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第十章 二元一次方程组（基础卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数项的最高次数为1；③方程是整式方程．根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，含未知数项的最高次数为2，不符合题意，选项错误；
B、，方程中含有3个未知数，不符合题意，选项错误；
C、，不是整式方程，不符合题意，选项错误；
D、，是二元一次方程，符合题意，选项正确；
故选：D
2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果．
【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、是二元一次方程组，故本选项符合题意．
C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案．
【详解】解：A.把代入得：，，故该选项符合题意；
B. 把代入得：，，故该选项不合题意；
C. 把代入得：，故该选项不合题意；
D. 把代入得：，故该选项不合题意．
故选：A．
4．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中，是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各项中x与y的值代入方程检验即可得到结果．
【详解】解：A、x＝0、y＝时，x﹣2y＝0﹣1＝﹣1≠1，不符合题意；
B、x＝1、y＝1时，x﹣2y＝1﹣2＝﹣2≠1，不符合题意；
C、x＝1、y＝﹣1时，x﹣2y＝1+2＝3≠1，不符合题意；
D、x＝1、y＝0时，x﹣2y＝1，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．已知方程是关于x的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．1 D．0或1
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意得：且，
∴，
故选：B．
6．若，是二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程中得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握二元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，
解得：，
即的值是．
故选：D．
7．（24-25七年级上·全国·期末）若与互补，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是补角定义、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解题的关键．
根据补角定义及已知条件列出方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：与互补，
，
，
∴，解得：．
故选：B．
8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某超市开展“购物满99元，减10元”的活动，李奶奶想买排骨和大虾凑够99元．如果买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；如果买2斤排骨和2斤大虾，超出5元．设排骨单价为元斤，大虾单价为元斤，则可列出的二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；买2斤排骨和2斤大虾，超出5元” 列出相应的方程组，然后对比选项即可解答本题．
【详解】解：由题意可得，，
故选：D．
9．方程组的解是．那么方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题是仿照已知方程组的解，求复杂方程组的解，不需要解方程，只需将和看成整体，即可简便求解．
仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【详解】∵方程组的解是
∴中
∴方程组的解是．
故选：C．
10．对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
两式相加得：，
∴．
故选：C．
11.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【难度】0.94
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∴，
故选：B．
12．若方程组的解中，则k等于（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】B
【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
利用可得：，代入求解即可．
【详解】解：，
可得：，
∴同除可得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线上
13．已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
根据等式的性质得出即可；根据等式的性质得出，再根据等式的性质方程两边都除以2即可．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
14．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方式和绝对值的非负性，解二元一次方程组．由可知，，然后解方程组得到x和y的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，，
解方程组，得，
∴，
故答案为：．
15．（24-25七年级上·广东江门·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方体的表面展开图、解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，“”字两端是对面，可得：与是相对面，与是相对面，与是相对面，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：与是相对面，与是相对面，与是相对面，
相对两面的数字之和相等，
可得：，
解得：．
故答案为： ．
16．关于x，y的二元一次方程2x+3y＝20的非负整数解的个数为___________
【分析】把x作为已知数表示出y，即可确定出非负整数解.
【详解】方程
解得：
当时，
当时，
当时，
当时，
综上，二元一次方程的非负整数解的个数有4个
【点睛】本题考查了二元一次方程的特殊解的解法，掌握方程的解法是解题关键.
17．若方程组无解，则a=
【答案】-6
【分析】把第二个方程整理得到y＝2x 1，然后利用代入消元法消掉未知数y得到关于x的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得解．
【详解】解：，
由②得，y＝2x 1③，
③代入①得，ax＋3（2x 1）＝9，
即（a＋6）x＝12，
∵方程组无解，
∴a＋6＝0，
∴a＝ 6．
故答案为： 6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0．
18．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是_____________分钟．

【答案】25
【分析】本题主要考查列代数式及方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．设步行速度为，则车速为，设，，则的路程为，的路程为，再根据题意列出方程组，进一步求解即可．
【详解】解：设步行速度为，则车速为，设，，
则的路程为，的路程为，
根据题意知，，
解得，
则从步行至，再从坐车所需总时间为（分钟），
故答案为：25．
三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(每题5分，共10分) 解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可．
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
由①得．③．
把③代入②，得．
解得．
把代入③，得．
所以，方程组的解是 ．
（2）原方程组整理得
方程①＋②，得．
解得．
把代入①，得．
解得．
所以，方程组的解为．
20．(共7分) 甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值.
【答案】0，过程见详解
【分析】将代入方程组的第二个方程，将代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【详解】解：将代入方程组中的得：
，解得：，
将代入方程组的得：
，解得：，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
21．(共7分) 已知a、b是有理数，若，求的平方根．
【答案】(1)
【分析】本题考查了实数的运算，平方根，二元一次方程组的解法，解题时注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．根据等式两边含无理数的项相等，有理数相等，列出方程组，求出a，b，然后求出，最后求出的平方根．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
22．(共7分)．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，求的值
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】解：根据题意，
得：，
将代入①得：，
将代入得：
，
得：，
将代入④得：，
当时，
故答案为：．
23．（共7分）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？
【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天．
【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，根据题意，列二元一次方程组求解．
【详解】解：设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为．
由题意，得，
解得，
甲单独完成装修天数：（天），
乙单独完成装修天数：（天）．
答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天．
24．(共8分)．（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
(2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？
【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车
(2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人
(3)应招聘6名新工人
【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值．
（1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解．
（2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况；
（3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．
根据题意得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）解：设工厂有名熟练工．
根据题意，得，
，
，
又，都是正整数，，
所以，6，3．
即工厂有3种新工人的招聘方案：
①，，即新工人9人，熟练工2人；
②，，即新工人6人，熟练工3人；
③，，即新工人3人，熟练工4人．
（3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，；
根据题意得：．
当时，（元）
当时，（元）
，
当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第十章 二元一次方程组（基础卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
4．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中，是该方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知方程是关于x的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．1 D．0或1
6．若，是二元一次方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·全国·期末）若与互补，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某超市开展“购物满99元，减10元”的活动，李奶奶想买排骨和大虾凑够99元．如果买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；如果买2斤排骨和2斤大虾，超出5元．设排骨单价为元斤，大虾单价为元斤，则可列出的二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．方程组的解是．那么方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定．若，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
11.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
12．若方程组的解中，则k等于（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线上
13．已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ．
14．若，则的值为 ．
15．（24-25七年级上·广东江门·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ．
16．关于x，y的二元一次方程2x+3y＝20的非负整数解的个数为___________
17．若方程组无解，则a=
18．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是_________分钟．

三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(每题5分，共10分) 解方程组：
(1)
(2)
20．(共7分) 甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值.
21．(共7分) 已知a、b是有理数，若，求的平方根．
22．(共7分)．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，求的值
23．（共7分）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？
24．(共8分)．（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
(2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
(3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？
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