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专题 03 各类函数综合归类
目录
题型 01 对勾函数性质 .........................................................................................................................................................1
题型 02 对勾变异：双曲函数 .............................................................................................................................................5
题型 03 对勾扩展：指数型 .................................................................................................................................................9
题型 04 指数型双曲 ...........................................................................................................................................................12
题型 05 反比例型 ...............................................................................................................................................................15
题型 06 指数型反比例 .......................................................................................................................................................20
题型 07 对数反比例型 .......................................................................................................................................................23
题型 08 对数绝对值型 .......................................................................................................................................................26
题型 09 对数无理型 ...........................................................................................................................................................31
题型 10 一元三次型 ...........................................................................................................................................................35
题型 11 取整函数 ................................................................................................................................................................37
题型 12 max 与 min 函数 .................................................................................................................................................40
题型 13 局部周期函数 .......................................................................................................................................................45
题型 13 放大镜函数 ...........................................................................................................................................................48
优先选取 2024 各地模拟试题 ...........................................................................................................................................53
题型 01 对勾函数性质
【解题规律·提分快招】
b
对勾函数： y ax ，（a，b 0）图像特征
x
y ax b ，（a，b 0）
形如 x 称为对勾函数
1. 奇函数
2. 有“渐近线”：y=ax
ax b3.“拐点”：解方程
x （即第一象限均值不等式取等处）
【典例 1-1】
4
（24-25 x高三上·天津·期中）已知函数 f x x ，g x 2 a ，若 x1 2,3 ，"x2 2,3 ，使得 f x1 g x2 ，x
则实数 a的取值范围是( ).
11ù
A． - , - B． - ,0
è 3 ú

C． - ,
1ù
ú D． - , -4 è 3
【答案】A
【分析】由 x1 2,3 ，"x2 2,3 ，使得 f x1 g x2 ，只需 f x g xmax max ，分别研究两个函数的单
调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可.
4 13
【详解】由题意知，当 x1 2,3 时函数 f x x 单调递增，所以 f x f 3 ，x max 3
当 x2 2,3 时， g x 2x a为单调递增函数，所以 g x g 3 a 8max ，
又因为 x1 2,3 ，"x2 2,3 ，使得 f x1 g x2 ，
即 f x 在 x1 2,3 的最大值不小于 g x 在 x2 2,3 上的最大值，
13 a 8 a 11
11
即
ù
，解得 - ，即 a - , - .
3 3 è 3 ú
故选：A.
【典例 1-2】
4
（23-24 高二下·天津·期末）已知 f x x g x x3， - 3x 8 - a ，若对"x1 1,3 ，总 x2 1,3 ，使x
f x1 g x2 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． 2, 21 5 ,21ùB． ú C． 1, 22 D． 11, 22 3
【答案】A
【分析】由题意可得函数 f (x) 的值域是函数 g(x)的值域的子集，求出两函数的值域，列不等式组可求得结
果.
4 4 x2f x x f x 1 - 4 (x 2)(x - 2)【详解】由 ，得 - ，x x2 x2 x2
所以当1 x < 2时， f (x) < 0，当 2 < x 3时， f (x) 0，
所以 f (x) 在[1,2)上递减，在 (2,3]上递增，
所以 f (x)min f (2) 4，
因为 f (1) 5, f (3) 3
4 13
，所以 f (x) 5，
3 3 max
所以 f (x) 的值域为[4,5]，
由 g x x3 - 3x 8 - a 2，得 g x 3x - 3 3(x 1)(x -1)，
当 x 1,3 时， g x 0，所以 g(x)在 1,3 上递增，
所以 g(x)min g(1) 1- 3 8 - a 6 - a ， g(x)max g(3) 27 - 9 8 - a 26 - a，
所以 g(x)的值域为[6 - a,26 - a]，
因为对"x1 1,3 ，总 x2 1,3 ，使 f x1 g x2 成立，
所以[4,5] [6 - a,26 - a]，
ì6 - a 4
所以 í ，解得 2 a 21.
26 - a 5
故选：A
【变式 1-1】
ì x2 1
, x 1
（21-22 高三上·天津河西·阶段练习）设函数 f x í x 是单调函数．若 f x 的值域是R ，且方程
ax, x <1
f x ln x m 没有实根，则m 的取值范围是 ．
【答案】 - , ln 2e
【分析】根据函数 f x 的值域为 R 可求得 a 2，利用导数求出当直线 y 2x与函数 g x ln x m 的图象
相切时实数m 的值，数形结合可得出实数m 的取值范围.
1 2
【详解】当 x 1时， f x x ， f x 1 1 x -1- 2 2 0，所以，函数 f x 在 1, 上为增函数，此时，x x x
f x f 1 2，所以，函数 f x ax 在 - ,1 上的值域应包含 - , 2 ，则 a 0 .
ìa 0
由于函数 f x 在 R 上为单调函数，则该函数在 R 上为增函数，所以 í a
a f 1
0 < a 2
2，解得 ，即实数
的取值范围是 0,2 ；
当 x <1时， f x ax < a ，由题意可得 - , 2 - ,a ，可得 a 2 .又0 < a 2 ，\a 2 .
设 g x ln x m ，则 g x 1 .设直线 y 2x与曲线 y g x 的图象相切于点 t, ln t m ，如图，
x m
ì 1 ìt 1 - ln 2
2t m
2 1 ln 2
所以， í ，解得 í . m < ln 2e
ln t m 2t m 1 ln 2
由图象可知，当 ，直线
2
2
y 2x与函数 g x ln x m 的图象没有公共点.故答案为： - , ln 2e .
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，
然后将问题转化为函数图象与 x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思
想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 f x 0分离变量得出 a g x ，将问题等价转化为直线 y a 与函数 y g x 的图
象的交点问题.
【变式 1-2】
（20-21 高二下·天津武清·阶段练习）已知函数 f x 2x 2 ，若关于 x 的方程 f x a x 4 有 4 个互异的
x
实数根，则实数 a的取值范围是 .
1 17
【答案】 ( , 2) (2, )
4
【分析】方程 f x a x 4 有 4 个互异的实数根转化为函数 f x 的图象与动折线 y a | x 4 |有四个不同
的公共点，借助数形结合的思想作答.
2
【详解】函数 f x 2x 定义域为 (- ,0) U (0, )，是偶函数，其图象如图，直线 y -2x ， y 2x (图
x
中虚线)及 y 轴是该图象的渐近线，
函数 y a | x 4 |的图象是过定点( -4, 0)的折线，
观察图象知，当射线 y a(x 4)(x -4)与 f x 在 y 轴左侧的图象有公共点时，该射线与 f x 在 y 轴右侧
的图象有 1 个或 2 个公共点，
当射线 y a(x 4)(x -4)与 f x 2在 y 轴左侧的图象相切时，设切点 (t, -2t - )(t < 0) ，
t
f (x) 2 2 - (x < 0)，
x2
-2t 2- 1- 17 1- 17 1 17
依题意有 a f (t)，且 2 2- t ，整理得 2t
2 - t - 2 0，解得 t ， a f ( ) ，
t 2 t 4 4 4 4
a 0 1 17显然 ，当 a < 时，射线 y a(x 4)(x -4)与曲线 y f (x)(x < 0) 有无公共点，则曲线 y f (x) 与
4
折线 y a | x 4 |最多有 2 个公共点，不符合，
① 1 17当 a 时，射线 y a(x 4)(x -4) 1 17与曲线 y f (x)(x < 0) 有 1 个公共点，而 < 2，该射线与
4 4
直线 y 2x相交，
它与曲线 y f (x)(x 0) 有 2 个公共点，射线 y a(x 4)(x < -4)与直线 y -2x 不相交，则它与曲线
y f (x)(x < 0) 无公共点，
1 17
即当 a 时，曲线 y f (x) 与折线 y a | x 4 |有 3 个公共点，
4
② 1 17当 < a < 2时，射线 y a(x 4)(x -4)与曲线 y f (x)(x < 0) 有 2 个公共点，该射线与直线 y 2x
4
相交，
它与曲线 y f (x)(x 0) 有 2 个公共点，射线 y a(x 4)(x < -4)与直线 y -2x 不相交，则它与曲线
y f (x)(x < 0) 无公共点，
1 17
即当 < a < 2时，曲线 y f (x) 与折线 y a | x 4 |有 4 个公共点，
4
③当 a 2时，射线 y a(x 4)(x -4)与曲线 y f (x)(x < 0) 有 2 个公共点，该射线与直线 y 2x平行，它
与曲线 y f (x)(x 0) 有 1 个公共点，
射线 y a(x 4)(x < -4)与直线 y -2x 平行，则它与曲线 y f (x)(x < 0) 无公共点，
即当 a 2时，曲线 y f (x) 与折线 y a | x 4 |有 3 个公共点，
④当 a 2时，射线 y a(x 4)(x -4)与曲线 y f (x)(x < 0) 有 2 个公共点，该射线与直线 y 2x不相交，
它与曲线 y f (x)(x 0) 有 1 个公共点，
射线 y a(x 4)(x < -4)与直线 y -2x 相交，则它与曲线 y f (x)(x < 0) 有 1 个公共点，
即当 a 2时，曲线 y f (x) 与折线 y a | x 4 |有 4 个公共点，
1 17
综上，当 < a < 2或 a 2时，曲线 y f (x) 与折线 y a | x 4 |有 4 个公共点，即方程 f x a x 4
4
有 4 个互异的实数根，
所以实数 a 1 17的取值范围是 ( , 2) (2, ) .
4
1 17
故答案为： ( , 2) (2, )
4
【变式 1-3】
4
（2022 天津市南开中学统考）已知 a R ，函数 f x x - a a 在区间[1,4]上的最大值是 5，则 a 的取
x
值范围是
9ù
【答案】 - ，
è 2
ú

【详解】 x 1,4 , x 4 4,5 x ，分类讨论：
4 4
①当a 5时， f x a - x - a 2a - x - ，
x x
2a 4 9函数的最大值 - 5,\a 2 ，舍去；
4 4
②当 a 4时， f x x - a a x 5，此时命题成立；
x x
③当 4 < a < 5时， f x ù maxmax 4 - a a, 5 - a a ，则：
ì 4 - a a 5 - a a ì 4 - a a < 5 - a a a 9 9í 或 a <
4 - a a 5
í
5 a a 5
，解得： 或
- 2 2
a - , 9 ù综上可得，实数 的取值范围是 ú ．è 2
【名师点睛】本题利用基本不等式，由 x 1,4 x 4，得 4,5 ，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行
x
有效的分类讨论：① a 5；② a 4；③ 4 < a < 5，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难
题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
题型 02 对勾变异：双曲函数
【解题规律·提分快招】
双曲函数
y b ax - （两支各自增），或者y b - ax（两支各自减），（a，b 0）
x x
1.有“渐近线”：y=ax 与 y=-ax
ax b2.“零点”：解方程
x （即方程等 0处）
y b b ax - （两支各自增）， 或者y - ax（两支各自减），（a，b 0）
x x
【典例 1-1】
ì 2a -1 x 1, x < 2

（23-24 天津市滨海新区塘沽第一中学）已知函数 f x í 是R 上的单调增函数，则实数 a
x
4
, x 2
x
的取值范围是（ ）
1 5 1
A． , ÷ B

． ,
4ù 1 , 5 1C． D． ,
5 ù
è 2 4 ÷ è 2 5 ú 2 4 è 2 4ú
【答案】D
【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围.
【详解】因为函数 f x 在R 上是单调增函数，且 f 2 4 .
ì 2a -1 0
所以 í
2a -1 2 1 4

1 5
解得 < a
2 4
故选：D.
【典例 1-2】
1
（22-23 高一上·天津和平·期中）函数 y x 的单调递减区间为（
x ）
A． (0,1] B．[-1,1] C．[-1,0) (0,1] D．[-1,0)， (0,1]
【答案】D
【分析】由对勾函数的单调性求解即可.
1
【详解】函数 y x 为对勾函数，
x
1
由对勾函数的性质知，函数 y x 的单调递减区间为：[-1,0)， (0,1] .
x
不能选 C，因为不满足减函数的定义.
故选：D.
【变式 1-1】
1
（21-22 高三上·天津河北·阶段练习）已知函数 f (x) x - ，若对任意 x [1, ), f (mx) f (m - x) < 0恒成立，
x
则实数 m 的取值范围是（ ）
1 5 1 1
A． - ,0÷÷ U 0, ÷ B． (- ,0) U
0,
è 2 è 2

è 2 ÷
1 5 1- 5
C． - , ÷÷ U
0, 1 1- 5 1 ÷ D． - ,

2 2 2 2 ÷
U 0, ÷
è è
÷
è è 2
【答案】D
1 1
【分析】首先得到 f (x) x - 的奇偶性及 f (- ) f (x)，再对m < 0，m 0分类讨论，结合函数的单调性
x x
及mx, x - m 的正负分类讨论，求出 m 的取值范围.
1
【详解】 f (x) x - 定义域为 - ,0 U 0, ，
x
当m 0时，mx 0，此时 f mx 无意义，故m 0舍去，
又 f (-x)
1 1
-x - x -

÷ - f x ，所以 f (x)
1
x - 为奇函数，
x è x x
且 f (x) 1
1 1
2 0，所以 f (x) x - 在 - ,0 , 0, 上单调递增，x x
f (mx) f (m - x) < 0 变形为 f (mx) < - f (m - x) f x - m ，
画出 f (x) x
1 1 1
- 的图象，如图所示： 其中 f (- ) - x f (x)，
x x x
1 1
m 0 mx 0 当 < 时， < ， x - m 0，则- 0根据函数在 0, 上单调递增， f (mx) f - ÷ < f x - m ，mx è mx
1 x m 1 1所以- < - ，即 x m ， x [1, )恒成立，因为m < 0，所以 g x x 在 x [1, )上单调递
mx mx mx
增，所以 g x 1 1 g 1 1 ，只需1 m ，不等式两边乘以m 得：m2min m - m -1 0，m
m 1 5 m 1- 5 1- 5解得： 或 < ，因为m < 0，所以m < ；当m 1时，mx 0，
2 2 2
当 x - m 0时，则mx, x - m 均在函数图象右支上，
f (mx) < f x - m mx < x - m m x 1 1要想 ，则 ，即 < - 在 m, 上成立，
x 1 x 1
1
令u x 1 1- ，u x 0
x 1 x 1 2 恒成立，
u x 1 1所以 - 单调递增，所以u x 1 m u m 1- ，
x 1 m 1 m 1
m
故m < ，但此不等式不成立，故舍.
m 1
若m 1，此时 x - m x -1，而当 x 1时， x -1 0，故与题设矛盾，舍.
当0 < m <1时，则mx, x - m 均在函数图象右支上，
要想 f (mx) < f x - m ，则mx < x - m m x 1 1，即 < - 在 1, 上成立，
x 1 x 1
m 1 1 1 1由前述讨论可得 < - ，所以0 < m < ；
1 1 2 2
1- 5 1
综上：m 的取值范围是 - , 2 ÷÷
U 0,
è è 2
÷

