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2024-2025 学年云南民族中学高三（下）4 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {( , )| = 2 1}， = {( , )| = | + |}.如果 ∩ 有且只有两个元素，则实数 的取
值范围为( )
A. ( ∞,1) B. (1, + ∞) C. [0,1] D. [0,1) ∪ (1, + ∞)
2.下列选项中， 是 的充要条件的是( )
A. ： = 1 或 2， ：两条直线 1： + ( + 1) + 2 = 0 与 2： + 2 + 8 = 0 平行
B. 5 3：直线 = ( 2) + 4 与曲线 = 1 + 4 2有两个不同交点， ： 12 < ≤ 4
C. ： (1,1)在圆 ： 2 + 2 + 2 = 0 外部， ： < 4
D. ：直线 ： + 2 = 0 与圆 ： 2 + 2 2 2 = 0 1相离， ： < 4
3 2 .如果复数 1+ ( ∈ )的实部和虚部互为相反数，则 的值等于( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4
2 2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，直线 与 的两条渐近线分别交于 ，
两点， 为坐标原点，若 2 2 = ， ⊥ ，则 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 102
5 2 .已知 2 = 23，则cos ( + 4 ) =( )
A. 16 B.
1 C. 1 D. 23 2 3
2 2
6 + 2 + 1, ≤ ,.已知 > 0 且 ≠ 1，若函数 ( ) = + ( + ) 2, >
的值域为 ，则实数 的取值范围为( )
A. (0, 12 ] B. [
1
2 , 1) C. (1,2] D. [2, + ∞)
7.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形
的边长为 4，圆 的半径为 4 2，正方形 的中心与圆 的圆心重合，动点
在圆 上，且 = + ，则 + 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.哈希表( )是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是
“除留余数法”.例如，当除数为 3 时，键值为 13 的数据因 13 ÷ 3 余 1，应存放于位置 1 中，从而可直接
依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置(如键值 10 和 13 均映射到同一位置).现有一个容
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量为 7 个位置(编号 0～6)的哈希表，以除留余数法(除数为 7)进行映射，需要存储 22 个数据.设这 7 个位
置存放的数据个数分别为 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6，则下列说法中正确的是( )
A.至少有 1 个位置存放了不少于 5 个数据
B.若这 22 个数据的键值恰好是 0～44 间的所有奇数，则 0～ 6的中位数为 2
C.若 ～ 的方差为 20 6 ，则 2的最小值为 0
2904
，最大值为 49
D.若 0～ 6的极差为 5，则最多有 2 个位置没有存放数据
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .函数 ( )的图象向左平移24个单位后得到函数 ( ) = sin( + ) + ( > 0, | | <

2 )的图象，且函数
( )图象与函数 = 2 + 1 图象有相同的对称中心，则( )
A. ( ) = sin(4 6 ) + 1
B.函数 ( ) 的图象关于直线 = 12对称
C. 在区间[0, 3 ]上存在函数 ( )图象的 2 个对称中心
D. ( ) [ , 1 ] +2 1若函数 在区间 2 上单调递增，则 4 ≤ < 2
10.已知函数 ( ) = ( 1)2 ln| 1|，下列说法正确的有( )
A.存在实数 使得 ( + )为偶函数
B. ( )的导函数 ′( )满足 ′(1 ) = ′(1 + )
C.函数 ( )存在两个极小值点
D.方程 ( ( )) = 0 存在 5 个不同的实根 (1 ≤ ≤ 5)且
5
=1 = 5
11.通信工程中常用 元数组( 1, 2, 3, , )表示信息，其中 = 0 或 1( , ∈ , 1 ≤ ≤ ).设 =
( 1, 2, 3, , )， = ( 1, 2, 3, , )， ( , )表示 和 中相对应的元素( 对应 ， = 1，2，…， )不同
的个数，则下列结论正确的是( )
A.若 = (0,0,0,0,0)，则存在 5 个 5 元数组 ，使得 ( , ) = 1
B.若 = (1,1,1,1,1)，则存在 12 个 5 元数组 ，使得 ( , ) = 3
C.若 元数组 = (0,0, ,0 个 0)，则 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )
D.若 元数组 = (1,1, ,1 个 1)，则 ( , ) + ( , ) ≥ ( , )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某同学收集了第一届全国学生(青年)运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第 19 届亚运会
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吉祥物“宸宸”“琼琮”和“莲莲”的卡片各一张.现该同学准备将这 5 张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和
“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为______. (用数字作答)
