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专题 2 基本不等式归类
目录
题型 01 均值公式“取等”基础 ......................................................................................................................................1
题型 02 基本型：“1”的代换 ........................................................................................................................................4
题型 03 基本型：凑配型 ................................................................................................................................................6
题型 04 基本型：分离常数构造“对勾”型 ..................................................................................................................8
题型 05 “1”的代换扩展：同除型 ..................................................................................................................................9
题型 06 “1”的代换扩展：构造分母型 ........................................................................................................................11
题型 07 “1”的代换扩展：双分母构造型 ....................................................................................................................14
题型 08 “1”的代换扩展：分离常数型构造 ................................................................................................................15
题型 09 有和有积有常数整体化解不等式型 ..................................................................................................................18
题型 10 假“1”的代换扩展：反解代入型 ....................................................................................................................19
题型 11 因式分解型 ..........................................................................................................................................................21
题型 12 换元化归型-.........................................................................................................................................................23
题型 13 万能“k”型 ........................................................................................................................................................25
题型 14 三元变量均值型 ..................................................................................................................................................28
题型 15 均值裂项构造型 ..................................................................................................................................................30
题型 16 无条件构造型 ......................................................................................................................................................32
题型 17 超难压轴综合小题 ..............................................................................................................................................34
优先选取 2024 各地模拟试题...............................................................................................Error! Bookmark not defined.
题型 01 均值公式“取等”基础
【解题规律·提分快招】
a＋b
1．基本不等式： ab≤ ；
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b.
(3)基本不等式的变形：
a＋b
①a＋b≥2 ab，常用于求和的最小值；②ab≤ 2( 2 ) ，常用于求积的最大值；
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和
为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
【典例 1-1】
（24-25 高一上·天津和平·期中）若 x > 0，则下列说法正确的是（ ）
1
A． x +
1
的最小值为 2 B． x + 的最小值为1
x x +1
x 1 1C． + 的最小值为 2 2 D． x + 的最小值为 2x x +1
【答案】A
【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项.
1 1
【详解】对于 AC 选项，因为 x > 0，则 x > 0，由基本不等式可得 x + 2 x × = 2 ，
x x
1
当且仅当 x = 时，即当 x =1时，等号成立，即 x
1
+ 的最小值为 2，A 对 C 错；
x x
对于 BD 选项，因为 x > 0，则 x +1 >1，
x 1 x 1 1 1 2 x 1 1由基本不等式可得 + = + + - + × -1 =1，
x +1 x +1 x +1
x 1 1当且仅当 + = 时，即当 x = 0时，等号成立，但 x > 0，故等号不成立，
x +1
所以 x
1 1
+ >1，即 x + 没有最小值，BD 都错.
x +1 x +1
故选：A.
【典例 1-2】
（22-23 高三下天津嘉诚中学阶段练习）下列选项正确的是（ ）
a b 4
A． + 2 B． x + 4
b a x
C． sin2 a
2 x2 1 1+ 的最小值为 D． + 的最小值为
sin2 a 2 2 x2 + 2 2
【答案】D
【分析】结合选项，利用特殊值或函数的单调性进行求解.
a b a b
【详解】当 与 为负数时， + 2显然不成立，选项 A 不正确；
b a b a
4
因为 x 不一定为正数，当 x 为负数时， x + 4 显然不成立，选项 B 不正确；
x
令 sin2 a = t 0,1 2，所以 t + 的最小值为 3，当且仅当
t sin
2 a =1时，取到最小值，选项 C 不正确；
x2 1+ = x2 2 1 2 2 12 + + 2 - 2 ，因为 x +2≥2，所以 x + 2 + 2 - 2 2
1 2 1+ - = ，当且仅当 x = 0时，取
x + 2 x + 2 x + 2 2 2
到最小值，选项 D 正确．
故选：D．
【变式 1-1】
（24-25 高一上·天津南开·开学考试）设 a > 0，b > 0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
2ab
① ab a 1② + 1a + b a +1
(a 1 1③ + 2b) +

÷ 4 ④
a b
+ 2 2 - 2
è a b a + 2b a + b
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可
2ab 2ab
【详解】对于①，因为 a > 0，b > 0，所以 = aba b ，当且仅当 a = b时等号成立，故①错误；+ 2 ab
对于②，因为 a > 0，所以 a +1 >1，
所以 a 1+ = a +1 1+ -1 2 a 1 1+ × -1 =1，
a +1 a +1 a +1
1
当且仅当 a +1 = ，即 a = 0时取等号，
a +1
1 1
又 a > 0，所以 a + > 1a ，则 a + 1成立，故②正确；+1 a +1
③
1 1 2b a 2b a
对于 ， a + 2b + = 3 + + 2 × + 3 = 2 2 + 3，
è a b ÷ a b a b
2b a
当且仅当 = 即
a b a = 2b
时等号成立，
(a 2b) 1 1+ + 因为 2 2 + 3 > 4，所以 ÷ 4成立，故③正确；
è a b
④ a b
2 a + b - a + 2b a + 2b - a + b
对于 ， + = +
a + 2b a + b a + 2b a + b
2 a + b a + 2b 2 a + b2 2 a + 2b= + - × - 2 = 2 2 - 2，
a + 2b a + b a + 2b a + b
2 a + b a + 2b
当且仅当 = ，即 a + 2b = 2 a + b 时等号成立，故④正确.
a + 2b a + b
故选：C
【变式 1-2】
（23-24 高一上·天津·期中）设 a,b 0, + ，则下面的不等式不正确的是（ ）
b a 1 1 2
A． + 2 B． + 2 +
a b a b a + b
2 2
C． a2 + b2
b a
2ab D． + a + b
a b
【答案】B
【分析】根据不等式的性质以及基本不等式，结合特例法逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A， a,b 0, + b a 2 b a，由 + × = 2，当且仅当 a = b时，等号成立，正确；
a b a b
1 1 2
对于 B，取 a = b =1， + =1+1 = 2 < 2 + = 2 +1 = 3，不正确；
a b a + b
对于 C，由 a2 + b2 2ab，当且仅当 a = b时，等号成立，正确；
对于 D，由不等式 a3 + b3 - a2b - ab2 = (a + b)(a - b)2 0 ，可得 a3 + b3 a2b + ab2 ，
2 2
当且仅当 a = b b a时，等号成立，两边同除 ab，可得 + a + b 成立，正确；
a b
故选：B
【变式 1-3】
（23-24 高三下·天津滨海新区塘沽一中·阶段练习）已知 a > 0，b > 0，则“ a + b > 2 ”是“ ab >1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】若 a =1.5,b = 0.6 ，满足 a + b > 2 ，但 ab <1，
若 a > 0,b > 0，ab >1，则 a + b 2 ab > 2，即 a + b > 2 ，
所以“ a + b > 2 ”是“ ab >1”的必要不充分条件.
故选：B
题型 02 基本型：“1”的代换
【解题规律·提分快招】
1 主要是利用.利用常数 m =1代换法。多称之为“1”的代换
m
（1）条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
【典例 1-1】
2 1
（24-25 高一上·天津滨海新·阶段练习）已知 x > 0， y > 0，且 + = 2x y ，若 x + 2y > m
2 - 3m恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．m -1或m 4 B．-1 < m < 4
C．m -4或m≥ 2 D．-4 < m < 2
【答案】B
【分析】利用基本不等式求出 x + 2y 的最小值，再将不等式恒成立转化为最值问题，解不等式可得结果.
2 1
【详解】因为 x > 0， y > 0，且 + = 2x y ，
x 2y 1 x 2y 2 1 1 4y x 1
4y x
所以 + = + + ÷ = + + 4÷ 2 × + 42 x y 2 ÷
= 4，
è è x y 2 x y ÷è
4y x
当且仅当 = x = 2, y =1x y ，即 时等号成立，
即 x + 2y 的最小值为 4，
所以 x + 2y > m2 - 3m恒成立，可化为 4 > m2 - 3m，
即m2 - 3m - 4 < 0 ，解得-1 < m < 4 .
故选：B.
【典例 1-2】
x + 8y
（24-25 高三上·天津滨海新·期中）已知正数 x，y 满足 x + 2y = 4，则 xy 的最小值为 ．
9
【答案】 / 4.5
2
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
x, y x + 8y 1 8【详解】因为正数 满足 x + 2y = 4， = +xy y x ，
1 8 1 x 2y 1 8 1

