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专题 一元一次不等式的应用重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 方案问题
题型二 销售利润问题
题型三 分配问题
题型四 几何问题
题型五 行程问题
题型六 和差倍分问题
题型七 新定义问题
题型八 其他问题
【知识梳理】
知识点1:盈不足与行程问题
盈不足问题
行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间
知识点2：经济与方案问题
一．经济问题：
常见等量关系：
利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%.
售价=成本X（1+利润率）
二．方案问题
【经典例题一 方案问题】
1．西岗区某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元．
(1)根据以上信息解答若需要购买个篮球和个足球需要多少钱；
(2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，则有哪几种购买方案？
2．某工厂生产1件甲型号产品需要1个工人和4台机器，生产1件乙型号产品需要2个工人和3台机器．
(1)现有162个工人和340台机器，若要生产两种型号的产品共100件，其中生产甲型号产品件．
①根据题意，完成下表：
甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件）
工人数量（个）
机器数量（台）
②按甲、乙两种型号产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？
(2)若有162个工人和台机器可投入生产甲、乙两种型号的产品，工人和机器恰好都分配完．如果，那么的值为多少？
3．为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
4．第一届茶博会在海丝公园举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会主题“精彩闽茶 全球共享”．一采购商看中了铁观音和大红袍这两种优质茶叶，并得到如表信息：
铁观音 大红袍 总价/元
质变/Akg 2 5 1800
3 1 1270
(1)求每千克铁观音和大红袍的进价；
(2)若铁观音和大红袍这两种茶叶的销售单价分别为450元/kg、260元/kg，该采购商准备购进这两种茶叶共30kg，进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润＝售价﹣进价）
5．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元．
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？
【经典例题二 销售利润问题】
6．在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元．
(1)分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价．
(2)若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？
7．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．
(1)求A模型和B模型的单价．
(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
8．学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元．
(1)求通道闸机和门禁机的单价．
(2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？
9．服装店老板购进A，B两种品牌的服装，若购进5套A品牌服装和4套B品牌服装共需元，若购进6套A品牌服装和2套B品牌服装共需元，
(1)A，B两种品牌的服装每套的进价分别是多少元？
(2)若A品牌服装每套售价为元，B品牌服装每套售价为元，老板决定购进A品牌服装的数量为B品牌服装数量的还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于元，则最少购进B品牌服装多少套？
10．大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
(1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？
(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
【经典例题三 分配问题】
11．阳光营养餐公司为学生提供的早餐食品中，蛋白质总含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表：
项目 谷物（每） 牛奶（每） 鸡蛋（每）
蛋白质（）
脂肪（）
碳水化合物（）
(1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？
(2)该公司为学生提供的午餐有、两种套餐（每天只提供一种），见下表：
套餐 主食 肉类 其他
为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过，肉类摄入量不超过，每个学生一周内午餐可以选择、套餐各几天（一周按天计算）？
12．某厂租用两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆型车和1辆型 车装满可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用两种型号车6辆一次配送完货物，且车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计完成一次配送完21吨货物的租车方案，并写出所有方案．
13．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
(1)求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗；
(2)计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，请求出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
14．2024年7月中下旬，河南郑州等地遭受了千年一遇的大暴雨，使郑州市区发生严重的内涝，严重影响到了人民的生命财产安全，为了应对洪水褪去后市民生活必需品的供应，加大市场供应力度，郑州市政府向市场投放政府储备蔬菜，现就全市设立的投放点，安排某物流公司配送到各门店，计划投入使用两种货车．已知4辆大货车与3辆小货车一次可以运送蔬菜29吨，2辆大货车与5辆小货车一次可以运送蔬菜25吨．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运送蔬菜多少吨？
(2)如果政府储备蔬菜存放处有50吨蔬菜需要运送．存放处拟安排大小货车共12辆一次性运完，已知1辆大货车的运送成本为450元，1辆小货车的运送成本为300元，请问存放处如何安排车辆才能使得运送成本达到最低，并且保证一次性运完，最低运送成本为多少元？
15．为了响应某市的“四个一”工程，培养学生的爱国主义情怀，某校学生和带队老师在5月下旬某天集体乘车去参观抗日战争纪念馆．已知学生的数量是带队老师的12倍多20人，学生和老师的总人数共540人．
(1)请求出去参观抗日战争纪念馆学生和老师各多少人？
(2)如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共14辆，（其中B型大巴车最多有7辆）已知A型大巴车每车最多可以载35人，B型大巴车每车最多可以载45人，请问共有几种租赁车辆方案？
(3)在（2）的条件下，已知A型大巴车日租金为2000元，B型大巴车日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案．
【经典例题四 几何问题】
16．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃的一边长为x米．

(1)苗圃的另一边长为______米（用含x的代数式表示）；
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？
17．长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合)
(1)请直接用含、的代数式，表示线段的长度；
(2)当时，连接，若与全等，求的长；
(3)若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围．
18．如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒．

(1)点在运动的路线上和点之间的距离为4时，________秒．
(2)若的面积为，用含的代数式表示．
(3)若点从点出发3秒后，点以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应的取值范围．
19．如图，某农场准备用的护栏围成一个靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．

(1)当时，求b的值；
(2)受场地条件的限制，a的取值范围，求b的取值范围．
20．为了体验成长，收获快乐，学校计划组织初一同学开展以“寻根．行走青春”为主题的研学活动．训练时，将全年级的同学分成了三个人数相同，排列方式也完全相同的队伍进行训练，当三支队伍正好按如图所示的方式站立时，（图中阴影部分既为三支队伍），发现从正前方看有人，从侧面看有人．

(1)求本次研学初一年级共有多少人参加？
(2)基地计划一共租、两种型号的客车20辆，若一辆型车可载30人，租金为320元，一辆型车可载45人，租金为400元．在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？
【经典例题五 行程问题】
17．已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．

