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专题 04 嵌套函数与函数零点归类
目录
题型 01 复合一元二次：可因式分解型 ............................................................................................................................1
题型 02 复合一元二次：根的分布型 ................................................................................................................................4
题型 03 嵌套函数：无参型 ................................................................................................................................................9
题型 04 嵌套函数：解析式含参型--3 单 2 空.................................................................................................................13
题型 05 嵌套函数：零点方程含参--1 单 4 空.................................................................................................................16
题型 06 嵌套函数：综合型 5 单 ...............................................................................................................................20
题型 07 零点：分参水平线型 ..........................................................................................................................................24
题型 08 零点：切线分界法 ..............................................................................................................................................27
题型 09 零点：分段含参讨论型 ......................................................................................................................................30
题型 10 零点：局部小周期型 ..........................................................................................................................................34
题型 11 零点：放大镜类周期型 ......................................................................................................................................38
题型 12 零点：高斯取整型 ..............................................................................................................................................41
题型 13 零点：超难压轴小题 ..........................................................................................................................................44
题型 01 复合一元二次：可因式分解型
【解题规律·提分快招】
2
形如 a f x bf x c 0 a[ f x m][ f x n] 0一元二次型可以因式分解，可以通过换元法
f x t ，转化为“水平线” t1 m, t2 n 求交点。
【典例 1-1】
ìx2ex , x <1
2
（24-25 高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 f x í ex ，函数 f x , x 1
4af x 0 a R 有两个
x2
不等实根，则 a的取值范围是（ ）
1 e2 1 e2
A． 2 , ÷ B． 2 , U
e ,
è e 16 è e 16
÷
è 2
÷

e , 1 e
2 e
C．

2 ÷
D．
è e2
,
16 ÷
U , ÷
è è 4
【答案】D
【分析】利用导数研究 f (x) 的性质并画出其草图，结合题设得 f (x) 4a仅有一个实根，数形结合求参数范
围.
【详解】令 g(x) x2ex 且 x <1，求导得 g (x) xex (x 2)，
x ( , 2) 2 ( 2,0) 0 ( 0, 1)
g (x) 0 0
g(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
且 g( 2) 4e 2， g(0) 0， x 趋向于 1 则 g(x)趋向于 e，且 x < 0 有 g(x) 0 ，
x x
h(x) e x 1 h (x) e (x 2)令 2 且 ，求导得 ，x x3
x (1, 2) 2 (2, )
h (x) 0
h(x) 递减 极小值 递增
e2
且 h(1) e， h(2) ，综上， f (x) 的图象如下，
4
由 f x
2
4af x 0 ，可得 f (x) 0 或 f (x) 4a，
又方程有两个不同的实根，且 f (x) 0 有一个根，则 f (x) 4a也仅有一个实根，
e2 2
由图知： 4a (4e 2 , ) U (e, ) e e，则 a (e 2 , ) U ( , ) .故选：D
4 16 4
【典例 1-2】
ex 2
（2024·天津市河北区期中）已知函数 f x ，若函数 g x f x af x e2x ae恰有 5 个不同的零
点，则实数 a的取值范围是（ ）
2 1A ． , 2e B． , e C． , ÷ D． , e ÷è è e
【答案】A
【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出
函数的简图，将函数 g x 分解因式，根据零点定义，结合图象，确定 f (x) e有两个根，转化为 f (x) e a
有 3 个零点，由图即得参数范围.
ex x x
【详解】函数 f x x 的定义域为{x | x 0}，若 x 0时，由 f x
e (x 1)e
求导得， f x ，
x x2
故当0 < x <1时， ′( ) < 0，当 x 1时， ′( ) > 0，
x
所以 f x e 在( 0, 1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，且 f (x) f (1) e
x 极小值
，
ex (1 x)ex
当 x 0 时， f (x) ，当 x 时， f (x) ；若 x < 0 时，由 f x 求导得， f x ，
x x2
x
因 x < 0 e，故恒有 ′( ) > 0，即 f x 在 ( ,0)上单调递增，且当 x 时， f (x) 0 ，当 x 0 时，
x
ex
f (x) ，即 x < 0 时，恒有 f (x) 0 .作出函数 f x x 的大致图象如图所示.
又由 g x f x 2 af x e2 ae=[f (x) e][f (x) e a]=0可得 f (x) e或 f (x) e a ，
2
由图知 f (x) e有两个根，此时 g x 有 2 个零点；要使函数 g x f x af x e2 ae 恰有 5 个不同的
零点，需使 f (x) e a 有 3 个零点，由图知，需使 f (x) e，即 e a e，解得 a < 2e .
综上所述，实数 a的取值范围是 , 2e .故选：A.
【变式 1-1】
ì 4x 1 , x 1f x 2（2024 天津市五区县重点联考）已知函数 í ，若方程 2 f x a 2 f x a 0
2 x 6x 8, x 1
有 7 个不同的实根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0, 2 B． 0, 2 C． 1,1 D． 1,2
【答案】A
【分析】作出函数 f x a的大致图象，由已知得 f x 1或 f x ， f x 1 f x a有 3 个解，则 有 4
2 2
a
个解，数形结合可得0 < <1，可求得实数 a的取值范围．
2
ì 4x 1 , x 1
【详解】作出函数 f x í 的大致图象，如图所示．
x2 6x 8, x 1
由 2[ f x ]2 (a 2) f (x) a 0，得[ f x 1][ f (x) a ] 0，得 f x 1或 f x a ．
2 2
由图象可知直线 y 1与 f x 的图象有 3 个公共点，所以方程 f x 1有 3 个不同的实根，
因为方程 2[ f x ]2 (a 2) f (x) a 0 a有 7 个不同的实根，所以直线 y 与 f x 的图象有 4 个公共点，
2
0 a故 < <1，故0 < a < 2 ，则实数 a的取值范围是(0,2)．故选：A.
2
【变式 1-2】
ì5 2 x 2 ,
x 0
（21-22 2高一上·天津·期末）已知函数 f x í2x 3 ，若函数 g x f x m 2 f x 2m有 9
, (x < 0) x 1
个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）
A． 1,2 3,4 B． 1,2 3,4 C． 2,3 4 D． 2,3 U 4,
【答案】B
【分析】令 ( ) = 0，则 f x m 或 f x ±2 ，先作出函数 f x 的图象，即可得出方程 f x 2 和方程
f x 2实根的个数，进而可得出方程 f x m 实根的个数，再结合函数 y f x 的图象即可得解.
2
【详解】因为函数 g x f x m 2 f x 2m有 9 个不同的零点，
2
所以方程 ( ) = 0有 9 个不同的实根， g x f x m 2 f x 2m f x m f x 2 ，
ì5 2 x 2 , x 0

令 ( ) = 0，则 f x m 或 f x ±2 ， f x í2x 3 1 ，如图，作出函数 f x 的图象，
2 , (x < 0) x 1 x 1
由图可知，方程 f x 2 有 2个不同的实根，
方程 f x 2有 2个不同的实根，因为所以方程 f x m 有5个不同的实根，如图，作出函数 y f x 的
图象，由图可知m 1,2 3, 4 .故选：B.
【变式 1-3】
ì x2 4x 2, x 0,
（23-24 天津市蓟州区下营中学）已知函数 f x í 若函数 g x 3 f 2 x m 3 f x m
ln x , x 0,
有 5 个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A． , 2 B． , 6
C． 6 U , 6 D． , 6 6,
【答案】B
m
【分析】根据解析式画出 f x 草图，将问题化为 y f x 的图象与直线 y 1， y 共有 5 个交点，数形
3
结合有 y f x m的图象与直线 y 有 1 个交点，即可求参数范围.
3
【详解】作出函数 f x 的图象如图所示， 函数
g x 3 f 2 x m 3 f x m ，且 g x 有 5 个零点，等价于 3 f x m f x 1 0有 5 个解，即 f x 1
或 f x m m 共有 5 个解，等价于 y f x 的图象与直线 y 1， y 共有 5 个交点.
3 3
由图得 y f x 的图象与直线 y 1在 4个交点，所以 y f x m m的图象与直线 y 有 1个交点，则直线 y
3 3
m
应位于直线 y 2下方，所以 < 2，解得m < 6，即实数m 的取值范围是 , 6 .故选：B
3
题型 02 复合一元二次：根的分布型
【解题规律·提分快招】
根的分布
1.基础分布：0 分布
特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。
方法：判别式+韦达定理
2．区间分布与 K 分布
特征：（1）、根比某个常数 K 大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）
方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手
（1）开口方向；
（2）判别式；
（3）对称轴位置；
（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
如果是“0”分布，可以用韦达定理
【典例 1-1】
ì x 2 2 1 , x 0
（23-24 高三上·天津·期中）已知函数 f x í ，若关于 x 的方程 f (x) 2 mf (x) 2 0恰有 6
log2 x , x 0
个不同的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
, 11A．
3, 2 2 11B．( , 2 2