所以 + = + + ÷ = 10
x 16y 1 x 16y 9
+ + ÷ 10 + 2 × ÷ = ，y x 4 è y x 4 è y x 4 è y x ÷ 2
x 16y
= x 8 , y 2
x + 8y 9
当且仅当 y x ，即
= = 时取等号，所以
3 3 xy
的最小值为 .
2
9
故答案为： .
2
【变式 1-1】
（23-24 高一上·天津和平·开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．若正实数 x y
8 1
， 满足 + =1 x + 2yx y ，则 的最小值为 25
1
B．若 x > 0， y > 0，且 x + 4y =1，则 xy的最大值为 4
4 a
C．若 a，b 为正实数，且 a + 2b = 2，则 + 的最小值为 6
a b
4 4
D．若 a,b R ， ab > 0 a + 4b +1，则 的最小值为 3
ab
【答案】C
【分析】利用基本不等式的方法与技巧分别判断各个选项即可得出结果.
【详解】A 选项：因为 x > 0, y > 0，
x 2y x 2y 8 1 16y x 16y x所以 + = + + ÷ = 8 + 2 + + 10 + 2 =18，
è x y x y x y
当且仅当 x = 4y =12时取“=”，故 A 选项错误；
B 选项：因为 x > 0, y > 0，
1
所以 x + 4y 2 x × 4y = 4 xy ，当且仅当 x = 4y = 时取“=”，
2
1
则1 4 xy ，所以 xy ，故 B 选项错误；
16
C 选项：因为 a > 0,b > 0， a + 2b = 2，所以 4 = 2a + 4b
4 a 2a + 4b a 4b a 4b a
所以 + = + = 2 + + 2 + 2 × = 6，
a b a b a b a b
当且仅当 a = 2b =1时取“=”，故 C 选项正确；
a4D + 4b
4 +1 4a2b2 +1 4ab 1选项： ≥ = + ≥ 4 ，
ab ab ab
ìa2 = 2b2
2 2
当且仅当 í 1 ，即 a2 = ,b2 = 时取“=”，故 D 选项错误；
4ab = 2 4 ab
故选：C.
【变式 1-2】
1 2
（2024·天津第二南开中学）已知正实数 x，y 满足 + =1，则 2xy - 3xx y 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
1 2 1 2
【详解】易知 + =1 2x + y = xy ，则 2xy - 3x = 2 2x + y - 3x = x + 2y × +x y ÷è x y
5 2y 2x 2y 2x= + + 5 + 2 × = 9 ，
x y x y
2y 2x
当且仅当 = ，即 x = y = 3x y 时取得等号.
故选：B
【变式 1-3】
（24-25 高三上·天津南开·期中）在 1 和 11 之间插入m 个数，使得这m + 2个数成等差数列．若这m 个数中
第 1 个为 a，第m
1 25
个为b ，则 + 的最小值是 ．
a b
【答案】3
【分析】先利用等差数列的性质得到 a + b =1+11 =12,1< a < b <11，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】由题可知， a + b =1+11 =12,1< a < b <11，
1 25 a b 1 25 1 25 b 25a 13 b 25a
所以有 + = + ÷ + ÷ = + + + + 2 = 3，a b è12 12 è a b 12 12 12a 12b 6 12a 12b
b 25a
当且仅当 = ，即b =10, a = 2时等号成立，
12a 12b
1 25
此时 a,b满足1 < a < b <11，m = 9，所以 + 的最小值是 3.
a b
故答案为：3
题型 03 基本型：凑配型
【解题规律·提分快招】
(1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等
式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
【典例 1-1】
4 1
（24-25 高三上·天津红桥·期中）已知 a > b > 0，则 4a + + 的最小值为（
2a b 2a b ）+ -
A．2 B． 2 2 C．6 D．4 2
【答案】C
【分析】将目标式化为 (2a b)
4
+ + + (2a 1- b) + ，利用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条
2a + b 2a - b
件.
4 1 4 1
【详解】由 a > b > 0，则 2a - b > 0、 2a + b > 0 所以 4a + + = (2a + b) + + (2a - b) +
2a + b 2a - b 2a + b 2a - b
ì
2a + b = 2 a
3
=
ì
2 (2a b) 4 2 (2a b) 1+ × + - × = 6 4，当且仅当 í ，即 í 时取等号，
2a + b 2a - b 2a - b =1 b 1=
2
4 1
所以 4a + + 的最小值为 6.故选：C
2a + b 2a - b
【典例 1-2】
（22-23 高二下·天津南开·期末）函数 f x =16x 1 1+ x + x-1 的最小值为 .4 2
【答案】4
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】由 2x > 0，根据基本不等式，
16x 1 1得 + x +4 2x-1
= 2x 4 1 1 1 4 1 1 1+ + + 4 2x × × × = 4
2x 2 2x 2x 4 22x 2x 2x ，
x 4 1 1
当且仅当 2 = x 2
= x
2 2 ，即 x = 0时等号成立.
f x 16x 1 1所以函数 = +
4x
+
2x-1
的最小值为 4.
故答案为：4
【变式 1-1】
2
（24-25 高一上·天津西青区张家窝中学阶段练习）若实数 x <1，则 2x + 的最大值为（ ）
x -1
A．-2 B．-4 C．4 D．6
【答案】A
【分析】用配凑法结合基本不等式求解即可；
【详解】实数 x <1,\ x -1 < 0
2
\ y = 2x + = 2 x 2 2-1 + + 2 -2 2 1- x × + 2 = -2，
x -1 x -1 1- x
2 1 x 2当且仅当 - = ，即 x = 0时等号成立，
1- x
\函数 y = 2x
2
+ 的最大值为-2，
x -1
故选：A.
【变式 1-2】
1 1
（24-25 高一上·天津北辰·阶段练习）已知0 < x < ，求 y = x 1- 2x 的最大值为（ ）
2 2
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 8 4 2
【答案】A
1
【分析】根据题意整理可得 y = é2x 1- 2x ù ，利用基本不等式运算求解即可.4
【详解】因为0 < x
1
< ，则1- 2x > 0，
2
1 1 é2x +
2
1- 2x ù
可得 y = x 1- 2x = é2x 1- 2x
1
ù
1
= ，2 4 4 4 16
1
当且仅当 2x =1- 2x ，即 x = 时，等号成立，
4
1 1
所以 y = x 1- 2x 的最大值为 .
2 16
故选：A.
【变式 1-3】
1
（22-23 高一上·天津·期末）若 x > -1，则 2x + 的最小值为 ．
x +1
【答案】 2 2 - 2
1
【分析】由于 x > -1，可将原式整理为 2x + 2 + - 2x 1 ，然后利用基本不等式求解即可.+
2x 1 2x 2 1 2 2 2x 2 1【详解】 + = + + - + - 2 = 2 2 - 2，
x +1 x +1 x +1
当且仅当 2x 2
1
+ = , 2
x 即+1 x = -1时，取得最小值.2
故答案为： 2 2 - 2 .
题型 04 基本型：分离常数构造“对勾”型
【解题规律·提分快招】
对勾型：
t 1 at b+ +
t ， t
sin 2+ ，其中 锐角 x2 1+ 5 +
2
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如 sin ， x + 5
【典例 1-1】
2
（19-20 · x - 2x + 4高一 天津东丽·期中）若 x > 2，则 y = 的最小值为（ ）
x - 2
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
x2y - 2x + 4 4【分析】化简原式得 = = x - 2 + + 2，然后利用基本不等式求解
x - 2 x - 2
【详解】因为 x > 2，所以 x - 2 > 0，
2
y x - 2x + 4所以 = = x - 2 4+ + 2 2 x - 2 4 + 2 = 6，
x - 2 x - 2 x - 2
4
当且仅当 x - 2 = ，即 x = 4时等号成立，
x - 2
故 y = x
4
+ ，的最小值为 6．
x - 2
故选：C．
【典例 1-2】
3t + 3
（23-24 高三上·天津河北·期末）已知 t > 0，则 + t 的最小值为 .
2t +1
【答案】 3 +1 /1+ 3
3t + 3
【分析】先将式子 + t 化简消去分子的 t，进而利用基本不等式即可求解.
2t +1
【详解】因为 t > 0，
3
3t + 3 2t +1
3
+
所以 2 2 3 2t +1+ t = + t =1+ +
2t +1 2t +1 2 2t +1 2
3 2t +1
1+ 2 × =1+ 3
2 ，2t +1 2
3 2t +1 3 -1
当且仅当 =2 2t +1 2 ，即 t = 时，等号成立.2
3t + 3
所以 + t 的最小值为 .
2t 1 3 +1+
故答案为： 3 +1.
【变式 1-1】
a +1 2b +1
（2022·天津红桥·二模）设 a > 0，b > 0，若 a + 2b = 5，则 的最小值为（ ）
ab
A． 3 B．2 C． 2 2 D． 4 3
【答案】D
a +1 2b +1 2 ab 6【分析】依题意可得 = + ，利用基本不等式计算可得；
ab ab
【详解】解：因为 a > 0，b > 0，且 a + 2b = 5，所以 ab > 0，
a +1 2b +1 2ab + a + 2b +1 2ab + 6 6
所以 = = = 2 ab + 2 2 ab
6
× = 4 3
ab ab ab ab ab
b =1 ì 3
2 ab 6 ì b =当且仅当 = ，即 ab = 3，
ab ía = 3
或 í 2 时取等号；
a = 2
故选：D
【变式 1-2】
2
（20-21 高一上· · x > 3 f (x) x - 6x +10天津武清 阶段练习）若 ，则 = 有（ ）
x - 3
5 5
A．最大值 B．最小值 C．最大值 2 D．最小值 2
2 2
【答案】D
1
【解析】构造基本不等式 f (x) = x - 3 + 即可得结果.
x - 3
2 2
【详解】∵ x > 3，∴ x - 3 > 0 x - 3 +1，∴ f (x) x - 6x +10 = = = x 1 1- 3 + 2 x - 3 = 2，
x - 3 x - 3 x - 3 x - 3
1
当且仅当 x - 3 = ，即 x = 4时，等号成立，
x - 3
即 f x 有最小值 2.故选：D.
【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于较易题.
【变式 1-3】
x2 + 5x +11
（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知 x > -2，则函数 y = 的最小值是
x + 2
【答案】 2 5 +1/1+ 2 5
【分析】利用换元法与基本不等式即可得解.
【详解】因为 x > -2，则 x + 2 > 0，令t = x + 2，则 t > 0， x = t - 2，
2 t - 2 2 + 5 t - 2 +11
所以 y x + 5x +11 = = = t 5+ +1 2 t 5× +1 = 2 5 +1，
x + 2 t t t
t 5当且仅当 = ，即
t t = 5
， x = 5 - 2时，等号成立，
x2 + 5x +11
所以 y = 的最小值为 2 5 +1 .
x + 2
故答案为： 2 5 +1 .
题型 05 “1”的代换扩展：同除型
【解题规律·提分快招】
形如 a + b = ta b ，可以通过同除ab，化为 + = tb a 构造“1”的代换求解
【典例 1-1】
（2022 天津耀华中学·期末）若两个正实数 x，y 满足 4x + y = xy
y 2
，且存在这样的 x，y 使不等式 x + < m + 3m
4
有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．-1 < m < 4 B．-4 < m < 1
C．m < -4或m >1 D．m < -3或m > 0
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式有解得到m2 + 3m > 4，解一元二次不等式求
范围即可.
1 4
+ =1 x y (x y )(1 4【详解】由题设 ，则 + = + + ) 2
y 4x y 4x
= + + 2 + 2 × = 4
x y ，4 4 x y 4x y 4x y
y 4x y 4x ì
x = 2
当且仅当 = =4x y ，即 í y 8
时等号成立，
=
y 2
要使不等式 x + < m + 3m 有解，则m2 + 3m > 4 m2 + 3m - 4 = (m + 4)(m -1) > 0 ，
4
所以m < -4或m >1.
故选：C
【典例 1-2】
（24-25 高一上·天津和平·期中）若正数 a,b满足 4a + b = ab，则使 a + b - m 0 恒成立的实数m 的最大值
是 ．
【答案】9
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出 a + b 的最小值即得.
【详解】由正数 a,b
1 4
满足 4a + b = ab，得 + = 1，
a b
a b 1 4 b 4a b 4a则 + = (a + b)( + ) = 5 + + 5 + 2 × = 9，当且仅当b = 2a = 6时取等号，
a b a b a b
由使 a + b - m 0 m a + b恒成立，得m 9，
所以实数m 的最大值是 9.
故答案为：9
【变式 1-1】
（2024 天津双菱中学·阶段练习）若两个正实数 x，y 满足 4x + y = 2xy
y 2
，且不等式 x + < m - m有解，则
4
实数 m 的取值范围是（ ）
A． (-1,2) B． - , -2 U 1, + C． (-2,1) D． (- , -1) (2, + )
【答案】D
y
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出 x + 的最小值，再解一元二次不等式即得.
4
1 4
【详解】由两个正实数 x，y 满足 4x + y = 2xy ，得 + = 2x y ，
则 x
y 1 (1 4 )(x y ) 1+ = + + = (2 4x y ) 1 (2 2 4x y+ + + × ) = 2，
4 2 x y 4 2 y 4x 2 y 4x
4x y
当且仅当 =y 4x ，即
y = 4x = 4时取等号，
y
由不等式 x + < m2 - m有解，得m2 - m > 2，解得m < -1或m > 2 ，4
所以实数 m 的取值范围是 (- , -1) (2, + ) .
故选：D
【变式 1-2】
（21-22 高一上·天津武清区杨村三中·阶段练习）已知 a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式 m≤a+3b﹣1 恒成立，
则 m 的最大值为（ ）
A．11 B．15 C．26 D．3 3﹣1
【答案】A
【分析】将 a用b 表示，代入 a + 3b -1，变形后利用基本不等式求出最小值，利用恒成立求出m 的范围，可
得结果.
a 3b【详解】由 a + 3b - ab = 0 得 = ，因为 a > 0,b > 0，所以b -1 > 0 ，所以b >1，
b -1
a 3b 1 3b 3(b -1) + 3所以 + - = + 3b -1 = + 3(b -1) + 2
3
= + 3(b -1) + 5
b -1 b -1 b -1
3
2 3(b -1) + 5 =11，当且仅当b = 2 时，等号成立，
b -1
所以m 11，所以m 的最大值为11.
故选：A
【变式 1-3】
（24-25 高一上·天津卓越中学·阶段练习）设 a > 0，b > 0，且 a + b = ab ，则3ab - a + 7b的最小值为 .
【答案】12 + 4 5
1 1
【分析】由 a + b = ab ，得 + =1，又3ab - a + 7b = 2a +10b ，由乘1法，利用基本不等式，即可求解.
a b
1 1
【详解】因为 a > 0，b > 0，且 a + b = ab ，则 + =1，
a b
1 1
则3ab - a + 7b = 3a + 3b - a + 7b = 2a +10b = 2a +10b +

è a b ÷
2 10 10b 2a 12 2 10b 2a= + + + + × =12 + 4 5 ，
a b a b
10b 2a 5
当且仅当 = ，即
a b a =1+ 5,b =1+
时取等号.
5
故答案为：12 + 4 5 .
题型 06 “1”的代换扩展：构造分母型
【解题规律·提分快招】
形如 a+b=t，求 1 1+ 型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。
a + m b
其中可以任意调换 a、b 系数，来进行变换凑配。
【典例 1-1】
2 1
（22-23 高一上·天津·期末）若实数 x > -1, y > 0 ，且 x + y =1，则 +x 1 y 的最小值为（+ ）
3 2 3A．2 B．3 + 2 2 C．1+ D． + 2
4 2
【答案】D
【分析】由题意可得 x +1 + y = 2，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.
【详解】因为 x > -1, y > 0 ，所以 x +1 > 0，
由 x + y =1，得 x +1 + y = 2，
2 1 1 2 1 x 1 1 2y x +1 则 + = + ÷ + + y = 3 + +x +1 y 2 x +1 y 2 x +1 y ÷è è
1 3 2 2y x +1
3
+ × ÷÷ = + 2 ，2 è x +1 y 2
2 y x +1 ìx = 3- 2 2
当且仅当 =x 1 y ，即 í 时，取等号，+ y = 2 2 - 2
2 1
+ 3所以 的最小值为 + 2x 1 y .+ 2
故选：D.
【典例 1-2】
1 4
（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知 a,b R+ ，且满足 + =1，对于"4 x 5，不等式a b +1
a + b -x2 + 6x - m恒成立，则实数m 的取值范围为
【答案】[0,+ )
【分析】先利用基本不等式“1”的妙用求得 a + b 的最小值，从而得到m -x2 + 6x -8在 x 4,5 上恒成立，
再利用二次函数的性质与恒成立问题的解法即可得解.
【详解】因为 a,b R
1 4
+ ，且满足 + =1，a b +1
所以 a + b = a + (b +1) -1 = [a + (b +1)]
1 4+ -1
è a b +1÷
b +1 4a b +1 4a
= 4 + + 4 + 2 × = 8，
a b +1 a b +1
b +1 4a
当且仅当 = ，即 a = 3,b = 5时，等号成立，
a b +1
因为对于"4 x 5，不等式 a + b -x2 + 6x - m恒成立，
所以8 -x2 + 6x - m在 x 4,5 上恒成立，即m -x2 + 6x -8在 x 4,5 上恒成立，
y = -x2 + 6x -8 = - x - 3 2因为 +1，其在 4,5 上单调递减，
所以 y = -x2 + 6x -8在 x = 4处取得最大值 y = -42 + 6 4 -8 = 0，
所以m 0，即实数m 的取值范围为[0,+ ) .
故答案为：[0,+ ) .
【变式 1-1】
4 1
（2022·天津红桥·一模）设 a > 0，b >1，若a + b = 2，则 + 的最小值为（ ）
a b -1
A．6 B．9 C．3 2 D．18
【答案】B
【分析】依题意可得 a + (b - 1) = 1，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】解：Qa > 0，b >1，且a + b = 2，
∴ b - 1 > 0且 a + (b - 1) = 1，
\ 4 1 (4 1+ = + )[a + (b -1)]
a b -1 a b -1
= 5 4(b -1) a+ + …5 + 2 4(b -1) a× = 9，
a b -1 a b -1
4(b - 1) a 2 4
当且仅当 = ，即 a =a b 1 且b = 时取等号，- 3 3
4 1
故 + 的最小值为 9；
a b -1
故选：B
【变式 1-2】
2 2
（2025·天津八中模拟）已知正实数 a，b 满足 2a + b = 4，则 + 的最小值是（ ）
a + 2 b
9 9
A． + 2 B 3 2．4 C． D．
4 2 +4 2
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求最小值.
【详解】设 x = a + 2, y = b，则 a = x - 2,b = y ，故 2x + y = 8，其中 x > 2, y > 0，
2 2 1 2 2 2x 1 4x 2y + = + ÷ + y = 6 + + ，a + 2 b 8 è x y 8 è y x ÷
4x 2y
由 + 4 2y x ，
4x 2y
当且仅当 = y = 2x x = 4y x 2 - 2 ， y = 8 2 -1 时等号成立，
此时 x > 2， y > 0满足，
2 2
故 + 1 3 2的最小值为
a + 2 b 8 6 + 4 2 = + ，4 2
故选：D.
【变式 1-3】
4 1
（23-24 高一上·天津静海·模拟）已知 x >1, y > 0，且 x + = 2y ，则
+ y 的最小值是 .
x -1
【答案】9
1 4 1
【分析】变换 + y = x -1+ ÷ + y ，展开利用均值不等式计算得到答案.x -1 è y è x -1
÷

4 4
【详解】 x + = 2 x -1+ =1y ，所以 y ，
1 y 4 1+ = x -1+
+ y = 5 + x -1 y 4+ 5 + 2 4 = 9
x -1 è y
÷ x -1 ÷ ， è x -1 y
当且仅当 x 1 y
4
- =
x 1 y ，即 x -1 y = 2，即 x
4
= , y = 6
- 时，等号成立.3
1
所以 + y 的最小值是 9.
x -1
故答案为：9
题型 07 “1”的代换扩展：双分母构造型
【解题规律·提分快招】
形如 a+b=t，求 1 1+ 型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
a + m b + n
其中可以任意调换 a、b 系数，来进行变换凑配。
【典例 1-1】
4 1
（22-23 高三上·天津南开中学·阶段练习）已知正实数 a,b满足 + =1，则a + 2b的最小值为（ ）
a + b b +1
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
4 1
【分析】令 a + 2b = a + b + b +1-1，用 a + b + b +1分别乘 + =1两边再用均值不等式求解即可.
a + b b +1
4 1
【详解】因为 + =1，且 a,b为正实数
a + b b +1
所以 a + b + b +1 = (a + b + b 1)(
4 1 ) a + b 4(b +1)+ + = 4 + + +1
a + b b +1 b +1 a + b
a + b 4(b +1) a + b 4(b +1)
5 + 2 = 9，当且仅当 = 即 a = b + 2 时等号成立.
b +1 a + b b +1 a + b
所以 a + 2b +1 9, a + 2b 8 .
故选：B.
【典例 1-2】
1 2 1
（23-24 高三上·天津河西·期中）已知实数 a > 0,b > 2，且 + = ，则 2a + b 的最小值是 .
a +1 b - 2 2
【答案】16
【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为 a > 0,b > 2
1 2 1 2 4
，且 + = ，故 + =1，
a +1 b - 2 2 a +1 b - 2
2a b 2 a 1 b 2 é 2 4 ù 24 4 b - 2 8 a +1 所以 + = é + + - ù ê + = + + + a +1 b - 2ú a +1 b - 2
2 b - 2 8 a +1
8 + 2 × =16，
a +1 b - 2
2 b - 2 8 a +1
当且仅当 = ，即b - 2 = 2 a +1 ， a = 3,b =10时，等号成立，
a +1 b - 2
故 2a + b 的最小值是 16.
故答案为：16
【变式 1-1】
3 3
（22-23 高二下·天津南开·期末）已知 + =1 x + 2yx 2 y 2 ，则 的最小值为（ ）+ +
A．9 B．12 C．15 D．6 2 + 3
【答案】D
【分析】将 x + 2y 转化为已知等式分母的形式 (x + 2) + 2(y + 2) - 6，利用常数 1 代换，进而用基本不等式求
得 x + 2y 的最小值.
x + 2y = (x + 2) + 2(y + 2) 3 3 - 6 = (x + 2) + 2(y + 2) + - 6
è x + 2 y + 2
÷