(1)若、两点相遇，求的值；；
(2)若、两点相距18个单位长度，求的值；
(3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围．
18．临沂地处沂蒙山区，因临沂河而得名．临沂是中国北方最大的货物集散中心，是中国北方的“物流之都”．临沂某商场“五一优惠大酬宾”期间，急需1000台空调，欲从某仓储中心调运，现仅有两种型号的货车负责运输，每辆型车需要60分钟送达，每辆型车需要40分钟送达；型车每20分钟发一辆车，型车每10分钟发一辆车．
(1)如果第一辆型车与第一辆型车同时从仓储中心发车，当第辆型车到达商场时，第辆型车也同时到达，试求出之间的数量关系．
(2)在（1）的条件下，若1辆型车可满载50台，每辆次运费为200元；1辆型车可满载30台，每辆次运费为150元．运输任务完成后，总运费不超过5000元．求的值．
19．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．
例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点．
(1)如图，点中， 是点A的2可达点；
(2)若点C为数轴上一个动点，
①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ；
②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ；
(3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ．
20．在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段上一点Q，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“闭距离”，如图1，若，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段的长最大，值是4，则点P与线段的“闭距离”为4．
(1)如图2，在该数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为2．
①当时，点A与线段的“闭距离”为______；
②若点B与线段的“闭距离”为3，求m的值；
(2)在该数轴上，点C表示的数为，点D表示的数为，若线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值．
【经典例题六 和差倍分问题】
21．临近期末某班需要购买一些奖品，经过市场考察得知，购买10个钢笔礼盒和1个水杯需要242元，购买1个钢笔礼盒和10个水杯需要341元．
(1)你能求出每个钢笔礼盒、每个水杯各多少元？
(2)根据班级情况，需购进钢笔礼盒和水杯共30个，现要求钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用不超过800元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？
22．为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建A，B两类展位供当地的农产品展览和销售．1个A类展位的占地面积比1个B类展位的占地面积多4平方米；10个A类展位和5个B类展位的占地面积共283平方米．建A类展位每平方米的费用为120元，建B类展位每平方米的费用为100元．
(1)求每个A，B类展位占地面积各为多少平方米？
(2)该村拟建A，B两类展位共40个，B类展位的数量小于A类展位数量的2倍，且建造这40个展位的总费用不超过77000元，求该村共有哪些建设方案？
23．某中学组织全体学生前往劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示．学校计划此次劳动实践活动的租金总额不超过3000元．
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的工作，有哪几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，如果为了节约资金．应选择哪种租车方案？
24．每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割．已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩．
(1)求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？
(2)每台中型收割机和每台小型收割机每天的租用费用分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩．合作社计划租用两型收割机共8台，恰好用5天时间将小麦全部收割，要使租用收割机的总费用不超过65000元，试求有哪几种租用方案．
【经典例题七 新定义问题】
25．阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…，试解决下列问题：
(1)①______（为圆周率）；②如果，则数的取值范围为______；
(2)求出满足的的取值范围．
26．给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题：
(1)填空：若，则实数a的取值范围为_______．
(2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围．
(3)求满足的所有非负实数c的值．
27．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．
（1）若x y=1，x 2y=﹣2，分别求出x和y的值；
（2）若x满足x 2≤0，且3x （﹣8）＞0，求x的取值范围．
28．深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，…
试解决下列问题：
(1)填空：①________，________（为圆周率），________；
②如果，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数的值．
【经典例题八 其他问题】
29．中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利5600元．下表列出了两种礼盒的进价与售价：
进价（元/个） 售价（元/个）
A礼盒 160 240
礼盒 100 150
(1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个；
(2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒个（为整数），A礼盒的售价比第一次的售价提高元，礼盒的售价也比第一次的售价提高元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？
30．我校图书馆扩建，需要购买、两种图书，购买类图书50本，类图书25本，共花费4500元．已知购买一本类图书比购买一本类图书多花30元．
(1)求购买一本类图书、一本类图书各需多少元？
(2)为了同学们有更好的阅读体验，校图书馆决定再次购进、两类图书共50本，正好赶上书店对图书价格进行调整，类图书的售价比第一次购买时提高4元，类图书按第一次购买时售价的9折出售，如果图书馆此次购买、两类图书的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的类图书不少于23本，则这次校图书馆有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？最低费用是多少？
31．某文具店准备购进甲，乙两种钢笔，若购进甲种钢笔20支，乙种钢笔10支．需要200元，若购进甲种笔30支，乙种钢笔40支．需要500元，甲种钢笔每支售价9元，当乙种钢笔的销量不超过200支时，每支12元；销量超过200支时，超过的部分每支10元．
(1)求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
(2)该文具店每天购进甲、乙两种钢笔共300支，并在当天全部销售完，若乙种钢笔的总利润不超过甲种钢笔总利润的4倍，设每天购进甲种钢笔x支（x为正整数），求x的取值范围．
32．第三届中非经贸博览会近期在长沙举办，某饮料店欲在展会上购买，两种咖啡豆．已知袋品种咖啡豆的总价与袋品种咖啡豆的总价相等，购买袋品种和袋品种共需元．
(1)求、两个品种咖啡豆的单价各是多少元？
(2)现计划用元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种咖啡豆共袋，且品种的数量不少于品种数量的，求两种咖啡豆共有多少种选购方案？品种咖啡豆选购多少袋时总费用最少？
【拓展培优】
1．一位老师说，他班上学生的一半在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生在学音乐，还有不足名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有（ ）人．
A．人 B．人 C．人 D．人
2．八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
3．对于实数x,符号可表示不超过x的最大整数，如．若有正整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．小太阳幼儿园要把若干个苹果分给一些小朋友，如果每人分5个，那么余7个；如果每人分6个，那么最后一名小朋友分到的苹果少于3个，则小朋友的人数至少有（ ）
A．11人 B．12人 C．13人 D．14人
5．如图，一钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，且，对于下列结论，判断正确的是( )
结论Ⅰ：若，则；
结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么的取值范围是

