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山东省临沂市2023 2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
4．向量，则（ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
5．的三个内角所对边的长分别为，设向量．若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．已知中，，点O为的内心，则（ ）
A． B． C． D．
7．某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（ ）
A．50米 B．100米 C．米 D．米
8．已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
10．在中，角的对边分别为，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，则为直角三角形
11．已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（ ）
A．的解析式为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上是减函数
D．将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象
12．已知函数，则（ ）
A．的周期是
B．的值域是
C．若在区间上有最大值，没有最小值，则的取值范围是
D．若方程在区间上有3个不同的实根，则的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知平面向量满足，则 ．
14．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ．
15．如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域，两个凉亭分别座落在点及点处，花园里有一条平行于的小路；已知某人从凉亭沿小路走到点用了3分钟，从点沿走到凉亭用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径的长为 米（精确到1米）．
16．在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知向量．
(1)若向量与共线，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
18．已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围．
19．已知向量满足．
(1)求向量与的夹角；
(2)若向量在方向上的投影向量为，求的值．
20．设的内角所对的边分别为，若，．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
21．已知在锐角中，三边的对角分别为，且
(1)求角的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
22．已知函数的定义域为R，若函数在区间上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当时函数取得最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图象向左平移个单位得到函数，已知函数的最小值为，求满足条件的的最小值；
(3)是否存在实数，满足不等式？若存在，求出实数的范围（或值），若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】BC
10．【答案】ABD
11．【答案】AC
12．【答案】ABC
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】267
16．【答案】
17．（1）由题意可得，，
若向量与共线可得，
解得；
（2）若向量与的夹角为钝角可得，且；
即可得，解得；
即实数的取值范围为.
18．因为,
可得,
所以,
可得,
即,
当,
所以.
19．（1），
，即，
，，
又，与的夹角为；
（2），
．
20．（1）由正弦定理得为的外接圆半径），
可得：，
将其代入得，即，
又由题意知，所以，
解得，所以，在中由余弦定理得：
，
所以，所以，
所以，
，
由题意可知，所以，
所以，
所以；
（2）因为，由（1）知，
所以．
21．（1）设的外接圆的半径为，
由正弦定理得，可得，
将其代入，可得
，
根据余弦定理得，
由此可得，
在锐角中，；
（2）由（1）正弦定理， ，
，
又因为为锐角三角形，所以，
又，
，
，即，
所以，
又，，即，
故锐角的周长的取值范围为.
22．（1），，
，
又，
，
，
，又，
，
.
（2）由题意知：，
的图象向左平移个单位得，
即，
函数与均为其定义域上的单调增函数，且，，
当且仅当取得最大值时，同时取得最小值时，
才能取得函数的最小值，
由，得，
又，即，
，又，
的最小值为.
（3）满足，解得，
，
，同理，
，，
，，
又函数在上单调递增，
若有，
则，
即只需，即成立即可，又，
，即存在，使成立.

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