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专题 一元一次不等式（组）应用（5大类型）
【题型一：球赛积分问题】
【题型二：分配问题】
【题型三：行程问题】
【题型四：经济问题】
【题型五：方案问题】
【题型一：球赛积分问题】
1．体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进几个球（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解答】解：设小李投进x个球，则投丢（12﹣x）个球，
依题意得：3x﹣（12﹣x）≥28，
解得：x≥10，
∴小李至少要投进10个球．
故选：B．
2．每年的4月15日为国家安全教育日．某校举行了安全知识竞赛，共有50道题，答对一道得3分，答错一道扣1分，佳佳同学在这次竞赛中获得优秀（不低于80分），那么佳佳至少答对了多少道题？
【答案】佳佳至少答对了33道题．
【解答】解：设佳佳答对了x道题，
则：3x﹣（50﹣x）≥80，
解得：x≥32.5，
∴x的最小整数解为33，
答：佳佳至少答对了33道题．
3．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？
【答案】（1）该班级胜负场数分别是13场和2场；
（2）该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．
【解答】解：（1）设胜了x场，负了y场，
根据题意得：，
解得，
答：该班级胜负场数分别是13场和2场；
（2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球，
根据题意得：3m+2（26﹣m）≥56，
解得m≥4，
答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．
4．为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？
【答案】（1）21道；
（2）24道．
【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣2﹣x）道题，
依题意得：4x﹣（25﹣2﹣x）＝82，
解得：x＝21．
答：该参赛同学一共答对了21道题．
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了（25﹣y）道题，
依题意得：4y﹣（25﹣y）≥92，
解得：y≥，
又∵y为正整数，
∴y的最小值为24．
答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“二十大知识小达人”．
【题型二：分配问题】
5．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人能得到的玩具不足3件，求小朋友的人数及玩具数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设小朋友的人数为x人，玩具数为n，由题意可得：
n＝3x+4，0＜n﹣4（x﹣1）＜3，
即：0＜3x+4﹣4（x﹣1）＜3，
解得5＜x＜8，
由于x的是正整数，所以x的取值为6人或7人，
当x＝6时，n＝3x+4＝22件；
当x＝7时，n＝3x+4＝25件，
所以小朋友的人数及玩具数分别为6人、22件或者7人、25件．
6．把若干个苹果分给几名小朋友，如果每人分给3个，则余下8个；每人分给5个，则最后一个分得的苹果不足5个，问共有多少名小朋友？多少个苹果？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设共有x名小朋友，根据题意得：
，
解得：4＜x＜6.5，
∵x只能取整数，
∴x＝5，3x+8＝15+8＝23；
或x＝6，3x+8＝18+8＝26．
答：共有5名小朋友，23个苹果；或共有6名小朋友，26个苹果．
7．把一些书作为参加运动会获奖学生的奖品，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本．求共有多少名学生获奖？
【答案】共有6名学生获奖．
【解答】解：设共有x名学生获奖，则作为奖品的书共（3x+8）本，
根据题意得：，
解得：5＜x≤6，
又∵x为正整数，
∴x＝6．
答：共有6名学生获奖．
8．某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务，若每一个小区安排4人，那么还剩下61人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人，求这个街道共选拔了多少名志愿者？
【答案】125名．
【解答】解：设这个街道共有x个小区，则这个街道共选拔了（4x+61）名志愿者，
根据题意得：，
解得：＜x≤，
又∵x为正整数，
∴x＝16，
∴4x+61＝4×16+61＝125．
答：这个街道共选拔了125名志愿者．
9．为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生．
【答案】49名．
【解答】解：设准备分成x个小组，则班里共有（5x+4）个学生，
根据题意，得，
解得：7＜x＜10，
∵x为正整数，
∴x＝8或x＝9，
当x＝8时，5x+4＝5×8+4＝44（名），
当x＝9时，5x+4＝5×9+4＝49名），
∵班级学生数为奇数，
∴班里共在49名学生．
【题型三：行程问题】
10．小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　）
A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700
C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.7
【答案】A
【解答】解：设他跑步的时间为x分钟，则他步行时间为（52﹣x）分钟，
根据题意，得：210x+90（52﹣x）≥5700，
故选：A．
11．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（　　）
A．100m B．120m C．180m D．144m
【答案】B
【解答】解：设小明到A站之间的距离为x m，小明的速度为v m/s（v＞0），则公交车到A站之间的距离为（720﹣x）m，公交车的速度为5v m/s，
根据题意得：≤，
即5x≤720﹣x，
解得：x≤120，
∴小明到A站之间的距离最大为120m．
故选：B．
12．一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（　　）
A．3（x+2）＞5（x﹣2） B．3（x﹣2）＞5（x+2）
C．3（x+2）＜5（x﹣2） D．3（x﹣2）＜5（x+2）
【答案】C
【解答】解：∵水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，