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
6．为了鼓励在本次夏令营活动中表现良好的同学，组委会给每个年级组下发了“优秀营员奖”的名额，还准备了若干日记本奖励获得“优秀营员奖”的同学．对七年级组的优秀营员，若每人奖励3本，则还多出8本；若每人奖励5本，则将有一名优秀营员不足3本．那么组委会下发给七年级组的“优秀营员奖”的名额有 个．
7．疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为： ．
8．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负数时，若，则．如：，．若，则实数的取值范围是 ．
9．圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买 枚．
10．南开数学组于每年3月14日举办数学节“”，计划购进A、B两款的魔方，每个A款魔方的价格是15元，每个B款魔方的价格是22元．若数学组计划购进这两款魔方共40个，其中B款魔方的数量不少于A款魔方的数量，学校最多能够提供资金776元，则最少购买 个A款魔方．
11．疫情防控期间，政府为人民提供了充足的物资保障．根据物资品类不同，可分为A类物资和B类物资．已知1箱A类物资和2箱B类物资价值280元，2箱A类物资和1箱B类物资价值260元．
(1)求1箱A类物资和1箱B类物资各价值多少元？
(2)某小区共需准备200箱物资，其中B类物资的数量不少于118箱，且不多于A类物资数量的1.5倍，请问有哪几种准备物资的方案？哪种方案的总价值最少？
12．为更好地保护环境，某垃圾处理厂决定购买、两种型号垃圾处理设备共20台，每台型设备10万元，每台型设备8万元，已知1台型设备和3台型设备每天可以处理垃圾64吨，3台型设备和4台型设备每天可以处理垃圾152吨．
(1)求、两种型号设备每天每台分别可以处理垃圾多少吨？
(2)经预算，垃圾厂购买设备的资金不超过200万元，每天处理垃圾的量不低于720吨，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案所需资金最少，最少资金是多少？
13．如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升．
(1)求一个大玻璃球的体积；
(2)放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．
14．为了实现县域教育均衡发展，某县计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元．
(1)改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？
(2)该县计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出改造方案？
15．某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：
载客量（人/辆） 50 35
租金（元/辆） 450 300
设租用型车辆，
(1)请用代数式表示出总租金是多少
(2)保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆型车？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 一元一次不等式的应用重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 方案问题
题型二 销售利润问题
题型三 分配问题
题型四 几何问题
题型五 行程问题
题型六 和差倍分问题
题型七 新定义问题
题型八 其他问题
【知识梳理】
知识点1:盈不足与行程问题
盈不足问题
行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间
知识点2：经济与方案问题
一．经济问题：
常见等量关系：
利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%.
售价=成本X（1+利润率）
二．方案问题
【经典例题一 方案问题】
1．西岗区某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球已知购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元．
(1)根据以上信息解答若需要购买个篮球和个足球需要多少钱；
(2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)购买个篮球和个足球需要元；
(2)有种购买方案，方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球；方案：购买个篮球，个足球
【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据“购买个篮球和个足球需要元；购买个篮球和个足球需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可求出，的值，再将其代入中，即可求出结论；
（2）设购买个篮球，则购买个足球，根据“购进篮球不少于个，且总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【详解】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
．
答：购买个篮球和个足球需要元；
（2）设购买个篮球，则购买个足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，，
共有种购买方案，
方案：购买个篮球，个足球；
方案：购买个篮球，个足球；
方案：购买个篮球，个足球；
方案：购买个篮球，个足球．
2．某工厂生产1件甲型号产品需要1个工人和4台机器，生产1件乙型号产品需要2个工人和3台机器．
(1)现有162个工人和340台机器，若要生产两种型号的产品共100件，其中生产甲型号产品件．
①根据题意，完成下表：
甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件）
工人数量（个）
机器数量（台）
②按甲、乙两种型号产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？
(2)若有162个工人和台机器可投入生产甲、乙两种型号的产品，工人和机器恰好都分配完．如果，那么的值为多少？
【答案】(1)①见解析；②生产甲、乙两种型号产品有3种生产方案，分别为38件、62件或39件、61件或40件、60件；
(2)或298或303．
【分析】本题考查了不等式组和方程组的应用．
（1）①根据题意，列出代数式即可；②根据题意，列出不等式组，解不等式组即可求解；
（2）设生产甲、乙两种型号的产品分别为m件、n件，根据题意列出二元一次方程组，根据m和n以及为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：①根据题意，填表如下：
甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件）
工人数量（个）
机器数量（台）
②由题意得，
解得，
∵为正整数，
∴生产甲、乙两种型号产品有3种生产方案，分别为38件、62件或39件、61件或40件、60件；
（2）解：设生产甲、乙两种型号的产品分别为m件、n件，
由题意得，
∴，
∵为正整数，且，
∴或298或303．
3．为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
【答案】(1)购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元
(2)三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）等量关系式：购买A型公交车1辆的费用购买B型公交车2辆的费用400万元，购买A型公交车2辆的费用B型公交车1辆的费用共需350万元；据此列出方程组，即可求解；
（2）不等关系式：购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用1200万元，A型公交车的载客量B型公交车的载客量680万人次；据此列出不等式组，即可求解；
找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，
由题意得，
解得，
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）解：设购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，
由题意得，
解得：，
因为a是整数，
所以取、、；
则取、、．
三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．
4．第一届茶博会在海丝公园举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会主题“精彩闽茶 全球共享”．一采购商看中了铁观音和大红袍这两种优质茶叶，并得到如表信息：
铁观音 大红袍 总价/元
质变/Akg 2 5 1800
3 1 1270
(1)求每千克铁观音和大红袍的进价；
(2)若铁观音和大红袍这两种茶叶的销售单价分别为450元/kg、260元/kg，该采购商准备购进这两种茶叶共30kg，进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润＝售价﹣进价）
【答案】(1)每千克铁观音的进价是350元，每千克大红袍的进价是220元；
(2)该采购商共有2种进货方案．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用：
（1）设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元，利用总价=单价×数量，结合表格中的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍，根据“进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该采购商共有2种进货方案．
【详解】（1）解：设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：每千克铁观音的进价是350元，每千克大红袍的进价是220元；
（2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为25，26，
∴该采购商共有2种进货方案．
5．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元．
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球和足球的单价分别是120元，90元
(2)有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设篮球和足球的单价分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元列出方程组求解即可；
（2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过5460元，且篮球不少于30个列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设篮球和足球的单价分别是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：篮球和足球的单价分别是120元，90元；
（2）解：设购买篮球m个，则购买足球个，
由题意得，，
解得，
∵m为正整数，
∴m的值可以为30或31或32，
∴有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个．
【经典例题二 销售利润问题】
6．在北京进行的2022年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元．
(1)分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价．
(2)若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60元，每个“雪容融”玩具成本为40元，准备制作两种吉祥物玩具共100个，总成本不超过5000元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480元，请问有哪几种制作方案？
【答案】(1)“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元
(2)有3种制作方案：①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”；②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”；③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用：
（1）设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，根据购买8个“冰墩墩”和4个“雪容融”玩具共需960元，购买6个“冰墩墩”和8个“雪容融”玩具共需1020元，列出方程组求解即可；
（2）设购买个“冰墩墩”，则购买个“雪容融”，根据总成本不超过5000元，利润不低于2480元，列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”的销售单价为90元，“雪容融”的销售单价为60元．
（2）解：设制作m个“冰墩墩”，则制作个“雪容融”，
依题意得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值为48、49、50，
∴有3种制作方案：
①制作48个“冰墩墩”，52个“雪容融”；
②制作49个“冰墩墩”，51个“雪容融”；
③制作50个“冰墩墩”，50个“雪容融”．
7．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．
(1)求A模型和B模型的单价．
(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】(1)56元，103元；
(2)购买A模型15个，B模型5个，费用最少，该方案所需的费用为元．
【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A模型m个，则购买B模型（20-m）个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【详解】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元．
（2）设购买A模型m个，则购买B模型个，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．
∵，
∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．
8．学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元．
(1)求通道闸机和门禁机的单价．
(2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？
【答案】(1)通道闸机的单价为2250元，门禁机的单价为750元
(2)方案1：购买道闸机10台，购买门禁机30台；方案2：购买道闸机11台，购买门禁机29台；方案3：购买道闸机12台，购买门禁机28台．其中方案1所需资金最少，为45000元
【分析】（1）设门禁机的单价为元，则通道闸机的单价为元，根据题意列方程并求解，即可获得答案；
（2）设购买道闸机台，则购买门禁机台，根据题意列出关于的一元一次不等式组并求解，结合实际确定的值，即可列出可能方案，并分别计算每一种方案的费用，比较即可获得答案．
【详解】（1）解：设门禁机的单价为元，则通道闸机的单价为元，
根据题意，可得，
解得元，
则元．
答：通道闸机的单价为2250元，门禁机的单价为750元；
（2）解：设购买道闸机台，则购买门禁机台，
根据题意，可得
，
解得，
∵为正整数，
∴可以为10，11，12，
∴共有3种购买方案：
方案1：购买道闸机10台，购买门禁机30台，费用为元；
方案2：购买道闸机11台，购买门禁机29台，费用为元；
方案3：购买道闸机12台，购买门禁机28台，费用为元，
∵，
∴方案1所需资金最少，为45000元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数混合运算以及有理数比较大小等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
9．服装店老板购进A，B两种品牌的服装，若购进5套A品牌服装和4套B品牌服装共需元，若购进6套A品牌服装和2套B品牌服装共需元，
(1)A，B两种品牌的服装每套的进价分别是多少元？
(2)若A品牌服装每套售价为元，B品牌服装每套售价为元，老板决定购进A品牌服装的数量为B品牌服装数量的还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于元，则最少购进B品牌服装多少套？
【答案】(1)A品牌服装每套进价为元，B品牌服装每套进价为元
(2)至少购进B品牌服装件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．根据依题正确的列等式、不等式是解题的关键．
（1）设A、B两种品牌服装每套进价分别为x元，y元，依题意得，，计算求解即可；
（2）设购进B品牌服装a件，则A品牌服装件， 依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设A、B两种品牌服装每套进价分别为x元，y元，
依题意得，，
解得，
答：A品牌服装每套进价为元，B品牌服装每套进价为元．
（2）解：设购进B品牌服装a件，则A品牌服装件，
依题意得，，
解得：
答：至少购进B品牌服装件．
10．大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
(1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？
(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
【答案】(1)厨具店在该买卖中赚了元
(2)共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台； ②购买电饭煲台，购买电压锅台； ③购买电饭煲台，购买电压锅台；
(3)购买电饭煲台，购买电压锅台时，该厨具店赚钱最多
【分析】本题考查二元一次方程组，不等式的应用，找准等量关系，列式计算是解题的关键．
（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，橱具店在该买卖中赚了钱数；
（2）先设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，根据题意列出不等式组，再解不等式组即可；
（3）结合（2）中的数据进行计算，即可得到进货方案橱具店赚钱最多．
【详解】（1）设该厨具店购进电饭煲台，则购进电压锅 台，
由题意，得 解得：
则(元)
即厨具店在该买卖中赚了元；
（2）设购买电饭煲台，则购买电压锅台，
由题意得 ，
解得：，
∵是正整数，
∴或或，
当时，
当时，
当时，
故共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台；
②购买电饭煲台，购买电压锅台；
③购买电饭煲台，购买电压锅台；
（3）①当购买电饭煲台，购买电压锅台台时，
(元)；
②当购买电饭煲台，购买电压锅台时，
(元)
③当购买电饭煲台，购买电压锅台时，(元)
，
∴当购买电饭煲台，购买电压锅台时，该厨具店赚钱最多．
【经典例题三 分配问题】
11．阳光营养餐公司为学生提供的早餐食品中，蛋白质总含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表：
项目 谷物（每） 牛奶（每） 鸡蛋（每）
蛋白质（）
脂肪（）
碳水化合物（）
(1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？
(2)该公司为学生提供的午餐有、两种套餐（每天只提供一种），见下表：
套餐 主食 肉类 其他
为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过，肉类摄入量不超过，每个学生一周内午餐可以选择、套餐各几天（一周按天计算）？
【答案】(1)每份该种早餐中谷物食品有，牛奶；
(2)每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天；或每个学生一周内午餐可以选择套餐选择套餐天。
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而得到所求的量的等量关系和不等关系．
（1）根据等量关系：蛋白质总含量为；早餐食品；列出方程组求解即可；
（2）设该学校一周里共有天选择套餐，则有（）天选择套餐，根据学生午餐主食摄入总量不超过，肉类摄入量不超过，列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设每份该种早餐中谷物食品有，牛奶有．依题意，列方程组为
，
解得，
∴，，
答：每份该种早餐中谷物食品有，牛奶。
（2）解：设每个一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐．
依题意，得．
解得．
∴或，
当时，，
当时，，
∴每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天；或每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天.
12．某厂租用两种型号的车给零售商运送货物．已知用2辆型车和1辆型 车装满可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨；厂家现有21吨货物需要配送，计划租用两种型号车6辆一次配送完货物，且车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮助厂家设计完成一次配送完21吨货物的租车方案，并写出所有方案．
【答案】(1)1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨
(2)方案一：型1辆，型5辆；方案二：型2辆，型4辆；方案三：型3辆，型3辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系以及数量之间的关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式组是解此题的关键．
（1）设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型 车装满可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据“车至少1辆，厂家现有21吨货物需要配送”，列出关于的不等式组，求出的取值范围，再结合为整数，即可得出租车方案．
【详解】（1）解：设1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨，
由题意得：，
解得：，
1辆型车装满货物一次可运货吨，1辆型车装满货物一次可运货吨
（2）解：设租用辆型车，则租用辆型车，
由题意得：，
解得：，
为整数，
可以为1，2，3，
厂家共有3种租车方案，方案一：型1辆，型5辆；方案二：型2辆，型4辆；方案三：型3辆，型3辆．
13．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
(1)求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗；
(2)计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，请求出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗
(2)方案一：A型车6辆，B型车6辆，所需费用最少，最少费用是48000元
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，利用“2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．”建立方程组解答即可；
（2）设A型车a辆，则B型车辆，利用“运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元”建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得，，
解得，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车辆，
由题意可得，，
解得，
∵a为正整数，
∴，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆数越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为（元），
答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
14．2021年7月中下旬，河南郑州等地遭受了千年一遇的大暴雨，使郑州市区发生严重的内涝，严重影响到了人民的生命财产安全，为了应对洪水褪去后市民生活必需品的供应，加大市场供应力度，郑州市政府向市场投放政府储备蔬菜，现就全市设立的投放点，安排某物流公司配送到各门店，计划投入使用两种货车．已知4辆大货车与3辆小货车一次可以运送蔬菜29吨，2辆大货车与5辆小货车一次可以运送蔬菜25吨．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运送蔬菜多少吨？
(2)如果政府储备蔬菜存放处有50吨蔬菜需要运送．存放处拟安排大小货车共12辆一次性运完，已知1辆大货车的运送成本为450元，1辆小货车的运送成本为300元，请问存放处如何安排车辆才能使得运送成本达到最低，并且保证一次性运完，最低运送成本为多少元？
【答案】(1)1辆大货车可以运送蔬菜5吨，1辆小货车一次可以运送蔬菜3吨
(2)存放处安排大货车7辆，小货车5辆，才能使得运送成本达到最低，并且保证一次性运完，最低运送成本为4650元
【分析】（1）根据题意，明确等量关系，建立二元一次方程组求解；
（2）设安排t辆大货车，根据题意得，解得，设运送成本为W元，则，根据一次函数性质，时，W最小，计算求解．
【详解】（1）解：设1辆大货车可以运送蔬菜x吨，1辆小货车一次可以运送蔬菜y吨，根据题意得：
，解得，
答：1辆大货车可以运送蔬菜5吨，1辆小货车一次可以运送蔬菜3吨；
（2）解：设安排t辆大货车，则安排辆小货车，根据题意得：
，解得，
设运送成本为W元，则，
∵，
∴W随t的增大而增大，
∴时，W最小，为，
答：存放处安排大货车7辆，小货车5辆，才能使得运送成本达到最低，并且保证一次性运完，最低运送成本为4650元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
15．为了响应某市的“四个一”工程，培养学生的爱国主义情怀，某校学生和带队老师在5月下旬某天集体乘车去参观抗日战争纪念馆．已知学生的数量是带队老师的12倍多20人，学生和老师的总人数共540人．
(1)请求出去参观抗日战争纪念馆学生和老师各多少人？
(2)如果学校准备租赁A型大巴车和B型大巴车共14辆，（其中B型大巴车最多有7辆）已知A型大巴车每车最多可以载35人，B型大巴车每车最多可以载45人，请问共有几种租赁车辆方案？
(3)在（2）的条件下，已知A型大巴车日租金为2000元，B型大巴车日租金为3000元，请求出最经济的租赁车辆方案．
【答案】(1)去抗日战争纪念馆的学生有500人，老师有40人．
(2)共有3种租车方案： ①租赁B型大巴车5辆，租赁A型大巴车9辆； ②租赁B型大巴车6辆，租赁A型大巴车8辆； ③租赁B型大巴车7辆，租赁A型大巴车7辆；
(3)最经济的租赁车辆方案为：租赁A型大巴车9辆和租赁B型大巴车5辆．
【分析】（1）设去参观抗日战争纪念馆学生有x人，老师有y人，根据“学生的数量是带队老师的12倍多20人，学生和老师的总数共540人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租赁B型大巴车m辆，则租赁A型大巴车辆，由B型大巴车最多有7辆及租赁的14辆车至少能坐下540人，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出m的值；
（3）根据总租金=每辆车的租金金额×租车辆数，再分别计算即可找出最经济的租赁车辆方案．
【详解】（1）解：设去抗日战争纪念馆的学生有x人，老师有y人，
依题意得： ， 解得：．
答：去抗日战争纪念馆研学的学生有500人，老师有40人．
（2）设租赁B型大巴车m辆，则租赁A型大巴车辆，
依题意得： ，
解得：．
∵m为正整数，
∴，6或7，
∴共有3种租车方案： ①租赁B型大巴车5辆，租赁A型大巴车9辆； ②租赁B型大巴车6辆，租赁A型大巴车8辆； ③租赁B型大巴车7辆，租赁A型大巴车7辆；
（3）租赁B型大巴车5辆，租赁A型大巴车9辆；此时费用为：
（元），
租赁B型大巴车6辆，租赁A型大巴车8辆； 此时费用为：
（元），
租赁B型大巴车7辆，租赁A型大巴车7辆；
（元），
而，
∴最经济的租赁车辆方案为：租赁A型大巴车9辆和租赁B型大巴车5辆．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【经典例题四 几何问题】
16．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃的一边长为x米．

