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7.2.3 平行线的性质（第2课时 平行线的判定和性质） 分层作业
基础训练
1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　）
A．60° B．120° C．130° D．80°
2．如图所示，下列结论成立的是（　　）
A．若∠1＝∠4，则BC∥AD B．若∠5＝∠C，则BC∥AD
C．若∠2＝∠3，则BC∥AD D．若AB∥CD，则∠C+∠ADC＝180°
3．如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　）
A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2
第1题图 第2题图 第3题图
4．下列说法中正确的个数为（　　）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠2＝30°，∠3＝55°，∠1的度数为（　　）
A．145° B．150° C．155° D．160°
6．如图，已知∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，点E是线段BA延长线上一点，且∠ACB＝∠ADE．以下结论错误的是（　　）
A．ED∥AC B．BE∥CD C．CA平分∠BCE D．∠BED＝∠ACD
第5题图 第6题图
7．如图，若∠1＝∠D，∠C＝78°，则∠B＝　 　°．
8．如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为 　 　．
第7题图 第8题图
9．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ ），
∴EF∥AD（ 　），
∴　 　+∠2＝180°（　 　）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（　 　），
∴AB∥　 　（　 　），
∴∠GDC＝∠B（　 　）．
10.已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，FE∥DC
（1）求证：CE∥DF；
（2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．
能力提升
11．如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　）
A．58° B．68° C．32° D．22°
12．如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论正确的有（　　）
①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DBF＝2∠ABC；⑤∠ABE＝2∠ACB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第11题图 第12题图
13．如图，∠A＝∠1，∠2+∠3＝180°，∠BDE＝65°，求∠ACB的度数．
14．如图，已知∠FEA＝∠EAF，AE平分∠CAF．
（1）求证：EF∥AC；
（2）若AC平分∠DAB，∠BAF与∠BAD互补，∠FEA﹣∠DAC＝50°，求∠F．
拔高拓展
15．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点．
（1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由．
请把下列过程补充完整：
猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD．
证明：过点P作PM∥l1．
∵l1∥l2，
∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
又∵PM∥l1，PM∥l2，
∴∠APM＝∠PAC，　 　＝∠PBD（　 　）．
∵∠APB＝∠APM+∠BPM，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　 　）．
（2）类比探究：
①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．
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基础训练
1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　）
A．60° B．120° C．130° D．80°
【答案】B
【分析】先由∠1＝∠2得到a∥b，从而得到∠3+∠4＝180°，进而得到∠4的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠3＝60°，
∴∠4＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
2．如图所示，下列结论成立的是（　　）
A．若∠1＝∠4，则BC∥AD
B．若∠5＝∠C，则BC∥AD
C．若∠2＝∠3，则BC∥AD
D．若AB∥CD，则∠C+∠ADC＝180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误；
B、∵∠5＝∠C，∴AB∥CD，故本选项错误；
C、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，∴∠C+∠ABC＝180°，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
3．如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　）
A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠B，再根据平行线的判定定理，找出符合要求的答案．
【解答】解：A、∵∠B＝∠1，可由EF∥AB得出，不用添加，不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；
B、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠1＝∠3，则∠B＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；
C、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠3，则∠1＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意；
D、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠2，则∠1＝∠2，∴DF∥BC，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
4．下列说法中正确的个数为（　　）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【解答】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①错误；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④正确；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．
故正确的是②④，共2个．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠2＝30°，∠3＝55°，∠1的度数为（　　）
A．145° B．150° C．155° D．160°
【答案】C
【分析】由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠PFO的度数，由平行线的性质求出∠1的度数即可．
【解答】解：∵∠2＝30°，
∴∠POF＝∠2＝30°，
∵∠3＝55°，
∴∠PFO＝55°﹣30°＝25°，
∵一束平行于主光轴的光线，
∴∠1＝180°﹣25°＝155°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠PFO的度数即可解决问题．
6．如图，已知∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，点E是线段BA延长线上一点，且∠ACB＝∠ADE．以下结论错误的是（　　）
A．ED∥AC B．BE∥CD
C．CA平分∠BCE D．∠BED＝∠ACD
【答案】C
【分析】根据AD∥BC，结合∠ACB＝∠ADE，得到∠CDE+∠ACD＝180°即可判断A项，再结合∠ADC＝∠B，得到∠B+∠BCD＝180°，即可判断B项，根据ED∥AC，BE∥CD得到角的关系，即可判断D项，根据前面的判断，即可解题．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°＝∠ADC+∠ACB+∠ACD，
∵∠ACB＝∠ADE，
∴∠ADC+∠ADE+∠ACD＝∠CDE+∠ACD＝180°，
∴ED∥AC，
故A正确，不符合题意．
∵∠ADC＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴BE∥CD，
故B正确，不符合题意．
∵ED∥AC，
∴∠BED＝∠BAC，
∵BE∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴∠BED＝∠ACD，
故D正确，不符合题意；
根据现有条件无法证明CA平分∠BCE，故C错误，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，解答本题的关键是平行线性质和判定定理的应用．
7．如图，若∠1＝∠D，∠C＝78°，则∠B＝　 　°．
【答案】102
【分析】根据平行线的判定与性质即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∵∠C＝78°，
∴∠B＝180°﹣78°＝102°．
故答案为：102．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
8．如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为 　23°　．
【答案】23°
【分析】由平行线的性质得180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，再求出∠1＝21°，即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，
∴180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，
∵∠2＝∠1+2°，