故选：D
【点睛】导函数求解参数的取值范围，要研究函数的单调性及极值，最值情况，本题的关键点在于
f ( 1- ) f (x)这一重要性质，再分类讨论，就迎刃而解了.
x
【变式 1-2】
（24-25 高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 f x x 1- x 1 ，则下列说法中不正确的是（x ）
A． f x 为奇函数
B． f x 在其定义域内为增函数
C．曲线 y f x 上任意一点与 A -1,0 , B 1,0 两点连线的斜率之和为定值
D．曲线 y f x 的切线的斜率的最大值为 2
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义，和增函数的定义，即可判断 AB，利用斜率公式，结合函数解析式，即可判断
C，根据导数的几何意义，即可判断 D.
【详解】A.函数的定义域是 - ,-1 1, ，
f -x -x 1- - x 1- - f x ，所以函数是奇函数，故 A 正确；
-x ֏ x
B.设 x1, x2 - ,-1 1, ，且 x1 < x2， f
1 x1 - f x
1
2 x1 - ÷ - x2 - ÷ x x
1 1
1 - 2 - - ÷，
è x1 è x2 è x1 x2
1
x1 - x 1
1
2 ÷ ，因为 x1 < x2，所以 x1 - x2 < 0，因为 x1 1， x2 1，所以 x1x2 1，则 <1，即
è x1x2 x1x2
-1 1< <1 1 1，即 0,2 ，所以 f x - fx x x x 1 x2 < 0，即 f x1 < f x2 ，1 2 1 1
所以函数 f x 在定义域内是增函数，故 B 正确；
C.设函数 f x 上任一点P x, x
1
- ÷， A -1,0 , B 1,0 ，
è x
x 1 x 1- -
k k x x x -1 x 1 2，故 C 正确；PA PB x 1 x -1 x x
D. f x 1 1 2 1,2 ， x 1，根据导数的几何意义可知，曲线 = ( )的切线的斜率的范围是 1,2 ，故x
D 错误.
故选：D
【变式 1-3】
ìxlnx, x 0,
（23-24 高三天津市南开中学模拟）已知函数 f x í1 若函数 g x f f x - af x 1有唯一零
- x, x < 0, x
点，则实数 a的取值范围是 .
5
【答案】 a - 或-1 a <1
4
1
【分析】 t f (x) 换元后转化为 f (t) at -1

，该方程存在唯一解 t0 ，且 t0 - , - e ÷ ，数形结合求解
.
è
【详解】当 x < 0 时， f (x) 单调递减，图象为以 y -x 和 y 轴为渐近线的双曲线的一支；
1 1
当 x 0时，有 f (x) ln x 1，可得 f (x) 在 0, ÷单调递减，在 ,
è e è e ÷
单调递增

f x 1 1且 f ÷ - ， lim f (x) 0min x 0 ，画出图象如下:è e e
由题意， f ( f (x)) - af (x) 1 0有唯一解，设 t f (x) ，
t 1则 < - ，（否则至少对应 2 个 x ，不满足题意），
e
原方程化为 f (t) - at 1 0，即 f (t) at -1，
1
该方程存在唯一解 t0 ，且 t0 - , -

e ÷
.
è
转化为 y f (t)与 y at -1
1
有唯一公共点，且该点横坐标在 - ,- ÷，画图如下：
è e
情形一： y at -1与 y
1
- t 2相切，联立得 a 1 t - t -1 0，
t
5 1
由D 0解得 a - ，此时 t0 < - 满足题意：4 e
1
情形二： y at -1与 y - t 有唯一交点，其中一个边界为 a -1 (与渐近线平行)，
t
此时交点坐标为 -1,0 ，满足题意；
另一个边界为 y at -1与 y t ln t 相切，即过点 0, -1 的切线方程，
x0 ln x0 1
设切点为 x0 , x0 ln x0 ，则 a 1 ln x0 ，解得 x0 1x0 - 0
，
1
所以求得 a 1，此时左侧的交点 D 横坐标为- 满足条件，右侧存在切点 E，故该边界无法取到；
2
所以 a的范围为 -1,1 .
a 5综上， 的取值范围为 a - 或-1 a <1.
4
5
故答案为： a - 或-1 a <1
4
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令 t f (x) ，转化为方程 f (t) at -1存在唯一解
t 1 0 ，且 t0 - , - ÷ ，作出 y f (t)与 y at -1e 的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数è
或联立方程组求切线的斜率，属于难题.
题型 03 对勾扩展：指数型
【解题规律·提分快招】
指数型对勾，属于复合函数型，复合函数型单调性：同增异减
指数对勾型常见的基础函数图像：
【典例 1-1】

f x lg 5
2x 4
（23-24 高一上·天津南开·期中）函数 x - 4÷的值域为（5 ）è
A． 2lg2, B． 0, C． -1, D． - ,
【答案】D
52x 4
【分析】利用基本不等式求 x - 4 的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，5
进而确定值域.
52x 4 4 4 4
【详解】由 x - 4 5
x x - 4 2 5
x × x - 4 0
x
，当且仅当5 x log 2时等号成立，
5 5 5 5x 5
52x 4
而 x - 4 0 5
2x - 4 ×5x 4 (5x - 2) 0 5x，所以 2 x log5 2，5
52x 4
所以 x - 4 (0, ) ，故 f x 值域为 - , .5
故选：D
【典例 1-2】
2 x - x
（24-25 x e e天津市武清区杨村第一中学月考）已知函数 f x 1- ，若对任意 x 1,2 ，有
2 2
f x2 f 1 mx 成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A． - ,0 B． -2,0
5 3 ù 3
C． - , D2 2 ú ．
,
2 ÷
【答案】B
2
【分析】先根据导函数求出函数 ( )单调递减，结合函数是偶函数得出 f x f 1 mx ，最后应用 x 1,2
结合函数的单调性求解即可.
x2 ex e- x ex - e- x
【详解】因为 f x 1- ，所以 f x x - ,令
2 2 2
x x - x
t x x e - e
- x ex e- x 2 - e e
- .t x 1- ,因为 ex +e- x 2 ex×e- x =2，所以
2 2 2
2 - ex e- x e0 - e0
t x 0, t x 单调递减， t 0 0 - 0, x 0, t x < 0, f x < 0, f x 单调递减，
2 2
-x
2
因为 f x 1 e
- x ex x2 ex e- x
- - 1- f x ，所以 ( )为偶函数，
2 2 2 2
因为 f x2 f 1 mx ，f x2 f 1 mx 2，所以 x 1 mx ，当 x 1,2 时，
-x2 1 mx x2 , -x2
1 1
-1 mx x2 1 1 -1,-x - m x - , -x - m x - ,x x è x ÷ ÷ max è x min
y x 1
1 1 1
- ，x 1,2 单调递增， x - ÷ 1- 0, y -x - ，x 1,2x 1 单调递增，x è min x
x 1 1 - - ÷ -1- -2,
è x max 1
所以-2 m 0 .故选：B.
【变式 1-1】
（24-25 x - x高三天津市静海区第一中学月考）已知函数 f x e e ，若 a log3 0.6，b 30.01， c log5 3，则
有（ ）
A． f a f b f c B． f b f c f a
C． f b f a f c D． f c f a f b
【答案】B
f x f log 0.6 f log 5 【分析】由已知可得 为偶函数，则 3 3 ÷，利用对数函数的性质和指数函数的性质，
è 3
可得0 < log
5 1 1
3 < ，b 1， < c <1，又当 x 0时，由 ′( ) > 0，可得 f x 为单调递增函数，即可得到答3 2 2
案.
x - x - x x
【详解】因为函数 f x e e 且定义域为 R，则 f -x e e f x ，所以 f x 为偶函数，
3
因为 a log3 0.6 log3 < 0，5
f log 0.6 f - log 0.6 f 3- log 5 则 3 3 3 ÷ f log3 ÷，
è 5 è 3
5 1 5
又 log3 < log3 3 ， log3 log 1 0 ， 0.01 0 ，3 2 3 3 b 3 3 1
c log 15 3 log5 5 ， c log5 3 < log5 5 1，2
1
< c <1 30.01则 ，所以 log5 3 log
5
2 3
，
3
当 x 0 x - x时，因为 f x e - e 0，所以 f x 为单调递增函数，
所以 f b f c f a .
故选：B.
【变式 1-2】
2023· f x ex-2 2-x（ 天津市河北区模拟）已知函数 e 2x2 -8x 7 ,则不等式 f 2x 3 f x 2 的解集为
( 1 1) ( , 1) U ( 1A． - ，- B． - - - , )
3 3
( 1C． - ，1) D． (
1
- , - ) (1, )
3 3
【答案】B
【分析】化简 f x ex-2 e2-x 2(x-2)2 -1 x -x 2，得到 f x 2 e e 2x -1，令 g x f x 2 ，令
h x g x x - x，求得 h x e e 4，得到 g x 在 0， 上单调递增，且函数 g x 为偶函数，进而得到
- ，0 上单调递减，把不等式 f 2x 3 f x 2 转化为 g 2x 1 g x ，列出不等式，即可求解.
f x ex-2 e2-x 2x2【详解】由函数 -8x 7 ex-2 e2-x 2(x - 2)2 -1，
所以 f x 2 ex e-x 2x2 -1，令 g x f x 2 ex e- x 2x2 -1，
可得 g x ex - e- x 4x 。令 h x g x ex - e- x 4x 且 h 0 0，
可得 h x ex e- x 4 0在 0， 上恒成立，所以 h x h 0 0, x 0 ，
所以 g x 在 0， 上单调递增，又由 g -x e- x ex 2(-x)2 -1 ex e- x 2x2 -1 g x ，
所以函数 g x 为偶函数，则在 - ，0 上单调递减，又由 f 2x 3 f x 2 ，即 g 2x 1 g x ，即
2x 1 x 1，整理得3x2 4x 1 0，解得 x - 或 x < -1，3
即不等式 f 2x 3 f x 2 1的解集为 (- , -1) U (- , ) .故选：B.
3
【变式 1-3】
x a
（天津市宁河区模拟）已知函数 f (x) | e x |（ a R ）在区间 0,1 上单调递增，则实数 a的取值范围是e
A． (-1,1) B． (-1, ) C． -1,1 D． 0,
【答案】C
【分析】根据给定条件，按 a 0, a 0, a < 0分类讨论，并结合对勾函数单调性、复合函数单调性推理求解
作答.
a
【详解】当 a 0 f (x) ex时， x ，令 ex t 0，函数 y t
a
在 (0, a ]上单调递减，在[ a , )上单调
e t
递增，
而函数 t ex 在 R 上单调递增，由0 < t a 得 x ln a ，由 t a 得 x ln a ，
于是得函数 f (x) 在 (- , ln a ]上单调递减，在[ln a , )上单调递增，
而函数 f (x) 在 0,1 上单调递增，则有 ln a 0，解得0 < a 1，则0 < a 1，
当 a 0时， f (x) ex 在区间[0,1]上单调递增，满足条件，则 a 0，
当 a < 0时， y ex
a
x 在R 上单调递增，令 e
x a x 0，得e e x ln -a
，
当 x < ln -a 时， f (x) -(ex
a
x ) 在 (- , ln -a )上单调递减，e
a
当 x ln -a x时， f (x) e x 在[ln -a , )上单调递增，而函数 f (x) 在 0,1 上单调递增，e
则有 ln -a 0，解得-1 a < 0，则-1 a < 0，综上得-1 a 1，
所以实数 a的取值范围是[-1,1] .故选：C
【点睛】思路点睛：给定函数单调区间求参数范围问题，可以求出函数的单调区间，再利用集合的包含关
系求解即可.
题型 04 指数型双曲
【解题规律·提分快招】
指数型双曲，属于复合函数型，复合函数型单调性：同增异减
指数双曲型两种常见的基础函数图像：
【典例 1-1】
（24-25 天津市宝坻区 阶段练习）已知函数 f (x) 4x - 4- x ，若函数 f (x) 在区间 m, n 上的值域为
k(4
m -1),k(4n -1) ù ，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 0, B． - , 2 U 2,
C． 1,2 2, D． 1,
【答案】C
2
【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得 k -1 x - kx 1 0有两个不相等的正实数根，结
合判别式和韦达定理可得结果.
【详解】∵ y 4x 在R 上为增函数， y 4- x 在R 上为减函数，
∴ f (x) 4x - 4- x 在R 为增函数，
∴ f (x) m, n 4m - 4-m , 4n - 4-n函数 在区间 上的值域为 ù ，
ì4m - 4-m k(4m -1) ì(k -1)42m - k × 4m 1 0
∴ í n -n n ，整理得4 4 k(4 1) í- - (k -1)42n
，
- k × 4
n 1 0
∴ 4m , 4n 为方程 (k -1)x2 - kx 1 0的两根，即 (k -1)x2 - kx 1 0有两个不相等的正实数根，
ì
Δ k 2 - 4(k -1) 0

k
∴ í 0 ，解得 k 1且 k 2，
k -1
1
0 k -1
∴实数 k 的取值范围是 1,2 2, .
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：
（1）分析函数的单调性，可得 f (x) 4x - 4- x 在R 为增函数，函数 f (x) 在区间 m, n 上的值域为
4
m - 4-m , 4n - 4-n ù .
（2）根据值域的对应关系可得 4m , 4n 为方程 (k -1)x2 - kx 1 0的两根，即一元二次方程有两个不相等的正
实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数 k 的取值范围.
【典例 1-2】
24-25 f x 4x - x（ 天津市西青区模拟）已知函数 - 4 ，若函数 f x 在区间 m, n 上的值域为
m
k 4 -1 ,k 4n -1 ù ，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 0, B． - , 2 U 2,
C． 1,2 2, D． 1,
【答案】C
2
【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得 k -1 x - kx 1 0有两个不相等的正实数根，结
合判别式和韦达定理可得结果.
【详解】因为 y 4x 在R 上为增函数， y 4- x 在R 上为减函数，
所以 f (x) 4x - 4- x 在R 为增函数，
所以函数 f (x) 在区间 m, n 上的值域为 4m - 4-m , 4n - 4-n ù ，
ì4m - 4-m k(4m -1) ì(k -1)42m - k × 4m 1 0
所以 í 4n - 4-n k(4n
，整理得
1) í
，
- (k -1)4
2n - k × 4n 1 0
所以 4m , 4n 为方程 (k -1)x2 - kx 1 0的两根，即 (k -1)x2 - kx 1 0有两个不相等的正实数根，
ì
Δ k 2 - 4(k -1) 0