∴顺水速度为速度是每小时（x+2）千米，逆水速度为速度是每小时（x﹣2）千米，AB间的距离为3（x+2）千米，
根据题意得＜5，即3（x+2）＜5（x﹣2）．
故选：C．
13．在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2cm/s，操作人员跑步的速度是6m/s，为了保证操作人员的安全，导火线的长度要
超过 　90厘米　．
【答案】90厘米．
【解答】解：设导火线的长度为x厘米，可列不等式：＞，
解得：x＞90，
所以为了保证工作人员的安全，导火线的长度必须超过90厘米，
故答案为：90厘米．
14．星期天，小明骑自行车去姥姥家，每小时走12km，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？
【答案】小明的爸爸至少以48km/h的速度，才能在20分钟内追上小明．
【解答】解：设小明爸爸的速度为x km/h，依题意有：
x≥12×（1+），
解得x≥48．
故小明的爸爸至少以48km/h的速度，才能在20分钟内追上小明．
15．某核酸检测点开始检测时，已经有a名居民在排队等候检测．检测开始后，仍有居民继续前来排队检测，设居民按m人/分钟的速度增加，每个窗口的检测速度为n人/分钟．若开放一个检测窗口，则需要25分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕；若同时开放两个检测窗口，则需要10分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕．
（1）若a＝100，求m和n的值；
（2）根据（1）的结果猜想m与n的数量关系，并说明理由；
（3）如果要在5分钟内将排队等候检测的居民全部检测完毕，以便后来的居民能随到随检，则至少要同时开放几个检测窗口？
【答案】（1）m＝2，n＝6；（2）n＝3m，理由见详解；（3）4．
【解答】解：（1）由题意得：解得：，
即：m＝2，n＝6；
（2）n＝3m；
理由：由题意得：，
①﹣②得：15m＝5n，
∴n＝3m，a＝50m；
（3）设要开放x个检测窗口，
a+5m≤5nx，
即50m+5m≤15mx，
解得：x≥3，
x的最小整数解为：4，
答：至少要同时开放4个检测窗口．
【题型四：经济问题】
16．某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可打多少折出售（　　）
A．8折 B．8.5折 C．9折 D．9.5折
【答案】C
【解答】解：设可打x折出售，
根据题意，得：2800×﹣2400≥2400×5%，
解得：x≥9，
即最低可打9折出售，
故选：C．
17．疫情过后，地摊经济逐步步入大众视野．某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要118元；若购进腊梅8束，百合6束，需要214元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为28元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共90束，计划购买成本不超过1400元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
【答案】（1）腊梅的进价是11元/束，百合的进价是21元/束；
（2）销售的最大利润为738元，相应的进货方案为：购进54束腊梅，36束百合．
【解答】解：（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得：，
解得：．
答：腊梅的进价是11元/束，百合的进价是21元/束；
（2）设购进m束腊梅，则购进（90﹣m）束百合，
根据题意得：，
解得：49≤m≤54．
设两种鲜花全部销售完获得的总利润为w元，则w＝（20﹣11）m+（28﹣21）（90﹣m），
即w＝2m+630，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝54时，w取得最大值，最大值＝2×54+630＝738，此时90﹣m＝90﹣54＝36（束）．
答：销售的最大利润为738元，相应的进货方案为：购进54束腊梅，36束百合．
18．某商店需要购进甲、乙两种商品（两种商品均购进），其进价和销售价如表所示：
甲 乙
进价（元/件） 120 150
售价（元/件） 135 180
（1）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？
（2）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，求甲商品最多能购进多少件？并求全部售完后的总利润．（利润＝售价﹣进价）
【答案】（1）甲、乙两种商品分别购进20件，10件；
（2）甲商品最多能购进7件，全部售完后总利润为795元．
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品分别购进x件，y件，根据题意可得：
，
解得：，
答：甲、乙两种商品分别购进20件，10件；
（2）设甲商品最多能购进a件，根据题意可得：
（135﹣120）a+（180﹣150）（30﹣a）≥785，
解得：a≤7，
因为a取整数，
所以甲商品最多能购进7件，
全部售完后总利润：（135﹣120）×7+（180﹣150）×（30﹣7）＝795（元），
答：甲商品最多能购进7件，全部售完后总利润为795元．
19．春节前夕，某商店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元，该商店购进这两种礼盒恰好用去9900元．
（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）若购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，则有几种进货方案？
（3）根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利12元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？
【答案】（1）A种礼盒单价为3×30＝90元，B种礼盒单价为4×30＝120元；
（2）两种进货方案，第一种：A种礼盒30个，B种礼盒60个，
第二种：A种礼盒34个，B种礼盒57个．
（3）m＝2，此时店主获利1320元．
【解答】解（1）设A种礼盒单价为3x元，B种礼盒单价为4x元，则：
3x+4x＝210，
7x＝210，
x＝30，
所以A种礼盒单价为3×30＝90元，
B种礼盒单价为4×30＝120元．
（2）设A种礼盒购进a个，购进B种礼盒b个，则：
90a+120b＝9900，可列不等式组为：，
解得：30≤a≤36，
因为礼盒个数为整数，所以符合的方案有2种，分别是：
第一种：A种礼盒30个，B种礼盒60个，
第二种：A种礼盒34个，B种礼盒57个．
（3）设该商店获利w元，由（2）可知：w＝12a+（18﹣m）b，，
则w＝（2﹣m）b+1320，
