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12.2.2 直方图 分层作业
基础训练
1．（2023 盐城）在英文句子“Happy Teachers'Day！”中，字母“a”出现的频数为 　 　．
2．（2022 广西）空气由多种气体混合而成，为了直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）
A．条形图 B．折线图 C．扇形图 D．直方图
3．有一组数据有63个，最大值为93，最小值为21，若组距定为7，则组数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．将100个数据分成8组，如表，则第6组的频数x为（　　）
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 11 14 12 16 10 x 12 10
A．12 B．13 C．14 D．15
5．（2022 金华）观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
第5题图 第6题图
6．小明同学统计了某学校八年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图，有四个推断：
①小明此次一共调查了100位同学；
②每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45～60分钟的人数；
③每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的20%；
④每天阅读图书时间在15～30分钟的人数最多．
根据图中信息，上述说法中正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．（2022 聊城）“俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示：
组别 零花钱数额x/元 频数
一 x≤10
二 10＜x≤15 12
三 15＜x≤20 15
四 20＜x≤25 a
五 x＞25 5
关于这次调查，下列说法正确的是（　　）
A．总体为50名学生一周的零花钱数额
B．五组对应扇形的圆心角度数为36°
C．在这次调查中，四组的频数为6
D．若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人
8．（2022 镇江）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 　 　kg．
第8题图 第9题图
9．（2022 上海）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0﹣1小时4人，1﹣2小时10人，2﹣3小时14人，3﹣4小时16人，4﹣5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 　 　．
10．（2024 通辽）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60 61 62 94 73 73 85 85 87 72
63 64 70 66 74 65 67 75 76 71
94 93 84 91 76 82 83 83 92 84
80 80 82 92 91 86 77 86 88 72
70 71 93 90 81 90 74 78 81 75
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：
组别 成绩分组 频数
A 60≤x＜70 a
B 70≤x＜80 16
C 80≤x＜90 16
D 90≤x≤100 b
（1）频数分布表中a＝　 　，b＝　 　，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中m＝　 　，D所对应的扇形的圆心角度数是 　 　．
【应用数据】
若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
能力提升
11．（2022 湘潭）（多选）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：0＜x≤30，30＜x≤60，60＜x≤90）．则下列说法正确的是（　　）
A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数的80%
12．（2024 无锡）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 　 　；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度x/cm 频率
4.0≤x＜4.7 0.04
4.7≤x＜5.4 m
5.4≤x＜6.1 0.45
6.1≤x＜6.8 0.30
6.8≤x＜7.5 0.09
合计 1
根据图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的m＝　 　；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
13．小王在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区440户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了40户居民家庭的人均月收入（收入取整数，单位：元），并绘制了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
分组 频数 频率
2000～2499 2 0.050
2500～2999 6 0.150
3000～3499 0.450
3500～3999 9 0.225
4000～4499
4500～5000 2 0.050
合计 40 1.000
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）观察已绘制的部分频数分布直方图，你能看出绘制选择的组距是多少吗？这个组距选择的好不好？请判断并说明理由．
（3）如果家庭人均月收入“大于3000不足4500元”的为中等收入家庭，请你通过样本估计总体中的中等收入家庭大约有多少户．
拔高拓展
14．校学生会体育干部想了解七年级学生60秒跳绳的情况，从七年级随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：
176 118 94 144 102 92 113 105 108 60
115 104 126 158 105 132 114 118 152 104
151 165 102 132 112 114 118 114 168 172
105 118 68 126 128 139 84 136 76 145
134 128 126 110 96 148 146 156 186 182
次数分组 频数
60≤x＜80 3
80≤x＜100 4
100≤x＜120 19
140≤x＜160 8
180≤x＜200 2
合计 50
（1）以20为组距，补充并完成频数分布表；
（2）请补充未完成的频数分布直方图；
（3）若该校七年级有300名学生，请估计60秒能跳绳120次以上的学生有多少人？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)12.2.2 直方图 分层作业
基础训练
1．（2023 盐城）在英文句子“Happy Teachers'Day！”中，字母“a”出现的频数为 　3　．
【分析】求出英语句子中的所有字母的个数以及字母a出现的次数，再根据频数的定义进行解答即可．
【解答】解：英文句子“Happy Teachers'Day！”中共有16个字母，其中a有3个，
所以字母“a”出现的频数为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查频数与频率，理解频数的意义是正确解答的前提．
2．（2022 广西）空气由多种气体混合而成，为了直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）