【详解】 ，
= 3 6(y + 2) 3(x + 2)+ + 3+ 6 2
x + 2 y + 2
6(y + 2) 3(x + 2)
当且仅当 =x 时等号成立，+ 2 y + 2
所以 x + 2y 的最小值为为6 2 + 3，
故选：D.
【变式 1-2】
1 2 1
（2022·天津重点学校联考）已知 a，b 均为正数，且 + = ，则 2a + b 的最小值为（ ）
a +1 b - 2 2
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
1 2
【分析】确定b > 2 ，变换得到 2a + b = 2 é 2 a +1 + b - 2 ù

+ ÷ ，展开利用均值不等式计算得到答è a +1 b - 2
案.
2 1 1 2
【详解】当b 0, 2 时， < -1， <1，故 + < 0，不符合题意，故b > 2 ，
b - 2 a +1 a +1 b - 2
2a + b = 2 a +1 + b - 2 = 2 é 2 a +1 + b - 2
1 2 8 a +1 2 b - 2 ù + = + + 8è a +1 b - 2 ÷ b - 2 a +1
2 16 a +1 b - 2
a +1 b - 2
× + 8 =16，当8 = 2 ，即 a = 3,b =10时等号成立.
b - 2 a +1 b - 2 a +1
故选：B
【变式 1-3】
1 1
（23-24 高一上·天津·期末）若实数 a >1，b > 2 ，且满足2a + b - 5 = 0，则 + 的最小值为 .
a -1 b - 2
【答案】3 + 2 2 / 2 2 + 3
【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】因为2a + b - 5 = 0，所以 2 a -1 + b - 2 =1，
又实数 a >1，b > 2 ，所以a -1 > 0,b - 2 > 0
1 1 1 1 2 a -1
所以 + = + ÷ é 2 a -1 + b - 2 ù = 2
b - 2
+ + +1
a -1 b - 2 è a -1 b - 2 a -1 b - 2
3 b - 2
2 a -1 3 2 b - 2 2 a -1 = + + + × = 3+ 2 2 ，
a -1 b - 2 a -1 b - 2
ìb - 2 2 a -1 ìa 2 = = 2 -
当且仅当 í a -1 b - 2 ，即 í 2 时，等号成立，
2a + b - 5 = 0 b = 2 +1
故答案为：3 + 2 2 .
题型 08 “1”的代换扩展：分离常数型构造
【解题规律·提分快招】
分子分母都有变量型，可以通过常数代换来分离常数，达到消去分子上变量的目的。
【典例 1-1】
1 a +1
（2022 高二下·天津北辰区南仓中学）已知正实数 a,b，且 a + 2b = 2，则 + 的最小值是（ ）
a +1 2b +1
3 5 4
A． 2 B． C． D．
2 4 3
【答案】C
1 1 2b +1 1 a +1
【分析】将 a + 2b = 2变为 (a +1) + (2b +1) = 4，即可得 = (1+ ) ，因此将 + 变为
a +1 4 a +1 a +1 2b +1
1 a +1 1 2b +1 a +1
+ = (1+ ) + ，结合基本不等式即可求得答案.
a +1 2b +1 4 a +1 2b +1
【详解】因为正实数 a,b， a + 2b = 2，故 (a +1) + (2b +1) = 4，
1 1 1 1 2b +1
所以 = [(a +1) + (2b +1)] = (1+ )，
a +1 4 a +1 4 a +1
1 a +1 1 (1 2b +1故 + = + ) a +1 1 1 2b +1 a +1 1+ = + + + 2 1 5 = ，
a +1 2b +1 4 a +1 2b +1 4 4 a +1 2b +1 4 4 4
当且仅当 a
1
= ,b 5= 时取得等号，故选：C
3 6
【典例 1-2】
m n
（23-24 高一上·天津·期末）已知m > 0， n > 0，且m + n =1，则 + 的最大值为 .
m + 2 n + 4
8 - 4 2
【答案】
7
m n 2 4 2 4
【分析】由 + = 2 -
m + 2 n + 4
+ ，借助基本不等式可先将 + 的最小值求出，即可得
è m + 2 n + 4 ÷ m + 2 n + 4
m n
+ 的最大值.
m + 2 n + 4
m n m + 2 - 2 n + 4 - 4 2 4
【详解】 + = + = 2 - + ÷，由m + n =1，故m + 2 + n + 4 =1+ 6 = 7，m + 2 n + 4 m + 2 n + 4 è m + 2 n + 4
2 4 1 2 4 é 2 n + 4 4 m + 2 ù
则 + =

+

÷ m + 2 + n + 4
1
= 2 4 + + +
m + 2 n + 4 7 m + 2 n + 4 7 ê úè m + 2 n + 4
1 26 2 n + 4 4 m + 2
1
+ × ÷ = 6 + 4 2 2 n + 4 4 m + 2 ÷ ，当且仅当 = ，即 m = 7 2 - 9、 时，7 è m + 2 n + 4 7 n =10 - 7 2m + 2 n + 4
m n 2 4 1
等号成立，则 + = 2 - +m + 2 n + 4 m + 2 n + 4 ÷
2 - 6 + 4 27
8 - 4 2
= .
è 7
8 - 4 2
故答案为： .
7
【变式 1-1】
x2 +1 y2
（20-21 高一上·天津·期末）若 x > 0, y > -2，且 x + y =1，则 + 的最小值为（
x y 2 ）+
13
A．8 B．3 C．2 D．
5
【答案】C
2 2 1 4
【分析】根据 x + y + 2 = 3
x y + 2 x +1 y
，得 + =1，将 + 变形为-1+ + ，
3 3 x y + 2 x y + 2
x y + 2
再与 + =1相乘，利用基本不等式即可求解.
3 3
2 2 2
【详解】Q x + y =1,\ x + y + 2 = 3，又 x > 0, y > -2， y + 2 > 0
x +1 y 1 (y + 2 - 2)
，则 + = x + +
x y + 2 x y + 2
x 1 (y 2) 4 4 (x y 2) 4 1 4 1 1 4= + + + + - = + + - + + = - + +
x y ，+ 2 x y + 2 x y + 2
1 4
又 x + y + 2 = 3
x y + 2
，所以 + =1所以-1+ + = -1+ (
1 4 x y + 2
+ )( + )
3 3 x y + 2 x y + 2 3 3
1 1 4 y + 2 4x 2 y + 2 4x
y + 2 4x
= - + + + + + 2 = 2，当且仅当 = x + y =1
3 3 3x 3(y + 2) 3 3x 3(y + 2) 3x 3(y 2)
，且 ，
+
即 x =1, y = 0时不等式取最小值 2.故选：C
【变式 1-2】
2 2
（2023· 2a b +1天津耀华中学大统练）已知 a，b 为非负实数，且 2a + b =1，则 + 的最小值为（ ）
a +1 b
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
1 2a2 b2 +1 2 1
【分析】首先根据题意求出0 a < ，0 < b 1，然后将原式变形得 + = + -1，最后利用 1
2 a +1 b a +1 b
的妙用即可求出其最值.
【详解】Q2a + b =1，且 a , b 为非负实数，b 0 ，
则a 0,b > 0
1
则b =1- 2a > 0，解得0 a < ， 2a =1- b 0，解得0 < b 1，
2
2a2 b2 +1 2(a +1)2 - 4(a +1) + 2 b2 +1
\ + = +
a +1 b a +1 b
= 2(a +1) 2 1- 4 + + b + = (2a + b - 2) 2 1 2 1+ + = + -1
a +1 b a +1 b a +1 b
2 1 4 1 1
+ = + = (2a + 2) b 4 1+ ×
a +1 b 2a + 2 b 3
+ ÷
è 2a + 2 b
1 5 4b 2a + 2 1

= + + ÷ 5 + 2
4b 2a + 2
× = 3，
3 è 2a + 2 b 3

è 2a + 2 b ÷
÷

4b 2a + 2
当且仅当 = 即 2a + 2 = 2b， 2a + b =1时,即b =1, a = 0时等号成立，
2a + 2 b
2 1
故 + -1