k
所以 í 0 ，解得 k 1且 k 2，
k -1
1
0 k -1
所以实数 k 的取值范围是 1,2 2, .
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：
（1）分析函数的单调性，可得 f (x) 4x - 4- x 在R 为增函数，函数 f (x) 在区间 m, n 上的值域为
4
m - 4-m , 4n - 4-n ù .
（2）根据值域的对应关系可得 4m , 4n 为方程 (k -1)x2 - kx 1 0的两根，即一元二次方程有两个不相等的正
实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数 k 的取值范围.
【变式 1-1】
x - x
（23-24
e - e
高三上·天津和平·阶段练习）已知函数 f x ， x R ，若对任意 x m, m 1 ，都有
2
f 2m - x f m - x 0 成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A． 0, B． 0, C． 2, D． 2,
【答案】C
【分析】由解析式、奇偶性定义判断 f x 2的单调性、奇偶性，再将条件化为m x在 x m, m 1 上恒成
3
立，即可求范围.
exf x - e
- x e- x - ex
【详解】由 在 x R 上单调递增，且 f -x - f (x)，即为奇函数，
2 2
所以 f 2m - x f m - x 0 f 2m - x - f m - x f (x - m)，
则 2m - x
2
x - m m x在 x m, m 1 上恒成立，
3
2
所以m (m 1) m 2 .
3
故选：C
【变式 1-2】
（23-24 · f x ex - e- x天津市第二十中学 阶段练习）已知函数 ，若不等式 f ax 1 f ln x < 0 在 0,
上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
2 2
A． - , ÷ B． -1, C． - ,- D． - ,-1 è e e ÷è
【答案】D
x
【分析】判断函数 f x e - e- x 的奇偶性以及单调性，从而将不等式 f ax 1 f ln x < 0在(0, + ∞)上恒
成立，转化为 ax 1< -lnx在(0, + ∞)上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，
即可得答案.
f x ex - e- x R f -x e- x x【详解】由于函数 ，定义域为 ，满足 - e - f x ，
得 f x 是奇函数，且在 R 上为增函数.Q f ax 1 f ln x < 0在(0, + ∞)上恒成立，
\ f ax 1 < - f lnx f -lnx 在(0, + ∞)上恒成立，
lnx 1
\ax 1< -lnx 在(0, + ∞)上恒成立，\a < - 在(0, + ∞)上恒成立.
x
lnx 1
令 g x - , x 0, lnx ，则 g x ，当0 < x <1时， g 2 x < 0，故 g x 在(0,1)上单调递减，x x
当 x 1时， g x 0， g x 在(1, + ∞)上单调递增，\ g x g 1 -1,\a < -1，即 a 的取值范围为
- ,-1 ，
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用函数的单调性和奇偶性解不等式，再分离参数法借助导数求范围.
【变式 1-3】
（24-25 x-1 1-x高三天津市滨海区阶段练习）设函数 f x e - e sin x -1 ，则关于 x 的不等式
f x2 - x - 2 f -2x 0 的解集为（ ）
A． -1,4 B． - , -1 4,
C． -2,1 D． - ,-2 1,
【答案】B
【分析】令 g x f x 1 ex - e- x sinx ，定义域为 R，得到 g x 为奇函数，即 f -x 1 - f x 1 ，求
2
导，得到 g x 在 R 上单调递增，变形得到 g x - x - 3 g 2x 1 ，从而 x2 - x - 3 2x 1，求出解集.
g x f x 1 ex - e- x【详解】令 sinx ，定义域为 R，
g -x e- x - ex sin -x e- x - ex - sin x -g x ，故 g x 为奇函数，即 f -x 1 - f x 1 ，
g x ex e- x cos x 2 ex ×e- x cos x 2 cos x 0，故 g x 在 R 上单调递增，
f x2 - x - 2 f -2x 0 f x2 - x - 2 - f -2x ，故
f 2 x - x - 3 1ù - f -2x -1 1 ù f 2x 1 1ù ，即 g x2 - x - 3 g 2x 1 ，
所以 x2 - x - 3 2x 1， x2 - 3x - 4 0，解得 x 4或 x -1.故选：B
题型 05 反比例型
【解题规律·提分快招】
反比例复合分式型函数性质特征：
画函数图像方法
方法一：分离常数，左加右减上加下减
方法二：中心对称法，如下
ax - b
·形如： y= 。对称中心为P（x0，y0），其中cx-d
（1）、cx0 - d=0；
（2）、y ax0 cx
（3）、一、三或者二、四象限，通过x 0,1计算判断
【典例 1-1】
x
（22-23 天津市第二十中学·阶段练习）关于函数 f x x -1 ，给出以下四个命题：①当 x 0时， y f x
严格单调递减且没有最值；②方程 f x kx b k 0 一定有解；③如果方程 f x k 有解，则解的个数
一定是偶数；④ y f x 是偶函数且有最小值，其中真命题是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③ D．③④
【答案】B
【分析】分类讨论，特别是0 < x <1时，由函数的单调性判断①，判断函数的奇偶性，确定函数的单调性，
并确定函数的变化趋势后判断②，结合偶函数的性质及 f (0)的值，判断③，由函数的单调性，奇偶性判断
④．
x x
【详解】 x 0时， f (x) x 1 ， x 1时， f (x) 1
1 x 1

- 是减函数，0 < x <1时， f (x) - -1-x -1 x -1 x -1 x -1
是增函数，无最值，①错；
-x x
f (x) 的定义域是{x | x ±1}， f (-x) f (x) f (x)-x -1 x -1 ， 是偶函数，
x 1时， f (x) ， x 时， f (x) 1，
k 0 时，直线 y kx b与 y f (x) 的图象在第一象限内一定有交点，
由偶函数的对称性， k < 0时，直线 y kx b与 y f (x) 的图象在第二象限内一定有交点，
所以方程 f (x) kx b(k 0)一定有解，②正确；
f (x) 是偶函数，且 f (0) 0，所以 k 0时，函数 y f (x) 的图象与直线 y k 只有一个公共点，所以方程
f (x) k 只有一个解，③错；
f (x) 是偶函数， x 1时， f (x) 1
1
1，0 x <1时， f (x)
1
-1- 是增函数， f (0) 0是最小值，
x -1 x -1
所以在R 上， f (x) 的最小值是 f (0) 0，④正确．
故选：B．
【点睛】难点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查方程根的个数问题，难点在于含有多个绝对值，
可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号后判断函数的单调性，确定函数的变化趋势，然后根据函数的性质
可得结论．
【典例 1-2】
x a
（22-23 高三天津市和平区三模）已知函数 f x x a ，若关于 x 的方程 f f x 2恰有三个不相
x - a
等的实数解，则实数 a的取值集合为 .
ì1 ü
【答案】 í ,3
3


【分析】分类讨论 a的不同取值，并作出 f (x) 的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数
图象的交点的个数即可求解.
f x | x a 2a【详解】 | |1 | x a ，当 a 0时， f x 1 x 0 ，
x - a x - a
此时 f f x 2无解，不满足题意；当 a < 0时，设 t f (x) ，则 y f (t)与 y 2 的图象大致如下，
则 f (t) 2对应的 2 个根为 t1 < a < t2 < 0，此时方程 f (x) t1, f (x) t2 均无解，即方程 f f x 2无解，不
满足题意；当 a 0时，设m f (x)，则 y f (m)与 y 2 的图象大致如下，
则则 f (m) 2对应的 2 个根为0 < m1 < a < m2，
若方程 f f x 2恰有三个不相等的实数解，
则 y m1, y m2 与函数 y f (x) 的图象共有 3 个不同的交点，
①当0 < a <1时， y m1与函数 f (x) 的图象共有 2 个交点，如图所示，
所以 y m2 与函数 f (x) 的图象只有 1 个交点，
则m 1
1 a
2 ，所以 2，解得 a
1
；
1- a 3
②当 a 1时， y m1与函数 f (x) 的图象共有 2 个交点，
所以 y m2 与函数 f (x) 的图象只有 1 个交点，
则m2 1，与m2 a矛盾，不合题意；
③当 a 1时， y m2 与函数 f (x) 的图象共有 2 个交点，如图所示，
所以 y m1与函数 f (x)
1 a
的图象只有 1 个交点，则m1 1，所以 2，解得 a 3；1- a
a ì1 ü ì1 ü综上， 的取值集合为 í ,3 ，故答案为: í ,3 .
3 3
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于作出函数 f (x) 的图象，将方程 f f x 2恰有三个不相等的实数解
转化为两条横线与函数 f (x) 图象的图象的交点的个数共计 3 个，数形结合思想求解.
【变式 1-1】
1
（2023·天津津南·模拟预测）已知 f (x) | - a | -x a，且 x (1, )，若函数 y f (x) 有三个不同的零点，
x -1
则实数 a 的取值范围是 ．
3 5 1
【答案】 ( , )
2 2
【分析】根据给定条件，按 a 0与 a 0讨论，当 a 0时，分段去绝对值符号讨论方程的解的情况作答.
1
【详解】当 x (1, )时， 0，当 a
1
0时， f (x) - x 在 (1, )上单调递减，
x -1 x -1
函数 y f (x) 在 (1, )上最多一个零点，不符合要求，
ì 1 1
- x,1< x 1
当 a 0时， f (x)
1
- a - x a x -1 a ，
x -1 í 2a 1 1- - x, x 1
x -1 a
1 1 1
由 2a - - x 0 ，得 x2 - (2a 1)x 2a 1 0 最多两个实根，又 y - x 在 (1,1 ]上递减，
x -1 x -1 a
1 1 1
且当 x 1 时， - x 2a - - x ，因为函数 y f (x) 在 (1, )上有三个不同的零点，
a x -1 x -1
因此 y f (x) 在 (1,1
1 1
) 上有一个零点，在 (1 , ) 上有两个零点，
a a
当 x (1,1
1
) 1时，由 - x 0 5 1 5 1 1 5 1，解得 x ，即 <1 ，于是0 < a < ，a x -1 2 2 a 2
当 x (1
1
, )，由 f (x) 0
1 1
，得 2a x (x -1) 1，
a x -1 x -1
函数 y
1
t (t 0) 在( 0, 1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，当 t 1时， y
t min
2 ，
要使函数 y f (x) 在 (1
1
, ) 1上有两个零点，必有1 < 2
1 1
，此时 y x在 (1 , 2)上递减，在 (2, )
a a x -1 a
3 < 2a < a 1 1 3 a 5 1 a (3 , 5 1递增，因此 ，解得 < < ，所以实数 的取值范围是 .a )2 2 2 2
3 5 1
故答案为： ( , )【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和
2 2
等于总的零点个数分类分段讨论解决.
【变式 1-2】
ì
x 1
2 , x 0
（23-24 高三下·天津·阶段练习）函数 f x í1- x ，关于 x 的方程 f x kx 1有且只有 2 个解，
, x 0
1 x
则 k 的取值范围 ．
【答案】 - , -2 0, 2
【分析】画出 = ( )及 y kx 1的图象，根据方程解的个数动态确定动直线的位置为：与函数
1- xy x 1 2 , x 0的图象相切或与 y , x 0的图象相切的特殊位置，从而可得实数 k 的范围．
1 x
【详解】因为关于 x 的方程 f x kx 1有且只有 2 个不同的解，
所以 = ( )的图象与直线 y kx 1有两个不同的交点，又 = ( )及 y kx 1的图象如图所示：
2 2 ì x 1k 0
2 kx
y x 1 , x 0 y kx 1 x , x 1 í 0 0 1当 ， 的图象与直线 相切时，设切点为 0 0 ，从而 ，
k 2 x0 1
解得 x0 0， k 2．所以，当 k 0时， = ( )的图象与直线 y kx 1有两个不同的交点，只需满足
k 0,2 .
y 1- x 2
2
当 k < 0， -1, x 0的图象与直线 y kx 1相切时，设切点为 x
1 x 1 x 0
, -1
1 x ÷
，从而
è 0
ì 2
-1 kx1 x 0
1
0
í 2 ，解得 x0 0， k -2 ．所以，当 k < 0时， = ( )的图象与直线 y kx 1有两个不同 k -
x 1
2
0
的交点，只需满足 k - ,-2 .综上， k - ,-2 0,2 ．故答案为： - ,-2 0,2 ．
【点睛】方法点睛：已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据零点的个数及各段函数图像
的特点确定动曲线与定曲线之间的关系，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点．
【变式 1-3】
x 2
（23-24 高一上·天津南开·期中）已知函数 f x , g x kx b2 x ，若集合M x f x g x 中恰有 3
个元素，且它们的和为 0，则实数 k 的取值集合是 ．
0, 1 【答案】 ÷
è 9
【分析】写出 f x 分段形式并画出函数草图，结合题设有 f x 与 g x 有三个交点，令横坐标分别为 x1, x2 , x3
ìk 0
且 x
4
1 < x2 < 0 < x3 ，数形结合得 í ，在 (- ,0)、(0, )上分别令 kx b -1、kx +b =1b 1 ，根据根与系 < 2 - x
数关系及 x1 x2 x3 0 求参数范围.
ì1, x 0

【详解】由 f x í 4 ，值域为 (-1,1]，其函数图象如下，
-1, x < 0 2 - x
结合题设易知 f x 与 g x 有三个交点，令横坐标分别为 x1, x2 , x3且
ìk 0
x1 < x2 < 0 < x
4
3 ，由图知 í ，且 g x 与 y -1在 (- ,0)b 1 上有两个交点，与 y 1在 (0, )上有一个交 < 2 - x
点，
4
令 kx b -1，即 kx2 (b 1- 2k)x 2 - 2b 0在 (- ,0)上有两根，
2 - x
ìh 0 2 - 2b 0

b 1- 2k
若 h(x) kx2 (b 1- 2k)x 2 - 2b，则 í- < 0 ，
2k
Δ b 1- 2k 2 -8k 1- b 0
ì 2k < b 1 < 2 ì 0 < k <1 b 1
所以 í b 1- 2k 2 ，即 í
x x 2 -
8k 1- b b 1- 2k
2 8k 1- b ，且 1 2 ，k
x 1- b x x x 0 2 b 1 1- b 2b令 kx +b =1，则 3 ，又 1 2 3 ，所以 - 2 - 0 b k ，k k k k
ì0 < k <1 1 1 1
综上， í 0 < k < k1 k 8k ，即实数 的取值集合是
0, .故答案为： 0,
- 9 9 ÷ 9 ÷ è è
【点睛】关键点睛：写出 f x 分段形式，将问题化为 g x 与各区间上的交点情况求参数.
题型 06 指数型反比例
【解题规律·提分快招】
指数型“ 反比例函数” ：
y= a
x +1 x x x
1. x , y=
a -1 , y=1- ax x ，y=
1+a
a -1 a +1 1+a 1- a x
2.以上几个类型都是奇函数
变化
指数型“ 反比例函数” ：
x x
y= a +t , y= a +t , y= t - a
x
y= t+a
x
1.
a x -1 a x
，
+1 1+a x 1- a x
2.以上几个类型都是对称中心函数，对称中心在y轴上
怎么找中心？
1. 如果x=0有意义，直接（0，f（0））就是中心
x f（- 1）+f（1）2. 如果 =0无意义，则（0， ）是中心，即特殊值法
2
3. 单调性：（1）、分离常数推导；（2）、带两个特殊值（必须同号）
【典例 1-1】
x
（2014· e m天津市河东区模拟）已知函数 f x x ，若对任意x1、x2、x3 R，总有 f xe 1 1
、 f x2 、 f x3

