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专题 一元一次不等式(组)的应用【八大题型】
【北师大版】
【题型1 工程问题】 1
【题型2 销售问题】 2
【题型3 行程问题】 3
【题型4 得分问题】 4
【题型5 古代问题】 5
【题型6 方案问题】 6
【题型7 数字问题】 7
【题型8 几何图形问题】 8
【题型1 工程问题】
【例1】月日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现号线全线贯通运营，目前，地铁号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆满载运输一次可以运输吨泥土．
(1)求该车队有载重量吨、吨的卡车各多少辆？
(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共辆，则最多购进载重量为吨的卡车多少辆？
【变式1-1】为了改善山东的交通，我省修建了鲁南高铁，其中鲁南高铁临沂段已于2019年11月26日开通运营．开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米，运行时间为30分钟，某次临沂到日照火车需要150分钟，平均速度是开通后的高铁的．
(1)求临沂段高铁临沂段铁路全长各为多少千米？
(2)已知修建临沂段高铁时，有甲、乙两个工程队同时施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，计划40天完成，施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【变式1-2】政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米．
(1)求甲、乙两工程队每天各施工多少米？
(2)现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？
【变式1-3】我市张坝桂圆林景区公园是泸州人民的城市花园之一，为了给大家创建更优美的休闲环境，市园林局利用景区滨江路临水区恰好位于长江流域的资源建造一个露天游泳池，工程需要运送大量的沙土．“兴泸”公司有载重量分别为8吨和10吨的、两种卡车共12辆，这12辆卡车每次能运送沙土110吨．
(1)这12辆、两种卡车各有多少辆？
(2)因计划改变，需要每次运送沙土至少165吨，为按时完成任务，“兴泸”公司还需要外租6辆、两种卡车（每种车至少一辆），请写出租用方案．
【题型2 销售问题】
【例2】某校组织师生研学，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车．则可以少租一辆，且余30个空位．
(1)求该校参加春游的人数；
(2)该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你帮助设计本次春游所需车辆的租金．．
【变式2-1】为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球，按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元．
(1)求篮球、足球每个分别是多少元？
(2)由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠，足球每个优惠，若学校决定买两种球共40个，在购买资金不超过4500元时，则购买蓝球至多是多少个？
【变式2-2】随着“云品入沪”工程的深入实施，为云南特色农产品(简称云品)开拓了广阔市场．某农户要将规格相同的80件云品运往A，B两蔬菜产销对接基地，各地的运费如表所示：
销售地 A地 B地
运费(元/件) 20 6
(1)若运往A，B两地的总运费为760元，分别求出运往A、B两地云品的件数；
(2)若此农户运往两地的总运费不超过800元，求最多可运往A地的云品的件数．
【变式2-3】2023年五一假期期间，全国各地的游客大量涌入云南，颇具云南特色的装饰物品备受游客青睐．某特色饰品店的王老板立即购进两类特色饰品进行售卖．已知王老板用310元可以购进4件A类饰品和5件B类饰品；用540元可以购进6件A类饰品和10件B类饰品．
(1)求A、B两类饰品的进货单价．
(2)已知A类饰品的销售单价为50元，B类饰品的销售单价为35元．若王老板购进A、B两类饰品共100件，进货总费用不超过3220元，且销售总额超过3785元，王老板有几种进货方案？哪种方案的总利润最高？总利润最高是多少钱？
【题型3 行程问题】
【例3】星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？
【变式3-1】某车间有3个小组计划在10天内生产500件产品(每天每个小组生产量相同)，按原先的生产速度，不能完成任务，如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务，请问每个小组原先每天生产多少件产品．(结果取整数)
【变式3-2】某核酸检测点开始检测时，已经有a名居民在排队等候检测．检测开始后，仍有居民继续前来排队检测，设居民按m人/分钟的速度增加，每个窗口的检测速度为n人/分钟．若开放一个检测窗口，则需要25分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕；若同时开放两个检测窗口，则需要10分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕．
(1)若，求m和n的值；
(2)根据（1）的结果猜想m与n的数量关系，并说明理由；
(3)如果要在5分钟内将排队等候检测的居民全部检测完毕，以便后来的居民能随到随检，则至少要同时开放几个检测窗口？
【变式3-3】甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍．
(1)求甲、乙两人行驶的速度；
(2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围；
(3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由．
【题型4 得分问题】
【例4】一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分.下表记录了2名参赛学生的得分情况.
参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分
甲
乙
（1）若参赛学生小亮只答对了道选择题，则小亮的得分是多少？
（2）参赛学生至少要答（ ）道题，总分才不会低于分.