è 3 ÷

3 ÷
, 11 ( 11C． ÷ , 2 2

÷ D． 3, 2 2 è 3 3
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当 t取不同值时， f x t 的交点个数，
即可结合二次函数零点的分布求解.
ì 2x 2 1 , x 0
【详解】根据 f x í ，作出 f x 的大致图象如下：由图可知：当 f x 0时，此时由两个
log2x , x 0
根，分别为 2,1，当0 < t <1时，此时 f x t 有 4 个交点，当1 t 3时，此时 f x t 有 3 个交点，
当 t 3时，此时 f x t 有 2 个交点，
2
故要使得 f (x) mf (x) 2 0由 6 个不同的零点，则令 f x t ， t 2 mt 2 0 有 6 个不同的实数根，
f x 0 2显然不是 f (x) mf (x) 2 0 2的根，设 g t t mt 2 的两个零点分别为 t1, t2 ，且 t1 t2 ，
故当0 < t1 <1, t2 3时，此时 f x t1有 4 个交点， f x t2 有 2 个交点，满足题意，
ìg 0 2 0

故需要满足 íg 1 3 m < 0 ，解得m 11< ，
3
g 3 11 3m < 0
当1 t1 < t2 3时，此时 f x t1有 3 个交点， f x t2 有 3 个交点，满足题意，
ì1 m < < 3
2 2
故需要满足 íΔ m 8 0
11
，解得 3 m < 2 2 ，综上可得 3 m < 2 2 或m <
g 1 3 m 0 3

g 3 11 3m 0
故选：A
【典例 1-2】
ì x 3, x 3（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 f x í ，若函数
x
2 6x 9, x 3
g x f
2
x af x 2有 6 个零点，则 a的值可能为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】C
2
【分析】由函数单调性可得 f x 大致图象，后令 f x t ，则由 g x t at 2 0结合图象可知，方程两
根满足 t1, t2 3,0 ，即可得答案.
【详解】由题可得， f 3 f 3 0， f x 在 ,0 , 3, 上单调递减，在 0,3 上单调递增，则据此可
作出函数 f x 大致图象如图所示，
令 f x t ，则由题意可得 t 2 at 2 0有 2 个不同的实数解 t1 ， t2 ，且 t1, t2 3,0 ，
ìΔ a2 8 0

6 < t1 t2 a < 0 11
则 í < a < 2 2t t 2 0 ，观察选项可知，
a 3满足题意.
1 2 3
t1 3 t2 3 11 3a 0
故选：C．
【变式 1-1】
ì x2 2x, x 0
2
（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 f x í ， g x 2 f x mf x 1，若
log 1 x , x 0

2
m 2 2,3 ，则 g x 零点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
2
【分析】画出函数 f x 的图象，令 t f x ，则求 g x 2t mt 1在m 2 2,3 零点的个数，再令 g x 0
1
得m 2t ，即求 y m与 y 2t
1
的图象在m 2 2,3 交点的个数，求出 t的范围结合图象可得答案.t t
ì x2 2x, x 0
【详解】函数 f x í 的图象如下，
log 1 x , x 0
2
令 t f x 2，则求 g x 2t mt 1在m 2 2,3 零点的个数，
ìm2 8 0

由m 2 2,3 m2得 8,9 m，所以 í 0 ，
4
1 0
即方程 2t 2 mt 1 0有两个不相等正根，
2
令 g x 2t mt 1 0 ，可得mt 2t 2 1， t 0不成立，
2t 2 1 1
所以m 2t 1 ，即求 y m与 y 2t 的图象在m 2 2,3 交点的个数，
t t t

ì
2 2 < 2t
1

因为m 2 2,3 1 t，所以 2 2 < 2t < 3，即t í 2t 1
，
< 3
t
1 1
解得 < t <1 2，且 ，可得 y m与 y 2t 的图象有 2 个交点，
2 t 2 t
1 2
当 < f x <1，且
2 f x 时，2
y m与 y f x 有 8 个交点，则 g x 零点的个数为 8.
故选：D.
2
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数 f x 的图象，令 t f x ，则求 g x 2t mt 1在
m 2 2,3 零点的个数.
【变式 1-2】
ì2x 1 1, x 2
（22-23 高一上·湖北黄冈·期末）已知函数 f x í 若关于
x 的方程
log2 x 2 , x 2
f 2 x a 8 f x a 0有6 个不同的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）
4, 15 15 A 7 ．
è 4 ú
B． ê ,0÷ C． 4,0 D． 4, 4 è 2 ÷
【答案】A
【分析】令 t f x 2，作出函数 t f x 的图象，分析可知关于 t的方程 t a 8 t a 0在 1,3 内有两个
2
不等的实根，令 g t t a 8 t a ，利用二次函数的零点分布可得出关于 a的不等式组，解之即可.
【详解】令 t f x ，作出函数 t f x 的图象如下图所示：
2
因为关于 x 的方程 f x a 8 f x a 0有6 个不同的实数根，
2
则关于 t的方程 t a 8 t a 0在 1,3 内有两个不等的实根，
g t t 2 a 8 t a g t t 2设 ，则函数 a 8 t a 在 1,3 内有两个不等的零点，
ìΔ a 8 2 4a 0

1 a 8 < < 3
所以， í 2 ，解得 4
15
< a .
g 1 4 2a 7 0
g 3 4a 15 0
故选：A.
【变式 1-3】
ì x
，x 1 2（22-23 高三上·天津东丽·期末）已知函数 f x í elnx ，若方程 f x 4a 2 f x 1 0的
x3 3x 4，x 1
图像恰有 5 个不同实根，则实数 a的取值范围是（ ）
9 49
A． ê ， ÷ B． 1， 8 è 24 ÷
1 9 9 49 C． ，
è 8 ú
D． ， ÷
ê8 24
【答案】D
ì x
, x 1
【分析】利用导数分段画出函数 f x íe ln x 的大致图像，
x
3 3x 4, x 1
2
方程 f x 4a 2 f x 1 0有 5 个不同的根，
2
然后采用换元法将问题变为讨论 t 4a 2 t 1 0在给定区间上有解的问题.
x lnx 1
【详解】当 x 1 时， f (x) ， f (x) 2 ，elnx eln x
当1 < x < e 时， f (x) < 0，当 x e时， f (x) 0，
故 x e时， f (x)min f (e) 1 ；
当 x 1时， f (x) x3 3x 4, f (x) 3x2 3 ，当 x < 1时, f (x) 0 , 当 1 < x <1时， f (x) < 0
当 x= 1时， f (x) 有极大值 f ( 1) 6，当 x 1时， f (1) 2，
ì x
作出 f x
, x 1
íelnx 的大致图像如图：
3
x 3x 4, x 1
方程 f x
2
4a 2 f x 1 0有 5 个不同的根，
令 f (x) t 2，根据其图像，讨论 t 4a 2 t 1 0(*) 2有解情况如下：令 g(t) t 4a 2 t 1 ,
ìg(1) 4 4a < 0
(1)当 (*) 在 ( ,1)和[2,6)
9 49
上各有一个解时，合题意即 íg(2) 9 8a 0 ，解得 a < ，
8 24
g(6) 49 24a 0
ì f (1) 4 4a 0

（2）当 (*)在 (1, 2)和 (6, ) 上各有一个解时， í f (2) 9 8a < 0 ，解得 a ，

f (6) 49 24a < 0
(*) a 49 1（3）当 有一个根为 6 时，解得 ，此时另一个根为 ，不合题意；
24 6
（4）当 (*)有一个根为 1 时，解得 a 1，此时另一个根也为 1，不合题意，
9 49
综上可知： a < ，故选：D .
8 24
题型 03 嵌套函数：无参型
【解题规律·提分快招】
嵌套函数基础方法理解
1、可换元
2、可通过换元构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义。
【典例 1-1】
ì| 2x 1 |, x < 2

（高二下·河北保定·期末）若函数 f (x) í 3 ，则函数 g x f, x 2
f x 2的零点个数为（ ）
x 1
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】 g x f f x 2的零点即方程 f f x 2的根，设 t f (x) ，则 f (t) 2，先解方程 f (t) 2
的根 t，再根据图像数形结合 t f (x) 的解的个数即可.
ì| 2x 1 |, x < 2
【详解】函数 f (x)

í 3 ， g x f f x 2的零点即 f f x 2的根，
, x 2 x 1
设 t f (x) ，则 f (t) 2，先解方程 f (t) 2的根 t，再计算 t f (x) 的解.
t < 2时 | 2t 1| 2得 t log2 3 t
3
； 2时 2
5
得 t .
t 1 2
ì| 2x 1 |, x < 2