若使所有方案都获利相同，则令2﹣m＝0，
得m＝2，此时店主获利1320元．
20．某电机厂计划生产批电机设备，其中这批设备包括A型、B型两种型号，如果生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，如果生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元．
（1）求生产一件A型产品和一件B型产品各需成本多少万元；
（2）经市场调查，一件A型产品售价为5万元，一件B型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B型产品的件数是A型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产A型产品至少多少件？
【答案】（1）生产一件A型产品3万元，生产一件B型产品5万元；
（2）5件．
【解答】解：（1）设生产一件A型产品需成本x万元，一件B型产品需成本y万元，根据题意，得，
解得：，
答：生产一件A型产品和一件B型产品各需成本3万元、5万元；
（2）设工厂生产A型产品m件，则工厂生产B型产品（2m+6）件，根据题意，得：
（5﹣3）m+（8﹣5）（2m+6）≥58，
解得：m≥5，
答：工厂生产A型产品至少5件．
21．某公司引入一条新生产线生产甲、乙两种产品，其中甲产品每件成本为10元，销售价格为12元；乙产品每件成本为7元，销售价格为8.5元；甲、乙两种产品均能在生产当天全部售出．
（1）第一个月该公司生产的甲、乙两种产品的总成本为5800元，销售总利润为1200元，求这个月生产甲、乙两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产甲、乙两种产品共800件，且使总利润不低于1350元，则乙产品至多要生产多少件？
【答案】（1）生产甲产品300件，乙产品400件；
（2）乙产品至多生产500件．
【解答】解：（1）设生产甲产品x件，乙产品y件，根据题意得：
，
解得：，
所以，生产甲产品300件，乙产品400件；
（2）设乙产品生产m件，则甲产品生产（800﹣m）件，
根据题意，得（8.5﹣7）m+（12﹣10）（800﹣m）≥1350，
解这个不等式，得m≤500．
所以，乙产品至多生产500件．
22．某礼品店准备从厂家选购甲、乙两种毛绒玩具，若购进甲种毛绒玩具3个和乙种毛绒玩具2个共需310元；若购进甲种毛绒玩具5个和乙种毛绒玩具6个共需730元．
（1）求购进每个甲种、乙种毛绒玩具的价钱分别为多少元？
（2）若该礼品店每销售1个甲种毛绒玩具可获利15元，每销售一个乙种毛绒玩具可获利20元，且该礼品店将购进甲、乙两种毛绒玩具共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种毛绒玩具最多购进多少个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲种毛绒玩具每个x元，乙种毛绒玩具每个y元，根据题意，得：，
解得：，
答：甲种毛绒玩具每个50元，乙种毛绒玩具每个80元；
（2）设甲种毛绒玩具购进m个，
根据题意，得：15m+20（50﹣m）≥800，
解得：m≤40，
答：甲种毛绒玩具最多购进40个．
【题型五：方案问题】
23．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元．
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）共有三种购买方案，方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个．
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，
∴，
解得30≤x≤32，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个．
24．新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车，某月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）某公司准备向该汽车专卖店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？从公司节约的角度考虑，你会选择哪种购车方案？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，
根据题意得：，
解得，
答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元；
（2）设购买甲种型号的新能源汽车m辆，则购买乙种型号的新能源汽车（8﹣m）辆，
∵购车费用不少于145万元，且不超过153万元，
∴145≤20m+15（8﹣m）≤153，
解得5≤m≤6.6，
∵m为整数，
∴m可取5或6，
∴有两种方案：
①购买甲种型号的新能源汽车5辆，购买乙种型号的新能源汽车3辆；
②购买甲种型号的新能源汽车6辆，则购买乙种型号的新能源汽车2辆；
当m＝5时，20m+15（8﹣m）＝20×5+15×（8﹣5）＝145，
当m＝6时，20m+15（8﹣m）＝20×6+15×（8﹣6）＝150，
∵145＜150，
∴从公司节约的角度考虑，选择购买甲种型号的新能源汽车5辆，购买乙种型号的新能源汽车3辆费用较少．
25．某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）100元、150元；
（2）①y＝﹣50x+15000；
②商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大；
（3）当0＜m＜50时，商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润；
当m＝50时，商店购进A型电脑数最满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
当50＜m＜100时，商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润．
【解答】（1）设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，依题意得：
，
解得：，
即每台A型电脑的销售和B型电脑的销售利润分别为100元、150元；
（2）①根据题意得y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000；
②根据题意得100﹣x≤2x，解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝34最小时，y取最大值，此时100﹣x＝66．
即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大；
（3）根据题意得y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000．