【变式4-1】某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对 道题．
【变式4-2】某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分
A 19 0 1 94
B 18 1 1 91
C 18 2 0 94
（1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分．
（2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？
（3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？
【变式4-3】在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？
【题型5 古代问题】
【例5】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
【变式5-1】围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．
(1)求象棋和围棋的单价；
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，总费用可以是3500元吗？
【变式5-2】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计）．
问：（1）黄金、白银每枚各重多少两？
（2）现有一袋黄金和白银共重759两，总数不超过25枚．请你算算黄金、白银各有多少枚？
【变式5-3】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题：
(1)笼中鸡、兔各有多少只？
(2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
【题型6 方案问题】
【例6】在疫情期间，某物业公司为医护人员购买男、女两种型号防护服，已知3件男型防护服与4件女型防护服的费用相同，5件男型防护服与4件女型防护服共需1600元．
(1)求男、女两种型号防护服的单价；
(2)已知男医护人员比女医护人员多4人，且医护人员总数至少22人，物业公司经理计划用5000元购买两种型号防护服，则有几种购买方案？怎样购买才能使所需费用最低？
【变式6-1】全球赖氏的精神家园、中原“根亲文化”的示范性工—古赖国文化园坐落在河南省三大历史名镇之一的息县包信镇，近些年世界各地赖氏宗亲都会到河南息县参加赖氏祭祖活动．为使活动更有意义，举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；购买8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元．
（1）求甲、乙两种品牌文化衫的单价；
（2）根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件数超过乙品牌文化衫件数的2倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【变式6-2】为了保持膳食平衡，建议合理控制学生的肉类摄入量．学校午餐有A，B两种套餐，小明发现1份A套餐和1份B套餐共含肉类145克，2份A套餐和3份B套餐共含肉类350克．
套餐 主食（克） 肉类（克） 其他（克）
A 150 165
B 140 160
(1)求表格中x，y的值；
(2)如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不得超过720克，那么某同学在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按5天计算，每餐只选一种套餐．）
【变式6-3】月日，北京冬奥会开幕式盛大隆重，冰墩墩和雪容融也受到世界人民的喜爱．某班计划团购这两种纪念品，已知购买个冰墩墩和个雪容融需元，购买个冰墩墩和个雪容融需元．
(1)求个冰墩墩和个雪容融的价格分别为多少元？
(2)该班计划购买冰墩墩和雪容融共个，其中雪容融的数量不超过冰墩墩数量的倍，且总费用不超过元，问共有几种购买方案？
【题型7 数字问题】
【例7】阅读理解：
对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
问题呈现：
填空：①下列两位数：30，31，33中，“互异数”为______．
②计算：______，______．
数学思考：
如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“互异数”b．
问题解决：
如果一个“互异数”m的十位数字是x，个位数字是，另一个“互异数”n的十位数字是，个位数字是2，且满足，请直接写出满足条件的x的值．
【变式7-1】一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数．
【变式7-2】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【变式7-3】阅读材料：一个四位自然数各位数字不同且不为0，若它满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这个四位自然数为“双城数”．比如8631，各位数字均不为0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“双城数”．
(1)请判断5724，6532是否是“双城数”，并写出判断过程；
(2)一个“双城数”A千位数字为2，百位数字为m，个位数字为n，若A的各位数字之和恰为7的倍数，求所有满足题意的“双城数”
【题型8 几何图形问题】
【例8】王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)．
（1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm．
（2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽．
（3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．
【变式8-1】如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
【变式8-2】如图1所示，在一个长方形广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛．若广场的长为m米，宽为n米，圆形的半径为r米．
（1）列式表示广场空地的面积．
（2）若广场的长为300米，宽为200米，圆形的半径为30米，求广场空地的面积（计算结果保留π）．
（3）如图2所示，在（2）的条件下，若在广场的中间再建一个半径为R的圆形花坛，使广场的空地面积不少于广场总面积的，求R的最大整数值（π取3.1）．
【变式8-3】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．

21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一元一次不等式(组)的应用【八大题型】
【北师大版】
【题型1 工程问题】 1
【题型2 销售问题】 5
【题型3 行程问题】 9
【题型4 得分问题】 12
【题型5 古代问题】 15
【题型6 方案问题】 19
【题型7 数字问题】 24
【题型8 几何图形问题】 28
【题型1 工程问题】
【例1】月日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现号线全线贯通运营，目前，地铁号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆满载运输一次可以运输吨泥土．
(1)求该车队有载重量吨、吨的卡车各多少辆？
(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共辆，则最多购进载重量为吨的卡车多少辆？
【答案】(1)该车队有载重量为吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆；
(2)3辆．