÷ = 2a 1 b ，故选：B.è + min
【变式 1-3】
2m + 3 3n + 7
（23-24 高二下·天津·期末）设m, n为正数，且m + n = 2，则 + 的最小值为
m +1 n + 2
29
【答案】 /5.8
5
1 1 1
【分析】由题意，原式可化简为：5 + + ，由m + n = 2，得m +1+ n + 2 = 5，即 (m +1+ n + 2) =1，
m +1 n + 2 5
再利用基本不等式“1”的代换即可求解.
2m + 3 3n + 7 2(m +1) +1 3(n + 2) +1
【详解】由题意， + = + = 5
1 1
+ + ，
m +1 n + 2 m +1 n + 2 m +1 n + 2
1
因为m + n = 2，所以m +1+ n + 2 = 5，所以 (m +1+ n + 2) =1，
5
1 1 1 (m 1 n 2) ( 1 1 1 m +1 n + 2所以 + = × + + + × + ) = × ( + + 2) 1 ×[2 (m +1) (n + 2× ) 4+ 2] = ，
m +1 n + 2 5 m +1 n + 2 5 n + 2 m +1 5 n + 2 m +1 5
m +1 n + 2 m 3 n 1当且仅当 = ，即 = ， = 时，等号成立，
n + 2 m +1 2 2
5 1 1 5 4 29 2m + 3 3n + 7 29 2m + 3 3n + 7 29所以 + + + = ，所以 + ，即 + 的最小值为 .
m +1 n + 2 5 5 m +1 n + 2 5 m +1 n + 2 5
29
故答案为： .
5
题型 09 有和有积有常数整体化解不等式型
【解题规律·提分快招】
形如 (mx + ny) + pxy = t 求mx + ny型，可以对“积 pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”
的系数系数，如下：
t = (mx + ny) + pxy = (mx + ny) p+ (mx)(ny) (mx p (mx) + (ny)+ ny) + ( )2
mn mn 2
【典例 1-1】
（2023·天津第一中学滨海学校）已知 x > 0， y > 0，且 xy + 2x + y = 6，则 2x + y 的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
6 - 2x
【详解】解：已知 x > 0，y > 0，且 xy+2x+y=6，y=
x +1
6 - 2x 8
2x+y=2x+ =2(x+1) + - 4 4，当且仅当 2 x +1 8= , x =1时取等号，
x +1 x +1 x +1
故 2x+y 的最小值为 4. 故选:A
【典例 1-2】
（22-23 高三上·天津河北·期末）已知 a > 0，b > 0，且 a + 3b + ab = 9 ，则 a + 3b的最小值为 .
【答案】6
1
【分析】将已知等式化为 ab = ×3ab = 9 - a + 3b ，利用基本不等式可构造不等式求得结果.
3
【详解】由 a + 3b + ab = 9 得： ab = 9 - a + 3b ，又 a > 0，b > 0，
1 2
\ ×3ab = 9 - a + 3b 1 × a + 3b ÷ （当且仅当 a = 3b时取等号），3 3 è 2
\ a + 3b 2 +12 a + 3b -108 0，解得： a + 3b -18（舍）或 a + 3b 6 ，
\当 a = 3b = 3时， a + 3b取得最小值6 .
故答案为：6 .
【变式 1-1】
（2023 高三下·天津一中阶段练习）已知 x，y > 0，x + 9y + xy = 7，则3xy 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意可得 7 - xy = x + 9y 6 xy ，从而可求得答案.
【详解】解：因为 x，y > 0，x + 9y + xy = 7，所以 7 - xy = x + 9y 2 x × 9y = 6 xy ，
即 xy + 6 xy - 7 0，则 ( xy + 7)( xy -1) 0，
所以 -7 xy 1，又 x, y > 0，所以0 < xy 1，所以3xy 最大为 3.
故选：C.
【变式 1-2】
（24-25 高一上·天津·期中）已知 x > 0, y > 0, x + y + 3 = xy x + y 2，且 - a x + y +1 0恒成立，则实数 a的取
值范围是（ ）
A． 5- ù，2 B． - ，
è 2 ú
37 ù 17 ù
C． - ， ú D． - ，è 6 è 4 ú
【答案】C
1
【分析】令 x + y = t ，由基本不等式和一元二次不等式，得到 t 6 ，不等式化为 t + a在 t 6 上恒成立，
t
y t 1= + 37由对勾函数单调性得到 最小值为 ，从而得到答案.
t 6
2
【详解】 x > 0, y > 0, x + y + 3 = xy x + y ，由基本不等式得 x + y + 3 = xy ，
4
2
令 x + y = t ，则 t + 3 t ，解得 t 6 或 t -2（舍去），
4
x + y 2 - a x + y +1 0 t 2 - at +1 0 在 t 6 上恒成立，
1
故 t + a在 t 6 上恒成立，
t
1
由对勾函数性质可知 y = t + 在 t 6, + 上单调递增，
t
y t 1 1 37 37故当 t = 6时， = + 取得最小值，最小值为 y = 6 + = ，故 a .
t 6 6 6
故选：C
【变式 1-3】
（2023 天津和平·一模）若实数 x、y 满足 x2 + y2 + xy =1，则 x+y 的最大值是 ．
2 3
【答案】
3
【分析】利用不等式求最值即可.
x + y 2x2 + y2 + xy =1 x + y 2 -1 = xy 2 3 x 2 3 3【详解】 ÷ ，解得- + y ，当 x = y = 时，取得最
è 2 3 3 3
2 3
大值.故答案为： .
3
题型 10 假“1”的代换扩展：反解代入型
【解题规律·提分快招】
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
【典例 1-1】
1 2 2 1
（23-24 高二下·天津红桥·期末）已知 a > 0,b > 0，且 + =1，则 + 的最小值为（ ）a b a -1 b - 2
A． 2 B． 2 2
C 3 2． D．1 3 2+
2 4
【答案】A
1 2 1 b - 2 2 1
【分析】由 + =1得 a
b
= > 0，得到b > 2 ，进而 = > 0，所以 + = b - 2b 2
1
+ ，由
a b - a -1 2 a -1 b - 2 b - 2
均值不等式求得最小值.
1 2 1 2 b - 2 b
【详解】因为 a > 0,b > 0且 + =1，所以 =1- = ，所以 a = > 0b 2 ，所以b > 2 ，a b a b b -
b - b - 2 1 b - 2
所以 a -1 b 2= -1 = = > 0，所以 = > 0，
b - 2 b - 2 b - 2 a -1 2
2 1 b 2 1所以 + = - + 2 b - 2 1 = 2 ，
a -1 b - 2 b - 2 b - 2
1 2 1
当且仅当b - 2 = 即b = 3时，等号成立，所以 + 的最小值为 2，
b - 2 a -1 b - 2
故选：A.
【典例 1-2】
（2022·天津·一模）已知实数 a > 0，b > 0，且满足 ab - a - 2b - 2 = 0 ，则 a +1 b + 2 的最小值为 .
【答案】25
a + 2
【分析】由题干条件得到b = 且 a > 2，对 a +1 b + 2 12变形得到 a +1 b + 2 = 3 a - 2 + +13，利
a - 2 a - 2
用基本不等式求解最小值.
a + 2
【详解】由 ab - a - 2b - 2 = 0 得：b = ，因为 a > 0，b > 0，所以 a > 2， 其中
a - 2
a +1 b + 2 = ab + 2a + b 2 12+ = 3a + 3b + 4 = 3a + + 7 = 3 a 2 12- + +13 12 2 3 a - 2 × +13 = 25，当a - 2 a - 2 a - 2
3 a 2 12且仅当 - = ，即 a = 4时，等号成立，故 a +1 b + 2 的最小值为 25.
a - 2
故答案为：25
【变式 1-1】
（2023 天津耀华中学·期末）已知 a，b > 0，且满足 a2 + ab =1，则3a + b的最小值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 2 D． 2 3
【答案】C
【分析】利用 a 和 b 的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出．
【详解】∵ a2
1
+ ab 1 1 1=1，∴ b = - a ．即3a + b = 3a + - a = 2a + 2 2a × = 2 2 ．a a a a
当且仅当 a 2= 时取等号．
2
∴ 3a + b的最小值为 2 2 .故选：C
【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.
【变式 1-2】
2
（天津滨海新区汉沽第一中学）若正数 x, y满足 x +xy-2=0，则3x + y 的最小值是（ ）
A． 4 B． 2 2 C． 2 D．4 2
【答案】A
2 2
【分析】先由 x +xy-2=0得到 y = - x ，推出3x 2+ y = 2 x +x x ，根据基本不等式即可求出结果.
2 2
【详解】因为正数 x, y满足 x +xy-2=0，所以 y = - xx ，
2 2 2
所以3x + y = 2x + 2 2x × = 4，当且仅当 2x = ，即 x =1时，等号成立.
x x x
故选 A
【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
【变式 1-3】
1 2 b
（2023 高三上·天津武清·模拟）已知 > 0，b > 0，且 + =1，则 2a + 的最小值是(　　)
a b a
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
1 2 b
【分析】本题由已知可得，可以先通过 + =1得到b 关于 a的解析式，再代入 2a + 中，即可得到
a b a
2a b 2a 2+ = + ，进行变形后利用基本不等式即可求得结果．
a a -1
1 2 2a
【详解】因为 > 0，b > 0，且 + =1，所以b = > 0，所以a >1，
a b a -1
则 2a
b 2 1
+ = 2a + = 2 éê a -1 +
ù 1
a a -1 a -1ú
+ 2 6，当且仅当 a -1 = 即 = 2时取等号，
a -1
所以 2a
b
+ 的最小值等于6 ，故选B．
a
【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，考查了推理能力以及计算能力，考查了隐含条
件思想以及整体思想，解题过程中要注意对题目所给条件进行分析和配凑．
题型 11 因式分解型
【解题规律·提分快招】
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解模型：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例 1-1】
1 2 2 1
（2022 高一上·天津静海·期末）若正数 a,b满足： + =1，则 + 的最小值为（
a b ）a -1 b - 2
A 2 B 3 2
5
． ． C． D．1 3 2+
2 2 4
【答案】A
1 2
【分析】把 + =1化为 a -1 b - 2 = 2 ，利用基本不等式可求最小值.
a b
1 2
【详解】因为 + =1， a,b
1 2
为正数，所以0 < <1,0 < <1，从而 a >1,b > 2 .
a b a b
1 2
又 + =1可化为 a -1 b - 2 = 2 ，
a b
2 1 2 1
故 + 2 = 2，当且仅当 a = 3,b = 3时等号成立，
a -1 b - 2 a -1 b - 2
2 1
所以 + 的最小值为 2.故选：A.
a -1 b - 2
【点睛】本题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式
中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要
关注取等条件的验证.
【典例 1-2】
（2022 天津重点中学二模）已知 a，b 为正实数，且 (a + b)(a + 2b) + a + b = 9，则3a + 4b的最小值为 .
【答案】6 2 -1
【分析】由题意化简得到 (2a + 2b)(a + 2b +1) =18，进而得到3a + 4b +1= (2a + 2b) + (a + 2b +1)，结合基本不
等式，即可求解.
【详解】由 a,b为正实数，且 (a + b)(a + 2b) + a + b = 9，可化为 (a + b)(a + 2b +1) = 9，
则 (2a + 2b)(a + 2b +1) =18
所以3a + 4b +1= (2a + 2b) + (a + 2b +1) 2 (2a + 2b) (a + 2b +1) = 2 18 = 6 2 ，
当且仅当 2a + 2b = a + 2b +1时，即 a =1时，等号成立，
所以3a + 4b的最小值为6 2 -1 .故答案为：6 2 -1 .
【变式 1-1】
1 1 9
（天津新华中学·阶段练习）若正数 a，b
1
满足： a ＋ ＝
1，则 + 的最小值为
b a -1 b -1
A．16 B．9 C．6 D．1
【答案】C
1 1
【详解】法一、因为 + =1，所以 a + b = ab (a -1)(b -1) =1，
a b
1 9
+ 2 1 9所以 = 2 3 = 6 .
a -1 b -1 a -1 b -1
1 1 1 9
法二、因为 + =1，所以 a + b = ab ， +
a b a -1 b -1
b -1+ 9a - 9
= = b + 9a -10 = (b + 9a)(1 1+ ) -10 16 -10 = 6 .
ab - a - b +1 a b
1 1 1 1 9
法三、因为 + =1，所以 a -1 = ，所以 + = (b -1)
9
+ 2 9 = 2 3 = 6，故选 C.
a b b -1 a -1 b -1 b -1
【变式 1-2】
（24-25 天津九十六中）已知0 < a <1，0 < b <1，且4 a + b = 4ab + 3，则a + 2b的最大值为（ ）
A．2 B． 2 2 C．3 - 2 D．3- 2 2
【答案】C
(1 a)(1 b) 1【分析】由已知条件可得 - - = ，令 x =1- a > 0， y =1- b > 0
1
，可得 a =1- x ，b =1- y ， y = ，
4 4x
进一步可得 a + 2b
1
= -x - + 3，最后利用基本不等式求出最大值即可.
2x
【详解】Q 4 a + b = 4ab + 3，\ 4ab - 4a - 4b + 3 = 0，配凑得： 4ab - 4a - 4b + 4 =1，
ab a b 1 1两边同时除以 4 得： - - + = ，即 (1- a)(1- b)
1
= ，
4 4
1
令 x =1- a > 0， y =1- b > 0 ，则 a =1- x ，b =1- y ， y = ，
4x
所以 a + 2b =1- x + 2(1- y) = -x 2y 3 x
1
- + = - - + 3
2x
x 1 3 2 x 1
1
= - + ÷ + - × + 3 = 3- 2
2
（当且仅当 x = 即 时，等号成立）.
è 2x 2x 2x
x =
2
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属
于难题.
【变式 1-3】
1 1 1 9
（24-25 高三天津南开区南开中学·阶段练习）若正数 a，b 满足 + =1，则 + 的最小值 .
a b a -1 b -1
【答案】6
1 1 1 1
【分析】正数 a，b 满足 + =1，可得 a >1，且b >1；即 a -1 > 0，且b -1 > 0 ；由 + =1变形为
a b a b
a -1 1 1 9= 1；化 + 为 + 9(a -1)应用基本不等式可求最小值．
b -1 a -1 b -1 a -1
1 1
【详解】解：Q正数 a，b 满足 + =1，\a >1，且b >1；
a b
1 1 1 a + b+ = 变形为 =1，\ab = a + b，\ab - a - b = 0，\(a -1)(b -1) = 1
1
，\a -1 = ；
a b ab b -1
\a -1 > 0 \ 1 9 1， + = + 9(a -1)…2 1 ×9(a -1) = 6，
a -1 b -1 a -1 a -1
1 1
当且仅当 = 9(a -1)，即 a =1±
4
时取“ = ”（由于 a >1，故取 a = )
a -1 3 3
，
\ 1 9+ 的最小值为 6；
a -1 b -1
故答案为：6 ．
题型 12 换元化归型-
【解题规律·提分快招】
换元型：
1.二次配方型，可以三角换元
2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，
3.齐次分式同除型，可以代数换元，
【典例 1-1】
2 2 8
（23-24 天津河西区）已知 a，b，c 均为正实数， ab + ac = 4，则 + + 的最小值是 .
a b + c a + b + c
【答案】 4
【分析】根据题意，将b + c看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果.
【详解】因为 ab + ac = 4，即 a b + c = 4，
设 a = x,b + c = y，则 x > 0, y > 0，且 xy = 4 ，
2 2 8 2 x + y 8 1
原式= + + = + = x 8 1 8+ y + 2 x + y × = 2 2 = 4，
x y x + y xy x + y 2 x + y 2 x + y
ì1
x + y
8
=
当且仅当 í2 x + y 时，即 x = y = 2时，等号成立，
xy = 4
2 2 8
所以 + +x y x y 的最小值为 4 .故答案为：4+
【典例 1-2】
x - 2y
（23-24 天津耀华中学）若实数 x, y满足 2x2 + xy - y2 =1，则 5x2 2xy 2y2 的最大值为 .- +
2
【答案】
4
【解析】已知条件可化为 (2x - y)(x + y) =1，故可设 2x - y = t, x + y
1
= ,u 1= t - ，从而目标代数式可化为
t t
u
，利用基本不等式可求其最大值.
u2 + 2
【详解】由 2x2 + xy - y2 =1，得 (2x - y)(x + y) =1，设 2x - y = t, x + y
1
= ，其中 t 0 .
t
1 1 2 1 1 2 2 2 1
则 x = t + , y = - t ，从而 x - 2y = t - , 5x - 2xy + 2y = t + ，
3 3t 3t 3 t t 2
x - 2y u 1 1 21 =
记u = t - ，则 = 2
t 5x2 - 2xy 2y2 u2
，不妨设u > 0，则 ,
+ + 2 u + 2 4u 2 u u
2
当且仅当u = 2 2，即
u u = 2
时取等号，即最大值为 .故答案为： .
4 4
【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法
来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属
于难题.
【变式 1-1】
2 2
（2021·天津宝坻·模拟预测）若 x, y R+ ，且 x + 2y 1
x 2y
= ，则 +x 1 y 2 的最小值为 + +
1
【答案】
6
x2 2y2 1 8
【分析】令m = x +1, n = y + 2，可得m + 2n = 6，化简可得 + = + - 4x +1 y + 2 m n ，再结合基本不等式可求
解.
【详解】令m = x +1, n = y + 2，则 x = m -1, y = n - 2，则 x + 2y = m -1+ 2 n - 2 =1，即m + 2n = 6，
x2 2y2 m -1 2 2 n - 2 2 1 8 1 8 1= + - 4 = 1 8 则 + = + = m + 2n + + -10 + ÷ m + 2n - 4x +1 y + 2 m n m n m n 6 è m n
1 2n 8m 1 2n 8m 1= + +17

÷ - 4 2 × +17 - 4 =
2n 8m 6
，当且仅当 = ，即m = , n
12
= 时等号成立，
6 è m n 6 è m n ÷
÷
6 m n 5 5
x2 2y2
+ 1 1故 x +1 y 2 的最小值为 .故答案为： .+ 6 6
【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令m = x +1, n = y + 2，化简得出
x2 2y2 1 8
+ = + - 4
x +1 y + 2 m n 利用基本不等式求解.
【变式 1-2】
4 a + b
（天津·一模）若 a > 0，b > 0， c > 0， a + b + c = 2，则 + 的最小值为 ．
a + b c
【答案】 2 + 2 2 / 2 2 + 2
4 a + b 4 2
【分析】令 2 - c = m,c = n, (m > 0,n > 0) ，则m + n = 2，由此可将 + 变形为 + -1，结合基本不
a + b c m n
等式，即可求得答案。
【详解】由题意， a > 0，b > 0， c > 0， a + b + c = 2得： a + b = 2 - c ，
设 2 - c = m,c = n, (m > 0,n > 0) ，则m + n = 2 ，
4 a + b 4 2 - c 4 2 4 2
故 + = + = + -1 = + -1
a + b c 2 - c c 2 - c c m n
m + n ( 4 2= + ) -1 = 3 2n m+ + -1 2+2 2n m× =2+2 2 ，
2 m n m n m n
当且仅当m2 = 2n2 ，即m = 4 - 2 2, n = c = 2 2 - 2 时取得等号，
4 a + b
故 + 的最小值为
a b c 2 + 2 2
，故答案为： 2 + 2 2
+
【变式 1-3】
2 2 4mn（23-24 天津崇华中学·阶段练习）若实数 m，n 满足m + 4n =1，则 的最小值是 .
m + 2n -1
【答案】1- 2 / - 2 +1
【分析】通过换元使变量系数相同，巧用“1”的代换结合基本不等式即可求解.
(x + y)2 - x2 + y2 2
【详解】解析：令 x = m, y = 2n 4mn 2xy (x + y) -1，则 = = = = x + y +1，因为
m + 2n -1 x + y -1 x + y -1 x + y -1
x + y 2 x2 + y2 1 2xy 2
2 ÷
= ，所以 - 2 x + y 2 .从而 = x + y +1 - 2 +1，当且仅当 时，
è 2 2 x + y -1
x = y = -
2
4mn
等号成立，故 的最小值为
m 2n 1 1- 2
.故答案为：1- 2 .
+ -
题型 13 万能“K”型
【解题规律·提分快招】
一般情况下的“万能 K 法”
设 K 法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是 K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0 确定最值
【典例 1-1】
1 1 1 1
（2024 天津南开中学 模拟）已知实数 x ， y 满足 x >1， y > 0且 x + 4y + + =11 +x 1 y .则 x 1 y 的最大值- -
为 ．
【答案】9
1 1 1 1
【分析】将已知等式变形为 + =10 - é x -1 + 4yùx 1 y ，对等式两边同乘 +x 1 y ，构造关于所求式子的- -
不等式，进行求解即可.
1 1 1 1
【详解】由 x + 4y + + =11，得 + =10 - é x -1 + 4yx -1 y x -1 y ù，
2
1 1 1 1 1 1 1 1 4y x -1
则 + ÷ =10x 1 y
+ ÷ - + ÷ é x -1 + 4yù =10 + - 5 + +
è - è x -1 y è x -1 y