如图所示，函数 f (x) í 3 的图像，
, x 2 x 1
方程 f (x) log2 3 1,3
5
和方程 f (x) 1,3 各有两个解，即方程 f f x 2共有 4 个解，故2
g x f f x 2的零点有 4 个.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.
【典例 1-2】
ì x 1 , x < 0,
（高三上·湖北·阶段练习）已知函数 f (x) í ， g(x) x2 4x 1 4l ，若关于 x 的方程 f [g(x)] l
lg x, x 0
有 6 个不相等的实数解，则实数l 的取值范围是
A． (0,
2) 2 1 1 2B． (0,
2) C． ( , ) D． ( , )
5 3 5 2 2 3
【答案】A
【详解】
令 g(x)=t,则方程 f(t)=λ 的解有 3 个，由图象可得，0<λ<1.
l
且三个解分别为 t1 1 l, t2 1 l, t3 10 ，
则 x2 4x 1 4l 1 l, x2 4x 1 4l 1 l ，
x2 4x 1 4l 10l ，均有两个不相等的实根，
则△1>0,且△2>0,且△3>0，
2
即 16 4(2+5λ)>0 且 16 4(2+3λ)>0,解得0 < l < ，
5
2
当 0<λ< 时,△3=16 4(1+4λ 10l )>0 即 3 4λ+10l >0 恒成立，5
2
故 λ 的取值范围为(0, ).
5
故选 A.
【点睛】：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于
一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的
分布的有关知识．
【变式 1-1】
ì x 4 , x 0
（24-25 高三上· 2天津和平·阶段练习）已知函数 f x í x , g x x ax b ，若方程 g f x 0
log2 x , x < 0
有且仅有 5 个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（ ）
A． 64 B． 128 C．4 D．8
【答案】B
【分析】画出 f x 的图象，令 f x t ，根据函数图象可得 g t 0有两个不等实根 t1, t2 t1 < t2 ，且 f x t1
有两个整数根， f x t2 有三个整数根，数形结合得到 t1 4，此时两个整数根分别为 2 和-16，数形结合
f x t2 三个整数根中，必有一个小于 2，只有 x 1满足要求，故 t2 5，求出五个整数根分别为
32, 16,1, 2, 4，得到答案.
ìx 4 , x 0
【详解】画出 f x í x 的图象，如下：
log2 x , x < 0
令 f x t 2，则 g t t at b 0 ，
根据 f x 的图象可知，要满足题意必须 g t 0有两个不等实根 t1, t2 t1 < t2 ，
且 f x t1 有两个整数根， f x t2 有三个整数根，
结合图象，当 y t
4
1与 y x 相切时满足要求，x
根据对勾函数性质得， y x
4
在(0,2)上单调递减，在 2, 上单调递增，
x
4 4
故当 x 2时， y x 取得最小值，最小值为 y 2 4，故 t1 4，x 2
又 y log2 x log2 x , x < 0，其在定义域内单调递减，
令 log2 x 4，解得 x 16，
故 f x t1 4时，有两个整数根，分别为 2 和-16，
由图象可知， f x t2 三个整数根中，必有一个小于 2，
显然只有 x 1满足要求，此时 f 1 1 4 5，故 t2 5，
令 x
4
5
x ，解得另一个根为
4，
又 log2 x 5，解得 x 32，
故五个整数根分别为 32, 16,1, 2,4，
所以最大整数解和最小整数解之积为 32 4 128 .
故选：B
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层
函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，
即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
【变式 1-2】
ìa a < b
（24-25 高一上·重庆·阶段练习）定义min a,b í f x min ì x 1 ,
1 x 1ü
b a b ，设 í ，则方程 2
f f t
1
0 的实根个数为（ ）2
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
ì1
x 1, x 0
2
【分析】根据题意，易得 f x í x 1 ,0 < x < 4，进而分 a 0或 a 4，0 < a < 4 两种情况讨论求解即可.

1 x 1, x 4
2
【详解】令 x 1
1 1
< x 1，解得0 < x < 4，令 x 1 x 1，解得 x 0 或 x 4 .
2 2
ì1
x 1, x 0
ì 1
2
ü 1 1
由题意得， f x min í x 1 , x 1 í x 1 ,0 < x < 4，由 f f t 0 ，即 f f t ，
2 2 2
1 x 1, x 4
2
1
令 f t a ，则 f a .
2
1 1
①当 a 0或 a 4时， f a a 1 ，解得 a 1，
2 2
此时 f t 1 1，若 t 0或 t 4，则 f t t 1 1，解得 t 4；
2
若0 < t < 4，则 f t t 1 1，无解.
1 1 3
②当0 < a < 4 时， f a a 1 ，解得 a 或 a ，
2 2 2
a 1当 时， f t 1 ，
2 2
1 1
若 t 0或 t 4，则 f t t 1 ，解得 t 1；
2 2
1 1
若0 < t < 4，则 f t t 1 t t 3，解得 或 ；
2 2 2
3 3
当 a 时， f t ，
2 2
1 3
若 t 0或 t 4，则 f t t 1 ，解得 t 1（舍去）；
2 2
若0 < t < 4，则 f t t 1 3 5 ，解得 t 或 t 1 （舍去）.
2 2 2
1 3
综上所述， t 4或 t 1或 t 或 t 或 t
5
.
2 2 2
故选：C.
【变式 1-3】
ìx
2 2x 1, x 0
（23-24 高三上·湖北·开学考试）设函数 f x í ，则函数 y f f x 1 1的零点个数为
lnx, x 0
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】设 t f x 1，先解出 f t 1 0 时 t的值，然后再根据 = ( )的图象，判断 f x t 1时， x 的
个数.
【详解】函数 y f f x 1 1的零点个数与方程 f f x 1 1 0的解的个数相等，
令 t f x 1，则 f t 1 0 ，
ì t f x 1
所以函数 y f f x 1 1的零点个数与方程组 í
f t 1 0
的解的个数相同，
ìx
2 2x 1, x 0
因为 f x í ， 由 f t 1 0 ，可得当 t 0时，t 2 2t 1 1，当 t 0时，ln t 1，解得 t 2
lnx, x 0
或0 或 e，在同一平面直角坐标系中分别作出 = ( )， y 1， y 1， y e 1的图象如图所示，
由图象可知 = ( )与 y 1有1个交点，即 f x 1 2有1个根，
= ( )与 y 1有3个交点，即 f x 1 0有3个根，
= ( )与 y e 1有 2个交点，即 f x 1 e有 2个根，
所以函数 y f f x 1 1的零点个数为1 3 2 6个，故选：C
题型 04 嵌套函数：解析式含参型
【解题规律·提分快招】
1.引入参数
2.参数在所给的母函数内。
3.参数在解析式或者定义域中，分别对函数图像的影响
4.授课时讲清楚因为参数而造成的“动图”，可以引导学生借助画分解图来增加理解。
5.教师授课时可以借助几何画板展示，但是对于学生，特别是普通程度学生，要引导学生手工画“分解图”
增加实战能力。
【典例 1-1】
ìkx 2, x 0
（24-25 高一上·广东·期中）已知函数 f (x) í x ，若方程 f f x 1 有且仅有一根，则实数 k 的
2 , x < 0 2
取值范围是（ ）
3 ,0 3 ,0 3 A． ÷ B． ê ÷ C．[0, ) D． , è 4 ÷ 4 è 4
【答案】A
【分析】分别讨论 k 0及 k < 0，根据 f x 的值，确定实数 k 的取值范围.
【详解】若 k 0，则 f ( f (x))
1
f (x) 1，
2
而当 x 0 时 f (x) 2 ，当 x < 0 时 f (x) 0 ，所以 f (x) 1无解；
1 3
若 k < 0，则 f f x f x 1或 f (x) ，
2 2k
3 3
其中 f (x) 1有一根为 ，则由题意知 f (x) 无解，
k 2k
而当 x 0 时 f (x) 2 ，当 x < 0 时 f (x) < 1，所以 f (x) 的值域为 ( , 2]，
3 3 3
从而 2，解得 k ，所以 < k < 0 .
2k 4 4
3
综上， k

的取值范围是 ,0÷，
è 4
故选：A.
【典例 1-2】
ì log2 1 x ，x <1
（24-25 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知 f x í 2 ，若方程 f f x 0有6 个不等实
x 2 m，x 1
数根，则实数m 的取值范围为（ ）

1,2 2, 13 1

A． B．
è 2
ú

13 1
C． , 4÷÷ D． 4,
13 7
è 2 è 2
ú

【答案】D
【分析】先画出函数图象， f t 0有两根 t1 0和 t2 2 m ，则方程 f x t1 0 及 f x t2 满足有6 个
根即可求参.
【详解】观察各选项可得m 1，
ì log 1 x ，x <1
作出 f x
2
í 的图象，如图所示：
x 2
2 m，x 1
f 1 m 1，f 2 m，
令 t f x ，先解 f t 0，知其有两根 t1 0和 t2 2 m ，
则方程 f x t1 0 提供 2个根，故方程 f x t2 提供 4个不等实根，