【分析】（1）设该车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，根据“该车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆满载运输一次可以运输吨泥土”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设再次购进载重量为吨的卡车辆，则再次购进载重量为吨的卡车辆，根据该车队需要一次运输泥土不低于吨，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设该车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，
根据题意得：，
解得：．
答：该车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆；
（2）解：设再次购进载重量为吨的卡车辆，则再次购进载重量为吨的卡车辆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多购进载重量为吨的卡车辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式1-1】为了改善山东的交通，我省修建了鲁南高铁，其中鲁南高铁临沂段已于2019年11月26日开通运营．开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米，运行时间为30分钟，某次临沂到日照火车需要150分钟，平均速度是开通后的高铁的．
(1)求临沂段高铁临沂段铁路全长各为多少千米？
(2)已知修建临沂段高铁时，有甲、乙两个工程队同时施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，计划40天完成，施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【答案】(1)临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米；
(2)甲工程队后期每天至少施工千米．
【分析】（1）设高铁的平均速度为千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为千米/分钟，根据“路程速度时间”、“开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）设甲工程队后期每天施工x千米，根据“确保整个工程提早3天以上（含3天）完成”列不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设高铁的平均速度为千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为千米/分钟，
由题意得：，
解得，
则（千米），（千米），
答：临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米；
（2）设甲工程队后期每天施工x千米，
由题意得：，
解得：，
答：甲工程队后期每天至少施工千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找出合适的等量关系和不等关系，正确建立方程和不等式是解题关键．
【变式1-2】政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米．
(1)求甲、乙两工程队每天各施工多少米？
(2)现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？
【答案】(1)甲、乙两工程队每天各施工50米和40米
(2)乙工程队每天至少应再多施工40米
【分析】（1）设甲、乙两工程队每天各施工米和米，根据等量关系列出方程组即可求解；
（2）设乙工程队每天应再多施工米，根据题意列出不等式，可求解；
【详解】（1）解：设甲、乙两工程队每天各施工米和米，
由题意得：，
解得：，
答：甲、乙两工程队每天各施工50米和40米．
（2）解：设乙工程队每天应再多施工米，
由题意得：，
解得，
答：乙工程队每天至少应再多施工米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意并列出方程组或不等式是解题的关键．
【变式1-3】我市张坝桂圆林景区公园是泸州人民的城市花园之一，为了给大家创建更优美的休闲环境，市园林局利用景区滨江路临水区恰好位于长江流域的资源建造一个露天游泳池，工程需要运送大量的沙土．“兴泸”公司有载重量分别为8吨和10吨的、两种卡车共12辆，这12辆卡车每次能运送沙土110吨．
(1)这12辆、两种卡车各有多少辆？
(2)因计划改变，需要每次运送沙土至少165吨，为按时完成任务，“兴泸”公司还需要外租6辆、两种卡车（每种车至少一辆），请写出租用方案．
【答案】(1)A种卡车有5辆，B种卡车有7辆
(2)共有2种租用方案，方案1：租用A种卡车1辆，B种卡车5辆；方案2：租用A种卡车2辆，B种卡车4辆
【分析】（1）设A种卡车有x辆，B种卡车有y辆，根据“8吨和10吨的A、B两种卡车共12辆，且这12辆卡车每次能运送沙土110吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用A种卡车m辆，则租用B种卡车（6-m）辆，根据每次运送沙土至少165吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租用方案．
（1）
解：设A种卡车有x辆，B种卡车有y辆，
由题意得：，
解得：，
答：A种卡车有5辆，B种卡车有7辆．
（2）
设租用A种卡车m辆，则租用B种卡车（6-m）辆，
依题意得：110+8m+10（6-m）≥165，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为1，2，
∴共有2种租用方案，
方案1：租用A种卡车1辆，B种卡车5辆；
方案2：租用A种卡车2辆，B种卡车4辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【题型2 销售问题】
【例2】某校组织师生研学，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车．则可以少租一辆，且余30个空位．
(1)求该校参加春游的人数；
(2)该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你帮助设计本次春游所需车辆的租金．．
【答案】(1)270人
(2)1400元
【分析】（1）先设租用45座客车辆，利用人数不变，可列出一元一次方程，求出车的辆数，再乘以45就是人数．
（2）可根据租用两种汽车时，租用45座客车的费用租用60座客车的费用单独租用一种客车的费用，依此可列出不等式组，求出租用车辆的大致范围，然后根据60座客车比45座客车多租1辆，来判断出两种车各有多少辆进而求出租金的费用．
【详解】（1）解：设租用辆45座的客车，依题意得
，
解得．
人．
答：该校参加春游的人数为270人．
（2）解：设租用辆45座的客车，依题意得
，
解不等式组得．
所以该校租用2辆45座的客车，3辆60座的客车．
元．
答：按这种方案需要租金1400元．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，关键知道60座客车比45座客车多租1辆，租金比单独一种客车要节省，进而找到所求的量的等量关系．
【变式2-1】为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球，按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元．
(1)求篮球、足球每个分别是多少元？
(2)由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠，足球每个优惠，若学校决定买两种球共40个，在购买资金不超过4500元时，则购买蓝球至多是多少个？
【答案】(1)篮球、足球每个分别是150元，100元
(2)购买篮球至多是30个
【分析】（1）设篮球、足球每个分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元列出方程组求解即可；
（2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过4500元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设篮球、足球每个分别是x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴篮球、足球每个分别是150元，100元；
（2）解：设购买篮球m个，则购买足球个，
由题意得，，
解得，
∴m的最大值为30，