è x -1 y
÷
è x -1 y
÷

10 1 1 5 2 4 10 1 1 4y x -1 + ÷ - + = + ÷ - 9，当且仅当 = ，
è x -1 y è x -1 y x -1 y
t 1 1即 2y = x -1时成立，令 = + 2x ，则有 ，-1 y t 10t - 9
1 1
解得1 t 9，故 +x 1 y 的最大值为9 .-
故答案为 9.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式将已知等式进行不等化是解决此类题常用的方
法，属于难题.
【典例 1-2】
1 1
（2020·天津北辰·二模）已知 x > 0， y > 0，且 2x + 2y + + = 9x y ，则
x + y 的最大值为 ．
【答案】4
【分析】先利用基本不等式化已知等式为关于 x + y 的不等式，然后解不等式得结论．
2x 2y 1 1x 0, y 0 + + + = 9 = 2(x y)
x + y x + y 4
+ + 2(x + y) + = 2(x + y) +
【详解】∵ > > ， x y xy (x + y)2 x + y ，当且仅当
4
x = y 时等号成立，
2(x + y)2 - 9(x + y) + 4 0，[2(x + y) -1](x + y - 4) 0
1
， x + y 4，
2
所以 x + y 的最大值为 4，此时 x = y = 2．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，此时解题时是利用基本不等式得出不等关系然后解不等式得出结
论．当然要注意等号成立的条件．
【变式 1-1】
1 1 9
（2023 天津西青区杨柳青一中·）已知正实数 m，n 满足m + 2n + + = ，则m + 2n 的最小值是 ．
2m n 2
3
【答案】
2
m 2n 1 1 1【解析】 + + ÷ = + 2
n m 1 1 9
+ + ，利用基本不等式，可求得 m + 2n + ，再结合
è 2m n 2 m n 2m n ÷è 2
1 1 9 é9 ù 9+ = - m + 2n ，可得 m + 2n ê - m + 2n ú ，从而可求出m + 2n 的取值范围，即可得到m + 2n 的2m n 2 2 2
最小值.
1 1 1 n m 5 n m 5 9 n m
【详解】由题意， m + 2n + ÷ = + 2 + + + 2 × = + 2 = ，当且仅当 = 时，等号成
è 2m n 2 m n 2 m n 2 2 m n
立，
1 1 9 1 1
又 + = - m + 2n ，所以 m + 2n + ÷ = m + 2n
é9
ê - m + 2n
ù 9 ，
2m n 2 è 2m n 2 ú 2
9 9 3
令m + 2n = t ，则 t - t ÷ ，解得 t 3，
è 2 2 2
m + 2n é3所以 ê ,3
ù 3
2 ú
，即m + 2n 的最小值是 .
2
3
故答案为： .
2
1 1 9
【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出 m + 2n + ÷ ，
è 2m n 2
m + 2n 1 1+ + 9 9 9再根据 ÷ = ，可得到只包含m + 2n 的关系式 m + 2n
é - m + 2n ù ，从而可求出
è 2m n 2 ê 2 ú 2
m + 2n 的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
【变式 1-2】
2 1 xy
（23-23 天津滨海新区塘沽一中末）已知 x > 0， y > 0，且 x + 8y + 3 +x y ，则 x 2y 的最大值为 ．+
1
【答案】
6
2 1 2 1 2 1 2 2 1
【解析】由 x > 0， y > 0 x + 8y + 3 + ， (x + 8y) × ( + ) ( + ) - 3( + )x y x y x y x y
(2 1利用均值不等式得 + )2 3(
2 1
- + ) 18
x y x y ，
2 1 xy
解得 +x y 的取值范围，进而求得 x 2y 的最大值.+
【详解】由 x > 0， y > 0 x + 8y 3
2 1 x 8y 2 1 2 1 2 1 2 1+ + ，得 + + - 3，即 (x + 8y) × ( + ) ( + )2 - 3( + )x y x y x y x y x y
(x 8y) (2 1 ) 10 16y x 10 2 16 18 16y x又 + × + = + + + =x y x y ，当且仅当
=
x y ，即
x = 4y 时，取等，
xy 1 1
故 (
2 1 )2 3(2 1+ - + ) 18 2 1，解得 + 6
2 1 = xy
或 + -3x y x y x y x y （舍）故 x + 2y
1 2
+ 6 ，即
y x x + 2y
的最大值为
1
，
6
1
故答案为： .
6
【变式 1-3】
1 9
（2021·天津和平·二模）已知正实数 x ， y 满足 x + y = + + 6x y ，则
x + y 的最小值是 .
【答案】8
【分析】等式两边同时乘以 x + y ，利用均值不等式建立关于 x + y 的二次不等式求解即可.
1 9
【详解】Q x + y = + + 6, x > 0, y > 0x y ,
x y 6 1 9\ + - = +
x y ,
\(x + y - 6)(x 1 9 y 9x+ y) = ( + )(x + y) =1+ 9 + + =10 9x y+ +
x y x y y x
10 2 9x y
9x y
+ × =16 ,当且仅当 = ，即 y = 3xy x 时等号成立，y x
即 (x + y - 6)(x + y) 16 ，
整理得 (x + y)2 - 6(x + y) -16 0，
解得 x + y 8或 x + y -2（舍去）
故 x + y 的最小值为 8，
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等式两边同乘以 x + y 的技巧，形成可使用均值不等式的条件，转
化为关于 x + y 的二次不等式求解.
题型 14 三元变量均值型
【解题规律·提分快招】
处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结
构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
【典例 1-1】
ab 2 1 5
（21-22 高一上·天津和平·期中）正实数 a,b,c满足 a2 - 3ab +16b2 - c = 0 ，当 取得最大时， + - 的最
c a b c
大值为（ ）
63 27 9 9
A． B． C． D．
64 16 4 2
【答案】C
ab 1
=
【分析】化简得到 c a 16b- 3 + ，利用均值不等式得到最值时 a = 4b，代入数据化简得到
b a
2 1 5 1 1 2 3 9+ - = - - ÷ + ，根据二次函数性质得到最值.a b c 4 è b 4
【详解】 a2 - 3ab +16b2 - c = 0 ，故 c = a2 - 3ab +16b2 ，
ab ab 1 1 1
= = =
c a2 - 3ab +16b2 a - 3 16b+ a 16b 5
b a 2 × - 3
，
b a
a 16b ab 1
当且仅当 = ，即 a = 4b时等号成立，此时 = ，故 2 ，
b a c 5 c = 20b
2 1 5 1 1 1 1 1 2 3 9+ - = + - = - - + ，
a b c 2b b 4b2 4 ֏ b 4
1 3 b 1 a 4 c 20 9故当 = ，即 = ， = ， = 时有最大值为 .故选：C.
b 3 3 9 4
【典例 1-2】
（21-22 高三上·天津河北·期中）已知正实数 x，y，z 满足 x2 + y2 + z2 = 2 2 ，则 xy + yz 的最大值为 ．
【答案】2
【分析】利用凑配法，结合基本不等式，化简求得 xy + yz 的最大值.
1 1 1 1
【详解】依题意 2 2 = 2 2 2 2 x + y ÷ + y + z ÷ 2 xy + 2 yz = 2 xy + yz ，
è 2 è 2 2 2
ì
x
1
= y
故 xy + yz 2
2
，当且仅当 í 时等号成立.故答案为：2.

z
1
= y
2
【变式 1-1】
a b 9c
（2025 天津第一中学阶段练习）已知 a，b，c 为正实数，则代数式 + + 的最小值为
b + 3c 8c + 4a 3a + 2b
（ ）
47 35 3
A． B．1 C． D．
48 36 4
【答案】A
【分析】利用换元法结合基本不等式可求最小值.
1 1 1
【详解】设题中代数式为 M，令b + 3c = x,8c + 4a = y,3a + 2b = z ，则a = - x + y + z ，
3 8 6
b 1 x 3 1= - y + z ，
2 16 4
c 1 1 1= x + y - z ，
6 16 12
M 61 y x 9y z 3x z于是 = - + + ÷ + +

48 8x 2y 16z 4y ÷
+ + ÷
è è è 2z 6x
61 2 1 2 3 - + + + 2 1 47 = ，
48 4 8 2 48
等号当 x : y : z =1: 2 : 3时，也即 a : b : c =10 : 21:1时取得，
47
因此代数式的最小值为 ．
48
故选：A.
【变式 1-2】
2a2 1 1a b 0 + + -10ac + 25c2（19-20 高一上·天津和平·期中）设 > > ，则 ab a a - b 的最小值是（ ）
A．1 B． 4 C．3 D． 2
【答案】B
2 1 1
【分析】先把代数式 2a + + -10ac + 25c
2 a - 5c 2 ab 1 1+ + + a a - b
+
ab a a - b 整理成 ab a a - b ，然后利
用基本不等式可求出原式的最小值.
2 1 1
【详解】Q 2a + + -10ac + 25c
2 = a2 -10ac + 25c2 + a2 - ab 1 1+ ab + +
ab a a b - ab a a - b
ìa = 5c
= a 1- 5c 2 + ab + + a a - b 1 1+ 0 + 2 ab × + 2 a a - b 1× = 4 ab =1
ab a a - b ab a a b ，当且仅当- í 时，
a a - b =1
2 2
即当 a = 2 ，b = ， c = 时，等号成立，
2 5
2a2 1 1因此， + + -10ac + 25c
2
ab a a - b 的最小值是 4 .
故选 B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计
算能力，属于中等题.
【变式 1-3】
2 2
（2021· a + b + 2天津南开·一模）已知 a > 0，b > 0， a + b + c =1，则 的最大值是 ．
c -1
【答案】-2
a2 + b2
【分析】根据已知的等式得出 c -1 = -(a + b) + 2代入等式 中，运用基本不等式进行求解即可.
c -1
2 2 2 2 2 2
【详解】因为 a + b + c =1，所以 c -1 = -(a + b) a + b + 2
a + b + 2 a + b + 2
，代入 中，得 = - ，
c -1 -(a + b) a + b
a2 + b2 2ab 2a2 + 2b2 2ab + a2 + b2 a2 + b2 1 (a + b)2由 （当且仅当 a = b时取等号），
2
a2 b2 1于是有 + + 2 (a + b)2 + 2 （当且仅当 a = b时取等号），
2
因为 a > 0，b > 0，所以 a + b > 0，
1 2
2
因此有 a + b2 + 2 (a + b) + 2 2 （当且仅当 a = b时取等号），
a + b a + b
1 (a + b)2 + 2
2 1
1 2
= (a + b) 2 1+ 2 × (a + b) 2× = 2，（当 (a + b) = 时取等号，即a + b = 2时，取等
a + b 2 a + b 2 a + b 2 a + b
号），
1
a2 + b2 + 2 (a + b)
2 + 2
所以有 2 2（当且仅当 a = b =1时取等号），
a + b a + b
a2 + b2 + 2 2 2
即 2（当且仅当 a = b =1 a + b + 2时取等号），因此有- -2（当且仅当 a = b =1时取等号），所
a + b a + b
a2 + b2 + 2
以 的最大值是-2 .
c -1
故答案为：-2
a2 + b2 + 2
【点睛】关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式 进行消元变形；二是通过重要不等式
c -1
a2
1
+ b2 2ab 2 2 2，得到 a + b (a + b) ，进而应用基本不等式进行解题.2
题型 15 均值裂项构造型
【解题规律·提分快招】
利用对称型，构造均值裂项，在凑配均值不等式
【典例 1-1】
xy + yz
（天津·二模）已知 x, y, z为正实数，则 x2 + y2 + z2 的最大值为
A 2 3
4 2
． B． C 2． D．
5 5 2 3
【答案】C
2 1 2 2 1
【详解】由题意可得： x + y 2xy, z + y2 2yz2 2 ，
2 2 2
结合不等式的性质有： x + y + z 2 xy + yz 2，当且仅当 x = z = y时等号成立，即
2
xy + yz 2 xy + yz
2
2
，
x + y2 + z2 2 x2 + y2 + z2
的最大值为 .
2
本题选择 C 选项.
【典例 1-2】
2 2
（22-23 高三上·天津静海·期末）已知 a > 0,b > 0
a + b + 4
，则 的最小值为 ．
a + 3b
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答.
【详解】因为 a > 0,b > 0，则 a2 +1 2a ，当且仅当 a =1时取等号，b2 + 3 2 3b，当且仅当b = 3 时取等
号，
a2 + b2 + 4 a2 +1+ b2 + 3 2a + 2 3b
因此 = = 2，当且仅当 a =1，b = 3 时取等号，
a + 3b a + 3b a + 3b
a2 + b2 + 4
所以当 a =1，b = 3 时， 的最小值为 2.
a + 3b
故答案为：2
【变式 1-1】
é1 ù 2 2 2
23-24 a,b,c, d ,1 a + 2b + 2c + d
2
（ 高三天津宝坻阶段练习）已知 ê ，则 的取值范围是（ ） 3
ú ab + bc + cd
é 5 ù é 10ù é5 10ùA． ê2, 2ú B． ê2, ú C． ê , ú D． 2, + 3 2 3
【答案】B
【分析】使用基本不等式进行形式的转变进而找到分子和分母的关系，可以求出最小值，根据对勾函数以
a,b é1 ù及 ê ,1ú ，对分母进行放缩，进而求出最大值. 3
a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + d 2 2ab + 2bc + 2cd
【详解】因为 = = 2 ，当且仅当 a = b = c = d 时等
ab + bc + cd ab + bc + cd ab + bc + cd
号成立.
Qa,b 1 é ,1ù b a 10ê ú ，由对勾函数性质，所以 + ， 3 a b 3
ab 3 2 3 3则 a + b2 ，同理bc b2 + c2 ,cd c2 + d 210 10 10
a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 10
=
则 ab + bc + cd 3 a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 3 ，10
a2 + 2b2 + 2c2 + d 2 é 10ù
故 的取值范围是 ê2, .故选：B.ab + bc + cd 3 ú
【变式 1-2】
xy + 2yz
（23-24 高三天津静海阶段练习）已知实数 x ， y ， z 不全为 0，则 2 2 2 的最大值为（ ）x + y + z
A 6 B 5 C 2 D 3． ． ． ．
2 2 2 2
【答案】D
【分析】对式子变形后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】由题意实数 x ， y ， z 不全为 0，
xy + 2yz xy + 2yz xy + 2yz xy + 2yz 3
2 = = =x + y2 + z2 x2 1 y2 2+ + y2 2+ z2 2 x2 1× y2 2+ 2 y2 × z2 xy + 2yz3 3
2 ，
3 3 3
3
当且仅当 x = y
2
= z 时，等号成立.
3 2
故选：D.
【变式 1-3】
xy + 3 yz
（2024·天津第二南开·模拟预测）已知 x，y，z 均为正实数，则 的最大值为 .
x + 2y + z
5
【答案】
2
xy + 3 yz 5 5xy + 9y5z
【分析】将 变为 5 ，然后利用基本不等式求解即可.x + 2y + z x + 2y + z
【详解】因为 x，y，z 均为正实数，
5 5 5x + y 9y + 5z xy + 3 yz 5xy + 9y ×5z +所以
= 5 5