故m 1 t
13 7
2 < m，即m 1 2 m < m，解得m 4, ú .
è 2
故选：D.
【变式 1-1】
ì a ×2x，x 0，
（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知函数 f x í 若关于 x 的方程 f f x 0有且仅有两个实
log2x，x 0，
数根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． ,0 0,1 C． 1, D． 0,1 U 1,
【答案】C
【分析】利用换元法设u f x ，则方程等价为 f u 0，根据指数函数和对数函数图象和性质求出u 1，
利用数形结合进行求解即可．
【详解】令u f x ，则 f u 0．
①当 a 0时，若u 0, f u 0；若u 0，由 f u log2u 0，得u 1．
所以由 f f x 0可得 f x 0 或 f x 1．
如图所示，满足 f x 0 的 x 有无数个，方程 f x 1只有一个解，不满足题意；
②当 a 0时，若u 0 u，则 f u a ×2 0；若u 0，由 f u log2u 0，得u 1．
所以由 f f x 0可得 f x 1，当 x 0时，由 f x log2x 1，可得 x 2，
因为关于 x 的方程 f f x 0有且仅有两个实数根，则方程 f x 1在 ( ,0 ]上有且仅有一个实数根，
若 a 0且 x 0, f x a ×2x 0, a ，故a 1；
若 a < 0且 x 0, f x a ×2x < 0，不满足题意．
综上所述，实数 a的取值范围是 1, ，
故选：C．
【变式 1-2】
ìkx k, x 0
（2019·天津河西·一模）已知函数 f x 满足， f x í ，其中 k 0，若函数 y f f x 1
ln x, x
有 4
0
个零点，则实数 k 的取值范围是 .
1
【答案】 ê , e ÷
【分析】先作函数 f x 图象，结合图象确定 f m 1的根的情况，再结合图象与根的情况确定函数
y f f x 1有 4个零点所需满足的条件.
【详解】先作函数 f x 图象，由图可得 f m 1有两根，其中m1 < 1,m2 =
1
，
e
因此 f (x) m
1
1 必有两根,因此要使函数 y f f x 1有 4个零点，需 f (x) m2 有两根,即 k m2 \k ，e
【点睛】本题考查函数图象与函数零点，考查基本分析求解能力，属中档题.
【变式 1-3】
x a
（22-23 高一上·江苏泰州·期末）已知函数 f x x a ，若关于 x 的方程 f f x 2恰有三个不相
x a
等的实数解，则实数 a的取值集合为 .
ì1
【答案】 í ,3
ü
3


【分析】分类讨论 a的不同取值，并作出 f (x) 的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数
图象的交点的个数即可求解.
x a 2a
【详解】 f x | | |1 | x a ，当 a 0时， f x 1 x 0 ，
x a x a
此时 f f x 2无解，不满足题意；当 a < 0时，设 t f (x) ，
则 y f (t)与 y 2 的图象大致如下，
则 f (t) 2对应的 2 个根为 t1 < a < t2 < 0，此时方程 f (x) t1, f (x) t2 均无解，
即方程 f f x 2无解，不满足题意；
当 a 0时，设m f (x)，则 y f (m)与 y 2 的图象大致如下，
则则 f (m) 2对应的 2 个根为0 < m1 < a < m2，若方程 f f x 2恰有三个不相等的实数解，
则 y m1, y m2 与函数 y f (x) 的图象共有 3 个不同的交点，①当0 < a <1时， y m1与函数 f (x) 的图象共
有 2 个交点，如图所示，
所以 y m2 与函数 f (x)
1 a 1
的图象只有 1 个交点，则m2 1，所以 2，解得 a ；1 a 3
②当 a 1时， y m1与函数 f (x) 的图象共有 2 个交点，所以 y m2 与函数 f (x) 的图象只有 1 个交点，
则m2 1，与m2 a矛盾，不合题意；
③当 a 1时， y m2 与函数 f (x) 的图象共有 2 个交点，如图所示，
所以 y m1与函数 f (x) 的图象只有 1 个交点，
m 1 a ì1 ü ì1 ü则 1 1，所以 2，解得 a 3；综上， a的取值集合为 í ,3 ，故答案为: í ,3 .1 a 3 3
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于作出函数 f (x) 的图象，将方程 f f x 2恰有三个不相等的实数解
转化为两条横线与函数 f (x) 图象的图象的交点的个数共计 3 个，数形结合思想求解.
题型 05 嵌套函数：零点方程含参
【解题规律·提分快招】
1.解析式无参，很容易画出图像
2.“方程”中有参。
【典例 1-1】
ì 2
x 2x 3, x 0（22-23 高一上·福建厦门·期末）已知函数 f x í ，则方程 f f x k 的实数解的个数至
log2 x 2, x 0
多是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据复合方程问题，换元 t f x ，作函数图象分别看内外层分别讨论方程 f f x ＝k 根的个数
情况，即可得答案.
2
【详解】设 t f x ，则 f f x k 化为 f ì x 2x 3, x 0t k ，又 f x í ，
log2 x 2, x 0
所以 f 0 3 f 2 f 1 1 ÷， f 1 4 f ÷ ，作出函数 f x 的大致图象，如图
è 2 è 4
由图可得，当 k 3时， f t ＝k 有两个根 t1 < 2 t
1
， 2 ，2
即 t f x < 2或 t f x 1 ，此时方程 f f x k 最多有 5 个根；
2
当 4 < k 3时， f t k 1有三个根 2 t1 < 1, 1 < t2 0, < t
1
4 3
，
2
即 2 t f x < 1或 1 < t f x 0 1或 < t f x 1 ，
4 2
此时方程 f f x k 最多有 6 个根；
1 1
当 k 4 时， f t k 有两个根 t1 1, t2 ，即 f x 1或 f x ，4 4
此时方程 f f x k 有 4 个根；
1
当 k < 4时， f t k 有一个根0 < t < ，即0 < f x 1< ，
4 4
此时方程 f f x k 有 2 个根；
综上，方程 f f x k 的实数解的个数至多是 6 个.
故选：B.
【典例 1-2】
ì
e
x 1 a , x < 0

（20-21 2高三上·天津南开·阶段练习）已知实数 a 0，函数 f (x) í （ e为自然
ex 1 a x2 (a a 1)x , x 0
2 2
对数的底数），若关于 x 的方程 f f (x) e a a 恰好有 3 个不相等的实根，则实数 a的取值范围是 .
2