为某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是
1 ù
A． ,1ú B． 0,1
1 ù
C． 1,2 D2 ． , 2 2 ú
【答案】D
【分析】依题意可得到 f x1 f x2 f x3 对任意的x1、 x2、 x3 R恒成立，将函数 y f x 的解析式用
分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m 转化为 f x1 f x2 的最小值与 f x3
的最大值的不等式，进而求出实数m 的取值范围.
【详解】由题意可得， f x1 f x2 f x3 对任意的x1、 x2、 x3 R恒成立，
ex m ex 1 m -1Q f x 1 m -1 .
ex 1 ex 1 ex 1
当m 1时，函数 y f x 是 R 上的减函数，该函数的值域为 1, m ，
故 f x1 f x2 2 ， f x3 < m ，\m 2，此时，1< m 2 .
当m 1时， f x 1，则 f x1 f x2 f x3 对任意的x1、 x2、 x3 R恒成立；
当m <1时，函数 y f x 是 R 上的增函数，该函数的值域为 m,1 ，
故 f x1 f x2 2m
1 1
， f x3 <1，\2m 1，则m .，此时， m <1；2 2
1
综上所述，实数m 的取值范围是 , 2
ù
.
2 ú
故选 D.
【点睛】本题考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时
也考查了分类讨论的思想，属于难题.
【典例 1-2】
x
（20-21 2 m天津市津南区模拟）已知函数 f (x) （0 x 1），函数 g(x) (m -1)xx （1 x 2）.若任意的2 1
x1 0,1 ，存在 x2 1,2 ，使得 f x1 g x2 ，则实数m 的取值范围为（ ）
1, 5ù 2,3 2, 5 ù 5 5 ùA． ú B． C． D2 ú ． ,è 3 3 2 ú
【答案】D
【解析】问题转化为函数 f (x) 的值域是 g(x)值域的子集，分别求出 f (x) 和 g(x)的值域，得到关于 m 的不
等式组，解出即可.
【详解】对任意的 x1 0,1 ，存在 x2 1,2 ，使得 f x1 g x2 ，
2x m 2x 1 m -1 m -1
即 f x 在 0,1 上的值域是 g x 在 1,2 上的值域的子集，Q f (x) x 1 ，2 1 2x 1 2x 1
m 1 m 2ù
当m <1时，\ m -1 < 0，\ f x 在 0,1 上单调递增，\ f x 的值域为 , ，
2 3 ú
又Q g(x) (m -1)x在 1,2 上单调递减，\ g x 的值域为： 2m - 2,m -1 ，
ìm 1
m 1
2m - 2
\ , m 2 ù 2m - 2,m -1 \ 2 2 3 ú ， í m 2 ，方程无解 m -1
3
m 2 m 1
当m 1 ù时，m -1 0 ，\ f x 在 0,1 上单调递减，\ f x 的值域为 ,
3 2 ú
g x m 2 m 1ù的值域为： m -1,2m - 2 ，\ , ú m -1,2m - 2 3 2
ìm 1
2m - 2
\ 2 5 5í m m 1 f (x) 1, g(x) 0 .
m 2
，解得 当 时， ，显然不满足题意
m -1 3 2
3
m 5 5 ù综上，实数 的取值范围为 , 故选：D. 3 2 ú
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数 f (x) 的值域是 g(x)值域的子集.
【变式 1-1】
x
（2021· 3天津市东丽区阶段练习）已知函数 f (x) ，设 xi （ i 1,2,3）为实数，且 x1 x2 x3 0x ．给出1 3
下列结论：
3
①若 x1 × x2 × x3 0 ，则 f (x1) f (x2 ) f (x3) < ；2
x × x × x < 0 f (x ) f (x ) f (x ) 3②若 1 2 3 ，则 1 2 3 ．2
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
【答案】A
【分析】令 g x f (x) 1- ，得到 g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设 x1 < 0, x2 < 0, x3 0，结合2
A(x1 x2 , f (x1 x2 ))，利用直线OA的方程得到 g x1 g x2 < g(x1 x2 )，进而得到
g x1 g x2 g(x3) < 0，可判断①正确；②中，不妨设 x1 < 0, x2 0, x3 0 ，得到点 B(x2 x3 , f (x2 x3))，
利用直线OB 的方程得到 g x2 g x3 g(x2 x3)，进而得到 g x1 g x2 g(x3) 0，可判定②正确.
x x
【详解】令函数 g x f x
1 3 1 3 -1 1 1
- x - -2 1 3 2 2 g x1 3x 2 1 3x ，可得函数 为单调递增函数，
x
g(x) g( x) 3 -1 3
- x -1
又由 - x - x 0，即 g(-x) -g(x)，2(1 3 ) 2(1 3 )
所以函数 g x 为奇函数，图象关于点 (0,0)对称，如图（1）所示，
①中，因为 x1 x2 x3 0 ，且 x1 × x2 × x3 0 ，则 x3 -(x1 x2 ) ，不妨设 x1 < 0, x2 < 0, x3 0，
f (x1 x2 )
则点 A(x1 x2 , f (x1 x2 ))，此时直线OA的方程为 y xx1 x
，
2
g x g(x< 1 x2 ) x , g x g(x1 x2 )可得 1 1 2 < x2 ，则 g x g x
g(x x ) g(x x )
1 2 <
1 2 x1 1 2 x2 g(x1 x )x 2 ，1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
可得 g x1 g x2 - g(x1 x2 ) < 0，又由 g x3 g[-(x1 x2 )] -g(x1 x2 ) ，所以 g x1 g x2 g(x3) < 0，
即 f x1
1
- f x 1 f (x 12 - 3) - < 0，即 f (x1) f (x2 ) f (x3)
3
< ，所以①正确；
2 2 2 2
②中，若 x1 × x2 × x3 < 0，不妨设 x1 × x2 × x3 0 ，则 x1 -(x2 x3) ，不妨设 x1 < 0, x2 0, x3 0 ，
f (x x )
则点B(x2 x3 , f (x2 x3))，此时直线OB 的方程为 y
2 3 x
x2 x
，
3
g(x x )
可得 g x2 2 3 x2 , g x
g(x2 x3) x g x g x g(x2 x3)3 3，则 2 3 x
g(x x )
2
2 3 x g(x x )
x2 x3 x2 x3 x2 x3 x2 x
3 2 3 ，
3
可得 g x2 g x3 - g(x2 x3) 0，又由 g x1 g[-(x2 x3)] -g(x2 x3) ，所以 g x1 g x2 g(x3) 0，
即 f x1
1 f x 1 1 3- 2 - f (x3) - 0，即 f (x ) f (x2 2 2 1 2 ) f (x3) ，所以②正确.2
故选：A.
【变式 1-2】
2ex 1
（21-22 天津市北辰区阶段练习）已知函数 f x x 1 的图像与过点 -1,1 的直线有 3 个不同的交点e 1
x1, y1 ， x2, y 2 ， x3 , y3 2，则 x1 x2 x3 y1 y2 y 23 （ ）
A．8 B．10 C．13 D．18
【答案】D
【分析】分析函数 f x 的对称性，再借助对称性的性质计算作答.
x 1
f x 2e R f 1 2e
0
【详解】函数 x 1 定义域为 ，且 - 1，即点 -1,1 0 在函数图象上，e 1 e 1
"x R f ( 1 x) f ( 1 x) 2e
- x 2ex 2 2ex
， - - - - x 2 ，因此，函数 f x 的图象关于点 -1,1 对称，e 1 ex 1 ex 1 ex 1
依题意，不妨令 x2 -1, y2 1，则点 x1, y1 与 x3 , y3 关于点 -1,1 对称，即 x1 x3 -2 且 y1 y3 2，
所以 x1 x2 x3
2 y1 y
2
2 y3 (-3)2 32 18 .
故选：D
【点睛】结论点睛：函数 = ( )的定义域为 D，"x D，存在常数 a，b 使得 f a - x f a x 2b
或者 f 2a - x f x 2b，则函数 = ( )图象关于点 a,b 对称.
【变式 1-3】
ex - e- x
（2023·天津市滨海新区阶段练习）已知函数 f x x - x - a ，存在实数 xe e 1, x2 ,L, xn 使得
f x1 f x2 L f xn-1 f xn 成立，若正整数 n 的最大值为 6，则 a的取值范围为（ ）
3 5 3 7 ù
A． , ÷ B． - , - 2 3 è 2 5 ú
7 3 3 7 ù 3 5 5 3 ù
C． , ÷ - ,- D． , ÷ - ,- 5 2 è 2 5 ú 2 3 è 3 2 ú
【答案】C
【分析】分类讨论 f (x) 的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
ex - e- x e2xg x -1 2【详解】记 x - x 2x 1- 2x 。因为e2 x 1 1，所以-1 < g x <1，所以e e e 1 e 1
-1- a < g x - a <1- a 。当0 a 1时，-1- a < -1,0 <1- a <1，所以0 f (x) < a 1，
取 x1 x2 L xn-2 0, xn-1 xn ，则对任意正整数 n ，总有 f x1 f x2 L f xn-1 f xn 成立，故舍.
当 a 1时，-1- a <1- a < 0，所以 a -1< f (x) < a 1
ì5(a -1) < a 1n 7 3要使正整数 的最大值为 6，则 í6(a 1) a 1，解得
a < ；
- 5 2
当-1 a < 0时，-1 < -1- a 0,1- a 1，所以0 f (x) <1- a
显然存在任意正整数 n ，使得 f x1 f x2 L f xn-1 f xn 成立；
当 a < -1时，0 < -1- a <1- a，所以-（a 1）< f (x) <1- a
ì-5(a 1) <1- a 3 7
要使正整数 n 的最大值为 6，则 í - < a -
-6(a 1) 1- a
，解得
2 5
7 3 3 7
综上， a的取值范围为 , ÷ - ,-
ù
。故选：C
5 2 è 2 5 ú
题型 07 对数反比例型
【解题规律·提分快招】
形如对数与反比例复合型，是奇函数：
y=log m-nx m+nx 1-x 1-kxa ，y=loga ，如：loga ，loga ，log
x-1
m+nx m-nx 1+x 1+kx a x+1
（1）、上下平移：
y=log t m-nx m-nx（a ） y=log +log t（是个不含x的常数）m+nx a m+nx a
（2）、左右平移：
y=log p-x x-pa ，或y=loga 左右平移，中心，可以通过定义域的中心值找m+x x+m
【典例 1-1】
f x log x 2 10 ù（23-24 x x 1天津市西青区·阶段练习）已知函数 2 ， g x a ×4 - 2 ，"x ,6 ，
è x - 2 ÷ 1 3 ú
a 0,1 ，有 f x1 g x 成立，则实数 x 的取值集合为（ ）
A． - , log 3 1 ù2 B． log2 3 1 ,
C． 0, log2 3 1 D． 0, log2 3 1
【答案】B
x 2
【分析】先利用对数型函数的单调性求出 f x log2 ÷ 的值域，令m 2x 0 ，根据值域关系建立不等
è x - 2
式求解m 1 3 ，解指数不等式即可求解.
x 2 4 10 ù
【详解】令 t 1 ，则该函数在 x
x - 2 x - 2
,6
3 ú
上单调递减，

又 y log t
x 2 10 ù
2 在定义域上单调递增，所以函数 f x log2 ÷ 在 x ,6 上单调递减，
è x - 2 3 ú
10 10
所以1 f 6 f x f 2 f x x ÷ ，即函数 在 ,6
ù
上的值域为 1,2 ，
è 3 3 ú
令m 2x y am2
10 ù
0 ，则 - 2m，因为"x1 ,6ú ， a 0,1 ，有 f x1 g x 成立， 3
所以 f x 值域为 g x 值域的子集，即 1,2 为函数 y am2 - 2m值域的子集，
当 a 0时， y -2m < 0，显然不满足题意；
1
当 a 0,1 时， y am2 - 2m的对称轴m 1，且开口向上，
a
所以 y am2 - 2m在 0, 上单调递增，且 y 0，
2 2m 2 2m
所以 a 0,1 ， am2 - 2m 2，即 a ，所以 2m2 m2 1，所以m - 2m - 2 0，
所以m 1 3 或m 1- 3 （与m 0矛盾舍去），所以 2x 1 3 ，
所以 x log2 3 1 ，即实数 x 的取值集合为 log2 3 1 , .
故选：B
【典例 1-2】
x - 2
（23-24 3高二下·天津河东·期末）若 f (x) (x a) ln 为偶函数，则 a （ ）
x 2
A．-1 B．0 C 1． 2 D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义求解即得。
【详解】函数 f (x)
x - 2 x - 2
(x3 a) ln 中， 0，解得 x < -2或 x 2，
x 2 x 2
由 f (x) (x3
x - 2
a) ln 为偶函数，得 f (x) - f (-x) 0 ，
x 2
(x3 a) ln x - 2 - (-x3 a) ln -x - 2即 0，
x 2 -x 2
(x3 a) ln x - 2整理得 - (x3 a) ln
x - 2 0 2a ln x - 2 0 ln x - 2- ，即 ，而 不恒为 0，
x 2 x 2 x 2 x 2
所以 a 0 .
故选：B
【变式 1-1】
x 2 10 ù
（24-25 x x 1天津市宝坻区阶段练习）已知函数 f x log2 ÷ , g x a ×4 - 2 ,"x1 ,6ú , a 0,1 ，有è x - 2 3
f x1 g x 成立，则实数 x 的取值集合为（ ）
A． - , log2 3 1 ù B． log2 3 1 ,
C． 0, log2 3 1 D． 0, log2 3 1 ù
【答案】B
x 2
【分析】先利用对数型函数的单调性求出 f x log2 的值域，令m 2x 0 ，根据值域关系建立不等
è x - 2 ÷
式求解m 1 3 ，解指数不等式即可求解.
x 2 4 10 ù
【详解】令 t 1 ，则该函数在 x ,6 上单调递减，
x - 2 x - 2 3 ú
又 y
x 2 10
log t ù2 在定义域上单调递增，所以函数 f x log2 ÷ 在 x ,6ú上单调递减，è x - 2 3
10 10
所以1 f 6 f x f ÷ 2
ù
，即函数 f x 在 x ,6ú上的值域为 1,2 ，è 3 3
令m 2x 0 ，则 a ×4x - 2x 1 am2 - 2m，令 y am2 - 2m， m 0 ，
x 10 ù因为" 1 ,6ú ， a 0,1 ，有 f x1 g x 成立， 3
所以 f x 值域为 g x 值域的子集，即 1,2 为函数 y am2 - 2m m 0 值域的子集，
当 a 0时， y -2m < 0，显然不满足题意；
当 a 0,1 1时， y am2 - 2m的对称轴m 1，且开口向上，
a
所以 y am2 - 2m在 0, 上单调递增，且 y 0，
所以 a 0,1 2 2m 2 2m， am2 - 2m 2，即 a 2 ，所以m m2 1，所以m
2 - 2m - 2 0，
所以m 1 3 或m 1- 3 （与m 0矛盾舍去），所以 2x 1 3 ，
所以 x log2 3 1 ，即实数 x 的取值集合为 log2 3 1 , .
故选：B
【变式 1-2】
kx -1
（23-24 天津市五区县重点中学 阶段练习）若 p : k 1，q :函数 f x ln 为奇函数，则 p 是 q的（ ）
x k
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将 k 值代入函数 f (x) ，根据奇函数的定义式 f (x) f (-x) 0是否成立来判断充分性；由奇函数的
定义式 f (x) f (-x) 0来构造方程求参数 k 的值，从而判断必要性.
【详解】因为 k 1，所以 f (x) ln
x -1
，所以 f (x) f (-x) ln
x -1
ln -x -1 ln1 0，
x 1 x 1 -x 1
所以此时 f (x) 是奇函数，所以 p 是 q 的充分条件.
f (x) f (x) f ( x) ln kx -1 ln -kx -1 ln kx -1 -kx -1若 是奇函数，则 - × 0 ln1，
x k -x k x k -x k
即-k 2x2 1 k 2 - x2，所以 k 2 1，即 k ±1。所以 p 是 q 的不必要条件.
综上得：p 是 q 的充分不必要条件.故选：A.
【变式 1-3】
2 x 2
（24-25 天津市宁河区 阶段练习）已知函数 f x ln ，设 a f 0.3 ，b f log2 0.3 2 x ，-
c f 2ln 2 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． a c b B． a b c C．b c a D． c b a
【答案】C
2 x 2
【分析】分析函数 f x ln 2 x 的奇偶性和单调性，确定0.3 , log2 0.3 ,2 ln 2的范围，即可比较各函数值-
的大小.
【详解】函数 f x
2 x 2 x
ln ，由 0得 x 2 x - 2 < 02 x 2 x ，故 x < 2 ，解得-2 < x < 2 .- -
∵ f -x
2 -x 2 x
ln ln f x ，∴ f x 为偶函数，故 f log2 0.3 f log 0.32 - -x 2 x 2 .-
当 x (0,2) 时， f x ln 2 x ln -2 x 4 ln 4 -1 ，
2 - x 2 - x è 2 - x ÷
4
∵ y 2 - x在 (0,2)上为减函数，且 2 - x 0，∴ y -1在 (0,2)上为增函数，
2 - x
∴ f x 在 (0,2)上为增函数，在 (-2,0) 上为减函数.
∵ 0.32 (0,1) log 0.3 log 0.3 log 10
3
log 22 3
3
， 2 - 2 2 2 ，3 2 2ln 2 ln 4 ln 16 < ln e
3 lne2 ，
∴ log2 0.3
3 , 2 , 2 ln 2 1, 3 ÷ ÷，∴ f log2 0.3 f 2ln 2 f 0.32 ，即b c a .故选：C.
è 2 è 2
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定自变量的取值范围，结合函数的奇偶性和单调性比较函数值
的大小.
题型 08 对数绝对值型
【解题规律·提分快招】
对数绝对值型函数
对于 f（x）=|loga x |， | loga x | =t 若有两个零点，则满足
1. 0 < x1 <1< x2
2. x1x2 =1
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
【典例 1-1】
ì-x2 6x - 7 x 3 ,
（2024 天津市经开区模拟）已知函数 f x í 若关于 x 的方程
log2 x 1 -1 < x < 3 ,
f x
2
ù mf x m 2 0有 6 个根，则m 的取值范围为（ ）
A． - , 2 - 2 3 B． -2,2 - 2 3 C． -2, D． -2,2 - 2 3
【答案】B
【分析】作出函数 f x 的图象,令 t f x ，则原方程可化为 t 2 mt m 2 0在 0,2 上有 2 个不相等的实
根，再数形结合得解.
【详解】
2
作出函数 f x 的图象如图所示．令 t f x ，则 f x ù mf x m 2 0可化为 t 2 mt m 2 0，要使
关于 x 的方程 f x
2
ù mf x m 2 0有 6 个根，数形结合知需方程 t 2 mt m 2 0在 0,2 上有 2 个不
ìm2 - 4 m 2 0,

