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山西省大同市常青中学校等校联考2024 2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数，则（ ）
A．2 B． C．10 D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，且，，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
10．已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则是实数
C．若，则是纯虚数 D．若，则
11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则是锐角三角形
C．若，，则面积的最大值为
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ．
13．已知，则的值为 ．
14．在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，复数．
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
(2)若z满足，，求的值．
16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的值；
(2)若，的面积为，求边上的高．
17．已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
18．如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
19．定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
(1)若向量为函数的伴随向量，求；
(2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
(3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．B
5．A
6．C
7．B
8．D
9．BD
10．ABC
11．BC
12．.
13．
14．
15．（1）复数在复平面内对应的点为，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是.
（2）依题意，，
又，则，解得，
，
所以.
16．（1）由和余弦定理，
可得：，
化简得，则得，
故；
（2）由可得，
由（1）已得，解得，
由余弦定理，
，解得，
设边上的高边上的高为，
则由，解得，
故边上的高为.
17．（1）由，得，则，
由二次函数满足，设，
不等式，即，
依题意，是方程的二实根，且，
于是，解得，
所以的解析式为.
（2）由（1）知，，
不等式，
依题意，不等式对任意的恒成立，
而，，当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是.
18．（1）由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以.
（2）由（1）可知，，
由，则，
，
可得，解得.
（3）由图可得，
，
，
由，则.
19．（1）因，
则，故.
（2）依题意，，
由可得，
因，则，故，解得
因，则，
又，代入解得①，
由正弦定理，，可得，
代入①，可得②，
又由余弦定理，，
可得③，
于是，
解得.
（3）依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象.
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点.
由图知，当且仅当时，两者有四个交点.
故实数m的取值范围为.

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