【答案】 2,2
2

è e ÷
a 1 a
【分析】导数求出函数的单调区间，从而画出函数的大致图像，则可得 f (x) 0， f ( f (x)) ( , ]，从
2 e 2
a a
而得a 1，令 f (x) t，则 t 0， f (t) e 有 3 个解，不妨设从小到大依次为 t1, t2 , t2 3
，则可得
t a 1 a1 1 a，t3 1 t2 0不合题意，舍去，所以得 f (x) a 1，结合图像得 < a 1< ，从而可求出 a的2 e 2
取值范围
x 1 a
【详解】解：当 x < 0 时， f (x) e 单调递增，且 x 时， f (x)
a
，
2 2
a
当 x 0 x 1时， f (x) e x2 (a 1)x
a
，则 f ' (x) ex 1 ax (a 1)，
2 2
因为 f ' (x)在(0, + ∞)上单调递增， f ' (1) 0，
所以当0 < x <1时， f ' (x) < 0，当 x 1时， f ' (x) 0，
所以 f (x) 在( 0, 1)上递减，在 (1, )上递增， f (1) 0，当 x 时， f (x) ，
作出 f (x) 的大致图像如图所示，
由图像可知， f (x) 0，则 f (x) 0
a 1 a
，所以 f ( f (x)) ( , ]
a e a a 1 a，所以 < ，解得a 1，
2 e 2 2 2 e 2
令 f (x) t a
a a a
，则 t 0，且 f (t) e ，由图像可知， f (t) e 有 3 个解，不妨设从小到大依次为
2 2
t1, t2 , t3 ，
则 t1 1 a， t3 1 t2 0不合题意，舍去，所以 f (x) 1 a，即 f (x) a 1，所以 f (x) a 1有三个解，
a 1 a 2 2
所以 < a 1< ，解得 2 < a < 2 ，故答案为： 2,2 2 e 2 e è e ÷
【变式 1-1】
ì x2 4x, x 4
（2021·天津南开·二模）设函数 f x í ，若函数 y f x 在区间 a, a 1 上单调递增，则实
log2 x, x 4
数 a的取值范围是 ；若函数 g x f f x m 恰有 5 个的零点，则m 的取值范围为 .
【答案】 a 1或 a 4 0 < m 2
【分析】①分别画出两段函数的图像，分析单调性可求出范围；②函数 g x f f x m 恰有 5 个的零
点，令 f x t ，即等价于 f t m有 n 个解 t1, t2 ,Ltn ， f x ti i 1,2Ln 共有五个解，分析情况可知
f t m有两个解 2 < t1 < 4，0 t2 2，由这两个解的范围观察图像可得出m 的范围.
ì x2 4x, x 4
【详解】解：① f x 2í ，当 x 4时， f x x2 4x x 2 4，在 , 2 上单调递增，
log2 x, x 4
在 2, 4 上单调递减；当 x 4时， f x log2 x在(4, + ∞)上单调递增；
若函数 y f x 在区间 a, a 1 上单调递增，则 a 1 2或 a 4
解得：a 1或 a 4 .
②若函数 g x f f x m 恰有 5 个的零点，令 f x t ，
由图像可知： f t m，有可能有 1 个，2 个，3 个解，若 g x f f x m 有五个解，则 f t m有两
根 t1, t2 ，且 2 < t1 < 4， t2 4或0 t2 2 .当 2 < t1 < 4， t2 4时，不存在m
当 2 < t1 < 4，0 t2 2时0 < m 2 . 故答案为：a 1或 a 4；0 < m 2 .
【点睛】思路点睛：函数 g x f f x m 恰有 n 个的零点问题，可令 f x t ，先求 f t m所有的解
t1, t2 ,Ltn ，然后再求 f x ti i 1,2Ln 的解的个数，个数之和为 n ，由个数 n 的情况找到 f t m的所有
解，然后根据解的情况求出m 的范围.
【变式 1-2】
ìe2x , x 0
（21-22 高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数 f x í ， g(x) x2 2x（其中 e 是自然对数的底
x, x 0
数），若关于 x 的方程 g( f (x)) m 恰有三个不等实根 x1, x2 , x3，且 x1 < x2 < x3，则2x1 x2 2x3 的最大值
为 .
【答案】3 ln 3
【分析】设 f (x) t ，则根据题意得 g(t) m t 2 2t m 0必有两个不相等的实根 t1, t2，不妨设 t1 < t2 ，
故 t1 t2 2， t2 2 t1，再结合 f (x) 的图象可得 x2 e
2x1 t1， x3 t2 2 t1，0 < t1 <1，进而
2x1 x2 2x3 ln t1 3t1 4，再构造函数 h(t) ln t 3t 4, 0 < t <1 ，分析函数的单调性，求得最大值.
【详解】由题意设 f (x) t ，根据方程 g( f (x)) m 0 恰有三个不等实根，
即 g(t) m t 2 2t m 0必有两个不相等的实根 t1, t2，不妨设 t1 < t2 \t1 t2 2，则 t2 2 t1，
方程 f (x) t1或 f (x) t2 有三个不等实根 x1, x2 , x3，且 x1 < x2 < x3，作出图象如图所示：
那么 x2 e
2x1 t1，可得 x3 t2 2 t1，0 < t1 <1，
2x 1 3t所以 1 x2 2x3 ln t1 3t1 4，构造新函数 h(t) ln t 3t 4, 0 < t <1 ，则 h (t) ，t
所以 h(t)
1 1 1
在 0, ÷ 上单调递增，在 ,1÷上单调递减，所以 h(t)max h ÷ 3 ln 3 ,
è 3 è 3 è 3
所以2x1 x2 2x3 的最大值为3 ln 3 .故答案为：3 ln 3 .
【变式 1-3】
ex 2e ln x
（24-25 高三上·天津北辰·期末）已知函数 f (x) , g(x) .若函数 y f (g(x)) a恰有三个零点，
x 1 x
则实数 a的取值范围是 .
e2
【答案】1 < a <
3
i
【分析】先通过导数研究 g(x)的单调性与最值，结合换元法将问题化为 e a t 1 的零点问题，根据导数
的几何意义计算参数即可.
1 ln x
【详解】设 g(x) t ，则 f t a ， g x 2e ×
x2
0，得 x e，
当 x (0,e), g (x) 0, g(x)单调递增，
当 x (e, ), g (x) < 0, g(x) 单调递减，当 x e时，函数 g(x)取得最大值 2，
如图，画出函数 t g(x) 的图象，
et t
由 f t a ，即 a，则 e a t 1 ， (t 1)，
t 1
t
如图，画出函数 y et 的图象，设过点 ( 1, 0)的切线与 y et 相切于点 t 00 ,e ，
et0 t
则 e 0 ，得 t0 0，即切点 (0,1) ，所以切线方程为 y t 1，如图，则 y a(t 1) 与 y et 有 2 个交点，t0 1
a 1， 如图可知，若函数 y f (g(x)) a恰有三个零点，则 1 < t1 < 0 ，
0 < t2 < 2，
2 2 2
则 e2 a 2 1 a e e e，所以 < ，综上可知，1< a < ．故答案为：1< a < .
3 3 3
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想.
题型 06 嵌套函数：综合型
【解题规律·提分快招】
1.f（x）与 g（x）型
2.多为一分段一个是常规函数
多以 af ( f (x)) bf (x) c 0 题型为主
【典例 1-1】
（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知定义在 0, 上的函数 y f x 满足:对任意 x 0, ，都有
f [ f (x) 1 ] 5 .若函数 y f x 5x 的零点个数为有限的 n(n∈N)个，则 n 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
1
【分析】设函数 y f x 5的零点为 x0 0, ，结合题设可得 f x0 x 5x 0 ，进而求解.0
【详解】由题意，对任意 x 0, f [ f (x) 1，都有 ] 5 ，设函数 y f x 5的零点为 x0 0, x ，则
f x0
1
5 1 2 2，即 f (x) x ，所以 f x0 x0 50 ，即 x0 5x0 1 0，设 g x0 x0 5x0 1x x ，0
5 2
则函数 g x0 为开口向上，对称轴为 x0 ，且 g 0 1 0，D 5 4 21 0，2
所以函数 g x0 在 0, 上有 2 个零点，即函数 y f x 5的零点个数最多为 2 个.
故选：B.
【典例 1-2】
（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数 f (x) 为R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x2 2x ，若函数 g(x)
ì f (x), x 0
满足 g(x) í ，且 g( f (x)) a 0有 8f (x), x 0 个不同的解，则实数
a的取值范围为（
< ）
A． a < 1 B． 1 < a < 0
C．0 < a <1 D． a 1
【答案】B
【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到 f x 与 g x 的解析式，设 t f (x) ，作出函数 g(t)的图象，
数形结合，分类讨论函数 a < 1、 1 < a < 0与 a 0三种情况，得到对应情况下 g( f (x)) a 0的解的个数，
从而得解.
【详解】因为函数 f x 为R 上的奇函数，当 x 0 时 ( ) = 2 ― 2 ，
令 x < 0 2，则 x 0，则 f x x 2x，又 f x f x x2 2x
ì x
2 2x, x 0 ìx2 2x, x 0所以 f x í ，则 g x í ，设 t f (x) ，作出函数 g(t)2 2 的图象，
x 2x, x < 0 x 2x, x < 0
对于 A，当 a < 1时，函数 g(t) a 没有实数根，不满足题意；
对于 B，当 1 < a < 0时，函数 g(t) a 有四个根 t1, t2 , t3 , t4 ，
其中 t1 ( 2, 1) ， t2 ( 1,0)， t3 (0,1)， t4 (1, 2)；
作出 f x 与 y t1、 y t2 、 y t3与 y t4 的图象，如图，
显然几个函数恰有 8 个交点，则 g( f (x)) a 0有 8 个不同的解，故 B 正
确；对于 CD，当 a 0时，函数 g(t) a 有两个根 t1, t2 ，其中 t1 ( , 2)， t2 (2, )，
与选项 B 同理可知 f x 与 y t1、 y t2 各有一个交点，
则 g( f (x)) a 0只有 2 个不同的解，不满足题意，故 CD 错误.故选：B.
【变式 1-1】
24-25 4 4（ 高三上·江西新余·阶段练习）已知函数 f x sin x cos x 0 x 2π ，则关于 x 的方程：
f f x f 2x 1 0的实根个数为：( ).
A． 2 B． 4 C．6 D．8
【答案】D
2
【分析】先化简 f x ，再设 f x t ，将问题转化为 f t 和 y t 1 的交点问题，数形结合得到其交点
的范围，再次数形结合即可得解.
4 4 2
【详解】因为 f x sin x cos x sin x cos2 x sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x cos 2x 0 x 2π ，
令 f x t ， t 1,1 ，则 f f x f x 1 2 0 2换元整理为 f t t 1 ，
2
作出图像 f t 和 y t 1 在 t 1,1 上的大致图象，
由图可知两函数在定义域内有两交点，
即方程 f t t 1 2 在定义域内有 2 个实根分别为 t1 0， t2 x0 0,1 ，
再作出 = ( )的图像，用 y 0 和 y x0 与之相交，共有 8 个实根.
故选：D.
【变式 1-2】
ì 2
（2024·全国·模拟预测）已知函数 f
x 2ax, x 0
x í （0 < a
1
< ），函数 g x flnx , x 0 f x f x 1，则 2
函数 g x 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据曲线 y lnx在点 1,0 处的切线方程判断曲线 y lnt 和 y t 1的交点情况，求方程 f t t 1
1 1
的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断 f x 的图象与直线 y t0， < t4 0 < e
的交点情况
【详解】函数 g x 的零点个数即方程 f f x f x 1 0的根的个数．令 t f x ，则方程
f ì t f xf x f x 1 0 等价于 í y lnx 1,0 y lnt y t 1
f t t
．求曲线 在点 处的切线方程，得曲线 和
1
1
的交点情况对于函数 y lnx，易知当 x 1时 y 0 ， y ， y 1 y lnx 1,0
x x 1
，故曲线 在点 处的切线方
程为 y x 1，因此曲线 y lnt 和 y t 1无交点．（技巧：通过研究曲线 y lnx在点 1,0 处的切线，
数形结合判断曲线 y lnt 和 y t 1的交点情况）求方程 f t t 1的根，并判断该根的大致范围：
将 y t 1 2
1 3
代入 y t 2 2at ，得 t 1 2a t 1 0，则Δ 4a2 4a 3，令Δ 0，得 a 或 a ，2 2
故当0 < a
1
< 时，Δ < 0 ， y t 2 2at 与 y t 1无交点，
2
作出函数 y f t 和 y t 1的大致图象如图所示，结合图象可知，
方程 f t t 1有且仅有 1 个解，且此解就是方程 lnt t 1 0 的解．
易知函数 h x lnx x 1 h 1 1是增函数，且 ÷ 0 h
1
， ÷ 2ln2
5
< 0（点拨：因为
è e e è 4 4
5 5 1 1
44 256 243 35 e5，所以 4 e4 ，故 2ln2 ）因此方程 lnt t 1 0 的解 t0 ,4 è 4 e ÷
．