33≤x≤70．
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
26．永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
【答案】（1）购买A种树每棵需400元，B种树每棵需500元；
（2）共有3种购买方案，
方案1：购买A种树48棵，B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，B种树50棵．
【解答】解：（1）设购买A种树每棵需x元，B种树每棵需y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买A种树每棵需400元，B种树每棵需500元；
（2）设购买A种树m棵，则购买B种树（100﹣m）棵，
根据题意得：，
解得：48≤m≤50，
又∵m为正整数，
∴m可以为48，49，50，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A种树48棵，B种树52棵；
方案2：购买A种树49棵，B种树51棵；
方案1：购买A种树50棵，B种树50棵．
27．某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，
根据题意得，
由①得x≥5，
由②得x≤7，
∴5≤x≤7，
∵x为正整数，
∴x＝5或6或7，
因此，有3种租车方案：
方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆；
方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆；
方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆；
（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，设两种货车燃油总费用为y元，
由题意得y＝1600x+1200（16﹣x），
＝400x+19200，
∵400＞0，
∴y随x值增大而增大，当x＝5时，y有最小值，
∴y最小＝400×5+19200＝21200元；
方法二：
当x＝5时，16﹣5＝11辆，
5×1600+11×1200＝21200元；
当x＝6时，16﹣6＝10辆，
6×1600+10×1200＝21600元；
当x＝7时，16﹣7＝9辆，
7×1600+9×1200＝22000元．
答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是21200元．
28．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元；若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元．
（1）A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？
（2）该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，设用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你列举出所有购买方案．
【答案】（1）A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元；
（2）购进A型汽车2辆，则购进B型汽车8辆；
购进A型汽车3辆，则购进B型汽车7辆；
购进A型汽车4辆，则购进B型汽车6辆．
【解答】解：（1）设A型与B型汽车每辆的进价分别是x万元、y万元，
解得，
∴A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元；
答：A型与B型汽车每辆的进价分别是25万元、30万元；
（2）设购进A型汽车a辆，则购进B型汽车（10﹣a）辆，
，
解得：2≤a＜5，
又a为正整数，
所以a取2、3、4，
∴购进A型汽车2辆，则购进B型汽车8辆；
购进A型汽车3辆，则购进B型汽车7辆；
购进A型汽车4辆，则购进B型汽车6辆．
29．某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．
（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元；
（2）当购进100个A种纪念品，300个B种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元．
【解答】解：（1）设每个A种纪念章的进价是x元，每个B种纪念章的进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个A种纪念章的进价是10元，每个B种纪念章的进价是6元；
（2）设购进m个A种纪念章，则购进（400﹣m）个B种纪念章，
根据题意得：10m+6（400﹣m）≤2800，
解得：m≤100．
设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为w元，则w＝（13﹣10）m+（8﹣6）（400﹣m），
即w＝m+800，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值＝100+800＝900，此时400﹣m＝400﹣100＝300．
答：当购进100个A种纪念品，300个B种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元．
30．某校计划安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元．
（2）该校至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元？
【答案】（1）温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元；
（2）购买方案有3种：购买温馨提示牌52个，垃圾箱48个或购买温馨提示牌51个，垃圾箱49个或购买温馨提示牌50个，垃圾箱50个，其中购买温馨提示牌52个，垃圾箱48个，所需资金最少，最少为9800元．
【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元；
（2）设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100﹣m）个，
由题意得：，
解得：48≤m＜50，
又∵m为整数，
∴m可取48，49，50，
∴当m＝48时，100﹣m＝100﹣48＝52，此时所需资金为48×150+50×52＝9800（元），
当m＝49时，100﹣m＝100﹣49＝51，此时所需资金为49×150+50×51＝9900（元），
当m＝50时，100﹣m＝100﹣50＝50，此时所需资金为50×150+50×50＝10000（元），