A．条形图 B．折线图 C．扇形图 D．直方图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
【解答】解：根据题意，得
要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：C．
【点评】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
3．有一组数据有63个，最大值为93，最小值为21，若组距定为7，则组数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】可根据数据的最大最小值求得二者的差值，再除以组距，若结果不是整数，那么得到的结果要进一，据此求解即可．
【解答】解：93﹣21＝72，
72÷7＝10……2，
∴组数为10+1＝11，
故选：C．
【点评】本题主要考查了频数（率）分布直方图，掌握数据分组的方法是解答本题的关键．
4．将100个数据分成8组，如表，则第6组的频数x为（　　）
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 11 14 12 16 10 x 12 10
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据频数的概念结合表格中数据求解，即可解题．
【解答】解：根据频数的概念结合表格中数据求解如下：
x＝100﹣11﹣14﹣12﹣16﹣10﹣12﹣10＝15，
故选：D．
【点评】本题考查了频数，正确进行计算是解题关键．
5．（2022 金华）观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据直方图中的数据，可以得到组界为99.5～124.5这一组的频数．
【解答】解：由直方图可得，
组界为99.5～124.5这一组的频数是20﹣3﹣5﹣4＝8，
故选：D．
【点评】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
6．小明同学统计了某学校八年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图，有四个推断：
①小明此次一共调查了100位同学；
②每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45～60分钟的人数；
③每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的20%；
④每天阅读图书时间在15～30分钟的人数最多．
根据图中信息，上述说法中正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据直方图表示的意义求得统计的总人数，以及每组的人数即可判断．
【解答】解：①小明此次一共调查了10+60+20+10＝100（人），此结论正确；
②由频数分布直方图知，每天阅读图书时间不足15分钟的人数与45～60分钟的人数相同，均为10人，此结论错误；
③每天阅读图书时间超过30分钟的人数占调查总人数的比例为，此结论错误；
④每天阅读图书时间在15～30分钟的人数最多，有60人，此结论正确；
故选：B．
【点评】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
7．（2022 聊城）“俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示：
组别 零花钱数额x/元 频数
一 x≤10
二 10＜x≤15 12
三 15＜x≤20 15
四 20＜x≤25 a
五 x＞25 5
关于这次调查，下列说法正确的是（　　）
A．总体为50名学生一周的零花钱数额
B．五组对应扇形的圆心角度数为36°
C．在这次调查中，四组的频数为6
D．若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人
【分析】选项A根据“总体”的定义判定即可；选项B用360°乘“五组”所占的百分比，即可求出对应的扇形圆心角的度数；选项C根据“频率＝频数÷总数”可得答案；选项D利用样本估计总体即可．
【解答】解：总体为全校学生一周的零花钱数额，故选项A不合题意；
五组对应扇形的圆心角度数为：360°36°，故选项B符合题意；
在这次调查中，四组的频数为：50×16%＝8，故选项C不合题意；
若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为：15001110（人），故选项D不合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
8．（2022 镇江）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 　5　kg．
【分析】根据频数分布直方图计算即可．
【解答】解：组距为5（kg）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了频数分布直方图，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
9．（2022 上海）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0﹣1小时4人，1﹣2小时10人，2﹣3小时14人，3﹣4小时16人，4﹣5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 　88人　．
【分析】用200乘样本中阅读时间不低于3小时的学生所占比例即可．
【解答】解：20088（人），
故该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是88人．
故答案为：88人．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2024 通辽）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60 61 62 94 73 73 85 85 87 72
63 64 70 66 74 65 67 75 76 71
94 93 84 91 76 82 83 83 92 84
80 80 82 92 91 86 77 86 88 72
70 71 93 90 81 90 74 78 81 75
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：
组别 成绩分组 频数
A 60≤x＜70 a
B 70≤x＜80 16
C 80≤x＜90 16
D 90≤x≤100 b
（1）频数分布表中a＝　8　，b＝　10　，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中m＝　20　，D所对应的扇形的圆心角度数是 　72°　．
【应用数据】
（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
【分析】（1）根据所给的数据即可得a和b的值，即可补全频数分布直方图；
（2）利用D组的人数除以总人数即可得m的值，用360°乘以D组的人数所占的百分比即可求出D所对应的扇形的圆心角度数；
（3）用总人数乘以样本中成绩不低于90分是人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）频数分布表中a＝8，b＝10，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：8，10；
（2）∵m%100%＝20%，
∴m＝20，
D所对应的扇形的圆心角度数是360°×20%＝72°；
故答案为：20，72°；
（3）600×20%＝120（人），
答：估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数为120人．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，扇形统计图和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