∴购买篮球至多是30个．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．
【变式2-2】随着“云品入沪”工程的深入实施，为云南特色农产品(简称云品)开拓了广阔市场．某农户要将规格相同的80件云品运往A，B两蔬菜产销对接基地，各地的运费如表所示：
销售地 A地 B地
运费(元/件) 20 6
(1)若运往A，B两地的总运费为760元，分别求出运往A、B两地云品的件数；
(2)若此农户运往两地的总运费不超过800元，求最多可运往A地的云品的件数．
【答案】(1)运往A地20件，运往B地的蔬菜为60件
(2)最多可运往A地的云品的件数为22件
【分析】（1）根据总运费等于760，列方程求解；
（2）根据总运费不超过800，列不等式求解．
【详解】（1）设运往A地x件，则运往B地的蔬菜为件，
由题意得：，
解得：，
∴，
∴运往A地20件，运往B地的蔬菜为60件；
（2）设运往A地x件，则运往B地的蔬菜为件，
由题意得：，
解得：，
的最大整数解为22，
∴最多可运往A地的云品的件数为22件．
【点睛】本题考查了一元一次方程（不等式）的应用，理解题意列方程或不等式是解题的关键．
【变式2-3】五一假期期间，全国各地的游客大量涌入云南，颇具云南特色的装饰物品备受游客青睐．某特色饰品店的王老板立即购进两类特色饰品进行售卖．已知王老板用310元可以购进4件A类饰品和5件B类饰品；用540元可以购进6件A类饰品和10件B类饰品．
(1)求A、B两类饰品的进货单价．
(2)已知A类饰品的销售单价为50元，B类饰品的销售单价为35元．若王老板购进A、B两类饰品共100件，进货总费用不超过3220元，且销售总额超过3785元，王老板有几种进货方案？哪种方案的总利润最高？总利润最高是多少钱？
【答案】(1)A类饰品的进货单价为40元，B类饰品的进货单价为30元
(2)王老板有三种进货方案，其中A类饰品进22件，则B类饰品进78件时总利润最高，总利润最高为610元
【分析】（1）设A类饰品的进货单价为x元，B类饰品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案；
（2）设A类饰品进m件，则B类饰品进件，总利润为w元，根据题意列一元一次不等式组求解，得出的整数解，再分别代入计算求出利润进行比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：设A类饰品的进货单价为x元，B类饰品的进货单价为y元，
由题意可得：，
解得．
答：A类饰品的进货单价为40元，B类饰品的进货单价为30元；
（2）解：设A类饰品进m件，则B类饰品进件，总利润为w元，
由题意可得：，
解得：，
由题意可知，m为整数，
可取20、21、22，
王老板有3种进货方案，分别为：
方案①：A类饰品进20件，则B类饰品进80件，
此时（元）；
方案②：A类饰品进21件，则B类饰品进79件，
此时（元）；
方案③：A类饰品进22件，则B类饰品进78件，
此时（元）；
综上所述，王老板有三种进货方案，其中A类饰品进22件，则B类饰品进78件时，总利润最高，总利润最高为610元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数的混合运算，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题关键．
【题型3 行程问题】
【例3】星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？
【答案】小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明．
【分析】先设小明爸爸的速度为，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等关系列出不等式求解．
【详解】解：设小明爸爸的速度为，依题意有：
，
解得．
故小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键在于弄清题意，找出不等关系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程．
【变式3-1】某车间有3个小组计划在10天内生产500件产品(每天每个小组生产量相同)，按原先的生产速度，不能完成任务，如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务，请问每个小组原先每天生产多少件产品．(结果取整数)
【答案】16件
【分析】首先设小组原先生产x件产品，根据“不能完成任务”“提前完成任务”列出不等式组，解不等式组，根据x是整数可得出x的值．
【详解】解：设每个小组原先每天生产x件产品，，
解得，
因为x整数，所以x=16．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．
【变式3-2】某核酸检测点开始检测时，已经有a名居民在排队等候检测．检测开始后，仍有居民继续前来排队检测，设居民按m人/分钟的速度增加，每个窗口的检测速度为n人/分钟．若开放一个检测窗口，则需要25分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕；若同时开放两个检测窗口，则需要10分钟将排队等候检测的居民全部检测完毕．
(1)若，求m和n的值；
(2)根据（1）的结果猜想m与n的数量关系，并说明理由；
(3)如果要在5分钟内将排队等候检测的居民全部检测完毕，以便后来的居民能随到随检，则至少要同时开放几个检测窗口？
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)至少要同时开放4个检测窗口
【分析】（1）根据等量关系：居民总数所有窗口检测总人数，列方程计算即可；
（2）当a为任意值时，根据等量关系：居民总数所有窗口检测总人数，列方程计算即可；
（3）设开放x个窗口，根据不等关系：5分钟总居民人数个窗口5分钟检测人数，列不等式求解即可．
【详解】（1）解：若，
由题意得：
解得：；
（2）解：，理由如下：
由题意得：
由得：；
（3）解：设开放x个窗口，
由题意得：，
由（2）可得，
∴，
∵，
∴解得：
∴至少要同时开放4个检测窗口．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式：居民总数所有窗口检测总数．难点是需要考虑的变量比较多．
【变式3-3】甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍．
(1)求甲、乙两人行驶的速度；
(2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围；
(3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时
(2)
(3)当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是
【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度；
（2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围；
（3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解．
【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米，
∴甲行驶的速度是（千米/时）．
∵乙的速度是甲的3倍，
∴乙行驶的速度是（千米/时）．
答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时．
（2）由题意，得，
解之，得．
答：所求的取值范围是．
（3）∵，
∴由（2）可知，当时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．
若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，
则，即，此不等式组无解．
若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，
则有，
解之，得．
答：当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，题中条件较多，要仔细理解题干，抽象出不等式组．
【题型4 得分问题】
【例4】一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分.下表记录了2名参赛学生的得分情况.