综上可知，购买方案有3种：购买温馨提示牌52个，垃圾箱48个或购买温馨提示牌51个，垃圾箱49个或购买温馨提示牌50个，垃圾箱50个，其中购买温馨提示牌52个，垃圾箱48个，所需资金最少，最少为9800元．
31．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）最多可购进乙型头盔120个；
（3）能，①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．
【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x元，购进1个乙型头盔需要y元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）设购进乙型头盔m个，则购进甲型头盔（200﹣m）个，
根据题意，得：65m+30（200﹣m）≤10200，
解得：m≤120，
∴m的最大值为120；
答：最多可购进乙型头盔120个；
（3）能，
根据题意，得：（58﹣30）（200﹣m）+（98﹣65）m≥6190；
解得：m≥118；
∴118≤m≤120；
∵m为整数，
∴m可取118，119或120，对应的200﹣m的值分别为82，81或80；
因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；
②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；
③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一元一次不等式（组）应用（5大类型）
【题型一：球赛积分问题】
【题型二：分配问题】
【题型三：行程问题】
【题型四：经济问题】
【题型五：方案问题】
【题型一：球赛积分问题】
1．体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进几个球（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．每年的4月15日为国家安全教育日．某校举行了安全知识竞赛，共有50道题，答对一道得3分，答错一道扣1分，佳佳同学在这次竞赛中获得优秀（不低于80分），那么佳佳至少答对了多少道题？
3．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？
4．为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？
【题型二：分配问题】
5．一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后一人能得到的玩具不足3件，求小朋友的人数及玩具数．
6．把若干个苹果分给几名小朋友，如果每人分给3个，则余下8个；每人分给5个，则最后一个分得的苹果不足5个，问共有多少名小朋友？多少个苹果？
7．把一些书作为参加运动会获奖学生的奖品，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就不足3本，但不少于1本．求共有多少名学生获奖？
8．某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务，若每一个小区安排4人，那么还剩下61人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人，求这个街道共选拔了多少名志愿者？
9．为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生．
【题型三：行程问题】
10．小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（　　）
A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700
C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.7
11．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为720m．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（　　）
A．100m B．120m C．180m D．144m
12．一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（　　）
A．3（x+2）＞5（x﹣2） B．3（x﹣2）＞5（x+2）
C．3（x+2）＜5（x﹣2） D．3（x﹣2）＜5（x+2）
13．在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度是1.2cm/s，操作人员跑步的速度是6m/s，为了保证操作人员的安全，导火线的长度要
超过 　　．
14．星期天，小明骑自行车去姥姥家，每小时走12km，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？
15．某核酸检测点开始检测时，已经有a名居民在排队等候检测．检测开始后，仍有居民继续前来排队检测，设居民按m人/分钟的速度增加，每个窗口的检测速度为n人/分钟．若开放一个检测窗口，则需要25分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕；若同时开放两个检测窗口，则需要10分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕．
（1）若a＝100，求m和n的值；
（2）根据（1）的结果猜想m与n的数量关系，并说明理由；
（3）如果要在5分钟内将排队等候检测的居民全部检测完毕，以便后来的居民能随到随检，则至少要同时开放几个检测窗口？
【题型四：经济问题】
16．某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于5%的售价打折销售，最低可打多少折出售（　　）
A．8折 B．8.5折 C．9折 D．9.5折
17．疫情过后，地摊经济逐步步入大众视野．某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要118元；若购进腊梅8束，百合6束，需要214元．
（1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
（2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为28元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共90束，计划购买成本不超过1400元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的．两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
