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8.1 平方根（第3课时 算术平方根的估算）（分层作业）
基础训练
1．估算值是在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
4．已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
5．写出一个比大且比小的整数是 ．
6．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ．
7．已知，若是整数，则a＝ ．
8.通过估算或者计算器比较下列各组数的大小
(1) (2)和 (3)
9．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长，宽的长方形绣布，刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请说明理由．（取3）
能力提升
1．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ）
A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间
2．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
根据以上规律，若，则（ ）
A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6
3．观察表格中的数据：
32 33 34 35 36 37 38
1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444
由表格中的数据可知（ ）
A．在之间 B．在之间
C．在之间 D．在之间
4．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．的小数部分为a，的小数部分为b，则 .
6．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
7．如图1，某公园有一块面积为的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案：
方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为的小路，其余部分为花圃；
方案二：在长方形土地上开辟一个面积为的圆形花圃，其余部分为活动场地．
(1)求该长方形土地的周长是多少？
(2)请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少．
(3)请通过计算说明方案二是否可行（取3）．
声明：试题解析著作权属所有
，未 拔高拓展
1．我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的 ， ．
2．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如：
，，[]=3．
(1)仿照以上方法计算：_________；_________．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．
(2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？
3．利用计算器计算下列各题：
（1）___________；
（2）___________；
（3）___________；
（4）___________；
（5）___________；
猜想：（6）___________（用含n的式子表示）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)8.1 平方根（第3课时 算术平方根的估算）（分层作业）
基础训练
1．估算值是在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴值是在6和7之间，
故选：D
2．已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
，这两个式子都不成立，
故选：A．
3．已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
4．已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴9的平方根是；
故答案为．
5．写出一个比大且比小的整数是 ．
【答案】2，3（写一个即可）
【分析】由，可直接进行求解．
【详解】解：，，
比大且比小的整数是：2，3．
故答案为：2，3（写一个即可）．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握一个数的算术平方根的整数部分与小数部分的求法是解题的关键．
6．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ．
【答案】1
【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论．
【详解】解：拼剪后的正方形的面积，
∴，
∵，即
∴，
∴的整数部分是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．已知，若是整数，则a＝ ．
【答案】2或﹣2或﹣1
【分析】利用是整数可判断a为整数且a≥﹣2，则利用a2≤得到﹣7＜a＜7且a为整数，然后找出满足条件的整数a的值即可．
【详解】解：∵是整数，
∴a为整数且a≥﹣2，
∵a2≤，
∴﹣7＜a＜7且a为整数，
∴当a＝﹣2或﹣1或2时，是整数．
故答案为2或﹣2或﹣1．
【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，注意夹逼法的运用．
8.通过估算或者计算器比较下列各组数的大小
(1) (2)和 (3)
【答案】他不能裁出来，理由见解析
【分析】通过夹逼法估算算术平方根的整数和小数点后几位，从而估算数字的大小而判断大小关系，也可以通过计算机计算出大概值即可解答.
解：(1)∵，∴，
(2) ∵，
∴ ;
∵
∴
∵
∴
∴
∴
(3) ∵，
∴;
∵
∴
∴
∵
∴
【点睛】此题考查的是用夹逼法估算算术平方根的大小.
9．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长，宽的长方形绣布，刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请说明理由．（取3）
【答案】他不能裁出来，理由见解析
【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用．设完整圆形绣布的半径为，依题意，得，进而得出，根据，即可求解．
【详解】解：他不能裁出来．
理由：设完整圆形绣布的半径为．
依题意，得．
取3，，
解得（负值已舍去）．
，
，
他不能裁出来．
能力提升
1．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ）
A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案．
【详解】解：当，时，
，
∵，
∴，
∴该微观粒子的能量的值在5和6之间．
故选：B．
2．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250
根据以上规律，若，则（ ）
A．0.160 B．0.506 C．16.0 D．50.6
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系，先根据表格得到规律，再根据规律确定结果，根据表格得到规律，是解决本题的关键．
【详解】由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
∴，
故选：B．
3．观察表格中的数据：
32 33 34 35 36 37 38
1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444
由表格中的数据可知（ ）
A．在之间 B．在之间
C．在之间 D．在之间
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间．
【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间，
∵，
∴在之间，
故选：B．
4．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可．
【详解】解：根据表格中的信息知：
，故①正确；
根据表格中的信息知：，
∴正整数或或的算术平方根在，
∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确；
∵由题意设且，
由，
，
∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确；
故选：D
5．的小数部分为a，的小数部分为b，则 .
【答案】1
【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可.
【详解】解：∵
∴，
∴
∴的整数部分为10，的整数部分为2，
∴a=
b=
代入得：
=12018
=1
【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法.
6．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
【答案】±5
【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．
【详解】解：∵＝3，
∴2a﹣1＝9，
解得：a＝5，
∵3a﹣b+1的平方根是±4，
∴15﹣b+1＝16，
解得：b＝0，
∵，
∴10＜＜11，
∴c＝10，
∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，
∴a+b+2c的平方根为＝±5．
【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．
7．如图1，某公园有一块面积为的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案：
方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为的小路，其余部分为花圃；
方案二：在长方形土地上开辟一个面积为的圆形花圃，其余部分为活动场地．
(1)求该长方形土地的周长是多少？
(2)请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少．
(3)请通过计算说明方案二是否可行（取3）．
【答案】(1)
(2)
(3)不可行
【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和算术平方根的定义．
（1）根据长方形的面积和长与宽之比为，求出长方形的长和宽，得出周长即可；
（2）根据题意列出算式进行计算即可；
（3）先求出圆形花圃的半径，从而得出直径，然后再进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为，根据题意得：
，
解得：，负值舍去，
∴长方形的长为，宽为，
则长方形的周长为：．
（2）解：方案一中的花圃面积为：
．
（3）解：面积为的圆形花圃的半径为：
，
则圆形花圃的直径为，
∵，
∴方案二是不可行．
声明：试题解析著作权属所有
，未 拔高拓展
1．我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的 ， ．
【答案】 10 13
【分析】本题考查了无理数的估算．估算得出常数a的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：10，13．
2．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如：
，，[]=3．
(1)仿照以上方法计算：_________；_________．
如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．
(2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？
【答案】(1)5，7
(2)4次之后结果为1．
【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果；
（2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：5，7；
（2）解：第一次：，
第二次：，
第三次：，
第四次：，
答：对290连续求根整数，4次之后结果为1．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力．
3．利用计算器计算下列各题：
（1）___________；
（2）___________；
（3）___________；
（4）___________；
（5）___________；
猜想：（6）___________（用含n的式子表示）．
【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）15；（5）21；（6）
【分析】本题考查了平方根及立方的运算中的规律探究问题，解题的关键是通过前五个特殊例子找到一般性规律．
（1）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（2）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（3）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（4）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（5）利用立方运算及算术平方根运算即可；
（6）通过前五个计算可发现规律结果为．
【详解】解：（1），
故答案为：3；
（2），
故答案为：6；
（3），
故答案为：10；
（4），
故答案为：15；
（5），
故答案为：21；
猜想：（6），
故答案为：．
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