0 m 2 < - < 2,相等的实根 t1 ， t2 ，不妨设0 < t1 < t2 < 2， g t t mt m 2，则 í 2 解得
g 0 m 2 0,

g 2 4 2m m 2 0
-2 < m < 2 - 2 3 ，故m 的取值范围为 (-2,2 - 2 3)，
故选 B．
【点睛】形如 y g f x ù 的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出 f x ，
g x 的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令 t f x ，先估计关于 t的方程 g t 0的解
的个数，再根据 f x 的图象特点，观察直线 y t 与 y f x 图象的交点个数，进而确定参数的范围．
【典例 1-2】
ì log2 x ,0 < x < 2

（2022 天津市实验中学模拟）已知函数 f x í
sin p x
，若存在实数x1， x2， x3 ， x4满足
, 2 x 10
è 4
÷

x -1 × x -1f x1 f x2 f x3 f x4 ，且 x1 < x2 < x

3 < x
3 4
4 ，则 的取值范围是x1 × x2
A． 9,21 B． 20,32 C． 8,24 D． 15,25
【答案】A
【详解】画出函数 f x 的图象，Q f x1 f x2 ,\-log2x1 log2x2 ， log2x1x2 0 ， x1x2 1 ，
f x3
x -1 x -1
f x4 ， x3 x4 12,2 < x3 < x 10 Q
3 4
4 < ， x3x4 - x3 x4 1 x3x4 -11x x ，由于1 2
x3 12 - x4 ，则 x 23x4 12 - x4 x4 -x4 12x4 - x4 - 6
2 36 ， x3x4 为 2,4 上单调增函数，因为
x -1 × x -1
2 < x4 < 4 ，则 20 < x3x4 < 32 ，有9 < x3x

4 -11 < 21
3 4
，所以由此可得： 的取值范围是x1 × x2
9,21 ，选 A.
【点睛】利用数学结合思想解函数题是高考必考解题的解题思想，先画出函数图象，结合题意根据 y log2x
p x x -1 × x -1
找出 x1, x2 的关系，再根据函数 y sin

÷找出 x3 , x
3 4
4 的范围和关系，最后求出 的取值范围，
è 4 x1 × x2
特别说明由 2 < x3 < x4 <10 ，及 x3 12 - x4 代入减元转化为二次函数求 x3x4 的范围.
【变式 1-1】
ì-x2 - 2x, x 0
2
（23-24 高三上·天津市塘沽新区八校联考）已知函数 f x í ， g x 2 f x ùlog x , x 0 - mf x 1， 1
2
若m 2 2,3 ，则 g x 零点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
2
【分析】画出函数 f x 的图象，令 t f x ，则求 g x 2t - mt 1在m 2 2,3 零点的个数，再令 g x 0
得m 2t
1 1
，即求 y m与 y 2t 的图象在m 2 2,3 交点的个数，求出 t的范围结合图象可得答案.t t
ì-x2 - 2x, x 0

【详解】函数 f x í 的图象如下，
log 1 x , x 0
2
令 t f x 2，则求 g x 2t - mt 1在m 2 2,3 零点的个数，
ìm2 -8 0

由m 2 2,3 m2得 8,9 m，所以 í 0 ，
4
1 0
即方程 2t 2 - mt 1 0有两个不相等正根，
2
令 g x 2t - mt 1 0 ，可得mt 2t 2 1， t 0不成立，
m 2t
2 1 1 1
所以 2t ，即求 y m与 y 2t 的图象在m 2 2,3 交点的个数，
t t t
ì
2 2 2t
1
<
m 2 2,3 2 2 2t 1 < < 3 t因为 ，所以 ，即t í ， 2t 1 < 3
t
1
解得 < t <1，且 t 2 ，可得 y m与 y 2t
1
的图象有 2 个交点，
2 2 t
1
当 < f x <1，且
2 f x
2
时，
2
y m与 y f x 有 8 个交点，则 g x 零点的个数为 8.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数 f x 的图象，令 t f x ，则求 g x 2t 2 - mt 1在
m 2 2,3 零点的个数.
【变式 1-2】
ì log -x , x < 0
（24-25 2天津市耀华中学滨城校区·阶段练习）已知函数 f x í ．若 x1, x2 , x3 , x4 是方程
2 x - 6x 2, x 0
f x t 的四个互不相等的解，则 x1 x2 x3 x4的取值范围是（ ）
A． 2,4 B． 2, 4 7 ,4ù 7 C． ú D． , 44 4 ÷è
【答案】D
2
【分析】根据函数图像可得 log2 -x t 、 x - 6x 2 t x 0 各有两解，从而可用 t表示四根之和，结合 t
的范围可求和的范围.
【详解】
f x 的图象如图所示，设 x1 < x2 < x3 < x4 ，
结合图像可得： x1 < -1 < x2 < 0 ，且 x3 x4 6，0 < t 2，
log -x -t t而 2 1 log2 -x2 t ，故 x2 -2 , x1 -2 ，
故 x1 x2 x3 x4 6
1
- 2t

÷ ,0 < t 2，
è 2t
t
设 s 2 1,4 ，而 y s 1 在 1,4 1 17为增函数， 2 < s
s s 4
7
故 x1 x2 x3 x4 < 4，4
故选：D.
【变式 1-3】
ì3x-1 , x 1 3a 1
（23-24 2高一上·天津武清·阶段练习） f x í F x f x - 2af x
ln x -1
，若 有 3 个不同
, x 1 2
的零点，则 a的取值范围为 .
, 1 【答案】 - - 3 ÷è
【分析】画出 f (x) 的函数草图，数形结合分析 t f (x) 的范围对应零点个数，且
F x g(t) t 2 3a 1- 2at ，讨论参数 a，结合二次函数性质及零点个数求范围.
2
【详解】由函数解析式可得如下图象草图，
令 t f (x) ，则 t 1， f (x) 有两个零点；0 < t 1， f (x) 有三个零点；
t 0， f (x) 有一个零点； t < 0， f (x) 有没有零点；
则F x g(t) t 2 2at 3a 1- D 4a2 - 2(3a 1) 0 a 3 17，若 可得2 1或 a
3 - 17
< 0，
4 4
a 3 - 17 3 17当 < 或 a 时D 0，即 g(t)有两个零点 t1, t2 且 t1 < t2 ，对称轴 t a，
4 4
要使 ( )有 3 个不同的零点，有如下情况：
ìg(0) 3a 1 < 0
t < 0 < t 1 a 3 - 17
2 1
1 2 ，则 < 且 í ，可得 a < - ；
4 g(1) 3 - a 0 3
2
t 3 17 3a 11 0 <1 < t2 ，则 a 且 g(0) 0，无解；
4 2
a 3 ± 17当 时D 0，即 g(t)有且仅有一个零点，对称轴 t a，
4
此时， t f (x) a ，即 ( )无零点或两个零点，不合题意；
3 - 17 a 3 17当 < < 时D < 0， ( )无零点，不合题意；
4 4
1
综上， ( )有 3 个不同的零点，则 a - , - .
è 3 ÷
1- ,- 故答案为： ÷
è 3
【点睛】关键点点睛：利用图象分析 t f (x) 的范围对应零点个数，再由 ( )零点个数及二次函数性质求参
数范围.
题型 09 对数无理型
【解题规律·提分快招】
对数与无理式复合是奇函数：k>0
y=log（a （kx）
2 +1 ± kx），如：y=log（a （x）
2 +1+x）
（kx）2 +1 kx，k>0，是增函数； （kx）2 +1 - kx，k>0，是减函数；
（1）、a>1时，log（a （kx）
2 +1 kx）是增函数（复合函数）
（2）、02 +1 kx）是减函数（复合函数）
变形：
y=log（a （kx）
2 +T ± kx） ，T>0 - - - - - -是上下平移，且对称中心在y轴上
【典例 1-1】
（2022 天津市武清区·阶段练习）已知函数 f (x) 2019x ln( x2 1 x) - 2019- x 1，则关于 x 的不等式
f (2x -1) f (2x) 2的解集为
1 1 1 1
A． (- , ) B． (- , ) C． ( , ) D． ( , )
4 2 4 2
【答案】C
【分析】由题意，可得到 f (x) f (-x) 2，且函数 f (x) 在 R 上递增，原不等式等价于
f (2x -1) 2 - f (2x) f (-2x)，根据函数单调性，即可求出结果.
【详解】因为 f (x) 2019x ln( x2 1 x) - 2019- x 1，
所以 f (-x) 2019- x ln( x2 1 - x) - 2019x 1，
因此 f (x) f (-x) ln(x2 1- x2 ) 2 2，
因此关于 x 的不等式 f (2x -1) f (2x) 2，可化为 f (2x -1) 2 - f (2x) f (-2x)；
又 y 2019x - 2019- x 单调递增， y ln( x2 1 x)单调递增，
所以 f (x) 2019x ln( x2 1 x) - 2019- x 1在 R 上递增；
1
所以有 2x -1 -2x，解得： x .
4
故选 C
【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记基本初等函数的单调性，会用基本初等函数单调性判
断复合函数单调性即可，属于常考题型.
【典例 1-2】
（23-24 2天津市宝坻区阶段练习）已知函数 f x x ln 4x 1 2x 2 .若"x R ，不等式
f 2x - a 4 - f 3x - 2a - a2 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
1 1ù 1ù 1
A． - , B． - , - , ÷ 3 3ú è 3 ú 3
1 1 1 1
C． - ,
ù ù
ú D． - ,- ú U ,

÷
2 2 è 2 2
【答案】A
【分析】令 g x f x - 2 x ln 4x2 1 2x ，分析函数 g x 的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为
g 2x - a g a2 - 3x - 2a 2，可得出 3x - 2a 2x - a a ，分 a 0、 a 0、 a < 0三种情况讨论，在第一
种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数 h x 3x - 2a 2x - a 的最小值，可得出关于
实数 a的不等式，综合可得出实数 a的取值范围.
【详解】令 g x f x - 2 x ln 4x2 1 2x ，
对任意的 x R ， 4x2 1 4x2 2 x -2x ，
故对任意的 x R ， 4x2 1 2x 0 ，故函数 g x 的定义域为R ，
2
因为 g -x g x -x ln 4x 1 - 2x x ln 4x2 1 2x
ln 4x2 1- 4x2 ln1 0，所以， g -x -g x ，函数 g x 为奇函数，
令u 4x2 1 2x ，则函数u 4x2 1 2x 在R 上为增函数，
函数 y ln u 2为增函数，所以，函数 g x x ln 4x 1 x 在R 上为增函数，
由 f 2x - a 4 - f 3x - 2a - a2 ，可得 g 2x - a 2 4 - g 3x - 2a - a2 2ù 2 - g 3x - 2a - a2 ，
g 2x - a -g 3x - 2a - a2 g a2所以， - 3x - 2a ，
2x - a a2所以， - 3x - 2a ，即 3x - 2a 2x - a a2，
令 h x 3x - 2a 2x - a ，
当 a 0时，则有 5x 0，显然成立；
ì
3a - 5x, x
a