è 2 2 ÷
x + 2y + z x + 2y + z x + 2y + z
5 5x + y + 9y + 5z
= 10 5 5x +10y + 5z 5 ，当且仅当
5x = y,9y = 5z
= = 时，等号成立.
x + 2y + z 10 x + 2y + z 2
xy + 3 yz 5
所以 的最大值为 .
x + 2y + z 2
5
故答案为： .
2
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.
题型 16 无条件构造型
【典例 1-1】
2 2
（23-24 (b +1) (a +1)天津静海一中阶段练习）已知 a > 0,b > 0，则 + 的最小值为
a b
A． 4 B．7.5 C．8 D．16
【答案】C
b +1 2 a +1 2 b2 a2
+ = + +
2b 2a 1 1 2 2
【详解】 ÷ +
+ b a 2b 2a 1
a b a b a b ÷
+ ÷ 2 × + 2 × +2
è è è a b a b a b ab
= 2 ab 2 2+ + 4 2 2 ab × + 4 = 8，当且仅当 a = b =1时，等号成立，故选 C.
ab ab
【典例 1-2】
2 2
（高三上·天津·阶段练习）设 a 0，b 0 2a + a + 4b，则 的最小值是 .
3a + 2b
2
【答案】
2
b 2 + 1+ (2t)2
【分析】由题得 a,b不能同时为零，当 a > 0时，先令 = t 0，b = at ，原式= ，再
a 3 + 2t
2t = x(x 0) = 2 + 1+ x
2 2+ 2x x +1 f (x) x +1，原式 = 2 × ，再利用导数求 = (x 0) 的最小值得解.
3+ x 3+ x x + 3 x + 3
【详解】由题得 a,b不能同时为零，当 a = 0时，b > 0,原式=1,
b
a > 0 = t 0，b = at = 2 + 1+ (2t)
2
当 时，可令 ，原式 ，令 2t = x(x 0)，原式=
a 3 + 2t
2 + 1+ x2 2+ 2x
= 2 x +1× ，当且仅当 x =1时取等.
3+ x 3+ x x + 3
x +1 ( x + 3)(1- x )
设 f (x) = (x 0) ，所以 f (x) = 2 ，所以函数 f (x) 在[0,1)单调递增，在（1，+ ）单调递减，x + 3 2 x (x + 3)
1 2
所以 f (x)max = f (1) = ，所以原式≥ .(当且仅当 x=1 时取等)2 2
2 2
所以最小值是 .故答案为
2 2
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平和分析推理计算能力.
【变式 1-1】
4x 3y
（22-23 天津第二中学 阶段练习）已知 x, y为正实数，则 +x 的最小值为+ 3y x
5 10
A． B．
3 3
3
C． D．3
2
【答案】D
4x 3y 4x x + 3y 4x x + 3y 4x x + 3y
【详解】试题分析： + = + -1 2 -1 = 3 ,当且仅当 =
x + 3y x x + 3y x x + 3y x x + 3y x
时取等
号，故选 D.
考点：基本不等式.
【变式 1-2】
ab + b
（19-20 高三上·天津南开·期末）若 a，b 均为正实数，则 的最大值为(　　)
a2 + b2 +1
A 2 B 2．3 ． C． 2 D．22
【答案】B
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为 a，b 均为正实数，
ab + b a +1 a +1 a +1 1 a2 + 2a +1 1 1 2a 1 1 2a 22 2 = = = = + + =则 a + b +1 a2 +1 a2 +1 2 a2 2+ b +1 2 a +1 2 a
2 +1 2 2
2 b 2 a 1
2 ，
b b
a2 +1
当且仅当 = b，且 a=1 取等，即 a=1,b= 2取等
b
ab + b 2
即则 2 2 的最大值为 ，a + b +1 2
故选 B．
【点睛】本题考查基本不等式求最值，熟练变形是关键，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致，
是难题.
【变式 1-3】
2xy xy
（高三上·天津滨海新·期末）已知 x > 0， y > 0，则 x2 + 8y2
+
x2 2y2 的最大值是 .+
2
【答案】
3
3( x 4y+ )
2xy xy y x
【解析】将 +x2 8y2 x2 2y2 化简、变形为 (
x 4y 2
+ ) + ，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求+ + y x x 4y+
y x
解.
3( x 4y+ )
2xy xy 3x3 y +12xy3 y x
【详解】由题意， 2 + = =x + 8y2 x2 + 2y2 x4 +10x2 y2 +16y4 ( x )2 +16( y )2 +10
y x
3( x 4y ) 3( x 4y+ + )
= y x y x x 4y x 4y
( x 4y
= x 4y 2 t = + x 4y x 4y = x = 2y
+ )2 + 2 ( + ) + ，设 ，则 t = + 2 × = 4 ，当且仅当 ，即
y x y x x 4y y x y x y x y x+
y x
2 2 9 2 9
取等号，又由 y = t + 在[4,+ )上单调递增，所以 y = t + 的最小值为 ，即 t + ，
t t 2 t 2
3( x 4y+ )
y x 3 2 = 2xy xy 2 2
所以 ( x 4y 2 2
+
+ ) + t + 3 ，所以 x2 4y2 x2 2y2 的最大值是 .故答案为： .y x x 4y t + + 3 3+
y x
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，
结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
题型 17 超难压轴综合小题
【典例 1-1】
（23-24 高三上·天津南开·期中）对于任意的实数 x [0, 2]，总存在三个不同的实数 y，使得
x4 + 4 + 4 y2 - a(x + 2)y2 - (x + 2)e y = 0成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ）．
e2 e2, 2 2 , 6 + 5

A． - - ÷ B． - ÷è 4 ÷è 4 2
é6 + 5 e2
C． ê ,+ D． 2 - , +
2
÷÷ 4 ÷ è
【答案】A
【分析】先分离 x, y，构造关于 y 的函数，然后画出图像，根据图像有三个交点，求出参数的取值范围.
x4 + 4 + 4 y2 - a x + 2 y2 - x + 2 e y = 0 x4 + 4 + 4 - a x + 2 y2 = x + 2 e y【详解】
x4 + 4 + 4 e y
- a = ，
x + 2 y2
y y 2 y y
令 f
e e y - 2y = 2 ，则 f y
e y - 2y e
= =
y y4 y3 ，
令 f y > 0，解得 y > 2 或者 y < 0，
令 f y < 0，解得0 < y < 2，
所以 f y 在 - ,0 和 2, + 单调递增，在 0,2 单调递减，如图所示，
要使得直线与函数 f y 有 3 个交点，则直线要在点A 上方，
2 2x4 + 4 + 4 x + 22 + 4 2 x2 2 + 4而 2x + 4= = = 2，
x + 2 x + 2 x + 2 x + 2
x4 + 4 + 4
当且仅当 x2 = 2 x = 2 时取到等号，所以 - a ÷ = 2 - a
è x + 2 ÷
，
min
2 2
所以只需满足 2 - a
e a 2 e> < - 即可，
4 4
故选：A
【点睛】方法点睛：分离参数后再构造函数，由解的问题转化为两个函数交点问题是处理含参导数问题的
常用方法.
【典例 1-2】
（21-22 高三上·天津河北·阶段练习）设 x > 0, y > 0, x + 2y = 5，则当 x= 时， 2y x y+1取到最大值．
5
【答案】 /2.5
2
【分析】巧妙利用换元 z = log2 x 得到10 = 2z+1 + 2y+1，
将M = 2y x y+1取对数运算得到 log2 M = (y +1)(z +1) -1，将所求问题转化为求 (y +1)(z +1)的最大值问题，
由10 = 2z+1 + 2y+1使用两次基本不等式可求出 (y +1)(z +1)的最大值，考查等号取得条件即可.
【详解】设M = 2y x y+1，则 log2 M = y + (y +1) log2 x ，设 z = log2 x ，则 x = 2z ，
可知 2z + 2y = 5， log2 M = y + (y +1)z = (y +1)(z +1) -1 .
z+1+ y+1 y 5
10 = 2z+1 + 2y+1 2 × 2 2 2 × 2 ( z+1)( y+1) ，(当且仅当 z = y，即 x = 2 = 时取等号.)2
所以5 2 ( z+1)( y+1) ，故 (y +1)(z +1) 2有最大值 (log2 5) ，
所以 log2 M 就有最大值，即M = 2y x y+1有最大值.
5
故答案为: .
2
【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变形拼凑.在此题中拼
凑的定值有:① 2z + 2y = 5及10 = 2z+1 + 2y+1，为求 (z +1) + (y +1) 最大值做准备;② 通过提取公因式实现因式
分解拼凑乘积， y + (y +1)z = (y +1)(z +1) -1 ，产生了 (y +1)(z +1)与上面 (z +1) + (y +1) 遥相呼应，可以使用
基本不等式.
【变式 1-1】
（2023·天津实验中学滨海学校模拟预测）已知VABC 中，设角A 、B、C 所对的边分别为 a、b、c，VABC
2
的面积为S ，若3sin B + 2sin2 C = sin A sin A + 2sin B sin C S，则 2 的值为（b ）
1 1
A． B4 ． C．1 D．22
【答案】B
【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：3b2 + 2c2 = a2 + 2bcsin A，通过余弦定理可将等式化简
b c
整理为 + = sin A - cos A = 2 sin
p b c
c 2b
A -
4 ÷，通过三角函数图像可知
+ 2
c 2b ，同时通过基本不等式可知è
b c 2 b c
3p
+ + = 2 A =
c 2b ，即得 c 2b ，通过取等条件可知 ， c = 2b，将其代入问题中即可求解答案.4
【详解】已知3sin2 B + 2sin2 C = sin2 A + sin A × 2sin Bsin C
由正弦定理可知：3b2 + 2c2 = a2 + 2bcsin A，
\3b2 + 2c2 - a2 = 2bcsin A，
b2 + c2 - a2 + 2b2整理得： + c2 = 2bcsin A，
2 2 2 2 2
两边同除 2bc b + c - a 2b + c得： + = sin A，
2bc 2bc
b c p
根据余弦定理得： cos A
b c
+ + = sin A，即 + = sin A - cos A = 2 sin

A -

c 2b c 2b 4 ÷，è
Qb > 0 c > 0 b c b c b c， ，\ + 2 × = 2 ，当且仅当 = .
c 2b c 2b c 2b
，即 c = 2b时等号成立
Q b c又 + = sin A - cos A = 2 sin
p
A -

÷ 2
3p
c 2b 4 ，当且仅当
A = 时，等号成立.
è 4
b c b c
综上所述： + 2 且 + 2c 2b c 2b ，
b c 3p
故得： + = 2c 2b ，此时 c = 2b且 A = ，4
1 3p 2 S 2 bc 2 c 2 1
\S = bcsin = bc ，\ 2 = × 2 = × = × 2 = .2 4 4 b 4 b 4 b 4 2
故选：B
【变式 1-2】
（22-23 天津滨海新区塘沽一中联考）已知正数 x, y, z，满足3x = 4y = 6z ，则下列说法不正确的是（ ）
1 1 1
A． + = B．3x > 4y > 6zx 2y z
C． x + y
3
> ( + 2)z D． xy > 2z2
2
【答案】B
【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断.
【详解】设3x = 4y = 6z = m >1，则 x = log3 m, y = log4 m, z = log6 m ,
1 1
∴ = logm 3, = logm 4,
1
= logm 6x y z
1 1
对 A： + = log 3
1
m + logm 4 = logm 3
1
+ logm 2 = logm 6 =x 2y 2 z ，A 正确；
3x 1 1= = 4y 1 1= ,6z =
对 B：由题意可得： 1 logm 3 ，同理可得： logm 4 logm 6
3x 3 4 6
logm 3 logm 4 4logm 3 - 3logm 4 logm 81- logm 64∵ - = = > 0
3 4 12 12
logm 4 logm 6 3logm 4 - 2logm 6 logm 64 - logm 36- = = > 0
4 6 12 12
logm 3 log 4 log 6∴ > m > m > 0 ，则3x < 4y < 6z，B 错误；
3 4 6
x + y x y log3 m log4 m lg 6 lg 6 3 lg 2 1 lg3 3
对 C：∵ = + = + = + = + + > + 2z z z log6 m log6 m lg3 lg 4 2 lg3 2 lg 2 2
∴ x
3
+ y > ( + 2)z，C 正确；
2
xy log3 m log4 m lg 6 lg 6 lg 2 + lg3D
2
1 lg3 lg 2
对 ： 2 = = = = + + 2