1
又当 x 0 x2时， 2ax a2 < ，所以 x2 2ax t0 无解，显然 lnx t4 0
有 2 个解，
所以函数 g x 有 2 个零点，故选：B．
【变式 1-3】
ì ex 1, x 0
（22-23 高二下·辽宁·期末）已知函数 f x í , g x x2 ax 1，若 y g( f (x))有 6 个零点，
x
2 4x 3 , x 0
则 a的取值范围为（ ）
2,10 5 10 A． ÷ B． , ÷ C． (3,
5
) D． ,3

è 3 è 2 3 è 2 ú
【答案】B
2
【分析】作出函数图象，进行分析， g x x ax 1最多有两个零点，根据 f x 最多 4 个零点，用数形结
合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】由题可得函数图象，当 k 0或 2 < k < 3时， f x k 有两个解；
当0 < k <1时， f x k 有 4 个解；
当1 k 2时， f x k 有 3 个解；
当 k 3时， f x k 有 1 个解；
因为 g x x2 ax 1 0最多有两个解.
因此，要使 y g f x 2有 6 个零点，则 g x x ax 1 0有两个解，设为 k1， k2 .
则存在下列几种情况：
f x k1有 2 个解， f x k2有 4 个解，即 k1 0 或 2 < k1 < 3，0 < k2 <1，显然 g 0 0 ，
ìg 0 0 ì1 0
g 1 < 0 2 a < 0 5 10
则此时应满足 í ，即 í a ,
g 2 < 0 5 2a < 0
，解得 2 3 ÷
，
è
g 3 0 10 3a 0
f x k1有 3 个解， f x k2有 3 个解，设 k1 < k2 即1 k1 < 2，1< k2 2 ，
ìg 1 2 a 0

g 2 5 2a 0 a 5 ,10 则应满足 íΔ a2 4 0 ，无解，舍去，综上所述， 的取值范围为 ÷ .故选：B.
è 2 3
1 a< < 2
2
题型 07 零点：分参水平线型
【解题规律·提分快招】
1.分离参数。得常数函数（含参水平线）
2.函数画图，需要运用到复合函数单调性，
【典例 1-1】
ì 1
x
1 , x 1
（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知函数 f x í ÷è 2 2 ，若关于 x 的方程 a f x 恰有两个不同
2
x 4x 2, x 1
实根，则实数 a的取值范围是（ ）
1 1
A． , ÷ 1,2 B． 0, ÷ 1,2
è 2 è 2
1 3 1
C． ,1 , 2 D． , 2
è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2
【答案】C
【分析】由题意可知函数 y a 与 y f x 的图象恰有两个不同的交点，作出函数 y f x 的图象，数形结
合即可求解.
【详解】若关于 x 的方程 a f x 恰有两个不同实根，
则函数 y a 与 y f x 的图象恰有两个不同的交点，
作出 y f x 的图象如图：
x 0 x
当 x 1时，0 1 1 1 1 1 3< 2 ÷ 2 ÷
1，所以 < f x ÷ ，
è è 2 è 2 2 2
x 0 f 0 1
0 1 3
当 时， ÷ ，
è 2 2 2
1
当 x 1 1 1时， f 1 ÷ 1，
è 2 2
当 x 1时， f x x2 4x 2 x 2 2 2 2，此时最大值为 2，
1
由图知：当 < a <1
3
或 < a < 2 时函数 y a 与 y f x 的图象恰有两个不同的交点，
2 2
1 3
所以实数 a的取值范围是 ,1÷ , 2÷，故选：C.
è 2 è 2
【典例 1-2】
ìlog3x, x 0（24-25 高一上·天津河东·阶段练习）已知函数 f x í x f x x a 03x , x 0 ，且关于 的方程 有且只
有一个实根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0, B． ,0 C． 1, D． 1,
【答案】D
【分析】结合指数函数与对数函数的单调性，可得函数 g x f x x在 x ,0 及 ∈ (0, + ∞)时的值域，
即可得解.
【详解】令 g x f ì
log3x x, x 0x x í x ，
3 x, x 0
则关于 x 的方程 a g x 有且只有一个实根，
由指数函数与对数函数性质，可得 g x 在(0, + ∞)上单调递增， ,0 上单调递增，
又 g 0 1，故当 x ,0 时， g x ,1 ，
当 ∈ (0, + ∞)时， g x , ，
故 a 1, 时，关于 x 的方程 a g x 有且只有一个实根.
故选：D.
【变式 1-1】
ì3ln x x a 1, x 0
（24-25 高一上·天津·期末）若函数 f (x) í 2 恰有 3 个零点，则 a的取值范围为（ ）
ln(x 4x a), x 0
A． 5, 1 B． 5, e C． ( 5, 4) D． 5, e
【答案】C
ì ln x x, x 0
【分析】利用函数零点的意义分离参数可得 a í 2 ，再构造函数将问题转化为直线与函数图象
x 4x 1, x 0
有 3 个交点求解.
【详解】由 f (x) 0 ，当 x 0时，3ln x x a 1 30 ，则 a ln x x，
函数 y ln x x 在 (0, )上单调递减，值域为 R，
当 x 0 时， ln(x2 4x a)有意义，则 x2 4x a 0 a < x2 4x 对 x 0 恒成立，
于是 a < 4，由 ln(x2 4x a) 0，得 a x2 4x 1，
函数 y x2 4x 1在 ( , 2]上单调递减，在 ( 2,0]上单调递增，
当 x 2时， y x2 4x 1有最小值为 y 4 8 1 5，
ì ln x x, x 0 ì ln x x, x 0
于是 a íx2
h(x)
4x 1, x 0
，令函数 í
x
2 4x 1, x ， 0
在同一坐标系内作出函数 y h(x)的图象及直线 y a ，
观察图象知，当 a ( 5, 1]时，直线 y a 与函数 y h(x)的图象有3个交点，即
函数 f (x) 有3个零点.所以 a的取值范围为 ( 5, 4) .故选：C
【变式 1-2】
ìx2 2x 3, x 0
（24-25 高一上·天津红桥·期末）已知函数 f x í ．若方程 f x k 有三个不等的实数解
2 ln x, x 0
x1, x2 , x3 且 x1 < x2 < x3，则下列结论错误的是（ ）
A． k 4, 3 x 1 , 1 B． 3
è e2 e ú
2 2
C． x1x3 x2x3 ê , 2 ÷ D．0 < x1x2 1 e e
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式画出函数大致图象，数形结合判断参数 k 的范围，及 x1, x2 , x3 所在区间，进而
判断各项正误.
【详解】由解析式，可得函数大致图象如下：
令 x2 2x 3 3，可得 x 2或 x 0，
ln x 2 3 x 1令 ，可得 ，令 ln x 2 4 x 1，可得
e e2 ，
由图知，要使方程 f x k 有三个不等的实数解 x1, x2 , x3 ，且 x1 < x2 < x3，
1 1
所以 4 < k 3，且 2 x1 < 1 < x2 0 < 2 < x3 ， x1 x2 2，A、B 对；e e
x1x3 x2x3 x3(x1 x2 ) 2x
2 , 23

ê e e2 ÷
，C 对；

由 x1x2 x1( 2 x1) 1 (x 1)
2
1 ，而 2 x1 < 1，故0 x1x2 <1，D 错.
故选：D
【变式 1-3】
（24-25 高三上·江西·期中）已知函数 f (x) ln x 1 k 有两个零点 a，b a < b ，则a 2 b 1 的取值范围
是（ ）
A． 2 2 1, B． 2, C． 0,2 D． 0, 2 2
【答案】B
【分析】条件化为 y ln x 1 与 y k 的两个交点横坐标分别为 a，b ，数形结合得到 a 1 b 1 1，应
用对勾函数的性质求目标式的范围.
【详解】由函数 f (x) ln x 1 k 有两个零点 a，b a < b ，
所以 y ln x 1 与 y k 的两个交点横坐标分别为 a，b ，
结合图象知 1 < a < 0，b 0， k 0 ， ln b 1 ln a 1 ，则
ln a 1 b 1 0，所以 a 1 b 1 1 a 2 b 1 a
2 2
，则 a 1 1，
a 1 a 1
令 a 1 t 0,1 ，则 a 2 b 1 t 2 1 2，0 < t <1，又 y t 在区间 0,1 上单调递减，所以
t t
y t 2 3, 2 ，所以 y t 1 2, .故选：B .
t t
题型 08 零点：切线分界法
【解题规律·提分快招】
当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。
1.交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。
2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，
这样可以简化一些计算。
3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结
掌握。
【典例 1-1】
ì 3x 1 1, x 0,
（2022·天津宝坻·二模）已知函数 f x í 2 若函数 y f x kx 1有m 个零点，函数
x 2x, x 0,
y f x 1 x 1有 n 个零点，且m n 7，则非零实数 k 的取值范围是（
k ）
1
A． 0, ú B． 3,