能力提升
11．（2022 湘潭）（多选）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一）班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：0＜x≤30，30＜x≤60，60＜x≤90）．则下列说法正确的是（　　）
A．该班有40名学生
B．该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多
C．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是5
D．该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数的80%
【分析】把三个组的频数加起来判断A选项；根据该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数为25人判断B选项；根据该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是10判断C选项；根据该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数100%＝87.5%判断D选项．
【解答】解：A选项，10+25+5＝40（名），故该选项符合题意；
B选项，该班学生当天完成作业时长在30＜x≤60分钟的人数最多，故该选项符合题意；
C选项，该班学生当天完成作业时长在0＜x≤30分钟的频数是10，故该选项不符合题意；
D选项，该班学生当天完成作业时长在0＜x≤60分钟的人数占全班人数100%＝87.5%，故该选项不符合题意；
故选：AB．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，通过频数分布直方图得到三个组的频数分别为10，25，5是解题的关键．
12．（2024 无锡）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 　③　；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度x/cm 频率
4.0≤x＜4.7 0.04
4.7≤x＜5.4 m
5.4≤x＜6.1 0.45
6.1≤x＜6.8 0.30
6.8≤x＜7.5 0.09
合计 1
根据图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的m＝　0.12　；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
【分析】（1）根据抽样调查的特点回答即可．
（2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数，然后即可补全频数分布直方图
（3）把长度不小于5.4cm的麦穗的频率相加即可求解．
【解答】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③
（2）①频率分布表中的m＝1﹣（0.04+0.45+0.3+0.09）＝0.12，
故答案为：0.12，
②麦穗长度频率分布在6.1≤x＜6.8之间的频数有：100×0.3＝30，
频数分布直方图补全如下：
（3）0.45+0.3+0.09＝0.84，
故长度不小于5.4cm的麦穗在该试验田里所占比例为84%．
【点评】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．
13．小王在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区440户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了40户居民家庭的人均月收入（收入取整数，单位：元），并绘制了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图．
分组 频数 频率
2000～2499 2 0.050
2500～2999 6 0.150
3000～3499 0.450
3500～3999 9 0.225
4000～4499
4500～5000 2 0.050
合计 40 1.000
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）观察已绘制的部分频数分布直方图，你能看出绘制选择的组距是多少吗？这个组距选择的好不好？请判断并说明理由．
（3）如果家庭人均月收入“大于3000不足4500元”的为中等收入家庭，请你通过样本估计总体中的中等收入家庭大约有多少户．
【分析】（1）先由频率为1计算第四组的频率，再根据频数＝总数×某一组的频率计算第四组和第三组的频数；补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）每一组的最大值减去最小值就是组距，再说明理由：确保了数据的不重不漏，且没有数据为空组；
（3）由频数分布表可知：大于3000不足4500元的有三组，将频率和相加与总人数相乘即可．
【解答】解：（1）第四组：频率：1﹣0.050﹣0.150﹣0.450﹣0.225﹣0.050＝0.075，
频数：40×0.075＝3，
第三组：频数：40×0.450＝18，
补全频数分布表，如下表： 补全频数分布直方图，如图；
分组 频数 频率
2000～2499 2 0.050
2500～2999 6 0.150
3000～3499 18 0.450
3500～3999 9 0.225
4000～4499 3 0.075
4500～5000 2 0.050
合计 40 1.000
（2）组距500，这个组距选择比较合理；
理由：这个组距选择确保了数据的不重不漏，且没有数据为空组，所以这个组距选择比较合理．
（3）由（1）知，家庭人均月收入“大于3000不足4500元”的频率是：0.450+0.225+0.050＝0.750，
则总体中的中等收入家庭大约有：440×0.75＝330（户）；
答：估计总体中的中等收入家庭大约有330户．
【点评】此题考查了频率（数）分布表，频数分布直方图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
拔高拓展
14．校学生会体育干部想了解七年级学生60秒跳绳的情况，从七年级随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：
176 118 94 144 102 92 113 105 108 60
115 104 126 158 105 132 114 118 152 104
151 165 102 132 112 114 118 114 168 172
105 118 68 126 128 139 84 136 76 145
134 128 126 110 96 148 146 156 186 182
次数分组 频数
60≤x＜80 3
80≤x＜100 4
100≤x＜120 19
　120≤x＜140　 　10　
140≤x＜160 8
　160≤x＜180　 　4　
180≤x＜200 2
合计 50
（1）以20为组距，补充并完成频数分布表；
（2）请补充未完成的频数分布直方图；
（3）若该校七年级有300名学生，请估计60秒能跳绳120次以上的学生有多少人？
【分析】（1）根据数据整理可得；
（2）根据以上频数分布表即可补全频数分布直方图；
（3）样本中60秒能跳绳120次以上的学生数所占比例乘以总人数可得答案．
【解答】解：（1）根据数据补充分布表如下： （2）补充频数分布直方图如下：
次数分组 频数
60≤x＜80 3
80≤x＜100 4
100≤x＜120 19
120≤x＜140 10
140≤x＜160 8
160≤x＜180 4
180≤x＜200 2
合计 50
（3）300144，
答：60秒能跳绳120次以上的估计约有144人．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，以及利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
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