> 2
z log6 m log6 m lg 3 lg 4 2lg 2 lg3 2
÷
è lg 2 lg3
∴ xy > 2z2，D 正确；
故选：B.
【变式 1-3】
2
（2023· 6 ac + 2a 8天津武清·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，c > 0,b log4 2 + 4c log16 2 = ，则 + 最小值2 bc a +1
为 .
【答案】6
c2 + 2
【分析】利用对数运算找出b ， c的关系，利用导数求出 的最小值，再利用基本不等式即可求出最
bc
值.
6
【详解】由b log4 2 + 4c log16 2 = ， log4 2
1 log 2 1= ，
2 2 16
= ，
8
1 b 4c 1 6得 + = ，所以b + c = 6 ，即b= 6-c，因为b > 0,c > 0，所以0 < c < 6 ；
2 8 2
c2 + 2 c2 + 2 c2 + 2 c2 - 6c + 6c + 2
= = = c
2 + 2 2 + 6c
所以 ，即 = -1+ ，
bc c( 6 - c) -c2 + 6c -c2 + 6c bc -c2 + 6c
2 + 6c 6c2 + 4c - 2 6 6c - 2 c + 6
令 y = 2 ，0 < c < 6 ，则 y = 2 = 2 ，-c + 6c -c2 + 6c -c2 + 6c
6 6
当0 < c < 时， y < 0， y 为减函数；当 < c < 6 时， y > 0， y 为增函数；
3 3
6 c2 + 2 2 + 6c
所以 c = 时， y 取最小值 3，即 = -1+ 2 .
3 bc -c2 + 6c
a > 0 ac
2 + 2a 8 2
因为 ，所以 + = a c + 2 8 8× + 2a + ，
bc a +1 bc a +1 a +1
因为 2a 8+ = 2(a +1) 8+ - 2 2 2(a +1) 8× - 2 = 6，
a +1 a +1 a +1
c2 + 2 8
当且仅当 = 2，且 2(a +1) = ，即 c 6= ，b 2 6= ， a =1时等号成立；
bc a +1 3 3
ac2 + 2a 8
故 + 的最小值为6 .故答案为：6 .
bc a +1
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是利用对数的运算性质求出b,c的关系；二是利用导数求
c2 + 2
出 的范围；三是利用放缩法及基本不等式求出最小值.
bc
1.（23-24 高三江苏宿州·阶段练习）已知 a,b R
1 1
， a + b = 4 ，则 + 的最大值为（ ）
a2 +1 b2 +1
A 5 +1 5 + 2 5 +1 5 + 2． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】D
1 1 18 - 2ab
【分析】由题意首先得 ab 4，且 2 + =a +1 b2 +1 ab 2 - 2ab +17 ，进一步通过换元法以及判别式法即可求
解，注意验证取等条件.
【详解】因为 a + b = 4 ，所以 a2 + b2 + 2ab =16 4ab ，所以 ab 4，等号成立当且仅当 a = b = 2，
1 1 a2 +1+ b2 +1 a2 + b2 + 2 18 - 2ab
从而 + = = =a2 +1 b2 +1 a2 +1 b2 +1 ，ab 2 + a2 + b2 +1 ab 2 - 2ab +17
18 - 2ab 18 - 2t
令 t = ab 4，设 y = ab 2
=
- 2ab +17 t 2 - 2t +17 ，显然
y > 0，
2
则 yt + 2 1- y t +17y -18 = 0 ，
2
因为关于 t的一元二次方程有实数根，所以D = 4 1- y - 4y 17 y -18 0，
整理得-64y2 + 64y + 4 0，即16y2 -16y -1 0，
2 - 5 2 + 5
解得 y ，注意到 y > 0 2 + 5，从而0 < y ，
4 4 4
y -1 4 2
等号成立当且仅当D = 0，即 t = =1- =1- 4 5 - 2 = 9 - 4 5 = 5 - 2 < 22 = 4y ，5 + 2
所以经检验 y
1 1 5 + 2
的最大值，即 2 + 的最大值为 .a +1 b2 +1 4
故选：D.
1 1 18 - 2ab
【点睛】关键点点睛：关键是得 ab 4，且 + =a2 +1 b2 +1 ab 2 - 2ab +17 ，由此即可顺利得解.
2.（2023·江西名校协作体联盟 阶段练习）实数 a，b > 0，满足：a3 + b3 + 7ab = 9 ，则 a + b 的范围是（ ）
A ． 2,
7 é2, 7B ÷ ． ê ÷ C3 ．3 2,
3 9 D． é2, 3 9 è
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将 a3 + b3 用 a + b 与 ab表示，再分离出 ab，使用基本不等式求解即可.
2 2
【详解】∵ a3 + b3 + 7ab = 9 ，∴ a + b a - ab + b + 7ab = 9，
∴ a + b é a + b
2 - 3abù + 7ab = 9，∴ a + b
3 - 3ab a + b + 7ab = 9，
∴ ab é 7 - 3 a + b ù = 9 - a + b
3
，
∵ a，b > 0，令 a + b = t 3，则 ab 7 - 3t = 9 - t
7
易知7 - 3t 3与9 - t3均不为0 且符号相同，∴ 7 - 3t 9 - t > 0 ，解得 t < 3 9 或 t > .3
（此时，可通过验证 a = b =1时，a3 + b3 + 7ab = 9 满足题意，a + b = 2，结合选项确定选项 D 正确.）
又∵ a > 0，b > 0 3， a + b = t > 0， ab 7 - 3t = 9 - t ，
3 2 2
∴ 9 - t由基本不等式， = ab a + b t ÷ = ，当且仅当 a = b时，等号成立，7 - 3t è 2 4
t 2 9 - t3 t 2 7 - 3t - 4 9 - t3 3∴ t + 7t
2 - 36
- = = 0，
4 7 - 3t 4 7 - 3t 4 7 - 3t
3
又∵ t + 7t 2 - 36 = t3 -8 + 7t 2 - 28 = t - 2 t 2 + 2t + 4 + 7 t + 2 t - 2 = t - 2 t 2 + 9t +18 ，
t - 2 t 2 + 9t +18
∴ 0 ，（当 t > 0时， 2
t + 9t +18 > 0
），
4 7 - 3t
2 t 7 2 a b 7∴解得 < ，即 + < ，当且仅当 a = b =1时，等号成立.
3 3
∴综上所述， a + b 3的取值范围是 é 2, 9 .
故选：D.
3
【点睛】易错点睛：本题若忽视 ab 7 - 3t = 9 - t 中的7 - 3t 与9 - t3同号，直接使用基本不等式求解，就容
易错解，而优先考虑7 - 3t 与9 - t3同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
1 1 | 3a + 4b -1|
3.（22-23 高三上海复旦附属中学·阶段练习）已知正实数 a，b 满足 2 + 2 = 25，则 2 的最小值为a b a + b2
（ ）
12 4
A 7 2 - 5． B．3 C． D．
2 5 3
【答案】C
3a + 4b -1 3 4 1
= + - | x 1 0, y 1
3a + 4b -1 1
【分析】由题设条件有 2 2 5b 5a 5ab ，令
= > = > 0则有 = 4x + 3y - xy 、
a + b a b a2 + b2 5
x2 + y2 = 25，应用基本不等式求 xy范围且 t = 4x + 3y - xy 4 3xy - xy恒成立，进而求 t的范围，即可得结
果.
1 1 a2 + b2
【详解】由 2 + 2 = 2 2 = 25，则 a
2 + b2 = 25a2b2，且 a,b > 0，
a b a b
3a + 4b -1 3a + 4b -1 3 4 1
所以 = = + -
a2 + b2 5ab 5b 5a 5ab
，
1 3a + 4b -1 1
令 x = > 0, y
1
= > 0，则 = 4x + 3y - xy ，且 x2 + y2 = 25，
a b a2 + b2 5
25 5
所以 x2 + y2 = 25 2xy，即 xy ，仅当 x = y = 时等号成立，
2 2
对于 t = 4x + 3y - xy 4 3xy - xy恒成立，仅当 4x = 3y，即 x = 3, y = 4时等号成立，
5
综上，若 k = xy (0, ]，则 y = 4 3k - k 2 = -(k - 2 3)2 +12，
2
而 2 3
5
- 0 > - 2 3 > 0 ，则 y (0,12]，只需 t y ，
2 max
所以 t 12，仅当 k = 2 3 ，即 x = 3, y = 4时等号成立，
3a + 4b -1 1 t 12 1 1
综上， = t = 2 2 5 5 5 ，仅当 t =12，即
a = ,b = 时等号成立.
a + b 3 4
12
所以目标式最小值为 .
5
故选：C
4．（2024·河北秦皇岛·三模）设 a, b, c > 0 a + 2 ab + 4 ac，则 的最大值为 .
a + b + 4c
【答案】2
【分析】设m,n > 0，利用基本不等式得到 a + 2 ab + 4 ac a m + 2n 1 b 2c+ + + ，再将右式配凑成 a + b + 4c
m n
的倍数，从而得解.
【详解】设m,n > 0，则 2 ab = 2 am b× am b c 2c+ ， 4 ac = 4 a专题 2 基本不等式归类
目录
题型 01 均值公式“取等”基础 ............................................................................................................................................1
题型 02 基本型：“1”的代换 ..............................................................................................................................................2
题型 03 基本型：凑配型 .................................................................................................................................................3
题型 04 基本型：分离常数构造“对勾”型 ........................................................................................................................4
题型 05 “1”的代换扩展：同除型 .........................................................................................................................................5
题型 06 “1”的代换扩展：构造分母型 .................................................................................................................................5
题型 07 “1”的代换扩展：双分母构造型 .............................................................................................................................6
题型 08 “1”的代换扩展：分离常数型构造 .........................................................................................................................7
题型 09 有和有积有常数整体化解不等式型 .....................................................................................................................7
题型 10 假“1”的代换扩展：反解代入型 ............................................................................................................................8
题型 11 因式分解型 .............................................................................................................................................................9
题型 12 换元化归型- ..........................................................................................................................................................10
题型 13 万能“k”型 ..............................................................................................................................................................10
题型 14 三元变量均值型 ...................................................................................................................................................11
题型 15 均值裂项构造型 ...................................................................................................................................................12
题型 16 无条件构造型 .......................................................................................................................................................12
题型 17 超难压轴综合小题 ...............................................................................................................................................13
优先选取 2024 各地模拟试题.............................................................................................Error! Bookmark not defined.
题型 01 均值公式“取等”基础
【解题规律·提分快招】
a＋b
1．基本不等式： ab≤ ；
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b.
(3)基本不等式的变形：
a＋b
①a＋b≥2 ab，常用于求和的最小值；②ab≤( )2，常用于求积的最大值；2
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和
为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
【典例 1-1】
（24-25 高一上·天津和平·期中）若 x > 0，则下列说法正确的是（ ）
1 1
A． x + 的最小值为 2 B． x + 的最小值为1
x x +1
1 1
C． x + 的最小值为 2 2 D． x + 的最小值为 2x x +1
【典例 1-2】
（22-23 高三下天津嘉诚中学阶段练习）下列选项正确的是（ ）
a b 4
A． + 2 B． x + 4
b a x
C． sin2 a
2
+ 的最小值为 D． x2
1 1
+ 的最小值为
sin2 a 2 2 x2 + 2 2
【变式 1-1】
（24-25 高一上·天津南开·开学考试）设 a > 0，b > 0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
2ab
① ab
a b
1
② a + 1
+ a +1
③ (a + 2b)
1 1+ ÷ 4
a b
④ + 2 2 - 2
è a b a + 2b a + b
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式 1-2】
（23-24 高一上·天津·期中）设 a,b 0, + ，则下面的不等式不正确的是（ ）
b a 1 1 2
A． + 2 B． + 2 +
a b a b a + b
2 2
C． a2 + b2 2ab D
b a
． + a + b
a b
【变式 1-3】
（23-24 高三下·天津滨海新区塘沽一中·阶段练习）已知 a > 0，b > 0，则“ a + b > 2 ”是“ ab >1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型 02 基本型：“1”的代换
【解题规律·提分快招】
1
主要是利用.利用常数 m 1代换法。多称之为“1”的代换
m
（1）条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
【典例 1-1】
2 1
（24-25 高一上·天津滨海新·阶段练习）已知 x > 0， y > 0，且 + 2x y ，若 x + 2y > m
2 - 3m恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．m -1或m 4 B．-1 < m < 4
C．m -4或m≥ 2 D．-4 < m < 2
【典例 1-2】
x + 8y
（24-25 高三上·天津滨海新·期中）已知正数 x，y 满足 x + 2y 4，则 xy 的最小值为 ．
【变式 1-1】
（23-24 高一上·天津和平·开学考试）下列结论正确的是（ ）
8 1
A．若正实数 x ， y 满足 + 1 x + 2yx y ，则 的最小值为 25
B．若 x > 0， y > 0，且 x + 4y 1 1，则 xy的最大值为 4
C．若 a
4 a
，b 为正实数，且 a + 2b 2，则 + 的最小值为 6
a b
4 4
D．若 a,b R ， ab > 0 a + 4b +1，则 的最小值为 3
ab
【变式 1-2】
1 2
（2024·天津第二南开中学）已知正实数 x，y 满足 + 1 2xy - 3xx y ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式 1-3】
（24-25 高三上·天津南开·期中）在 1 和 11 之间插入m 个数，使得这m + 2个数成等差数列．若这m 个数中
第 1 个为 a
1 25
，第m 个为b ，则 + 的最小值是 ．
a b
题型 03 基本型：凑配型
【解题规律·提分快招】
(1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等
式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
【典例 1-1】
4 1
（24-25 高三上·天津红桥·期中）已知 a > b > 0，则 4a + + 的最小值为（ ）2a + b 2a - b
A．2 B． 2 2 C．6 D．4 2
【典例 1-2】
1 1
（22-23 · · f x 16x高二下 天津南开 期末）函数 + x +4 2x-1 的最小值为 .
【变式 1-1】
2