(1)苗圃的另一边长为______米（用含x的代数式表示）；
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？
【答案】(1)
(2)当x为4米时，苗圃的面积最大，且最大面积为48平方米
【分析】（1）根据木栏总长22米，两处各留1米宽的门，苗圃的一边长为x米，即可求得长；
（2）根据题意得苗圃的面积为：，根据完全平方公式，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，苗圃的一边长为x米，
∴米，
故答案为：；
（2）解：根据题意可知：，
解得：，
苗圃的面积为：
，
∵，
∴当时，最大，且最大值为48，
∴当x为4米时，苗圃的最大面积为48平方米．
【点睛】本题考查了列代数式，完全平方公式的应用，不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出相应的代数式．
17．长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合)
(1)请直接用含、的代数式，表示线段的长度；
(2)当时，连接，若与全等，求的长；
(3)若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式；一元一次不等式的应用；
（1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题；
（2）由题意得：，，，当时：当时分别建立方程，解方程即可求解；
（3）由，知，，故，得，可得①，②，即可解得答案．
【详解】（1）解：根据题意，，，
，
线段的长度为；
（2）由题意得：，，，
当时：
，
解得：
此时；
当时：，
得，
此时；
综上所述：或时，与全等；
（3），
，，
由知：，
解得：，
，，
；
即①，
，
，
，
即②；
由①②解得：，
满足条件的取值范围为
18．如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒．