参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分
甲
乙
（1）若参赛学生小亮只答对了道选择题，则小亮的得分是多少？
（2）参赛学生至少要答（ ）道题，总分才不会低于分.
【答案】（1）小亮的得分是分.;（2）.
【分析】根据题意，有，解方程组可得；
设小明答对x道题，根据总分不低于60分列出一元一次不等式即可.
【详解】（1）根据题意，有
解这个方程组，得：
答：小亮的得分是分.
（2）设小明答对x道题，根据题意可得
5x-2（20-2-x）≥60
解得：x≥13
因为x是整数，所以x所取最小值为14，
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，找出关系式列出式子是解题的关键.
【变式4-1】某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对 道题．
【答案】14
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，由于x是整数，从而可以解答本题．
【详解】解：设小玉答对了x道题，
解得，
∴小玉至少答对14道，
故答案为：14．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的一元一次不等式．
【变式4-2】某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分
A 19 0 1 94
B 18 1 1 91
C 18 2 0 94
（1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分．
（2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？
（3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？
【答案】（1）2，1；（2）13道；（3）6道，理由见解析
【分析】（1）根据C和A的数据求解即可；
（2）设该选手不答题数为，列出方程求解即可；
（3）设后10道题答对道题，列出不等式计算即可；
【详解】解：（1）由C可知，不答一题的得分为：，
由A可知，答错一题的得分为：；
故答案是：2，1；
（2）设该选手不答题数为，
∴则答错题数为，
∴答对题数为道，
，
解得：，
∴答对题数；
（3）前10道题得分为：分，
设后10道题答对道题，
则，，
解得：，
∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键．
【变式4-3】在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．
（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？
（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？
【答案】（1）小李答对了16道题；
（2）小王答对了17道题或18道题．
【详解】试题分析：（1）设小李答对了x道题，则有（20﹣x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分是60分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可；
（2）先设小王答对了y道题，根据二等奖在75分～85分之间，列出不等式组，求出y的取值范围，再根据y只能取正整数，即可．
试题解析：（1）设小李答对了x道题．
依题意得 5x﹣3（20﹣x）=60．
解得x=15．
答：小李答对了16道题；
（2）设小王答对了y道题，依题意得：
，
解得： ≤y≤，即
∵y是正整数，
∴y=17或18，
答：小王答对了17道题或18道题．
考点：1.一元一次不等式组的应用2.一元一次方程的应用．
【题型5 古代问题】
【例5】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
【答案】(1)每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
(2)共有4种购买方法，方案1：购买10头牛，10只羊；方案2：购买9头牛，11只羊；方案3：购买8头牛，12只羊；方案4：购买7头牛，13只羊．
【分析】（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买头牛，则购买只羊，利用羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，列出关于的不等式组，结合为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买头牛，则购买只羊，
依题意得：，
解得：．
为整数，
有4种方案：①购买7头牛，购买13只羊；
②购买8头牛，购买12只羊；
③购买9头牛，购买11只羊；
④购买10头牛，购买10只羊．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，将实际问题转化为方程思想求解．
【变式5-1】围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋．已知购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元．
(1)求象棋和围棋的单价；
(2)学校准备购买象棋和围棋总共120副，围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，总费用可以是3500元吗？
【答案】(1)象棋的单价是25元，围棋的单价是30元
(2)总费用不能是3500元
【分析】（1）设象棋单价是元，围棋的单价是元，根据购买4副象棋和4副围棋共需220元，购买5副象棋和3副围棋共需215元列出方程组，解之即可；
（2）设购买象棋m副，根据围棋的数量不少于40副，且不多于象棋数量，列出不等式组，求出m的范围，再根据总费用为3500元列出方程，解之，结合m的范围即可判断．
【详解】（1）解：设象棋单价是元，围棋的单价是元，
根据题意得，
解得，
答：象棋的单价是25元，围棋的单价是30元．
（2）设购买象棋m副，则购买围棋副，
由题意得，
解得：，
令，
解得，
不符合，
∴总费用不能是3500元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式以及一元一次方程的应用，根据题意列出方程（组）与不等式是解题的关键．
【变式5-2】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计）．
问：（1）黄金、白银每枚各重多少两？
（2）现有一袋黄金和白银共重759两，总数不超过25枚．请你算算黄金、白银各有多少枚？
【答案】（1）每枚黄金重33两，每枚白银重27两；（2）黄金有14枚，白银有11枚
【分析】（1）设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意，找到等量关系列方程、解方程即可．
（2）设黄金有m枚，白银有n枚，然后根据题意列出方程和不等式求解即可.