2
h x a x, a x 2a当 a 0时，则 í - < < ，
2 3

5x - 3a, x
2a

3
a ù a 2a ù 2a
所以，函数 ( )在 - , 2 ú 、
, ú 上单调递减，在 , 上单调递增，è 2 3 3 ÷
2a ù 2a
又因为函数 ( )在R 上连续，所以，函数 ( )在 - , 3 ú 上单调递减，在
, ÷上单调递增，
è 3
所以， h x h 2a a 2 a 1 1min ，所以， a ，解得0≤ a≤ ，此时，0 < a ；è 3 ÷ 3 3 3 3
ì3a 5x, x 2a -
3
当 a < 0时，则 h x íx - a, 2a a< x < ，
3 2
a
5x - 3a, x 2
2a ù 2a a ù a
所以，函数 ( )在 - , 3 ú 上单调递减，在
, ú 、 , ÷上单调递增，è 3 2 2
2a ù 2a
又因为函数 ( )在R 上连续，所以，函数 ( )在 - , ú 上单调递减，在 , 3 ÷上单调递增，è 3
2a a
所以， h x h ÷ - a2
a 1
min ，所以， h x - ，解得- a < 0，è 3 3 min 3 3
综上所述，实数 a
1 1ù
的取值范围是 - , . 3 3 ú
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式
来求解，方法是：
（1）把不等式转化为 f g x ù f h x ù ；
（2）判断函数 f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ f ”脱掉，得到具体的不等式
（组），但要注意函数奇偶性的区别.
【变式 1-1】
x
（2024· a天津市静海区模拟）若函数 f x
a x
bln
1 x2 1 - x 3(a 0且 a 1,b为常数 ) 在 -c,0 （ c为
常数）上有最小值-5，则 f x 在 0,c 上（ ）
A．有最大值 12 B．有最大值 6
C．有最小值-5 D．有最小值-8
【答案】A
x
【分析】构造函数 g(x) a 1 x - bln x2 1 - x ，证明函数为奇函数，利用奇函数的性质可得最大值，a 1 2
由 f (x) g(x)
7
得解.
2
a x 1
【详解】设 g(x) x - bln x2 1 - x ，a 1 2
因为 x2 1 - x x - x 0 ，所以 g x 的定义域为R ，关于原点对称，
- x x
g( a 1-x) - x - bln x2 1 x 1 1 1 a 2x - - b ln x 1 - x - x - b ln x2 1 - x -g(x) ，a 1 2 a 1 2 2 a 1
7
即 g(x)为奇函数，且 f (x) g(x) ，
2
因为 f (x)
7 17
在 -c,0 上有最小值-5，所以 g(x)在 -c,0 上有最小值-5 - - ，
2 2
由奇函数的对称性知， g(x)在 0,c 17上有最大值 ，
2
所以 f (x) 在 0,c 17 7上有最大值 12，
2 2
故选：A
【变式 1-2】
（23-24 高三天津市宁河区段练习）已知函数 f x ln( x2 1 - x) 2023， a,b满足
f (2a) f (b - 4) 4046(a,b 4b a为正实数 ) ，则 的最小值为（ ）
a 2ab b2
65
A．1 B．2 C．4 D．
8
【答案】B
【分析】由已知构造函数 g(x) f x - 2023，探讨函数 g(x)的单调性、奇偶性，进而求得 2a b 4，再利
用基本不等式求解即得.
【详解】令 g(x) f x - 2023 ln( x2 1 - x)，由 x2 1 | x | x，得 g(x)定义域为R ，
g(-x) g(x) ln( x2 1 x) ln( x2 1 - x) ln1 0，即函数 g(x)是奇函数，
而 g(-x) - ln( x2 1 x)，
当 x 0 时，函数u x2 1 x 是增函数，又 y ln u 是增函数，于是函数 g(x)在[0, )上单调递减，
由奇函数的性质知，函数 g(x)在 (- ,0]上单调递减，
因此函数 g(x)在R 上单调递减，由 f (2a) f (b - 4) 4046，
得 f (2a) - 2023 f (b - 4) - 2023 0，即 g(2a) g(b - 4) 0，
所以 g(2a) -g(b - 4) g(4 - b) ，则 2a 4 - b ，即 2a b 4，又 a 0,b 0，
4b a 4b a 4b a 4b a
所以 2 2 ，
a 2ab b2 a b(2a b) a 4b a 4b
a 16 ,b 4 4b a当且仅当 时取等号，所以 2 的最小值为 2.9 9 a 2ab b
故选：B.
【变式 1-3】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知函数 f x x ln 4x2 1 2x 2．若"x R ，不等式
f 2x - a 4 - f 3x - 2a - a2 恒成立，则实数 a的取值范围是 ．
1 1ù
【答案】 - , 3 3ú
【分析】令 g x f x - 2 x ln 4x2 1 2x ，分析函数 g x 的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为
g 2x - a g a2 - 3x - 2a ，可得出 3x - 2a 2x - a a2，分 a 0、 a 0、 a < 0三种情况讨论，在第一
种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数 h x 3x - 2a 2x - a 的最小值，可得出关于
实数 a的不等式，综合可得出实数 a的取值范围.
【详解】设 g x f x - 2 x ln 4x2 1 2x ，对任意的 x R ， 4x2 1 4x2 2 x -2x ，
故对任意的 x R ， 4x2 1 2x 0 ，故函数 g x 的定义域为R ，
因为 g -x g x -x ln 4x2 1 - 2x x ln 4x2 1 2x ln 4x2 1- 4x2 ln1 0，
所以，g -x -g x ，函数 g x 为奇函数，令u 4x2 1 2x ，则函数u 4x2 1 2x 在R 上为增函数，
函数 y ln u 为增函数，所以，函数 g x x ln 4x2 1 x 在R 上为增函数，
由 f 2x - a 4 - f 3x - 2a - a2 ，可得 g 2x - a 2 4 - g 3x - 2a - a2 2ù 2 - g 3x - 2a - a2 ，
所以 g 2x - a -g 3x - 2a - a2 g a2 - 3x - 2a ，所以 2x - a a2 - 3x - 2a 2，即 3x - 2a 2x - a a ，
令 h x 3x - 2a 2x - a ，当 a 0时，则有 5x 0，显然成立；
ì3a a - 5x, x
2
a 2a a ù a 2a ù 2a
当 a 0时，则 h x ía - x, < x < ，所以，函数 ( )在 - , ú 、 , ú 上单调递减，在 , 上
2 3
÷
è 2 2 3 3

5x - 3a, x
2a

3
2a ù 2a
单调递增，又因为函数 ( )在R 上连续，所以，函数 ( )在 - , 3 ú 上单调递减，在
, ÷上单调递增，
è 3
所以， h x 2a a h a2 a 0 a 1 1min ÷ ，则 ，解得 ≤ ≤ ，此时，0 < a ；è 3 3 3 3 3
ì
3a 5x, x
2a
-
3
当 a < 0时，则 h x x a, 2a a í - < x < ，所以，函数 h x , 2a ù 2a a ù a 在 - 上单调递减，在 , 、 , 上
3 2
÷
è 3 ú 3 2 ú 2

5x - 3a, x
a

2
2a ù 2a
单调递增，又因为函数 h x 在R 上连续，所以，函数 h x 在 - , 3 ú 上单调递减，在 , 上单调递è 3 ÷
2a a 2
增，所以， h x h -min ÷ ，所以， a h x
a 1
-
min ，解得- a < 0，è 3 3 3 3
1
综上所述，实数 a的取值范围是 - ,
1ù 1 1ù
ú .故答案为： - , ú . 3 3 3 3
题型 10 一元三次型
【解题规律·提分快招】
一元三次函数性质：
所有的三次函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 y f x 的图像的对称中
心，
f x f x f x f x f x 0 x x0 , f0 x 设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 0 为函
f x ax3 bx2 cx d a 0
数 的“拐点”．
【典例 1-1】
（22-23 天津市和平区阶段练习）已知所有的三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)都有对称中心
( b , f ( b
1 2 3 4045
- - ))，若函数 f (x) -x3 3x2 ，则 f ÷ f ÷ f ××× f
（ ）
3a 3a è 2023 è 2023 è 2023 ÷ ÷
è 2023
A．8090 B．-8090
C．8092 D．-8092
【答案】A
【分析】按定义求得函数 y f (x) 的图象的对称中心，利用对称性化简求值即可.
b
【详解】 f (x) -x3 3x2 ，则 a -1,b 3,- 1, f 1 2，
3a
即函数 y f (x) 的图象的对称中心为 1,2 ，则 f x f 2 - x 4 ，
f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) L f (4044故 ) f (
4045)
2021 2021 2021 2021 2021
f ( 1 ) f (4045)ù 2 4044 ù 2022 2024 2023 ù


2023 2023 ú
f ( ) f ( ) 2023 2023 ú
L f ( ) f ( ) f ( ) 2023 2023 ú 2023
4 2022 2 8090 故选：A.
【典例 1-2】
3 2
（24-25 高三上·天津·期中）对于三次函数 f x a x bx cx d a 0 ，定义：设 ″( )是函数 = ( )的
函数 = ′( )的导数，若 ″( ) = 0有实数解 x0 ，则称点 x0，f x0 为函数 = ( )的“拐点”；此时 f x 的
3 2
图象关于“拐点”对称. 已知函数 f x x - 3x 2x - 2 的“拐点”为A ，则点A 坐标为 ， = ( )在点A
的切线为 = ( )，若存在 x 0, ，使不等式 ax g x 1ù lnx 0成立，则实数 a的取值范围是 .
1 ù
【答案】 1, -2 - ,
è 2e ú
【分析】由题意对已知函数进行二次求导，由 ″( ) = 0，解得 x 1，求出 (1)，即可得到“拐点” A 的坐标；
求出 ′(1)，由点斜式可得 g x -x -1，代入 ax g x 1 ù lnx 0，可得存在 x 0，
ln x
，a 2 成立， x
令 h x ln x 2 ，利用导数求出 h x a h x ax max ， max 即可得到实数 的取值范围.
3 2
【详解】由题意，由函数 f x x - 3x 2x - 2 2，得 f x 3x - 6x 2，
则 f x 6x - 6 ，由 f x 6x - 6 0 3，解得 x 1，又 f 1 1 - 3 12 2 1- 2 -2，
f x x3 2所以函数 - 3x 2x - 2 的“拐点” A 的坐标为 1, -2 ；
由 f x 3x2 - 6x 2，得 f 1 3 12 - 6 1 2 -1，所以 = ( )在点A 的切线方程为 y - -2 - x -1 ，
即 y=- x- 1，所以 g x -x -1，若存在 x 0, ，使不等式 ax g x 1 ù lnx 0成立，
即若存在 x 0, ，使不等式 ax -x -1 1 lnx 0 ln x成立，即 ax2 ln x 成立，即a 2 成立，x
1
令 h x ln x 1- 2ln x 2 ，则 h x 3 ，由 h x
1- 2ln x 1
3 0，得
2
x x x x e2
，当 x 0,e ÷ 时， ′( ) > 0，函数 ( )
è
1
单调递增，当 x e2 , ÷时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
è
1
1
ln e
2
h x 1 h
max e
2 ÷ 2 1所以 è 1 2e ，所以 a ，即存在 x 0， ，使不等式 ax g x 1 ù lnx 0成立，
e2 ÷ 2e
è
a - ,
1 ù
ú .故答案为： 1, -2

； - ,
1 ù
è 2e è 2e ú
.

【变式 1-1】
a 3 2 3a 2b 4c
（18-19 高三上·天津·阶段练习）已知三次函数 f (x) x bx cx d (a < b)在 R 上单调递增，则
3 b - a
的最小值为 .
【答案】22
【详解】 f ' x ax2 2bx c a.∵ f x x3 bx2三次函数 cx d (a < b) 在 R 上单调递增，
3
ì a 0
∴f′(x) 0 在 R 上恒成立(不恒等于 0)，∴ í a 0,b2 ac .
V 4b
2 - 4ac 0,，即
2
3a 2b 4b 2b 4b
2
2 3
∴ c… b 3a 2b 4c，∴ a
2
a a ，
a b - a b - a b -1
a
3 2b 4b
2
b a a2 3 2t 4t
2 4(t -1)2 10 t -1 9 9 9
令 t= >1,则 4 t -1 10 2 4 t -1 × 10 22 ,
a b -1 t -1 t -1 t -1 t -1
a
当且仅当 4 t 1 9 3 3a 2b 4c- 时,即 t 取等号．故 的最小值为：22.故答案为 22.
t -1 2 b - a
【变式 1-2】
1
（2019·天津河北·一模）设 = ( )为三次函数，且其图象关于原点对称，当 x 时， f x 的极小值为-1，
2
则
（1）函数的解析式 f x ；
（2）函数 f x 的单调递增区间为 ．
3 , 1 1 【答案】 （1） 4x - 3x （2） - - 2 ÷
和 , ÷
è è 2
【分析】（1）先利用待定系数法设出 f（x）的解析式，再根据奇偶性以及极值建立等式关系，求出参数即
可；
（2）利用导数研究函数的单调性，求出函数 f x 的单调递增
【详解】（1）设 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）
∵其图象关于原点对称，即 f（-x）=-f（x）
得-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d
∴b=d=0，
则有 f（x）=ax3+cx
由 f′（x）=3ax2
1
+c，依题意得 f（' ） 0
2专题 03 各类函数综合归类
目录
题型 01 对勾函数性质 .........................................................................................................................................................1
题型 02 对勾变异：双曲函数 .............................................................................................................................................2
题型 03 对勾扩展：指数型 .................................................................................................................................................4
题型 04 指数型双曲 .............................................................................................................................................................5
题型 05 反比例型 .................................................................................................................................................................6
题型 06 指数型反比例 .........................................................................................................................................................7
题型 07 对数反比例型 .........................................................................................................................................................8
题型 08 对数绝对值型 .........................................................................................................................................................9
题型 09 对数无理型 ...........................................................................................................................................................10
题型 10 一元三次型 ...........................................................................................................................................................12
题型 11 取整函数 ................................................................................................................................................................12
题型 12 max 与 min 函数 .................................................................................................................................................14
题型 13 局部周期函数 .......................................................................................................................................................15
题型 13 放大镜函数 ...........................................................................................................................................................16
优先选取 2024 各地模拟试题 ...........................................................................................................................................17
题型 01 对勾函数性质
【解题规律·提分快招】
b
对勾函数： y ax ，（a，b 0）图像特征
x
y ax b ，（a，b 0）
形如 x 称为对勾函数
1. 奇函数
2. 有“渐近线”：y=ax
ax b3.“拐点”：解方程
x （即第一象限均值不等式取等处）
【典例 1-1】
4
（24-25 x高三上·天津·期中）已知函数 f x x ，g x 2 a ，若 x1 2,3 ，"x2 2,3 ，使得 f x1 g x2 ，x
则实数 a的取值范围是( ).
, 11ùA． - - ú B． - ,0 è 3
1
C． - ,
ù
ú D． - , -4 è 3
【典例 1-2】
4
（23-24 高二下·天津·期末）已知 f x x ， g x x3 - 3x 8 - a ，若对"x1 1,3 ，总 xx 2 1,3 ，使
f x1 g x2 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
2, 21 5 ùA． B． , 21ú C． 1, 22 D． 11, 22 3
【变式 1-1】
ì x2 1
, x 1
（21-22 高三上·天津河西·阶段练习）设函数 f x í x 是单调函数．若 f x 的值域是R ，且方程
ax, x <1
f x ln x m 没有实根，则m 的取值范围是 ．
【变式 1-2】
2
（20-21 高二下·天津武清·阶段练习）已知函数 f x 2x ，若关于 x 的方程 f x a x 4 有 4 个互异的
x
实数根，则实数 a的取值范围是 .
【变式 1-3】
4
（2022 天津市南开中学统考）已知 a R ，函数 f x x - a a 在区间[1,4]上的最大值是 5，则 a 的取
x
值范围是
题型 02 对勾变异：双曲函数
【解题规律·提分快招】
双曲函数
y ax b b- （两支各自增），或者y - ax（两支各自减），（a，b 0）
x x
1.有“渐近线”：y=ax 与 y=-ax
b
2.“零点”：解方程 ax
x （即方程等 0处）
y ax b b- （两支各自增）， 或者y - ax（两支各自减），（a，b 0）
x x
【典例 1-1】
ì 2a -1 x 1, x < 2