(1)点在运动的路线上和点之间的距离为4时，________秒．
(2)若的面积为，用含的代数式表示．
(3)若点从点出发3秒后，点以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应的取值范围．
【答案】(1)4或8
(2)
(3)或或
【分析】（1）分点在和上两种情况进行讨论求解；
（2）分点在上，在上和上，三种情况讨论求解即可；
（3）分到达之前，到达之后返回未到达和返回到达，三种情况进行讨论求解．
【详解】（1）∵长方形，
∴；
①当点在上与点相距时，即：，解得：；
②当点在上与点相距4时，即：，解得；
综上：或；
故答案为：4或8；
（2）∵是的中点，且，
∴；
当时，如图1，由得，，整理得，；

当时，如图2，由得，，整理得，；

当时，如图3，由得，，整理得，，

综上所述，．
（3）由题意，可知：当点到达点时，所需时间为：秒；
如图4，点到达前：

由题意，得：，解得：；
当点到达点时，，解得：，
如图5，点返回，但未到达点，

由题意，得：，解得：；
当点回到点，则，解得：；
∵，此时点未到达点，
如图6，由题意，得：，解得：．

综上：或或．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，求函数表达式，一元一次不等式组的应用．解题的关键是理清题意，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
19．如图，某农场准备用的护栏围成一个靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．

(1)当时，求b的值；
(2)受场地条件的限制，a的取值范围，求b的取值范围．
【答案】(1)15
(2)
【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将代入所列式子中求出b的值即可；
（2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
当时，，
解得，
故的值为：15；
（2），，
，
解不等式组得：．
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键．
20．为了体验成长，收获快乐，学校计划组织初一同学开展以“寻根．行走青春”为主题的研学活动．训练时，将全年级的同学分成了三个人数相同，排列方式也完全相同的队伍进行训练，当三支队伍正好按如图所示的方式站立时，（图中阴影部分既为三支队伍），发现从正前方看有人，从侧面看有人．

(1)求本次研学初一年级共有多少人参加？
(2)基地计划一共租、两种型号的客车20辆，若一辆型车可载30人，租金为320元，一辆型车可载45人，租金为400元．在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过7200元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)720人
(2)学校选择3种租车方案，最小租车费用为7040元
【分析】（1）设小长方形长可以站人，宽可以站人，根据图中的摆放列出方程求解即可得出答案；
（2）设型号有辆车，型号有辆，根据人数大于等于，费用不超过元列出不等式组求解，再根据范围确定方案即可得出答案．
【详解】（1）解：设小长方形长可以站人，宽可以站人，根据题意：
解得
则，人
答：本次研学初一年级共有720人参加．
（2）解：设型号有辆车，型号有辆，
根据题意得
解得：，
∵为整数
∴，学校选择3种租车方案
，
∴最小租车费用为7040元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键．
【经典例题五 行程问题】
17．已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是90．点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．