13 5.已知圆锥的母线长为 5 ，底面半径为3 ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点 出发，沿圆锥侧面
爬行一周回到点 .则蚂蚁爬行的最短路程长为______ ．
14.已知 = ( )2 + ( + 1)2( ∈ )，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .且满足 3( ) = ．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 的面积 = 10 3，内切圆的半径为 = 3，求 ；
(3)若∠ 的平分线交 于 ，且 = 2，求△ 的面积 的最小值．
16.(本小题 15 分)
人工智能(简称 )的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的 软件主要
有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款
软件的使用情况，从该地区随机抽取了 120 名大学生，统计他们最喜爱使用的 软件功能(每人只能选一
项)，统计结果如下：
软件功能 视频创作图像修复语言翻译智绘设计
大学生人数 40 20 40 20
假设大学生对 软件的喜爱倾向互不影响．
(1)从该地区的大学生中随机抽取 1 人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从 120 名大学生中随机抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，其中最喜爱“视
频创作”的人数为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)从该地区的大学生中随机抽取 2 人，其中最喜爱“视频创作”的人数为 ， 的方差记作 ( )，(2)中
的方差记作 ( )，比较 ( )与 ( )的大小．
(结论不要求证明)
17.(本小题 15 分)
如图所示，在四面体 中， ⊥平面 ， 是 的中点， ， 分别在线段 ， 上，且 = 2 ，
= 2 ．
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(1)求证： //平面 ；
(2)若 = = 2 = 6， = 3 3，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
设 ( ) = + 2( , ∈ ) ( )，定义 ( ) = + 为 ( )的“ ( )函数”．
(1)设 ( )为 ( )的“ (1)函数”，若 = 1， = 2，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)设 ( )为 ( )的“ (0)函数”．
( )若 = 1 是 ( )的极小值点，求 的取值范围；
( )若 = 2 2，方程 ′( ) = 0 有两个根 1， 2，且 1 < 2，求证： ( 2) < 3 + 2 2 2．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，已知动圆 过定点 ( 2 2, 0)，且与定圆 ：( 2 2)2 + 2 = 36 相切，记动
圆圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设曲线 与 轴， 轴的正半轴分别相交于 ， 两点，点 ， 为椭圆 上相异的两点，其中点 在第一象
限，且直线 与直线 的斜率互为相反数，试判断直线 的斜率是否为定值．如果是定值，求出这个值；
如果不是定值，说明理由；
(3)在(2)条件下，求四边形 面积的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13.5 3
14.12
15.
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16.
17.
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18.
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19.解：(1)设圆 的半径为 ，
∵点 ( 2 2, 0)在圆 ：( 2 2)2 + 2 = 36 内，且两圆相切
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∴设 = ， = 6 ，
∴ + = 6 > 4 2 = ，
∴圆心 的轨迹为以 ， 为焦点，长轴长为 6 的椭圆．…(1 分)
∴ 2 = 6，2 = 4 2，∴ = 3， = 2 2，∴ 2 = 1，
∴
2
曲线 的方程为 + 29 = 1. …(3 分)
(2)由(1)可知 (3,0)， (0,1)
设 的斜率为 ，则直线 方程为 = ( 3)，直线 方程为 = + 1
= ( 3) 27 2 ( 3 , 6 由 2 + 9 2 = 9，得 点坐标为 9 2+1 9 2+1 )…(5 分)
= + 1 18 1 9 2
由 2 + 9 2 = 9，得 ( 1+9 2 , 1+9 2 )…(7 分)
6 1 9 2
= 9 2+1 9 2+1 = 6 +9
2 1 1
所以 的斜率 27 2 3 18 27
2 18 3 = 3…(9 分)
9 2+1 9 2+1
(3)设 1的方程为 = 3 + , 1 < < 1，
= 1
由 3
+
，得 2 2 + 6 + 9 2 9 = 0
2 + 9 2 = 9
2
则 + = 3 , =
9 9
2 ，
2
= 1+ 132 ( 3 )
2 4 × 9 92 = 10 2
2…(11 分)
到直线 = |1+ | = 3(1+ )的距离分别为 1 …(12 分)
1+(1)2 103
= |1 | 3(1 )到直线 的距离分别为 2 = …(13 分)
1+(1)2 103
所以四边形 1 1 1面积 = △ + △ = 2 1 + 2 2 = 2 ( 1 + 2) = 3 2
2…(15 分)
又 1 < < 1，所以四边形 面积的取值范围是(3,3 2]. …(16 分)
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