
（2）求二元一次方程的整数解即可；
（3）解不等式，找整数解代入即可．
【详解】（1）根据题意，， ，
解得
（2）有正格数对，理由如下：
实数，都取正整数
（3）
且 a-10>0
即：且a>10
解得：且a>10
为正整数
【点睛】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式，解集取整数解等知识，理解题意正确的列出方程组和不等式是解题的关键．
【经典例题五 不等式（组）与方程综合求参问题】
1．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：，
则，
∵，
∴，解得：，
故选：C．
2．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②③④
【答案】D
【分析】解二元一次方程组，根据方程组的解x为正数，y为非负数，列不等式求解即可证明①；把代入验证即可证明②；把代入验证③即可；根据条件求出a的取值范围即可求出④．
【详解】解：，
得：，
∴，
把代入①得：，
∵方程组的解x为正数，y为非负数，
∴，解得，
∴，故①错；
当时，，，
∴，故②正确；
当时，，，故③正确；
若，则，即，
∴，即，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式组的综合运用．
3．如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先解关于x的方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出整数解即可得出答案．
【详解】解：解关于x的方程得，
∵方程的解为非正数，
，
∵，
，
由二元一次方程组将得，
满足，
，
，
，
，
为整数，
满足条件的整数a有，，，，，，0，共7个.
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键
4．已知关于x、y的方程组解都为正数，且满足，，，则z的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可得到a的范围；根据题意得出，即可得到，代入得到，根据a的取值可得结论．
【详解】解：解这个方程组的解为：，
由题意，得，
则原不等式组的解集为；
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了含有字母系数的二元一次方程组和不等式组的应用，解答关键是用字母参数表示未知量，构造不等式组解答问题．
5．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ．
（2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式．
（1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围
(2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解．
【详解】解：（1）
①+②，得
，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）由解得
，
∵均为正整数，且，
∴当时，；
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不符合题意，都舍去，
由上可得，该方程组的解为．
故答案为：．
6．若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】3
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是，
∴，
由方程可得，
∵关于y的方程有正整数解，
∴或或，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．
7．已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出的范围，即可求解．
【详解】解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，解得
解不等式组得：
∵关于的不等式组无解
∴，解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
8．若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【答案】或或
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到或或，据此求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组至少有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入②得：，解得
方程组的解为：，
∵，
∴，
关于的方程组的解为整数，
或或，
或或，
当时，，此时是整数，符合题意；
当时，，此时是整数，符合题意；
当时，，此时是整数，符合题意；
所有满足条件的整数的值为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法．
9．已知关于的方程组的解均为非负数，
(1)用的代数式表示方程组的解；
(2)求的取值范围；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，正确求出方程组的解是解题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据（1）所求结合题意可得，解不等式组即可得到答案；
（3）根据（2）所求得到，据此化简绝对值求解即可．
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：∵关于的方程组的解均为非负数，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
．
10．我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．根据上述规定，解决下列问题：
(1) ， ；
(2)若为整数，且，求的值；
(3)若、满足方程组，求、的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组；
（1）根据表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，进行计算即可；
（2）根据，可得 进而得到
（3）解方程组可得 根据表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，即可得到、的取值范围．
【详解】（1）解：由题可得，，
故答案为，；
（2），且为整数，
，
，且为整数，
，
，
，
解得；
（3）解原方程组，得
又∵表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，
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