C． 0,
1 3, 1 D ,1 1,3
è 3
． ÷
è 3ú ê 3
【答案】C
1
【分析】命题等价于 f x 的图象与 y kx 1和 y x 1的交点数之和为 7 ，然后结合图象判断交点数目，
k
即可得到答案.
f x y kx 1 y 1【详解】命题等价于 与 和 x 1的交点数之和为7 ，作出 f x 的图象如下：
k
可以看出，对任意的非零实数 a， ( )的图象和 y ax 1的交点数 p a 满足：
若0 < a < 3，则 p a 4 ；若 a 3，则 p a 3；若 a < 0，则 p a 0 .
ì0 < k < 3 ì 1
而条件即为 p k 1
0 < < 3
p 1 ÷ 7 ，此即 k 0，且 í1 或 í k ，从而 k 的范围是0 < k 或 k 3 .
è k 3 3 k k 3
1
综上，所求取值范围是 0, ú 3, ．故选：C.è 3
【典例 1-2】
ìx2 4a 3 x 3a, x < 0,
（24-25 高三上·北京·开学考试）已知函数 f x í , (a 0 a 1) ,
loga x 1 1, x 0
，且 在 上单

调递减，且函数 g x f x x 2恰好有两个零点，则 a的取值范围是（ ）
1 2 ì3ü 1 2 ì3ü 2 2 3
A． ê , ú í B． , U C． 0, D． , 3 3 4

ê3 3
÷ í4 è 3 ú ê3 4 ú
【答案】A
【分析】利用函数 f x 是R 上的减函数求出 a的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数 y f x 和函数
y 2 x的图象，根据方程 f x 2 x 的根的个数数形结合，从而可得出答案.
【详解】因为函数 f x 是R 上的减函数，
ì3 4a
0
2
则 í0 < a <1
1
，解得 a
3
，函数 g x f x x 2 恰好有两个零点，即方程
2 3 4 0 4a 3 ×0 3a loga 1 1

f x 2 x 恰好有两个根，如图，在 0, 上方程 f x 2 x 恰好有一解，
所以在 ,0 2 2上，方程 f x 2 x 有且仅有一解，当3a 2 即 a 时，由 x 4a 3 x 3a 2 x，
3
2
即 x 4a 2 x 3a 2 0 3， x < 0 2，则Δ 4a 2 4 3a 2 0，解得 a 或 1（舍去），
4
当 a
3 1 2
时，经检验符合题意；当1 3a 2即 a 时，由图象知符合题意.
4 3 3
1 2 ì3ü
综上， a的取值范围是 ê , ú í .故选：A. 3 3 4

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为函数图象得交点，数形结合解决.
【变式 1-1】
ì 4x x2 ,0 < x 2
（2024·辽宁抚顺·一模）函数 f x 满足：当 x 0时， f x í 1 ， y f x
1

x 3 是奇函数．记2 , x 2 2
3
x 1
m
关于 的方程 f x kx 0 k R 的根为 x , x , × × ×, x 7，若 f x ，则 k 的值可以为（ ）
2 1 2 m ii 1 2
11 17 5
A． B． C． D．1
18 12 4
【答案】C
1 1
【分析】首先判断函数 f x 关于点 0, 对称，再画出函数 f x 和 y kx 的图象，结合函数的对称性，
è 2 ÷ 2
判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.
y f x 1【详解】若函数 是奇函数，则 f 1 x f x 1 ，
2 2 2
1 1
即 f x f x 1，则函数 f x 关于点 0, ÷对称，所以 f 0
è 2 2
1 1 1
而 y kx 也关于点
2
0, ÷对称，恒过点 0, ，
è 2 è 2 ÷
方程 f x kx 1 1 0根，即为函数 = ( )与 y kx 交点的横坐标，
2 2
0, 1 1 1 因为两个函数都关于点 ÷对称，所以交点也关于点2
0, ÷对称，且其中一个交点是2
0,
2 ÷
，
è è è
如图画出两个函数的图象，
m
若 f xi 7 ，根据对称性可知， y 轴左侧和右侧各有 3 个交点，如图，
i 1 2
7
y kx 1 2, 17当直线 过点 ÷时， y 轴右侧有 2 个交点，此时 k ，2 è 3 12
y kx 1 5当直线 过点 2,2 时， y 轴右侧有 3 个交点，此时 k ，
2 4
5 17 5
所以满足条件的 k 的取值范围是 ê ,4 12 ÷，选项中满足条件的只有
.故选：C
4
1
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数 f x 的图象，尤其是 f 0 ，并且会利用数形结
2
合，分析临界直线，即可求解.
【变式 1-2】
ì e
x , x 1
（22-23 高二下·天津西青·阶段练习）已知函数 f x í ，若函数 g x f x k x 2
x
2 4x 3,1 < x < 3
有三个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）
0, 1 U 1 e
15 1 e
A． ÷ , B． 0, U ,
è 4 è e 3ú
15 ÷÷ è è 2e 3
ú

0, 15 U 1 , e

0, 15

U 1 e C． ÷÷ ú D．15 e 3 15 ÷÷
,
2e 3 ÷è è è è
【答案】C
【分析】
作 出 函 数 y f x x与 函 数 y k x 2 的 图 像 ， 讨 论 曲 线 y k x 2 k 0 与 曲 线 y e x 1 ，
y x2 4x 3 1< x < 3 相切以及过点 1,e 的情况，求出对应的实数 k 的值，利用数形结合思想可求得 k
的取值范围.
ìex , x 1
【详解】作出 f x í 与 y k x 2 k 0 的图像，如图所示，
x2 4x 3,1 < x < 3
由 y x2 4x 3 1< x < 3 ，整理得 x 2 2 y2 1 y 0 ，
2 2 4ky k x 2 k 0 x 2 y 1 1 k 15当直线 与圆 相切时，则 ，解得 ，对应图中分界线①的
k 2 1 15
斜率；再考虑直线 y k x 2 x与曲线 y e x 1 相切，设切点坐标为 t,et ，对函数 y ex 求导得 y ex ，
et y k x 2 y et t则所求切线的斜率为 ，所求切线即直线 方程为 e x t ，
直线 y k x 2 过定点 2,0 ，将 2,0 t t代入切线方程得 e e 2 t ，解得 t 1，
1 1
所以切点坐标为 1, ÷ ，所以 k ，对应图中分界线③的斜率；当直线 y k x 2 过点 1,e 时，则
è e e
3k e，
e
解得 k ，对应图中分界线②的斜率.由于函数 g x f x k x 2 有三个零点，
3
15 1 e
由图可知，实数 k 的范围为 0, U , .故选：C
è 15
÷÷
è e 3
ú
【变式 1-3】
ìx2 4x, 3 x 0（22-23 高三上·天津河西·期末）已知函数 f x í ，若方程 f x x 1 kx 0有且只有
2x 3, x 0
三个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是（ ）
2 1
A． ê ,3 2 2
,1 ÷ B．3 ê 3 ÷
1 1
C． , ú D． ê ,5è 3 3 ÷
【答案】B
【分析】由题可知 y f x x 1 与 y kx 图象有三个交点，利用数形结合即得.
【详解】因为 f x x 1 kx 0有且只有三个不相等的实数根，
ìx2 3x 1, 3 x 0
所以 y f x x 1 与 y kx 图象有三个交点，设 h x f x x 1 íx 2,0 < x 1 ，

3x 4, x 1
画出 y h x 与 y kx 的大致图象， 当 y kx 与 y x2 3x 1相切时，
由 x2
2
3x 1 kx 2，可得 x 3 k x 1 0，D 3 k 4 0，所以 k 1或 k 5 (舍去)，
当 y kx 过 A 3,1 时， k 1 1，由图象可知， k < 13 时，两图象有三个交点，3
所以若方程 f x x 1 kx 0 1 有且只有三个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ê ,1÷ .故选：B. 3
题型 09 零点：分段含参讨论型
【解题规律·提分快招】
属于“动态函数”画图法
1.参数在分段函数定义域分界点处。
2.函数图像的“动态”讨论点，多从特殊点，交点，单调性改变点，奇偶性等处寻找。
3.引导学生多画分解图。
【典例 1-1】
ì2
x m, x <1
（24-25 高一上·天津南开·阶段练习）若函数 f x í 2 2 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围
x 4mx 3m , x 1
是（ ）
1
A． ê ,1÷ B． ,0 1, 3
1,2 1C． D． ê ,1