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
解得．
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两；
（2）设黄金有m枚，白银有n枚，
由题意得：
整理得，
∵m、n都是整数，
∴ 必须为整数，
∴n=11或n=22，
当n=22时，m=5不合题意，
∴当n=11时，m=14，
∴黄金有14枚，白银有11枚，
答：黄金有14枚，白银有11枚.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次方程和一元一次不等式的结合应用，掌握相关知识是解题关键．
【变式5-3】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题：
(1)笼中鸡、兔各有多少只？
(2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？
【答案】(1)笼中鸡有23只，兔有12只
(2)这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元
【分析】（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设笼中有m只鸡，则兔有只，根据“笼中鸡兔至少30只且不超过32只”列出不等式，再根据“鸡每只值80元，兔每只值60元”解答即可．
【详解】（1）解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只，
依题意得：，
解得：.
答：笼中鸡有23只，兔有12只；
（2）设笼中鸡有只，则兔有只，
依题意得：，
解得：13≤≤17.
∵为整数
∴=13、14、15、16、17
①当=13时，
这笼鸡兔共值80×13+60×17=2060（元）
②当=14时，
此种情况不符合题意
③当=15时，
这笼鸡兔共值80×15+60×16=2160（元）
④当=16时，
此种情况不符合题意
⑤当=17时，
这笼鸡兔共值80×17+60×15=2260（元）
综上所述，当=13，=15，=17，符合实际意义
答：这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理清题中的数量关系列出方程不等式是解题的关键．
【题型6 方案问题】
【例6】在疫情期间，某物业公司为医护人员购买男、女两种型号防护服，已知3件男型防护服与4件女型防护服的费用相同，5件男型防护服与4件女型防护服共需1600元．
(1)求男、女两种型号防护服的单价；
(2)已知男医护人员比女医护人员多4人，且医护人员总数至少22人，物业公司经理计划用5000元购买两种型号防护服，则有几种购买方案？怎样购买才能使所需费用最低？
【答案】(1)男、女两种型号防护服的单价分别为200元、150元
(2)有4种购买方案：方案1：购买女种型号防护服9件，男种型号防护服13件；方案2：购买女种型号防护服10件，男种型号防护服14件；方案3∶购买女种型号防护服11件，男种型号防护服15件；方案4∶购买女种型号防护服12件，男种型号防护服16件；方案1：购买女种型号防护服9件，男种型号防护服13件所需费用低为3950元
【分析】（1）设男、女两种型号防护服的单价分别为x元、y元，根据3件男型防护服与4件女型防护服的费用相同，5件男型防护服与4件女型防护服共需1600元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买女种型号防护服件，则购买男种型号防护服件，根据题意列出不等式组，求出的正整数解，即可得出方案，求出每种方案的费用，进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设男、女两种型号防护服的单价分别为x元、y元，
由题意可得
解得
答：男、女两种型号防护服的单价分别为200元、150元．
（2）设购买女种型号防护服件，则购买男种型号防护服件，
由题意可得
解得．
∵为整数：，
，
∴有4种购买方案：
方案1：购买女种型号防护服9件，男种型号防护服13件．
费用为：（元）；
方案2：购买女种型号防护服10件，男种型号防护服14件．
费用为：（元）；
方案3：购买女种型号防护服11件，男种型号防护服15件．
费用为：（元）；
方案4：购买女种型号防护服12件，男种型号防护服16件．
费用为：（元）
∵，
∴方案1：购买女种型号防护服9件，男种型号防护服13件所需费用低为3950元．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组和一元一次不等式组．
【变式6-1】全球赖氏的精神家园、中原“根亲文化”的示范性工—古赖国文化园坐落在河南省三大历史名镇之一的息县包信镇，近些年世界各地赖氏宗亲都会到河南息县参加赖氏祭祖活动．为使活动更有意义，举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；购买8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元．
（1）求甲、乙两种品牌文化衫的单价；
（2）根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件数超过乙品牌文化衫件数的2倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）甲种品牌文化衫的单价为40元，乙种品牌文化衫的单价为35元；（2）购买甲品牌文化衫1334件，乙品牌文化衫666件时，最省钱，见解析
【分析】（1）设甲种品牌文化衫的单价为x元，乙种品牌文化衫的单价为y元，由题意：购买4件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需230元；购买8件甲品牌文化衫和6件乙品牌文化衫需530元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲品牌文化衫m件，则购买乙品牌文化衫（2000﹣m）件，由题意：决定购买两种品牌的文化衫共2000件，且甲品牌文化衫的件数超过乙品牌文化衫件数的2倍．列出一元一次不等式，解不等式，进而求解．
【详解】解：（1）设甲种品牌文化衫的单价为x元，乙种品牌文化衫的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种品牌文化衫的单价为40元，乙种品牌文化衫的单价为35元；
（2）设购买甲品牌文化衫m件，则购买乙品牌文化衫（2000﹣m）件，
由题意得：m＞2（2000﹣m），
解得：m＞，
∵甲品牌文化衫的单价大于乙品牌文化衫的单价，
∴购买甲品牌文化衫的件数越少，越省钱，
∴当m＝1334时，最省钱，
此时2000﹣m＝666，
答：购买甲品牌文化衫1334件，乙品牌文化衫666件时，最省钱．