∴180°﹣106°＝∠1+30°+∠1+2°，
解得：∠1＝21°，
∴∠2＝∠1+2°＝21°+2°＝23°，
故答案为：23°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，求出∠1的度数是解题的关键．
9．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ ），
∴EF∥AD（ 　），
∴　 　+∠2＝180°（　 　）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（　 　），
∴AB∥　 　（　 　），
∴∠GDC＝∠B（　 　）．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10.已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，FE∥DC
（1）求证：CE∥DF；
（2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由∠1+∠DCE＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF；
（2）由平行线的性质，可得∠CDF＝50°，又∵DE平分∠CDF，则∠CDE=∠CDF＝25°，根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．
【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°，C，D是直线AB上两点，
∵∠1+∠DCE＝180°，
∴∠2＝∠DCE，
∴CE∥DF；
（2）∵CE∥DF，∠DCE＝130°，
∴∠CDF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣130°＝50°，
∵DE平分∠CDF，
∴，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠CDE＝25°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
能力提升
11．如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　）
A．58° B．68° C．32° D．22°
【答案】B
【分析】如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，则AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，则∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，进而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°．
【解答】解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，
∵CD∥MN，
∴AG∥MN∥BH∥CD，
∵OA⊥MN，
∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°，
∵∠BAO＝158°，
∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，
∴∠ABH＝∠BAG＝68°，
∵CE∥AB，BH∥CD，
∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，
∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE，
∴∠DCE＝∠ABH＝68°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论正确的有（　　）
①BC平分∠ABE；
②AC∥BE；
③∠BCD+∠D＝90°；
④∠DBF＝2∠ABC；
⑤∠ABE＝2∠ACB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】综合运用垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理，逐项判断即可．
【解答】解：∵BC⊥BD，
∴∠DBE+∠CBE＝90°，∠ABC+∠DBF＝90°，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE＝∠DBF，
∴∠ABC＝∠CBE，
∴BC平分∠ABE，故①正确；
∵BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BCD+∠D＝90°，故③正确；
∵AF∥CD，
∴∠ABC＝∠BCE，
∵BC平分∠ACD、∠ABE，
∴∠ABC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∴AC∥BE，故②正确；
∵AF∥CD，
∴∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，∠D＝∠DBF，
∵无法说明∠D＝∠DEB，
∴无法说明∠DBF＝2∠ABC，故④错误；
∵AF∥CD，
∴∠ABC＝∠BCE，
∵BC平分∠ACD、∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABC＝2∠BCE＝2∠ACB，故⑤正确；
综上所述，①②③⑤正确，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等，有一定难度，解题的关键是熟练运用等量代换思想．
13．如图，∠A＝∠1，∠2+∠3＝180°，∠BDE＝65°，求∠ACB的度数．
【分析】由同角的补角相等得出∠2＝∠EFD，从而AB∥DE，再通过平行得出∠1＝∠BED，从而得出∠BED＝∠A，所以得出ED∥AC，即可得出答案．
【解答】解：∵∠2+∠3＝180°，∠EFD+∠3＝180°，
∴∠2＝∠EFD，
∴AB∥DE，
∴∠1＝∠BED，
∵∠A＝∠1，
∴∠BED＝∠A，
∴ED∥AC，∠BDE＝65°，
∴∠BDE＝∠ACB＝65°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握并灵活运用平行线的判定和性质．
14．如图，已知∠FEA＝∠EAF，AE平分∠CAF．
（1）求证：EF∥AC；
（2）若AC平分∠DAB，∠BAF与∠BAD互补，∠FEA﹣∠DAC＝50°，求∠F．
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可；
（2）题干条件没有给出任何一个具体角的度数，故可设其中一个角为x，用x表示其他的角，以∠BAF与∠BAD互补为等量关系列方程来求解．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAF，
∴∠EAF＝∠EAC，
∵∠FEA＝∠EAF，
∴∠FEA＝∠EAC，
∴EF∥AC；
（2）解：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC＝∠BAC
设∠DAC＝∠BAC＝x，则∠DAB＝2x
∵∠FEA﹣∠DAC＝50°
∴∠FEA＝∠DAC+50°＝x+50°
∴∠EAF＝∠EAC＝∠FEA＝x+50°
∴∠BAF＝∠EAF+∠EAC+∠BAC＝x+50°+x+50°+x＝3x+100°
∵∠BAF与∠BAD互补
∴∠BAF+∠BAD＝180°
∴3x+100°+2x＝180°
解得：x＝16°
∴∠EAF＝∠FEA＝x+50°＝66°
∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠EAF＝180°﹣66°﹣66°＝48°
【点评】本题考查了角平分线性质、平行线的判定、三角形内角和定理．第（2）小题的解题关键为设一个角度为x，利用方程思想来求解具体角度．
拔高拓展
15．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点．
（1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由．
请把下列过程补充完整：
猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD．
证明：过点P作PM∥l1．
∵l1∥l2，
∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
又∵PM∥l1，PM∥l2，
∴∠APM＝∠PAC，　 　＝∠PBD（　 　）．
∵∠APB＝∠APM+∠BPM，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　 　）．
（2）类比探究：
①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．
【分析】（1）过点P作PM∥l1，根据平行线的性质可得∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD，利用等量代换可得：∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（2）仿照（1）的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2，
∴PM∥l2（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
又∵PM∥l1∥l2，
∴∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD（两直线平行内错角相等），
∵∠APB＝∠APM+∠BPM，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（等量代换），
故答案为：PM∥l2，∠BPM，两直线平行，内错角相等，等量代换；
（2）①（1）中的结论不成立，∠APB＝∠PAC﹣∠PBD，
理由如下：
如图，过点P作PE∥l1，
由条件可知PE∥l2，
又∵PE∥l1∥l2，
∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，
∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD；
②∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，
如下图所示，
过点P作PE∥l1，
由条件可知PE∥l2∥l1，
∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD，
∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置．
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