(1)若、两点相遇，求的值；；
(2)若、两点相距18个单位长度，求的值；
(3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围．
【答案】(1)秒
(2)秒或秒
(3)
【分析】（1）由两点的路程之和等于90，再列方程求解即可；
（2）由两点的路程之和等于或，再列方程求解即可；
（3）设这10个整数为、、、、、，则可得，解得，由①、②有公共部分，可得，解得：，再确定k的整数值，从而可得答案．
【详解】（1）解：设经过后，点A、B相遇．
依题意，得，
解得：．
答：经过秒钟后，点A、B相遇；
（2）设经过（），A、B两点相距，依题意，
得：或，
解得，或．
综上所述，或．
答：经过秒或秒后，A、B两点相距；
（3）设这10个整数为、、、、、，则
解得：
有解
①、②有公共部分
解得：
为整数
将代入①、②，得：
．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，建立准确的方程与不等式组是解本题的关键．
18．临沂地处沂蒙山区，因临沂河而得名．临沂是中国北方最大的货物集散中心，是中国北方的“物流之都”．临沂某商场“五一优惠大酬宾”期间，急需1000台空调，欲从某仓储中心调运，现仅有两种型号的货车负责运输，每辆型车需要60分钟送达，每辆型车需要40分钟送达；型车每20分钟发一辆车，型车每10分钟发一辆车．
(1)如果第一辆型车与第一辆型车同时从仓储中心发车，当第辆型车到达商场时，第辆型车也同时到达，试求出之间的数量关系．
(2)在（1）的条件下，若1辆型车可满载50台，每辆次运费为200元；1辆型车可满载30台，每辆次运费为150元．运输任务完成后，总运费不超过5000元．求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第一辆型车与第一辆型车同时从仓储中心发车，当第辆型车到达商场时，第辆型车也同时到达，根据时间相等列出等式，化简即可得到答案；
（2）由（1）的条件，结合运输任务完成后，总运费不超过5000元；急需1000台空调；列出不等式组求解即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
两边同时除以得，
去括号、合并同类项得，
答：之间的数量关系；
（2）解：根据题意得，由（1）中当第辆型车到达商场时，第型车也同时到达，则
由①得：，解得；
由②得：，解得，
∴，
∵由实际问题中取整数，
∴．
【点睛】本题考查方程与不等式解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程，找到不等关系列出一元一次不等式组是解决问题的关键．
19．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．
例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点．
(1)如图，点中， 是点A的2可达点；
(2)若点C为数轴上一个动点，
①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ；
②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ；
(3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ．
【答案】(1)
(2)①（即可）；②
(3)
【分析】（1）由图和k可达点的定义直接得出结论；
（2）①点C表示的数为时，，根据点C为点A的k可达点，可以得出k的一个值；
②根据点C为点A的2可达点得出，解不等式即可；
（3）分三种情况讨论点D和点C的位置，由可达点的定义得出m的取值范围．
【详解】（1）由图可以看出，是点A的2可达点，
故答案为：；
（2）①若点C表示的数为，则点A与点C的距离为2，
∴k应该大于2，
∴k可以为4，
故答案为：4（即可）；
②若点C为点A的2可达点，则，
解得：．
故答案为：；
（3）①当时，点D在点C左侧，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
此时都符合题意；
③当时，点D在点C右侧，
∴，
解得：，
∴．
综上：m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上了两点间的距离的表示方法以及新定义，关键是对新定义的理解和掌握．
20．在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段上一点Q，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段的“闭距离”，如图1，若，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段的长最大，值是4，则点P与线段的“闭距离”为4．
(1)如图2，在该数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为2．
①当时，点A与线段的“闭距离”为______；
②若点B与线段的“闭距离”为3，求m的值；
(2)在该数轴上，点C表示的数为，点D表示的数为，若线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值．
【答案】(1)（1）①2；②5或
(2)m的最大值为3，m的最小值为
【分析】（1）①根据“闭距离”的概念求解即可；
②根据“闭距离”的概念列出方程求解即可；
（2）根据题意分和两种情况讨论，分别列出不等式求解即可．
【详解】（1）①∵，点A表示的数为，
∴
∴点A与线段的“闭距离”为2，
故答案为：2；
②当时，如图1，可列方程，得．解得．
当时，如图2，可列方程，得．
解得．
所以当点B与线段OM的“闭距离”为3时，m的值是5或；
（2）当时，
∴，解得，
当时，
∴，解得，
综上所述，或，
∴m的最大值为3，m的最小值为．
【点睛】本题考查有理数与数轴，一元一次方程，熟练掌握数轴上点的特征，弄清定义是解题的关键．
【经典例题六 和差倍分问题】
21．临近期末某班需要购买一些奖品，经过市场考察得知，购买10个钢笔礼盒和1个水杯需要242元，购买1个钢笔礼盒和10个水杯需要341元．
(1)你能求出每个钢笔礼盒、每个水杯各多少元？
(2)根据班级情况，需购进钢笔礼盒和水杯共30个，现要求钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用不超过800元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？
【答案】(1)每个钢笔礼盒21元，每个水杯32元
(2)有6种购买方案，购进钢笔礼盒20个，购进水杯10个费用最低
【分析】（1）设每个钢笔礼盒元，每个水杯元，根据“购买10个钢笔礼盒和1个水杯需要242元，购买1个钢笔礼盒和10个水杯需要341元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进个钢笔礼盒，则购进个水杯，根据“购进钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，且钢笔礼盒的个数不少于15个”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，即可求得m可取的值，从而得出勾买的方案，然后求出每种勾买方案的总费用，进行研究比较即可求解．
【详解】（1）解：设每个钢笔礼盒x元，每个水杯y元，
根据题意得，解得：，
∴每个钢笔礼盒21元，每个水杯32元．
（2）设购进钢笔礼盒m个，则购进水杯（30－m）个，
根据题意得，，
由①得，m≤20，
由②得，，
∴
即m可取的值有15，16，17，18，19，20，
方案一：当购进钢笔礼盒15个，则购进水杯15个时，总费用：15×21＋15×32＝795（元）；
方案二：当购进钢笔礼盒16个，则购进水杯14个时，总费用：16×21＋14×32＝784（元）；
方案三：当购进钢笔礼盒17个，则购进水杯13个时，总费用：17×21＋13×32＝773（元）；
方案四：当购进钢笔礼盒18个，则购进水杯12个时，总费用：18×21＋12×32＝762（元）；
方案五：当购进钢笔礼盒19个，则购进水杯11个时，总费用：19×21＋11×32＝751（元）；
方案三：当购进钢笔礼盒20个，则购进水杯10个时，总费用：20×21＋10×32＝740（元）；
∴有6种购买方案，购进钢笔礼盒20个，购进水杯10个费用最低．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列出不等式组．
22．为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建A，B两类展位供当地的农产品展览和销售．1个A类展位的占地面积比1个B类展位的占地面积多4平方米；10个A类展位和5个B类展位的占地面积共283平方米．建A类展位每平方米的费用为120元，建B类展位每平方米的费用为100元．
(1)求每个A，B类展位占地面积各为多少平方米？
(2)该村拟建A，B两类展位共40个，B类展位的数量小于A类展位数量的2倍，且建造这40个展位的总费用不超过77000元，求该村共有哪些建设方案？
【答案】(1)每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米
(2)共有三种方案：方案一建设A类展位14个，建设B类展位26个；方案二建设A类展位15个，建设B类展位25个；方案三建设A类展位16个，建设B类展位24个
【分析】（1）设每个类展位的占地面积为平方米，则每个类展位占地面积为平方米，根据10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米列出方程，解方程即可；
（2）设该村拟建造类展位个，建造类展位个，根据总费用两种展位费用之和列出不等式，再结合类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求出的取值范围，根据整数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每个类展位的占地面积为平方米，则每个类展位占地面积为平方米，
依题意得：，
解得，
（平方米）．
答：每个类展位占地面积为20平方米，每个类展位的占地面积为16平方米；
（2）解：设该村拟建造类展位个，建造类展位个，
则，
解得，
类展位的数量不大于类展位数量的2倍，
，
解得，
，
为整数，
，15，16，
该村共有3种建设方案：该村拟建造类展位14个，建造类展位26个；该村拟建造类展位15个，建造类展位25个；该村拟建造类展位16个，建造类展位24个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的不等式组．
23．某中学组织全体学生前往劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示．学校计划此次劳动实践活动的租金总额不超过3000元．
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的工作，有哪几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，如果为了节约资金．应选择哪种租车方案？
【答案】(1)参加劳动实践活动老师有8人，学生有247人
(2)一共有3种租车方案：方案一：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆；方案二：租甲型客车4辆，租乙型客车4辆；方案三：租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校应选择租甲型客车3辆，租乙型客车5辆
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有人，结合每位老师带队30名学生，则还剩下7名学生没有老师带；每位老师带队31名学生，就有一位老师少带一名学生，再建立方程即可；
（2）设租甲型客车m辆，则租乙型客车辆，再建立不等式组求解即可；
（3）根据（2）中的方案，分别求出费用，即可求解．
【详解】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有人，学生有人，
根据题意得：，
解得：，
（人）
答：参加劳动实践活动老师有人，学生有247人．
（2）解：师生总数为人，
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租辆车，
设租甲型客车辆，则租乙型客车辆，
根据题意得：，
解得，
为整数，
可取、、，
∴一共有种租车方案：
方案一：租甲型客车辆，租乙型客车辆；
方案二：租甲型客车辆，租乙型客车辆；
方案三：租甲型客车辆，租乙型客车辆．
（3）解：在（2）的条件下：
方案一租金：元
方案二租金：元
方案三租金：元
∵，
故学校应选择租甲型客车辆，租乙型客车辆．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式组．
24．每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割．已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩．
(1)求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？
(2)每台中型收割机和每台小型收割机每天的租用费用分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩．合作社计划租用两型收割机共8台，恰好用5天时间将小麦全部收割，要使租用收割机的总费用不超过65000元，试求有哪几种租用方案．
【答案】(1)每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦160亩，90亩
(2)两种：方案一：租用5台中型收割机，3台小型收割机；方案二：租用6台中型收割机，2台小型收割机
【分析】（1）设每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩，根据“1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用台中型收割机，则租用台小型收割机，根据“恰好用5天时间将小麦全部收割，且租用收割机的总费用不超过65000元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租用方案．
【详解】（1）解：设每台中型收割机平均每天收割小麦亩，每台小型收割机平均每天收割小麦亩，
根据题意得：，
解得：．
答：每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩；
（2）解：设租用台中型收割机，则租用台小型收割机，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为5，6，