【点睛】此题考查二元一次方程的应用和不等式的应用，难度一般，找准关系式是关键．
【变式6-2】为了保持膳食平衡，建议合理控制学生的肉类摄入量．学校午餐有A，B两种套餐，小明发现1份A套餐和1份B套餐共含肉类145克，2份A套餐和3份B套餐共含肉类350克．
套餐 主食（克） 肉类（克） 其他（克）
A 150 165
B 140 160
(1)求表格中x，y的值；
(2)如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不得超过720克，那么某同学在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按5天计算，每餐只选一种套餐．）
【答案】(1)
(2)共有3种方案：A套餐0天，B套餐5天；A套餐1天，B套餐4天；A套餐2天，B套餐3天．
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设选择A套餐m天，则B套餐天，根据题意列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，
解得；
（2）设选择A套餐m天，则B套餐天，
根据题意可得，
解得
∵m为正整数，
∴m的值可以为0，1，2
∴共有3种方案：A套餐0天，B套餐5天；A套餐1天，B套餐4天；A套餐2天，B套餐3天．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系和不等关系．
【变式6-3】年月日，北京冬奥会开幕式盛大隆重，冰墩墩和雪容融也受到世界人民的喜爱．某班计划团购这两种纪念品，已知购买个冰墩墩和个雪容融需元，购买个冰墩墩和个雪容融需元．
(1)求个冰墩墩和个雪容融的价格分别为多少元？
(2)该班计划购买冰墩墩和雪容融共个，其中雪容融的数量不超过冰墩墩数量的倍，且总费用不超过元，问共有几种购买方案？
【答案】(1)个冰墩墩的价格为元，个雪容融的价格为元
(2)共有三种购买方案
【分析】（1）设个冰墩墩的价格为元，个雪容融的价格为元，利用总价＝单价×数量，根据：购买个冰墩墩和个雪容融需元，购买个冰墩墩和个雪容融需元，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买个冰墩墩，则购买个雪容融，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过元，雪容融的数量不超过冰墩墩数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式式，解之即可得出的取值范围，再取其中的整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设个冰墩墩的价格为元，个雪容融的价格为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：个冰墩墩的价格为元，个雪容融的价格为元；
（2）设购买冰墩墩个，则购买雪容融个，
根据题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴，或，
∴共有三种购买方案．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【题型7 数字问题】
【例7阅读理解：
对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
问题呈现：
填空：①下列两位数：30，31，33中，“互异数”为______．
②计算：______，______．
数学思考：
如果一个“互异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“互异数”b．
问题解决：
如果一个“互异数”m的十位数字是x，个位数字是，另一个“互异数”n的十位数字是，个位数字是2，且满足，请直接写出满足条件的x的值．
【答案】问题呈现①：31；②：5，；数学思考：38；问题解决：6或8
【分析】问题呈现：①由“互异数”定义可得；②根据定义计算即可；
数学思考：由得到，可求k的值，即可求出b；
问题解决：根据题意列出不等式，求出，且x为正整数，即可求出x的值．
【详解】解：问题呈现：①∵对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”，
∴为“互异数”的是31，
故答案为：31；
②，，
故答案为：5，；
数学思考：∵，，
∴，
解得，
∴；
问题解决：∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，且x为正整数，
∴，7,8，
当时，；
当时，（不合题意，舍去）；
当时，，
综上，x为6或8．
【点睛】此题考查了新定义下的实数计算，一元一次不等式的应用，解一元一次方程，能理解“互异数”定义是解题的关键．
【变式7-1】一个两位数，其十位上数字与个位上数字之和等于9，且十位上数字与个位上数字都不为0． 若将其十位上数字与个位上数字调换，所得新数小于原来数的． 求这个两位数．
【答案】72或81
【分析】设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得
[]解不等式即可．
【详解】解：设这个数十位上数字是，则其个位上数字是，这个数可表示为：；将十位上数字与个位上数字对调后所得新数可表示为：．依题意，得
[]
解这个不等式，得
，
∵十位上数字与个位上数字都不为0，
∴
∴整的整数值为5、6、7、8
当时，，这个数为54，对调后所得数为45，，不符合题意；
当时，，这个数是63，对调后所得数字为36，，不符合题意；
当时，9-，这个数为72，十位上数字与个位上数字对调后所得数为27，27＜，符合题意；
当时，，这个数为81，十位上数字与个位上数字对调后所得数为18，18＜，符合题意．
∴这个两位数是72或81．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【变式7-2】将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【分析】图形中有3个“田”字形，其中重叠的有两个小格，设对应的数为a、b，则a与b均被加了两次，根据“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为，根据3个“田”字形所填数的总和为，列出不等式，求整数解即可．
【详解】解：设每个“田”字格四个数的和为m， 共12个数的和为， 有两数重复，
设这两数分别为a，b， 所以3个“田”字形所填数的总和为： ，
则有， 要m最大，必须a、b最大，
而a+b最大值为，
则， 则，
则m最大整数值为24．
故选B．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出关系式．