18．某商店需要购进甲、乙两种商品（两种商品均购进），其进价和销售价如表所示：
甲 乙
进价（元/件） 120 150
售价（元/件） 135 180
（1）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元，甲、乙两种商品分别购进多少件？
（2）若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，且销售完所有商品后获利不低于785元，求甲商品最多能购进多少件？并求全部售完后的总利润．（利润＝售价﹣进价）
19．春节前夕，某商店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元，该商店购进这两种礼盒恰好用去9900元．
（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）若购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，则有几种进货方案？
（3）根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利12元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？
20．某电机厂计划生产批电机设备，其中这批设备包括A型、B型两种型号，如果生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，如果生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元．
（1）求生产一件A型产品和一件B型产品各需成本多少万元；
（2）经市场调查，一件A型产品售价为5万元，一件B型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B型产品的件数是A型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产A型产品至少多少件？
21．某公司引入一条新生产线生产甲、乙两种产品，其中甲产品每件成本为10元，销售价格为12元；乙产品每件成本为7元，销售价格为8.5元；甲、乙两种产品均能在生产当天全部售出．
（1）第一个月该公司生产的甲、乙两种产品的总成本为5800元，销售总利润为1200元，求这个月生产甲、乙两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产甲、乙两种产品共800件，且使总利润不低于1350元，则乙产品至多要生产多少件？
22．某礼品店准备从厂家选购甲、乙两种毛绒玩具，若购进甲种毛绒玩具3个和乙种毛绒玩具2个共需310元；若购进甲种毛绒玩具5个和乙种毛绒玩具6个共需730元．
（1）求购进每个甲种、乙种毛绒玩具的价钱分别为多少元？
（2）若该礼品店每销售1个甲种毛绒玩具可获利15元，每销售一个乙种毛绒玩具可获利20元，且该礼品店将购进甲、乙两种毛绒玩具共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种毛绒玩具最多购进多少个？
【题型五：方案问题】
23．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元．
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？
24．新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，某汽车专卖店销售甲、乙两种型号的新能源汽车，某月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）某公司准备向该汽车专卖店购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？从公司节约的角度考虑，你会选择哪种购车方案？
25．某商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为350元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y与x的关系式；
②该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
26．永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
27．某慈善组织租用甲、乙两种货车共16辆，把蔬菜266吨，水果169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装蔬菜18吨，水果10吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜16吨，水果11吨．
（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？
（2）若甲种货车每辆需付燃油费1600元，乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？
28．随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元；若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元．
（1）A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？
（2）该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，设用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你列举出所有购买方案．
29．某动物园在周年庆来临之际，推出A、B两种纪念章．已知每个A种纪念章的进价比每个B种纪念章的进价多4元；购进6件A种纪念章和购进10件B种纪念章的费用相同，且A种纪念章售价为13元/个，B种纪念章售价为8元/个．
（1）每个A种纪念章和每个B种纪念章的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进A、B两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
30．某校计划安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元．
（2）该校至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元？
31．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
（3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
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