（24-25 高一上·天津西青区张家窝中学阶段练习）若实数 x <1，则 2x + 的最大值为（ ）
x -1
A．-2 B．-4 C．4 D．6
【变式 1-2】
1 1
（24-25 高一上·天津北辰·阶段练习）已知0 < x < ，求 y x 1- 2x 的最大值为（ ）
2 2
1 1 1
A． B． C
1
． D．
16 8 4 2
【变式 1-3】
1
（22-23 高一上·天津·期末）若 x > -1，则 2x + 的最小值为 ．
x +1
题型 04 基本型：分离常数构造“对勾”型
【解题规律·提分快招】
对勾型：
t 1 b+ ， at +
t t
2 2 1
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如 sin + ，其中 锐角， x + 5 +
sin x2 + 5
【典例 1-1】
2
（19-20 x - 2x + 4高一·天津东丽·期中）若 x > 2，则 y 的最小值为（ ）
x - 2
A．4 B．5 C．6 D．8
【典例 1-2】
3t + 3
（23-24 高三上·天津河北·期末）已知 t > 0，则 + t 的最小值为 .
2t +1
【变式 1-1】
a +1 2b +1
（2022·天津红桥·二模）设 a > 0，b > 0，若 a + 2b 5，则 的最小值为（ ）
ab
A． 3 B．2 C． 2 2 D． 4 3
【变式 1-2】
2
（20-21 x - 6x +10高一上·天津武清·阶段练习）若 x > 3，则 f (x) 有（ ）
x - 3
5 5
A．最大值 B．最小值 C．最大值 2 D．最小值 2
2 2
【变式 1-3】
2
（24-25 高一上· x + 5x +11天津·阶段练习）已知 x > -2，则函数 y 的最小值是
x + 2
题型 05 “1”的代换扩展：同除型
【解题规律·提分快招】
形如 a + b ta b ，可以通过同除ab，化为 + t 构造“1”的代换求解
b a
【典例 1-1】
y
（2022 2天津耀华中学·期末）若两个正实数 x，y 满足 4x + y xy，且存在这样的 x，y 使不等式 x + < m + 3m
4
有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．-1 < m < 4 B．-4 < m < 1
C．m < -4或m >1 D．m < -3或m > 0
【典例 1-2】
（24-25 高一上·天津和平·期中）若正数 a,b满足 4a + b ab，则使 a + b - m 0 恒成立的实数m 的最大值
是 ．
【变式 1-1】
y
（2024 2天津双菱中学·阶段练习）若两个正实数 x，y 满足 4x + y 2xy ，且不等式 x + < m - m有解，则
4
实数 m 的取值范围是（ ）
A． (-1, 2) B． - , -2 U 1, + C． (-2,1) D． (- , -1) (2, + )
【变式 1-2】
（21-22 高一上·天津武清区杨村三中·阶段练习）已知 a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式 m≤a+3b﹣1 恒成
立，则 m 的最大值为（ ）
A．11 B．15 C．26 D．3 3﹣1
【变式 1-3】
（24-25 高一上·天津卓越中学·阶段练习）设 a > 0，b > 0，且 a + b ab ，则3ab - a + 7b的最小值为 .
题型 06 “1”的代换扩展：构造分母型
【解题规律·提分快招】
1 1
形如 a+b=t，求 + 型，则可以凑配（a+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。
a + m b
其中可以任意调换 a、b 系数，来进行变换凑配。
【典例 1-1】
2 1
（22-23 高一上·天津·期末）若实数 x > -1, y > 0 ，且 x + y 1，则 +x 1 y 的最小值为（+ ）
3
A．2 B 3 2．3 + 2 2 C．1+ D． + 2
4 2
【典例 1-2】
1 4
（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知 a,b R+ ，且满足 + 1，对于"4 x 5，不等式a b +1
a + b -x2 + 6x - m恒成立，则实数m 的取值范围为
【变式 1-1】
4 1
（2022·天津红桥·一模）设 a > 0，b >1，若a + b 2，则 + 的最小值为（ ）a b -1
A．6 B．9 C．3 2 D．18
【变式 1-2】
2 2
（2025·天津八中模拟）已知正实数 a，b 满足 2a + b 4，则 + 的最小值是（ ）
a + 2 b
9 2 9A 3 2． + B．4 C． D．
4 2 +4 2
【变式 1-3】
4 1
（23-24 高一上·天津静海·模拟）已知 x >1, y > 0，且 x + 2y ，则
+ y 的最小值是 .
x -1
题型 07 “1”的代换扩展：双分母构造型
【解题规律·提分快招】
1 1
形如 a+b=t，求 + 型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
a + m b + n
其中可以任意调换 a、b 系数，来进行变换凑配。
【典例 1-1】
4 1
（22-23 高三上·天津南开中学·阶段练习）已知正实数 a,b满足 + 1，则a + 2b的最小值为（ ）
a + b b +1
A．6 B．8 C．10 D．12
【典例 1-2】
1 2 1
（23-24 高三上·天津河西·期中）已知实数 a > 0,b > 2，且 + ，则 2a + b 的最小值是 .
a +1 b - 2 2
【变式 1-1】
3 3
（22-23 高二下·天津南开·期末）已知 + 1 x + 2yx + 2 y + 2 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．6 2 + 3
【变式 1-2】
1 2 1
（2022·天津重点学校联考）已知 a，b 均为正数，且 + ，则 2a + b 的最小值为（ ）
a +1 b - 2 2
A．8 B．16 C．24 D．32
【变式 1-3】
1 1
（23-24 高一上·天津·期末）若实数 a >1，b > 2 ，且满足2a + b - 5 0，则 + 的最小值为 .
a -1 b - 2
题型 08 “1”的代换扩展：分离常数型构造
【解题规律·提分快招】
分子分母都有变量型，可以通过常数代换来分离常数，达到消去分子上变量的目的。
【典例 1-1】
1 a +1
（2022 高二下·天津北辰区南仓中学）已知正实数 a,b，且 a + 2b 2，则 + 的最小值是（ ）
a +1 2b +1
3 5 4
A． 2 B． C． D．
2 4 3
【典例 1-2】
m n
（23-24 高一上·天津·期末）已知m > 0， n > 0，且m + n 1，则 + 的最大值为 .
m + 2 n + 4
【变式 1-1】
2 2
（20-21 高一上·天津·期末）若 x > 0, y > -2，且 x + y 1
x +1 y
，则 + 的最小值为（ ）x y + 2
13
A．8 B．3 C．2 D．
5
【变式 1-2】
2a2 2
（2023· b +1天津耀华中学大统练）已知 a，b 为非负实数，且 2a + b 1，则 + 的最小值为（ ）
a +1 b
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-3】
2m + 3 3n + 7
（23-24 高二下·天津·期末）设m, n为正数，且m + n 2，则 + 的最小值为
m +1 n + 2
题型 09 有和有积有常数整体化解不等式型
【解题规律·提分快招】
形如 (mx + ny) + pxy t 求mx + ny型，可以对“积 pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系
数系数，如下：
t p (mx + ny) + pxy (mx + ny) + (mx)(ny) (mx + ny) p+ ((mx) + (ny))2
mn mn 2
【典例 1-1】
（2023·天津第一中学滨海学校）已知 x > 0， y > 0，且 xy + 2x + y 6，则 2x + y 的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【典例 1-2】
（22-23 高三上·天津河北·期末）已知 a > 0，b > 0，且 a + 3b + ab 9 ，则 a + 3b的最小值为 .
【变式 1-1】
（2023 高三下·天津一中阶段练习）已知 x，y > 0，x + 9y + xy 7，则3xy 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-2】
（24-25 高一上·天津·期中）已知 x > 0, y > 0, x + y + 3 xy x + y 2，且 - a x + y +1 0恒成立，则实数 a的
取值范围是（ ）
A． - ，2 5- ùB． ，
è 2 ú
37 17
C． -
ù ù
，
è 6 ú
D． - ，
è 4 ú
【变式 1-3】
（2023 天津和平·一模）若实数 x、y 满足 x2 + y2 + xy 1，则 x+y 的最大值是 ．
题型 10 假“1”的代换扩展：反解代入型
【解题规律·提分快招】
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
【典例 1-1】
1 2 2 1
（23-24 高二下·天津红桥·期末）已知 a > 0,b > 0，且 + 1，则 + 的最小值为（
a b ）a -1 b - 2
A． 2 B． 2 2
C 3 2 3 2． D．1+
2 4
【典例 1-2】
（2022·天津·一模）已知实数 a > 0，b > 0，且满足 ab - a - 2b - 2 0 ，则 a +1 b + 2 的最小值为 .
【变式 1-1】
（2023 天津耀华中学·期末）已知 a，b > 0，且满足 a2 + ab 1，则3a + b的最小值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 2 D． 2 3
【变式 1-2】
2
（天津滨海新区汉沽第一中学）若正数 x, y满足 x +xy-2 0，则3x + y 的最小值是（ ）
A． 4 B． 2 2 C． 2 D．4 2
【变式 1-3】
1 2 b
（2023 高三上·天津武清·模拟）已知 > 0，b > 0，且 + 1，则 2a + 的最小值是(　　)
a b a
A．8 B．6 C．4 D．2
题型 11 因式分解型
【解题规律·提分快招】
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解模型：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例 1-1】
1 2 2 1
（2022 高一上·天津静海·期末）若正数 a,b满足： + 1，则 + 的最小值为（ ）a b a -1 b - 2
3 2 5A．2 B． C 3 2． D．1+
2 2 4
【典例 1-2】
（2022 天津重点中学二模）已知 a，b 为正实数，且 (a + b)(a + 2b) + a + b 9，则3a + 4b的最小值为 .
【变式 1-1】
1 1 9
（天津新华中学·阶段练习）若正数 a，b 1满足： a ＋ ＝1，则 + 的最小值为b a -1 b -1
A．16 B．9 C．6 D．1
【变式 1-2】
（24-25 天津九十六中）已知0 < a <1，0 < b <1，且4 a + b 4ab + 3，则a + 2b的最大值为（ ）
A．2 B． 2 2 C．3 - 2 D．3- 2 2
【变式 1-3】
1 1 1 9
（24-25 高三天津南开区南开中学·阶段练习）若正数 a，b 满足 + 1，则 + 的最小值 .
a b a -1 b -1
题型 12 换元化归型-
【解题规律·提分快招】
换元型：
1.二次配方型，可以三角换元
2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，
3.齐次分式同除型，可以代数换元，
【典例 1-1】
2 2 8
（23-24 天津河西区）已知 a，b，c 均为正实数， ab + ac 4，则 + + 的最小值是 .
a b + c a + b + c
【典例 1-2】
x - 2y
（23-24 天津耀华中学）若实数 x, y满足 2x2 + xy - y2 1，则 5x2 2xy 2y2 的最大值为 .- +
【变式 1-1】
2 2
（2021·天津宝坻·模拟预测）若 x, y R+ ，且 x + 2y 1
x 2y
，则 +x 1 y 2 的最小值为 + +
【变式 1-2】
4 a + b
（天津·一模）若 a > 0，b > 0， c > 0， a + b + c 2，则 + 的最小值为 ．
a + b c
【变式 1-3】
4mn
（23-24 天津崇华中学·阶段练习）若实数 m，n 满足m2 + 4n2 1，则 的最小值是 .
m + 2n -1
题型 13 万能“K”型
【解题规律·提分快招】
一般情况下的“万能 K 法”
设 K 法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是 K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0 确定最值
【典例 1-1】
1 1 1 1
（2024 天津南开中学 模拟）已知实数 x ， y 满足 x >1， y > 0且 x + 4y + + 11 +x -1 y .则 x 1 y 的最大值-
为 ．
【典例 1-2】
1 1
（2020·天津北辰·二模）已知 x > 0， y > 0，且 2x + 2y + + 9x y ，则
x + y 的最大值为 ．
【变式 1-1】
1 1 9
（2023 天津西青区杨柳青一中·）已知正实数 m，n 满足m + 2n + + ，则m + 2n 的最小值是 ．
2m n 2
【变式 1-2】
2 1 xy
（23-23 天津滨海新区塘沽一中末）已知 x > 0， y > 0，且 x + 8y + 3 +x y ，则 x 2y 的最大值为 ．+
【变式 1-3】
1 9
（2021·天津和平·二模）已知正实数 x ， y 满足 x + y + + 6x y ，则
x + y 的最小值是 .
题型 14 三元变量均值型
【解题规律·提分快招】
处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结
构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
【典例 1-1】
（21-22 高一上·天津和平·期中）正实数 a,b,c满足 a2
ab 2 1 5
- 3ab +16b2 - c 0 ，当 取得最大时， + - 的最
c a b c
大值为（ ）
63 27 9 9
A． B． C． D．
64 16 4 2
【典例 1-2】
（21-22 高三上·天津河北·期中）已知正实数 x，y，z 满足 x2 + y2 + z2 2 2 ，则 xy + yz 的最大值为 ．
【变式 1-1】
a b 9c
（2025 天津第一中学阶段练习）已知 a，b，c 为正实数，则代数式 + + 的最小值为
b + 3c 8c + 4a 3a + 2b
（ ）
47 35 3
A． B．1 C． D．
48 36 4
【变式 1-2】
1 1
（19-20 高一上·天津和平·期中）设 a > b > 0 2a
2
，则 + + -10ac + 25c
2
ab a a - b 的最小值是（ ）
A．1 B． 4 C．3 D． 2
【变式 1-3】
a2 + b2 + 2
（2021·天津南开·一模）已知 a > 0，b > 0， a + b + c 1，则 的最大值是 ．
c -1
题型 15 均值裂项构造型
【解题规律·提分快招】
利用对称型，构造均值裂项，在凑配均值不等式
【典例 1-1】
xy + yz
（天津·二模）已知 x, y, z为正实数，则 x2 y2 z2 的最大值为+ +
A 2 3
4
B 2
2
． ． C． D．
5 5 2 3
【典例 1-2】
a2 + b2 + 4
（22-23 高三上·天津静海·期末）已知 a > 0,b > 0，则 的最小值为 ．
a + 3b
【变式 1-1】
é1 ù 2
23-24 a,b,c, d ,1 a + 2b
2 + 2c2 + d 2
（ 高三天津宝坻阶段练习）已知 ê ú，则 的取值范围是（3 ） ab + bc + cd
é2, 5
10
A ù é ù é
5 10ù
． ê 2ú
B．
ê
2, ú C． ê , D 2, + 3 2 3 ú ．
【变式 1-2】
（23-24
xy + 2yz
高三天津静海阶段练习）已知实数 x ， y ， z 不全为 0，则 2 2 2 的最大值为（ ）x + y + z
A 6 B 5 2 3． ． C． D．
2 2 2 2
【变式 1-3】
xy + 3 yz
（2024·天津第二南开·模拟预测）已知 x，y，z 均为正实数，则 的最大值为 .
x + 2y + z
题型 16 无条件构造型
【典例 1-1】
2 2
（23-24 (b +1) (a +1)天津静海一中阶段练习）已知 a > 0,b > 0，则 + 的最小值为
a b
A． 4 B．7.5 C．8 D．16
【典例 1-2】
2 2
（高三上·天津·阶段练习）设 a 0，b 0 2a + a + 4b，则 的最小值是 .
3a + 2b
【变式 1-1】
4x 3y
（22-23 天津第二中学 阶段练习）已知 x, y为正实数，则 +x + 3y x 的最小值为
5 10
A． B．
3 3
3
C． D．3
2
【变式 1-2】
ab + b
（19-20 高三上·天津南开·期末）若 a，b 均为正实数，则
a2
的最大值为(　　)
+ b2 +1
A 2． B 23 ． C． 2 D．22
【变式 1-3】
2xy xy
（高三上·天津滨海新·期末）已知 x > 0， y > 0，则 x2
+
+ 8y2 x2 2y2 的最大值是 .+
题型 17 超难压轴综合小题
【典例 1-1】
（23-24 高三上·天津南开·期中）对于任意的实数 x [0, 2]，总存在三个不同的实数 y，使得
x4 + 4 + 4 y2 - a(x + 2)y2 - (x + 2)e y 0成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（ ）．
e2 2
A． - , 2
e 6 + 5
- ÷ B．4
2 - ,
è 4 2 ÷
÷
è
é6 + 5 e2
C． ê ,+ ÷÷ D． 2 - , +
2
÷
è 4
【典例 1-2】
（21-22 高三上·天津河北·阶段练习）设 x > 0, y > 0, x + 2y 5，则当 x= 时， 2y x y+1取到最大值．
【变式 1-1】
（2023·天津实验中学滨海学校模拟预测）已知VABC 中，设角A 、B、C 所对的边分别为 a、b、c，VABC
S 2 2的面积为 ，若3sin B + 2sin C sin A sin A + 2sin B sin C S，则 的值为（ ）
b2
1 1A． 4 B． C．1 D．22
【变式 1-2】
（22-23 天津滨海新区塘沽一中联考）已知正数 x, y, z，满足3x 4y 6z ，则下列说法不正确的是（ ）
1 1 1
A． + 3x > 4y > 6zx 2y z B．
C． x + y > (
3
+ 2)z D． xy > 2z2
2
【变式 1-3】
2023· · a > 0 b 0 c 0,b log 2 4c log 2 6
ac2 + 2a 8
（ 天津武清 模拟预测）已知 ， > ， > 4 + 16 ，则 + 最小值2 bc a +1
为 .
1 1
1.（23-24 高三江苏宿州·阶段练习）已知 a,b R ， a + b 4 ，则 2 + 2 的最大值为（ ）a +1 b +1
A 5 +1 B 5 + 2 C 5 +1 5 + 2． ． ． D．
2 2 4 4
2.（2023·江西名校协作体联盟 阶段练习）实数 a，b > 0，满足：a3 + b3 + 7ab 9 ，则 a + b 的范围是（ ）
A ． 2,
7 7
÷ B
é
． ê2,

÷ C． 2, 3 9 D 33 ． é2, 9 è 3
1 1 | 3a + 4b -1|
3.（22-23 高三上海复旦附属中学·阶段练习）已知正实数 a，b 满足 2 + 2 25，则 的最小值为a b a2 + b2
（ ）
7 2 - 5 12 4A． B．3 C． D．
2 5 3
4 a + 2 ab + 4 ac．（2024·河北秦皇岛·三模）设 a, b, c > 0，则 的最大值为 .
a + b + 4c
5 a-b+c a+b-c 2（. 2024·全国·模拟预测）若实数 a，b，c 满足条件：e + e 2e a -1 abc，则 4 的最大值是 ．a + b4 + c4

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