（23-24 天津市滨海新区塘沽第一中学）已知函数 f x í 4 是R 上的单调增函数，则实数 a
x , x 2 x
的取值范围是（ ）
1 , 5 1 , 4ù 1 , 5 1 , 5 ùA． ÷ B． C． D．
è 2 4 è 2 5 ú 2 4 ÷ è 2 4ú
【典例 1-2】
1
（22-23 高一上·天津和平·期中）函数 y x 的单调递减区间为（
x ）
A． (0,1] B．[-1,1] C．[-1,0) (0,1] D．[-1,0)， (0,1]
【变式 1-1】
1
（21-22 高三上·天津河北·阶段练习）已知函数 f (x) x - ，若对任意 x [1, ), f (mx) f (m - x) < 0恒成立，
x
则实数 m 的取值范围是（ ）
1 5
A． - ,0 U

÷÷ 0,
1
÷ B． (- ,0) U
0, 1
2 2 ÷è è è 2
1 5 ,1- 5

U 0, 1
1- 5 1
C． -

÷÷ ÷ D． - ,2 2 2 2 ÷è ÷
U 0, ÷
è è è 2
【变式 1-2】
1
（24-25 高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 f x x - x 1 ，则下列说法中不正确的是（x ）
A． f x 为奇函数
B． f x 在其定义域内为增函数
C．曲线 y f x 上任意一点与 A -1,0 , B 1,0 两点连线的斜率之和为定值
D．曲线 y f x 的切线的斜率的最大值为 2
【变式 1-3】
ìxlnx, x 0,

（23-24 高三天津市南开中学模拟）已知函数 f x í1 若函数 g x f f x - af x 1有唯一零
- x, x < 0, x
点，则实数 a的取值范围是 .
题型 03 对勾扩展：指数型
【解题规律·提分快招】
指数型对勾，属于复合函数型，复合函数型单调性：同增异减
指数对勾型常见的基础函数图像：
【典例 1-1】
52x 4
（23-24 高一上·天津南开·期中）函数 f x lg 5x - 4÷的值域为（ ）è
A． 2lg2, B． 0, C． -1, D． - ,
【典例 1-2】
x2 ex e- x
（24-25 天津市武清区杨村第一中学月考）已知函数 f x 1- ，若对任意 x 1,2 ，有
2 2
f x2 f 1 mx 成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A． - ,0 B． -2,0
5 3 ù 3
C． - , ú D2 2 ．
,
2 ÷
【变式 1-1】
24-25 f x ex e- x（ 高三天津市静海区第一中学月考）已知函数 ，若 a log3 0.6，b 30.01， c log5 3，则
有（ ）
A． f a f b f c B． f b f c f a
C． f b f a f c D． f c f a f b
【变式 1-2】
（2023· x-2 2-x 2天津市河北区模拟）已知函数 f x e e 2x -8x 7 ,则不等式 f 2x 3 f x 2 的解集为
A． (
1 1
-1，- ) B． (- , -1) U (- , )
3 3
1 1
C． (- ，1) D． (- , - ) (1, )
3 3
（天津市宁河区模拟）已知函数 f (x) | ex
a
x |（ a R ）在区间 0,1 上单调递增，则实数 a的取值范围是e
A． (-1,1) B． (-1, ) C． -1,1 D． 0,
题型 04 指数型双曲
【解题规律·提分快招】
指数型双曲，属于复合函数型，复合函数型单调性：同增异减
指数双曲型两种常见的基础函数图像：
【典例 1-1】
（24-25 天津市宝坻区 阶段练习）已知函数 f (x) 4x - 4- x ，若函数 f (x) 在区间 m, n 上的值域为
k(4m -1),k(4
n -1) ù ，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 0, B． - , 2 U 2,
C． 1,2 2, D． 1,
【典例 1-2】
（24-25 x - x天津市西青区模拟）已知函数 f x 4 - 4 ，若函数 f x 在区间 m, n 上的值域为
k 4m -1 ,k 4n -1 ù ，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 0, B． - , 2 U 2,
C． 1,2 2, D． 1,
【变式 1-1】
ex - e- x
（23-24 高三上·天津和平·阶段练习）已知函数 f x ， x R ，若对任意 x m, m 1 ，都有
2
f 2m - x f m - x 0 成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A． 0, B． 0, C． 2, D． 2,
【变式 1-2】
23-24 x - x（ 天津市第二十中学·阶段练习）已知函数 f x e - e ，若不等式 f ax 1 f ln x < 0 在 0,
上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
2
A． - ,

÷ B． -1,
2
C． - ,- D． - ,-1
è e e ÷è
【变式 1-3】
x-1 1-x
（24-25 高三天津市滨海区阶段练习）设函数 f x e - e sin x -1 ，则关于 x 的不等式
f x2 - x - 2 f -2x 0 的解集为（ ）
A． -1,4 B． - , -1 4,
C． -2,1 D． - ,-2 1,
题型 05 反比例型
【解题规律·提分快招】
反比例复合分式型函数性质特征：
画函数图像方法
方法一：分离常数，左加右减上加下减
方法二：中心对称法，如下
ax - b
·形如： y= 。对称中心为P（x ，y ），其中
cx-d 0 0
（1）、cx0 - d=0；
ax
（2）、y0 cx
（3）、一、三或者二、四象限，通过x 0,1计算判断
【典例 1-1】
x
（22-23 天津市第二十中学·阶段练习）关于函数 f x x -1 ，给出以下四个命题：①当 x 0时， y f x
严格单调递减且没有最值；②方程 f x kx b k 0 一定有解；③如果方程 f x k 有解，则解的个数
一定是偶数；④ y f x 是偶函数且有最小值，其中真命题是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③ D．③④
【典例 1-2】
x a
（22-23 高三天津市和平区三模）已知函数 f x x a ，若关于 x 的方程 f f x 2恰有三个不相
x - a
等的实数解，则实数 a的取值集合为 .
【变式 1-1】
1
（2023·天津津南·模拟预测）已知 f (x) | - a | -x a，且 x (1, )，若函数 y f (x) 有三个不同的零点，
x -1
则实数 a 的取值范围是 ．
【变式 1-2】
ì
x 1
2 , x 0
（23-24 高三下·天津·阶段练习）函数 f x í1- x ，关于 x 的方程 f x kx 1有且只有 2 个解，
, x 0
1 x
则 k 的取值范围 ．
【变式 1-3】
x 2
（23-24 高一上·天津南开·期中）已知函数 f x , g x kx b2 x ，若集合M x f x g x 中恰有 3
个元素，且它们的和为 0，则实数 k 的取值集合是 ．
题型 06 指数型反比例
【解题规律·提分快招】
指数型“ 反比例函数” ：
x x x x
1. y= a +1 , y= a -1 , y=1- a 1+ax x x ，y=a -1 a +1 1+a 1- a x
2.以上几个类型都是奇函数
变化
指数型“ 反比例函数” ：
x x
y= a +t , y= a +t
x
, y= t - a y= t+a
x
1. ，
a x -1 a x +1 1+a x 1- a x
2.以上几个类型都是对称中心函数，对称中心在y轴上
怎么找中心？
1. 如果x=0有意义，直接（0，f（0））就是中心
x f（- 1）+f（1）2. 如果 =0无意义，则（0， ）是中心，即特殊值法
2
3. 单调性：（1）、分离常数推导；（2）、带两个特殊值（必须同号）
【典例 1-1】
x
（2014· e m天津市河东区模拟）已知函数 f x ，若对任意x 、x 、x R，总有 f x 、 f x 、 f x
ex 1 1 2 3 1 2 3
为某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是
1 ù 1 ù
A． ,1ú B． 0,1 C． 1,2 D2 ．
, 2
2 ú
【典例 1-2】
x
20-21 2 m（ 天津市津南区模拟）已知函数 f (x) x （0 x 1），函数 g(x) (m -1)x （1 x 2）.若任意的2 1
x1 0,1 ，存在 x2 1,2 ，使得 f x1 g x2 ，则实数m 的取值范围为（ ）
1, 5ù 2,3 2, 5 ù 5A． ú B． C． ú D． ,
5 ù
è 3 2 3 2 ú
【变式 1-1】
3x
（2021·天津市东丽区阶段练习）已知函数 f (x) ，设 xi （ i 1,2,3）为实数，且 x1 x2 xx 3 0 ．给出1 3
下列结论：
x × x × x 0 f (x ) f (x ) f (x ) 3①若 1 2 3 ，则 1 2 3 < ；2
②若 x1 × x × x < 0 f (x ) f (x ) f (x )
3
2 3 ，则 1 2 3 ．2
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
【变式 1-2】
x 1
（21-22 2e天津市北辰区阶段练习）已知函数 f x -1,1
ex
3
1 的图像与过点 的直线有 个不同的交点 1
x1, y1 ， x2, y 2 ， x3 , y3 ，则 x1 x2 x3 2 y1 y 22 y3 （ ）
A．8 B．10 C．13 D．18
【变式 1-3】
ex - e- x
（2023·天津市滨海新区阶段练习）已知函数 f x x - x - a ，存在实数 xe e 1, x2 ,L, xn 使得
f x1 f x2 L f xn-1 f xn 成立，若正整数 n 的最大值为 6，则 a的取值范围为（ ）
3 , 5 3 7 ùA． ÷ B． - , - 2 3 è 2 5 ú
7 , 3 3 , 7 - - ù 3 5 5 3 ùC． 5 2 ÷
D． , ÷ - ,-
è 2 5 ú 2 3 è 3 2 ú
题型 07 对数反比例型
【解题规律·提分快招】
形如对数与反比例复合型，是奇函数：
y=log m-nx y=log m+nx log 1-x 1-kx x-1a ， ，如： ，log ，logm+nx a m-nx a 1+x a 1+kx a x+1
（1）、上下平移：
y=log t m-nx（a ） y=log
m-nx +log t（是个不含x的常数）
m+nx a m+nx a
（2）、左右平移：
y=log p-xa ，或y=log
x-p
m+x a
左右平移，中心，可以通过定义域的中心值找
x+m
【典例 1-1】
（23-24 天津市西青区·阶段练习）已知函数 f x log x 2 g x a ×4x - 2x 12 ， ，"x
10 ù
x - 2 ÷ 1
,6ú ，è 3
a 0,1 ，有 f x1 g x 成立，则实数 x 的取值集合为（ ）
A． - , log2 3 1 ù B． log2 3 1 ,
C． 0, log2 3 1 D． 0, log2 3 1
【典例 1-2】
23-24 · · f (x) (x3
x - 2
（ 高二下 天津河东 期末）若 a) ln 为偶函数，则 a （ ）
x 2
A．-1 B 1．0 C． 2 D．1
【变式 1-1】
x 2 10 ù
（24-25 x x 1天津市宝坻区阶段练习）已知函数 f x log2 , g x a ×4 - 2 ,"x ,6 , a 0,1 ，有
è x - 2 ÷ 1 3 ú
f x1 g x 成立，则实数 x 的取值集合为（ ）
A． - , log2 3 1 ù B． log2 3 1 ,
C． 0, log2 3 1 D． 0, log2 3 1 ù
【变式 1-2】
（23-24 天津市五区县重点中学 阶段练习）若 p : k 1 q : f x ln kx -1， 函数 为奇函数，则 p 是 q的（ ）
x k
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 1-3】
2 x
（24-25 2天津市宁河区 阶段练习）已知函数 f x ln ，设 a f 0.3 ，b f log2 - x 2 0.3 ，
c f 2ln 2 ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A． a c b B． a b c C．b c a D． c b a
题型 08 对数绝对值型
【解题规律·提分快招】
对数绝对值型函数
对于 f（x）=|loga x |， | loga x | =t 若有两个零点，则满足
1. 0 < x1 <1< x2
2. x1x2 =1
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
【典例 1-1】
ì-x
2 6x - 7 x 3 ,
（2024 天津市经开区模拟）已知函数 f x í 若关于 x 的方程
log2 x 1 -1 < x < 3 ,
2
f x ù mf x m 2 0有 6 个根，则m 的取值范围为（ ）
A． - , 2 - 2 3 B． -2,2 - 2 3 C． -2, D． -2,2 - 2 3
【典例 1-2】
ì log2 x ,0 < x < 2

（2022 天津市实验中学模拟）已知函数 f x í p ，若存在实数x ， x ， x ， x 满足
sin x

÷ , 2 x 10
1 2 3 4
è 4
f x1 f x2 f x
x -1 × x
f x x x x < < < x 3 4 -1 3 4 ，且 1 2 3 4 ，则 的取值范围是x1 × x2
A． 9,21 B． 20,32 C． 8,24 D． 15,25
【变式 1-1】
ì-x2 - 2x, x 0
2
（23-24 高三上·天津市塘沽新区八校联考）已知函数 f x í ， g x 2 f x ù - mf x 1，
log 1 x , x 0
2
若m 2 2,3 ，则 g x 零点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式 1-2】
ì log -x , x < 0
（24-25 天津市耀华中学滨城校区· 2阶段练习）已知函数 f x í ．若 x1, x , x2 2 3 , x4 是方程 x - 6x 2, x 0
f x t 的四个互不相等的解，则 x1 x2 x3 x4的取值范围是（ ）
A 2,4 B 2, 4 C 7． ． ． ,4ù
7
ú D． , 4

è 4 4 ÷
【变式 1-3】
ì3x-1 , x 1 3a 1
（23-24 高一上·天津武清·阶段练习） f x í ，若F x f 2 x - 2af x 有 3 个不同
ln x -1 , x 1 2
的零点，则 a的取值范围为 .
题型 09 对数无理型
【解题规律·提分快招】
对数与无理式复合是奇函数：k>0
y=log（a （kx）
2 +1 kx），如：y=log（a （x）
2 +1+x）
（kx）2 +1 kx，k>0，是增函数； （kx）2 +1 - kx，k>0，是减函数；
（1）、a>1时，log（a （kx）
2 +1 kx）是增函数（复合函数）
（2）、02 +1 kx）是减函数（复合函数）
变形：
y=log（a （kx）
2 +T kx） ，T>0 - - - - - -是上下平移，且对称中心在y轴上
【典例 1-1】
（2022 天津市武清区·阶段练习）已知函数 f (x) 2019x ln( x2 1 x) - 2019- x 1，则关于 x 的不等式
f (2x -1) f (2x) 2的解集为
( 1 1 1 1A． - , ) B． (- , ) C． ( , ) D． ( , )
4 2 4 2
【典例 1-2】
2
（23-24 天津市宝坻区阶段练习）已知函数 f x x ln 4x 1 2x 2 .若"x R ，不等式
f 2x - a 4 - f 3x - 2a - a2 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
1- , 1ù 1ù 1 A． B． - , - , 3 3ú ÷ è 3 ú 3
1 1 ù
C． - ,