共有2种租用方案，
方案1：租用5台中型收割机，3台小型收割机；
方案2：租用6台中型收割机，2台小型收割机．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【经典例题七 新定义问题】
25．阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…，试解决下列问题：
(1)①______（为圆周率）；②如果，则数的取值范围为______；
(2)求出满足的的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)或5或
【分析】（1）根据新定义：对非负数 “四舍五入”到个位的值记为，求解；
（2）根据新定义对非负数 “四舍五入”到个位的值记为，得不等式组，再解不等式组得解集，然后根据是整数，即是4的整数倍，求出x值即可．
【详解】（1）解：①，
②，
，
解得：；
（2）解：根据定义得：，解得：
又∵是整数，即是4的整数倍
∴，，
∴或5或．
【点睛】本题考查了解不等式组及近似数，理解题中的新定义是解题的关键．
26．给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题：
(1)填空：若，则实数a的取值范围为_______．
(2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围．
(3)求满足的所有非负实数c的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论；
（2）首先将看作一个整体，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围；
（3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解不等式组，得：，
由不等式组整数解恰有2个得，，则，
故；
（3）∵，为整数，设，为整数，
则，
∴，
∴，，
∴，
∴，1，2，
则，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．
27．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．
（1）若x y=1，x 2y=﹣2，分别求出x和y的值；
（2）若x满足x 2≤0，且3x （﹣8）＞0，求x的取值范围．
【答案】（1） ；（2）x的取值范围是﹣2＜x≤
【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；
（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：，解得：；
（2）根据题意得：，解得：﹣2＜x≤．
故x的取值范围是﹣2＜x≤．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组，二元一次方程组的方法是解答本题的关键．
28．深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，…
试解决下列问题：
(1)填空：①________，________（为圆周率），________；
②如果，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数的值．
【答案】(1)①7，3，4；②
(2)；
(3)，，，．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出相关的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围；
（2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用，为整数，设，k为整数，则，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）解：①由题意可得：
，（为圆周率），
∵，
∴；
故答案为：7，3，4；
②∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有4个得，，
故；
（3）解：∵，为整数，
设，k为整数，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，1，2，3，
则，，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．
【经典例题八 其他问题】
29．中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利5600元．下表列出了两种礼盒的进价与售价：
进价（元/个） 售价（元/个）
A礼盒 160 240
礼盒 100 150
(1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个；
(2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒个（为整数），A礼盒的售价比第一次的售价提高元，礼盒的售价也比第一次的售价提高元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？
【答案】(1)该超市购进A礼盒20个，则购买礼盘80个
(2)该超市有6种进货方案，理由见解析
【分析】（1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个，根据两种礼盒共获利5600元，列方程，解方程即可；
（2）根据礼盒的售价也比第一次的售价提高元．在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多1600元，且第二次购进礼盒总成本不超过13000元，列出不等组求解即可．
【详解】（1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个
由题意可得：，
解得：，
答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盘80个．
（2）由题意可得：
，
为整数，
所以该超市有6种进货方案
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
30．我校图书馆扩建，需要购买、两种图书，购买类图书50本，类图书25本，共花费4500元．已知购买一本类图书比购买一本类图书多花30元．
(1)求购买一本类图书、一本类图书各需多少元？
(2)为了同学们有更好的阅读体验，校图书馆决定再次购进、两类图书共50本，正好赶上书店对图书价格进行调整，类图书的售价比第一次购买时提高4元，类图书按第一次购买时售价的9折出售，如果图书馆此次购买、两类图书的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的类图书不少于23本，则这次校图书馆有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)购买一本类图书、一本类图书各需元和元
(2)三种，见解析
【分析】（1）设购买一本类图书、一本类图书分别需要x元和y元，然后根据题意可列方程组进行求解；
（2）设购进A类图书a本，则购进B类图书本，然后列出不等式组进行求解，进而根据a是整数可进行求解．
【详解】（1）解：设购买一本类图书、一本类图书各需元和元，
，解得，
答：购买一本类图书、一本类图书各需元和元．
（2）解：设购买类图书本，
，
解得，
故这次学校购买足球有三种方案：方案一：购买A类图书25本，B类图书25本，这时费用为元；
方案二：购买A类图书26本，B类图书24本，这时费用为元；
方案三：购买A类图书27本，B类图书23本，这时费用为元．
所以购买A类图书27本，B类图书23本，时费用最少，最少为元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意．
31．某文具店准备购进甲，乙两种钢笔，若购进甲种钢笔20支，乙种钢笔10支．需要200元，若购进甲种笔30支，乙种钢笔40支．需要500元，甲种钢笔每支售价9元，当乙种钢笔的销量不超过200支时，每支12元；销量超过200支时，超过的部分每支10元．
(1)求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
(2)该文具店每天购进甲、乙两种钢笔共300支，并在当天全部销售完，若乙种钢笔的总利润不超过甲种钢笔总利润的4倍，设每天购进甲种钢笔x支（x为正整数），求x的取值范围．
【答案】(1)甲，乙两种钢笔每支各需6元、8元
(2)（x为正整数）
【分析】（1）甲，乙两种钢笔每支各需m元、n元，根据购进甲种钢笔20支，乙种钢笔10支．需要200元，若购进甲种笔30支，乙种钢笔40支．需要500元，列出方程，解方程即可；
（2）设每天购进甲种钢笔x支，则购进乙种钢笔支，分，两种情况列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：甲，乙两种钢笔每支各需m元、n元，根据题意得：
，
解得：，
答：甲，乙两种钢笔每支各需6元、8元；
（2）解：设每天购进甲种钢笔x支，则购进乙种钢笔支，根据题意得：
，
解得：；
或，
解得：，
∵x为正整数，
∴．（x为正整数）
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程或不等式．
32．第三届中非经贸博览会近期在长沙举办，某饮料店欲在展会上购买，两种咖啡豆．已知袋品种咖啡豆的总价与袋品种咖啡豆的总价相等，购买袋品种和袋品种共需元．
(1)求、两个品种咖啡豆的单价各是多少元？
(2)现计划用元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种咖啡豆共袋，且品种的数量不少于品种数量的，求两种咖啡豆共有多少种选购方案？品种咖啡豆选购多少袋时总费用最少？
【答案】(1)品种咖啡豆的单价是元，品种咖啡豆的单价是元
(2)两种咖啡豆共有种选购方案，品种咖啡豆选购袋时总费用最少．
【分析】（1）设品种咖啡豆的单价是元，则品种咖啡豆的单价是元，结合购买袋品种和袋品种共需元，再列方程求解即可；
（2）设购买袋品种咖啡豆，则购买袋品种咖啡豆，结合计划用19220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种咖啡豆共袋，且品种的数量不少于品种数量的，再列不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设品种咖啡豆的单价是元，则品种咖啡豆的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：品种咖啡豆的单价是元，品种咖啡豆的单价是元；
（2）解：设购买袋品种咖啡豆，则购买袋品种咖啡豆，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
两种咖啡豆共有种选购方案，
方案：购买478袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为（元）；
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为（元）；
方案：购买袋品种咖啡豆，袋品种咖啡豆，总费用为（元）．
∵，
品种咖啡豆选购袋时总费用最少．
答：两种咖啡豆共有种选购方案，品种咖啡豆选购袋时总费用最少．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系建立方程与不等式组是解本题的关键．
【拓展培优】
1．一位老师说，他班上学生的一半在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生在学音乐，还有不足名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有（ ）人．
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】A
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设这个班的学生有人，则学数学的人数为，学外语的人数为，学音乐人数为，由“还不足名同学在操场上踢足球”可得：，解题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．
【详解】设这个班的学生有人，则学数学的人数为，学外语的人数为，学音乐人数为，
由“还不足名同学在操场上踢足球”可得：，
∴，
∵能被、、整除且为正数，
∴最大为，
则这个班的学生最多有人，
故选：．
2．八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设同学人数为x人，植树的棵数为棵，有植树但植树棵数不到3棵意思是植树棵数在1棵和3棵之间，包括1棵，不包括3棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入列出不等式组，解不等式组即可得解，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．
【详解】设同学人数为x人，植树的棵数为棵，
∵有1位同学有植树但植树的棵数不到3棵，植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为
解不等式组得：，
∵人数要取非负整数，
∴
故选：A．
3．对于实数x,符号可表示不超过x的最大整数，如．若有正整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，首先根据题意列出不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵有正整数解，a是正数，
∴，即x可取1、2，
当时，，即，
当时，，即，
∵，
∴，
综上，a的取值范围是或．
故选：C．
4．小太阳幼儿园要把若干个苹果分给一些小朋友，如果每人分5个，那么余7个；如果每人分6个，那么最后一名小朋友分到的苹果少于3个，则小朋友的人数至少有（ ）
A．11人 B．12人 C．13人 D．14人
【答案】A
【分析】若干个苹果分给个小孩，根据如果每人分5个，那么余7个，共个苹果；如果每人分6个，那么最后一人分到的苹果是，可列出不等式组．
【详解】解：设有个小孩，则有个苹果，
根据题意得：，
解得：，
是整数，
或12，
∴小朋友的人数至少有11人．
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次不等式租的应用，设出人数就能表示出苹果数，然后根据最后一人分到的苹果不足3个，可列出不等式组．
5．如图，一钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，且，对于下列结论，判断正确的是( )
结论Ⅰ：若，则；
结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么的取值范围是