【变式7-3】阅读材料：一个四位自然数各位数字不同且不为0，若它满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这个四位自然数为“双城数”．比如8631，各位数字均不为0且不相同，8+1＝6+3，所以8631是“双城数”．
(1)请判断5724，6532是否是“双城数”，并写出判断过程；
(2)一个“双城数”A千位数字为2，百位数字为m，个位数字为n，若A的各位数字之和恰为7的倍数，求所有满足题意的“双城数”
【答案】(1)5724，6532都是“双城数”
(2)2165、2345、2435、2615
【分析】（1）根据“双城数”的定义判断即可；
（2）根据“双城数”的定义可确定该“双城数”十位数字为．再结合题意可知（k为正整数），由“双城数”的定义可知或且为整数，在分类讨论列出等式和不等式，即可求出答案．
【详解】（1）∵5724各位数字不同且不为0，5+4=7+2=9，
∴5724是“双城数”；
∵6532各位数字不同且不为0，6+2=5+3=8，
∴6532是“双城数”；
（2）由题意可知该“双城数”十位数字为．
∵A的各位数字之和恰为7的倍数，
∴（k为正整数），
整理，得：，
∵或且为整数，
∴当时，，解得：，不符合题意；
当时，，解得：
∴k可取2和3．
当时，，即此时千位数字为2，个位数字为5，
∴此时该“双城数”可为2165、2345、2435、2615、2075（不合题意，舍去），2705（不合题意，舍去）；
当时，，不符合题意．
综上可知，满足题意的“双城数”为2165、2345、2435、2615．
【点睛】本题考查新定义，学生的阅读理解能力和知识迁移能力，解一元一次不等式组．理解“双城数”的定义是解题关键．
【题型8 几何图形问题】
【例8】王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)．
（1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm．
（2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽．
（3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满．
【答案】（1）40；（2）乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；（3）5cm．
【分析】（1）根据王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（如图①），可得甲种盒子底面边长是60-20=40（cm）；
（2）设乙种盒子底面的宽BC为xcm，则长AB为2xcm，根据原边长是60cm，结合图形得方程2x+2y=60，解方程即可求解；
（3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解．
【详解】解：（1）60-20=40（cm）；
故答案为：40；
（2）设乙种盒子底面的宽为xcm，则盒子底面的长为2xcm，依题意有
2x+x+2x+x=60，
解得x=10，
则2x=20．
答：乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；
（3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，
根据题意得40×40y≥20×10×40，
解得y≥5．
答：当甲种盒子的注水高度至少为5cm时，将水倒入乙种盒子后可以把乙种盒子注满水．
【点睛】考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是能够结合图形正确发现等量关系，列出方程．熟悉长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高．
【变式8-1】如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
【答案】(1)a=50-2b，15．
(2)
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可；
（2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b
当时，．解得．
（2）解：∵，，
∴
解这个不等式组得：．
答：矩形花园宽的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键．
【变式8-2】如图1所示，在一个长方形广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛．若广场的长为m米，宽为n米，圆形的半径为r米．
（1）列式表示广场空地的面积．
（2）若广场的长为300米，宽为200米，圆形的半径为30米，求广场空地的面积（计算结果保留π）．
（3）如图2所示，在（2）的条件下，若在广场的中间再建一个半径为R的圆形花坛，使广场的空地面积不少于广场总面积的，求R的最大整数值（π取3.1）．
【答案】（1）mn﹣πr2，（2）（60000﹣90π）平方米．（3）74米．
【分析】（1）长方形的面积减去半径为r的圆的面积即可．
（2）把m=300，n=200，r=30代入即可求出空地的面积，
（3）根据面积之间的关系列出不等式，求出不等式的整数解即可．
【详解】（1）由题意得，mn﹣πr2，
答：广场空地的面积为（mn﹣πr2）平方米，
（2）把m＝300，n＝200，r＝30代入得，
原式＝300×200﹣π×900＝（60000﹣900π）平方米，
答：广场空地的面积大约为（60000﹣90π）平方米．
（3）由题意得，
300×200﹣π×302﹣πR2≥300×200×，
解得R≤74.51，
R为最大的整数，
所以R＝74米，
答：R的最大整数值为74米．
【点睛】考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式是关键，把数据代入根据代数式规定的运算进行计算是常用的解题方法．
【变式8-3】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．

【答案】或
【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
∵
∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：；
第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
∴的值为：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
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