ú D． - ,
1
- ù U 1ú ,

2 2 ÷ è 2 2
【变式 1-1】
x
（2024· a天津市静海区模拟）若函数 f x x bln x2 1 - x 3(a 0且 a 1,b为常数 ) 在 -c,0 （ c为a 1
常数）上有最小值-5，则 f x 在 0,c 上（ ）
A．有最大值 12 B．有最大值 6
C．有最小值-5 D．有最小值-8
【变式 1-2】
（23-24 高三天津市宁河区段练习）已知函数 f x ln( x2 1 - x) 2023， a,b满足
f (2a) f (b - 4) 4046(a,b 4b a为正实数 ) ，则
a 2ab b2
的最小值为（ ）
65
A．1 B．2 C．4 D．
8
【变式 1-3】
（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知函数 f x x ln 4x2 1 2x 2．若"x R ，不等式
f 2x - a 4 - f 3x - 2a - a2 恒成立，则实数 a的取值范围是 ．
题型 10 一元三次型
【解题规律·提分快招】
一元三次函数性质：
3 2
所有的三次函数 f x ax bx cx d a 0 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 y f x 的图像的对称中
心，
f x f x f x f x f x 0 x x0 , f x设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 0 ，则称点 0 为函
f x ax3 bx2 cx d a 0
数 的“拐点”．
【典例 1-1】
（22-23 天津市和平区阶段练习）已知所有的三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)都有对称中心
b b 1 2 3 4045(- , f (- ))，若函数 f (x) -x3 3x2 ，则 f ÷ f2023 2023 ÷
f ÷ ××× f ÷ （2023 ）3a 3a è è è è 2023
A．8090 B．-8090
C．8092 D．-8092
【典例 1-2】
（24-25 3 2高三上·天津·期中）对于三次函数 f x a x bx cx d a 0 ，定义：设 ″( )是函数 = ( )的
函数 = ′( )的导数，若 ″( ) = 0有实数解 x0 ，则称点 x0，f x0 为函数 = ( )的“拐点”；此时 f x 的
“ ” . f x x3 - 3x2图象关于 拐点 对称 已知函数 2x - 2 的“拐点”为A ，则点A 坐标为 ， = ( )在点A
的切线为 = ( )，若存在 x 0, ，使不等式 ax g x 1 ù lnx 0成立，则实数 a的取值范围是 .
【变式 1-1】
f (x) a x3 bx2 cx d (a b) 3a 2b 4c（18-19 高三上·天津·阶段练习）已知三次函数 < 在 R 上单调递增，则
3 b - a
的最小值为 .
【变式 1-2】
1
（2019·天津河北·一模）设 = ( )为三次函数，且其图象关于原点对称，当 x 时， f x 的极小值为-1，
2
则
（1）函数的解析式 f x ；
（2）函数 f x 的单调递增区间为 ．
【变式 1-3】
（2022 3 2高三·天津·模拟）已知三次函数 f x 4x ax bx c a,b,c R 满足-1 f x 1 -1 x 1 .求 a、
b 、 c的所有可能取值.
题型 11 取整函数
【解题规律·提分快招】
高斯取整函数
y x , x
取整函数 表示不超过 x 的最大整数，又叫做“高斯函数”，
【典例 1-1】
（高三天津市和平区 一模）已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数， g(x) [x]为取整函数， x0 是函数
f (x) ln x x - 4 的零点，则 g x0 （ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【典例 1-2】
（24-25·天津市河北区 期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选 1 名代表，当各班人数除
以 10 的余数大于 5 时再增选 1 名代表.那么各班可推选的代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函
数 y [x]（[x]表示不大于 x 的最大整数）可以表示为（ ）
A． y [
x ] B． y [
x 4] x 5C． y [ ] D． y [
x 6]
10 10 10 10
【变式 1-1】
（24-25 高三·天津市东丽区·阶段练习）对"x R ， x 表示不超过 x 的最大整数.十八世纪， y x 被“数学
王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．"x x -2 x -1 ， x -2
B． x R， x x 1
C．函数 y x - x （ x R ）的取值集合为 y 0 y 1
D．若 t R 3 4 5 n，使得 t ù 1， t ù 2， t ù 3，…， t ù n - 2同时成立，则正整数 n 的最大值是 5
【变式 1-2】
（24-25 高三上·天津市津南区·期阶段练习）函数 f x x 在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中 x
表示不大于 x 的最大整数，如 1.5 1， -2.3 -3， 3 3， f x 与函数 g x x -1 的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数个
【变式 1-3】
（2024 高三下·天津市专题练习）函数 y x 是取整函数，也被称为高斯函数，其中 x 表示不超过 x 的最
大整数，例如： 3.9 3， -2.1 -3．若在 f x 的定义域内，均满足在区间 an , an 1 上，bn f x ù 是一
个常数，则称 bn 为 f x 的取整数列，称 an 为 f x 的区间数列，下列说法正确的是（ ）
A． f x log2 x x 1 的区间数列的通项 a 2nn
B． f x log2 x x 1 的取整数列的通项bn n
C． f x log2 33x x 1 的取整数列的通项bn n 5
D n n．若 f x log2 x 1 x < 2 ，则数列 bn an 1 - an 的前 n 项和 Sn n - 2 2 2
题型 12 MAX 与 MIN 函数
【解题规律·提分快招】
Max 与 min 函数，
对于这类函数，可以通过数形结合画图来观察研究。
【典例 1-1】
24-25 · · g x max 2x - 3 ,3- 2x2 h x max 2x 3 ,3- 2x2（ 高一上 天津 期中）若 ， ，
f x min g x , h x ，其中max x, y, z 表示 x ， y ， z 中的最大者，min x, y, z 表示 x ， y ， z 中的最
小者，下列说法不正确的是（ ）
A．函数 f x 为偶函数
B．当 x 1,3 时，有 f x x&
2 ù 2 ù
C．不等式 f f x ù 1的解集为 -1, - ú U ,1
2 2
ú

D．当 x -3, -2 2,3 时，有 f f x ù f x
【典例 1-2】
（24-25 高三上·天津市虹桥区·阶段练习）设min x, y 表示实数 x, y中的最小值，若函数
f x min 2x2 4x 2,2 2- x ，函数 g x f x ù - af x 1有六个不同的零点，则 a的取值范围是（ ）
A． 0, 2 5 B． 2, ÷ C． 2,4 D． 2,
è 2
【变式 1-1】
ì f x , f x g x
（2023·天津· 2一模）定义函数 min f x , g x í h x min x -1 -1 , x ax - 3a -8g x , f x g x ，设 ，
若 h x 0 含有 3 个不同的实数拫，则实数 a的取值范围是 ．
【变式 1-2】
2
（21-22 高一上·天津宁河·阶段练习）已知函数 f x x 1，g x ，用m x 表示 f x , g x 中的较小者，
x
记为m x min f x , g x ，则m x 的值域是 .
【变式 1-3】
（2023·天津北辰· x 2x x三模）设 a R ，对任意实数 x，记 f x min e - 2,e - ae a 24 ．若 f x 有三个零
点，则实数 a 的取值范围是 ．
题型 13 局部周期函数
【解题规律·提分快招】
局部周期：
ì 2x , (x 0
1、f（x）= í
f（x-1）, ( x 0)
局部周期：
ì 2x , (x 0
2、f（x）= í
f（x-1）+b, ( x 0)
【典例 1-1】
（2021·天津宝坻·模拟预测）已知函数 f x 满足 f x 1 f (x -1) 对任意 x R都成立，且
ì 3 1
log 1 x ÷ x 0,1
f x 2 è 4 4 í ，若方程 f x - k kx在区间 -1,5 上有 6 个根，则实数 k 的范围是（ ）
x - 2
- x 1,2 x -1
0, 2 2 , 2 2 , 2 1 2ùA． ÷ B． ÷ C． ÷ D． , 5 5 3 è 5 3 è 2 3ú
【典例 1-2】
ì 2
, x 0且x -2
（2019·天津·一模）已知函数 f (x) í x 2 若关于 x 的方程 f x kx 都有 4 个不同的根，则 k
f x -1 1, x 0
的取值范围是

A． 2,
5 2, 5 ù 7 5 7 5 ù÷ B． ú C． , D． , 2 è 2 4 2 ÷ è 4 2 ú
【变式 1-1】
ìa - x2 - 4x(x < 0)
（天津市九校联考· ）已知函数 f (x) í ，且函数 y f (x) - 2x 恰有三个不同的零点，则实
f (x - 2)(x 0)
数 a的取值范围是．
A．[-4, ) B．[-8, ) C．[-4,0] D．(0, + ∞)
【变式 1-2】
ì2x -1(0 x 1)
（天津市十二重点中学·模拟）已知函数 f (x) í 在定义域 0, 上单调递增，且对于任意
f (x -1) m(x 1)
a 0 n，方程 f (x) a有且只有一个实数解，则函数 g(x) f (x) - x 在区间 0, 2 ù (n N
*) 上的所有零点的和为
n(n 1) n 2
A B (2 1)． ． 22n-1 2n-1 C． D． 2n2 -12
【变式 1-3】
2x -1, x 0
（高三·天津南开·阶段练习）已知函数 f (x) { ，把函数 g(x) f (x) - x 的零点按照从小到
f (x -1) 1, x 0
大的顺序排成一个数列{an}，则该数列的通项公式为 ．
a n(n -1)A． *n (n N ) B． an n(n -1) (n N
*)
2
C a * n． *n n -1 (n N ) D． an 2 - 2 (n N )
题型 13 放大镜函数
【解题规律·提分快招】
放大镜”函数类周期性质
形如 f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有 0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【典例 1-1】
1- x -1 , x 0,2
（高三·天津南开·阶段练习）函数 f x {1 ，则下列命题中正确命题的个数是.f x - 2 , x 2,
2
①函数 y f x - ln x 1 有3个零点；
k 3
②若 x 0时，函数 f x 恒成立，则实数 k 的取值范围是 ,
x 2 ÷
；

③函数 f x 的极大值中一定存在最小值；
④ f x 2k· f x 2k k N ，对一切 x 0, 恒成立.
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【典例 1-2】
ì4 - 8x -12 ,1 x 2

（天津·二模）已知函数定义在 1, 上的函数 f x í1 x ，则下列说法中正确的个数是
f , x 2
2 è 2
÷

1
①关于 x 的方程 f x - n 0 ， n N 有 2n 4个不同的零点2
②对于实数 x 1, ，不等式 xf x 6恒成立
③在 1,6 上，方程6 f x - x 0有 5 个零点
④当 x 2n-1 , 2
n *
ù ， n N 时，函数 f x 的图象与 x 轴围成的面积为 4
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 1-1】
ì x2 -1
1, x [-2,0]
（天津市七校联考）已知函数 f (x) í x -1 ,若函数 g(x) f (x) - x - 2m 1在区间[－2，4]内

2 f (x - 2), x (0, )
有 3 个零点，则实数m 的取值范围是．
ì
A． ím |
1
- < m 1< ü ì 1 B． ím | -1< m
ü
2 2 2
ì
C． ím | -1< m
1
< 或m 1ü ì D． ím |
1
- < m 1< ü或m 1
2

2 2
【变式 1-2】
ì x -1 -1，x 2，
f x í
（2023
1
天津市第一中学模拟）已知函数 - f x - 2 ，x 2，若函数 g x x × f x - a (a -1) 的零 2
点个数为 2，则
2 8 2 8
A． < a < 或 a -1 B． < a <
3 7 3 7
7 3 7 3
C． < a < 或 a -1 D． < a <
8 2 8 2
【变式 1-3】
ì 1- x 1，x -2，0
（20-21 高三上·天津河西·阶段练习）已知函数 f x í f x x a
2 f x - 2 x 0
，若方程 在区间
， ，
-2，4 内有 3 个不相等的实根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a -2 < a < 0 B． a -2 < a < 0 或 a 1
C． a -2 < a < 0 或1 < a < 2 D． a -2 < a 0
优先选取 2024 各地模拟试题
1 x - x
3
．（2022·上海闵行·一模）设函数 f (x) 2 - 2 , x R p : a b…0| x | 1 ，对于实数a b，给出以下命题：命题 1 ；
p : a - b2命题 2 …0；命题 q : f (a) f (b)…0 .下列选项中正确的是（ ）
A． p1 p2 中仅 p1是 q的充分条件
B． p1 p2 中仅 p2是 q的充分条件
C． p1 p2 都不是 q的充分条件
D． p1 p2 都是 q的充分条件
2．（2023·天津·高考真题）已知函数 f x 的部分图象如下图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
5ex - 5e- x 5sin xA．
x2
B．
2 x2 1
C 5e
x 5e- x 5cos x
． D．
x2 2 x2 1
ì4 - 8x -12 ,1 x 2
3．（2018·天津·二模）已知函数定义在 1, 上的函数 f x í1 ，则下列说法中正确的个
f
x
÷ , x 2
2 è 2
数是
1
①关于 x 的方程 f x - n 0 ， n N 有 2n 4个不同的零点2
②对于实数 x 1, ，不等式 xf x 6恒成立
③在 1,6 上，方程6 f x - x 0有 5 个零点
④当 x 2
n-1, 2n ù ， n N * 时，函数 f x 的图象与 x 轴围成的面积为 4
A．0 B．1 C．2 D．3
f x 1 1 1
x
4．（2022·贵州·模拟预测）已知函数 3图像与函数 g x 2 2 图像的交点为 (x , y ) ，x x - 2 x - 4 2x-2 1 1 1
m
(x2 , y2 )，…， (xm , ym )，则 (xi yi ) （ ）
i 1
A．20 B．15 C．10 D．5
x
5．（22-23 2 -1高二下·北京密云·期末）已知函数 f x f x f xx ， 是 的导函数，则下列结论正确的是2 1
（ ）
A．"x R ， f -x f x B．"x R ， f x < 0
C．若0 < x1 < x2 ，则 x1 f x1 < x2 f x2 D．若0 < x1 < x2 ，则 f x1 f x2 < f x1 x2
x 1
6．（23-24 2高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线 l与曲线 y x 相交，交点依次为 A, B,C ，若2 1
AB BC 10 ，则直线 l的方程为（ ）
3
A． x - 3y 3 0 B． x - 3y - 3 0
C． x - 6y 6 0 D． x - 6y - 6 0
7．（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在 R 上的奇函数 f x 恒有 f x -1 f x 1 ，当 x 0,1 时，
f x 2
x -1 k 2 , 1 ，已知 - -
1
x ，则函数 g x f x - kx - 在 -1,6 上的零点个数为（ ）2 1 è 15 18 ÷ 3
A．4 个 B．5 个 C．3 个或 4 个 D．4 个或 5 个

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