A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到、与之间的关系，即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，，，，
∴，
即,
∴，
故结论Ⅰ正确；
∵，，，，，，
∴，，，，，，
∴，
∵要使得这样的钢条只能焊上6根，
∴，

由题意得
解得：
故结论Ⅱ正确．
故选：A．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6．为了鼓励在本次夏令营活动中表现良好的同学，组委会给每个年级组下发了“优秀营员奖”的名额，还准备了若干日记本奖励获得“优秀营员奖”的同学．对七年级组的优秀营员，若每人奖励3本，则还多出8本；若每人奖励5本，则将有一名优秀营员不足3本．那么组委会下发给七年级组的“优秀营员奖”的名额有 个．
【答案】6
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，理解题意，找准数量关系是解题关键．设组委会下发给七年级组的“优秀营员奖”的名额有个，根据“若每人奖励3本，则还多出8本；若每人奖励5本，则将有一名优秀营员不足3本”列不等式组计算求解．
【详解】设组委会下发给七年级组的“优秀营员奖”的名额有个，
由题意可得，解得，
又∵为整数，
∴，
故答案为：6.
7．疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为： ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了列不等式组，审清题意、找到不等关系是解题的关键．
根据不等关系“每间住4人，则有38人无法入住”和“若每间住5人，则最后一间没住满”据此列不等式组即可．
【详解】解：若设房间数为x间，
由题意可得：或或．
故答案为：或或（任意一个即可）．
8．对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负数时，若，则．如：，．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据定义运算的法则写出不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：由题意得：，即
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为，
故答案为：．
9．圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买 枚．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键．设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．
【详解】解：设圆圆购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，
根据题意得，
解得，，
∵x为整数，也为整数，
∴或6或8，
∴A种书签至少购买4枚．
故答案为：4．
10．南开数学组于每年3月14日举办数学节“”，计划购进A、B两款的魔方，每个A款魔方的价格是15元，每个B款魔方的价格是22元．若数学组计划购进这两款魔方共40个，其中B款魔方的数量不少于A款魔方的数量，学校最多能够提供资金776元，则最少购买 个A款魔方．
【答案】15
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
设购进x个A款魔方，则购进个B款魔方，根据“购进B款魔方的数量不少于A款魔方的数量，且学校最多能够提供资金776元”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】解：设购进x个A款魔方，则购进个B款魔方，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为15，
∴最少购买15个A款魔方．
故答案为：15．
11．疫情防控期间，政府为人民提供了充足的物资保障．根据物资品类不同，可分为A类物资和B类物资．已知1箱A类物资和2箱B类物资价值280元，2箱A类物资和1箱B类物资价值260元．
(1)求1箱A类物资和1箱B类物资各价值多少元？
(2)某小区共需准备200箱物资，其中B类物资的数量不少于118箱，且不多于A类物资数量的1.5倍，请问有哪几种准备物资的方案？哪种方案的总价值最少？
【答案】(1)1箱A类物资价值80元，1箱B类物资价值100元
(2)该小区共有3种准备物资的方案，方案1：准备80箱A类物资，120箱B类物质；方案2：准备81箱A类物资，119箱B类物质；方案3：准备82箱A类物资，118箱B类物质，方案3的总价值最少
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程组或不等式组，准确计算．
（1）设1箱A类物资价值x元，1箱B类物资价值y元，根据1箱A类物资和2箱B类物资价值280元，2箱A类物资和1箱B类物资价值260元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设该小区需准备m箱A类物资，则需准备箱B类物质，根据B类物资的数量不少于118箱，且不多于A类物资数量的1.5倍，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设1箱A类物资价值x元，1箱B类物资价值y元，
根据题意得：，
解得：，
答：1箱A类物资价值80元，1箱B类物资价值100元；
（2）解：设该小区需准备m箱A类物资，则需准备箱B类物质，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为80，81，82，
∴该小区共有3种准备物资的方案，
方案1：准备80箱A类物资，120箱B类物质；
方案2：准备81箱A类物资，119箱B类物质；
方案3：准备82箱A类物资，118箱B类物质．
方案1的总价值为（元），
方案2的总价值为（元），
方案3的总价值为（元）．
∵，
∴方案3的总价值最少．
12．为更好地保护环境，某垃圾处理厂决定购买、两种型号垃圾处理设备共20台，每台型设备10万元，每台型设备8万元，已知1台型设备和3台型设备每天可以处理垃圾64吨，3台型设备和4台型设备每天可以处理垃圾152吨．
(1)求、两种型号设备每天每台分别可以处理垃圾多少吨？
(2)经预算，垃圾厂购买设备的资金不超过200万元，每天处理垃圾的量不低于720吨，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案所需资金最少，最少资金是多少？
【答案】(1)、两种型号设备每天每台分别可以处理垃圾吨和吨
(2)方案一：购买台型设备，2台型设备；方案二：购买台型设备，1台型设备；方案三：购买台型设备
(3)当购买台型设备，2台型设备时，花费最少，为万元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键．
（1）设、两种型号设备每天每台分别可以处理垃圾吨和吨，根据1台型设备和3台型设备每天可以处理垃圾64吨，3台型设备和4台型设备每天可以处理垃圾152吨，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买型设备台，根据垃圾厂购买设备的资金不超过200万元，每天处理垃圾的量不低于720吨，列出不等式组进行求解即可；
（3）分别求出几种方案所需费用，比较即可．
【详解】（1）解：设、两种型号设备每天每台分别可以处理垃圾吨和吨，由题意，得：
，
解得：，
答：、两种型号设备每天每台分别可以处理垃圾吨和吨；
（2）设购买型设备台，则购买型设备台，
由题意，得：，解得：，
∵为正整数，
∴可以取，此时，
∴共有2种购买方案：
方案一：购买台型设备，2台型设备；
方案二：购买台型设备，1台型设备；
方案三：购买台型设备；
（3）方案一需花费：（万元）；
方案二需花费：（万元）；
方案三需花费：（万元）；
故当购买台型设备，2台型设备时，花费最少，为万元．
13．如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升．
(1)求一个大玻璃球的体积；
(2)放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．
【答案】(1)一个大玻璃球的体积为；
(2)一个小玻璃球体积的大于且不大于．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
（1）利用容器的底面积倒入水的体积水面的高度，可求出容器的底面积，再利用一个大玻璃球的体积容器的底面积放入一个大玻璃球水面上升的高度，即可求出一个大玻璃球的体积；
（2）设一个小玻璃球的体积是，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：容器的底面积为，
一个大玻璃球的体积为．
答：一个大玻璃球的体积为；
（2）解：设一个小玻璃球的体积是，
根据题意得：，
解得：．
答：一个小玻璃球体积的大于且不大于．
14．为了实现县域教育均衡发展，某县计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元．
(1)改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？
(2)该县计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出改造方案？
【答案】(1)改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元；
(2)改造类学校所，改造类学校所．
【分析】（）根据等量关系列出方程组，再解即可；
（）列出不等式组，再解即可；
此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
【详解】（1）解：设改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元，
由题意得：，
解得，
答：改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元；
（2）设改造类学校所，则改造类学校所，
由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴，
∴，
故改造类学校所，改造类学校所．
15．某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：
载客量（人/辆） 50 35
租金（元/辆） 450 300
设租用型车辆，
(1)请用代数式表示出总租金是多少
(2)保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆型车？
【答案】(1)元
(2)花费最少的方案一租用了辆型车
【分析】本题考查不等式组解应用题，涉及列代数式、解一元一次方程组等，设租用型车辆，则租用种车辆辆，按照题意列代数式，列不等式组求解即可得到答案，读懂题意，按要求列式是解决问题的关键．
（1）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由表中信息列代数式即可得到答案；
（2）设租用型车辆，则租用种车辆辆，由题意列不等式组求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，
总租金是元；
（2）解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，
，解得，
为正整数，
可取或，
即有两种方案：
方案一：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；
方案二：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；
花费最少的方案一租用了辆型车．
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