÷ U 2,
3
【答案】C
【分析】分析可知，函数 f x 在 ,1 上有一个零点，在 1, 上有两个零点，求出这三个零点，根据题
意可得出关于实数 m 的不等式组，由此可解得实数 m 的取值范围.
【详解】当 x <1 x时，函数 f x 2 m 单调递增，则函数 f x 在 ,1 上至多一个零点，
x 1 f x x2当 时，函数 4mx 3m2 x m x 3m 至多两个零点，
因为函数 f x 有三个零点，则函数 f x 在 ,1 上有一个零点，在 1, 上有两个零点，
当 x <1时，令 f x 2x m 0，可得m 2x ，必有m 0，解得 x log2 m，
所以， log2 m <1，解得0 < m < 2；当 x 1时，由 f x x m x 3m 0，可得 x m 或 x 3m，
ì m 1

所以， í 3m 1 ，解得m 1.综上所述，实数 m 的取值范围为 1,2 .故选：C.

m 3m
【典例 1-2】
ìlog 1 x, x 0
2
（23-24 高三上·天津蓟州·阶段练习）已知函数 f (x) í 1 15 ，函数 g(x) x
2 ，若函数
a x , x 0
2 4
y f (x) g(x)有 3 个零点，则实数 a的取值范围为（ ）
15 15
A．（ ，3） （5， ） B． 5,2 2 ÷è

C． 5,
19 5,19 ÷ D．
è 2 è 2 ú
【答案】B
1 15
【分析】由题意，易知当 x 0时 f (x) log 1 x与 g(x)有 1 个交点，则当 x 0 时 f (x) a x 与 g(x) x2
2 2 4
1 1
需有两个交点.易知 a 0不符合题意，则 a 0，分类讨论函数 f (x), g(x)的图象在 , 2 ÷、
,0÷上的
è è 2
交点个数，利用数形结合的思想，结合一元二次方程在区间有解问题建立不等式组，解之即可.
【详解】如图，当 x 0时，函数 f (x) log 1 x与 g(x) x2 图象有 1 个交点.
2
要使 y f (x) g(x)
1 15
有 3 个零点，则当 x 0 时， f (x) a x 与 g(x) x2 有两个交点即可，
2 4
若a 0, x
15
0， f (x) ，两函数没有交点，所以 a 0，画出 f (x), g(x)图象，如下图所示，
4
由图象可知，函数 f (x), g(x)
1
的图象在 < x < 0内至多有一个交点.
2
1 1
当函数 f (x), g(x)的图象在 , ÷上有两交点，则在 ,0÷上没有交点.
è 2 è 2
y ax 1 a 15 y x2 即直线 与曲线 = 在 ,
1

1
÷有两交点，且函数 f (x), g(x)的图象在 ,0÷上没有交点.2 4 è 2 è 2
2 1 1 1
即方程 x ax a
15
0 在 ,

÷有两个解，且 f (x) g(x)在 ,0÷上没有解.2 4 è 2 è 2
ìa 0

a 1 <
2 2 1 15
设h(x) x2 ax
1 15
a ，需 í 2 ，且 a × 0 < 0，2 4 Δ a 4(
1 a 15 ) 0 2 4
2 4

h(
1
) 4 0
2
15
解得 a
15
5或 a < 3（舍去），且 a < ，得5 < a < ；
2 2
1
若在 ( ,0) 上函数 f (x), g(x)
1
的图象有 1 个交点，则在 , ÷上函数 f (x), g(x)的图象有 1 个交点，2 è 2
x2 ax 1 a 15
1 1
即 0

在 ,

÷有 1 个解，且 f (x) g(x)

在 ,0

上有 1 个解.
2 4 è 2 ÷ è 2
Δ a2 4 1 a 15 1 15则 ÷ 0且 a × 0 0，此时无解.
è 2 4 2 4
综上，要使函数 f (x), g(x)图象在 ( ,0)
15
只有两交点，则5 < a < .故选：B
2
【变式 1-1】
ìx2 ,0 x < a,
（21-22 高一上·云南临沧·期末）已知函数 f x í x 若存在实数 b，使得方程 f x b 0有两个
2 , x a,
不同的解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 0, 2 B． 2,
C． 2, 4 D． 4,
【答案】C
【分析】结合 y x2 , y 2x 函数图象分析得解.
【详解】因为22 22，42 24 ，所以 y x2 , y 2x 函数图象如图，
ìx2 ,0 x < a,当0 < a 1时， f x í x 的图象如下，可知不存在实数 b，使得方程
2 , x a,
f x b 0有两个不同的解.同理当 a 4也不满足.
ìx
2 ,0 x < a,
当 2 < a < 4时， f x í x 的图象如下，可知存在实数 b，使得方程 f x b 0有两个不同的解.
2 , x a,
综上，要使方程 f x b 0有两个不同的解，需 2 < a < 4．故选：C
【变式 1-2】
ìx2 2ax 2a, x 1
（23-24 高三上·天津蓟州·阶段练习）已知 a R ，函数 f x í ，关于 x 的方程
ln x 1,x 1
f x 1 x a 恰有两个互异的实数解，则实数 a的取值范围是（ ）
4

A． 5 5 2 6 5 2 6 ,0 , ÷ B． , ÷÷ 4 8 , 8 ÷è ÷è è
5 2 6 5 5 2 6
C． , ÷÷ , ÷ D． ,0 8 4 , è 8 ÷÷è è
【答案】C
【分析】根据分段函数的意义将方程 f (x)
1
x a
4 恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分
类推理求解.
1
【详解】因为关于 x 的方程 f (x) x a4 恰有两个互异的实数解，则有：
x2 2ax 2a 1 x 1 a, x 1有两个不同的实根，且 ln x 1 x a, x 1无实根，
4 4
2 1
或 x 2ax 2a x a, x 1与 ln x
1
1 x a, x 1各有一个实根，
4 4
2
或 x 2ax
1 1
2a x a, x 1无实根，且 ln x 1 x a, x 1有两个不同的实根，
4 4
1
当 x 1时， ln x 1 x a ln x
1
x 1 a 0，
4 4
令 g(x) ln x
1
x 1 a, x 1，则 g(x)为增函数，
4
1
所以 g(x)在 (1, )上最多一个零点， ln x x 1 a 0, x 1有两个不同的实根不成立，
4
当函数 g(x)在 (1, )上有一个零点时，必有 g(1)
5 5
a < 0，即 a ，
4 4
此时， g(4a) ln 4a 1 ln 5 1 0，
5
因此，当 a 时，函数 g(x)在 (1, )上确有一个零点，方程 ln x 1
1
x a, x 1必有一个实根，
4 4
当 a
5 1 1
， x 1 2时， x 2ax 2a x a x2 (2a )x a 0，
4 4 4
设函数 h(x) x2 (2a
1
)x a, x 1，
4
而函数h(x)
1
对称轴 x a 1，即h(x)在 ( ,1]上单调递减，又 h(1)
5
a < 0，即h(x)在 ( ,1]上必有一
8 4
个零点，
2
因此，方程 x 2ax 2a
1
x a, x 1必有一个实根，
4
5 1 1
于是得当 a 2时， x 2ax 2a x a, x 1与 ln x 1 x a, x 1各有一个实根，
4 4 4
ln x 1 1 5若方程 x a, x 1无实根，必有 a ，
4 4
x2 2ax 2a 1此时方程 x a, x 1有两个不同的实根，函数h(x)在 ( ,1]上有两个零点，
4
ìa 1 <1
8
1 2 5 2 6 5 2 6 1
当且仅当 íΔ (2a ) 4a 0 a < 2，解得 ，于是得当 a < 时， x 2ax 2a x a, x 1
4 8 8 4

h(1)
5
a 0
4
ln x 1 1有两个不同的实根，且 x a, x 1无实根，
4
5 2 6 5 1
综上得：当 a < 或 a 时，方程 f (x) x a4 恰有两个互异的实数解，8 4
5 2 6 5
所以实数 a 的取值范围是 , 8 ÷÷
, 4 ÷
.故选：C.
è è
【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分
类分段讨论解决.
【变式 1-3】
（2023·贵州贵阳·三模）已知函数 f x
ìcos πx πa , x < a
í ，其中 a R ，若 f x 在区间 0, 内恰好
x
2 2ax a2 4, x a
有 4 个零点，则 a 的取值范围是（ ）
3 , 5 3 , 5 5 , 7 5 7 A． B． C．2 2 ú ê
D． ,
è 2 2ú è 2 2ú ê2 2 ú
【答案】C
【分析】根据参数 a的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点
满足的条件，即可求解.
ìcos πx πa , x < a【详解】由函数 f x í 2 2 ，其中 a R ，
x 2ax a 4, x a
当 a 0时，对任意 x 0，函数 f (x) (x a)2 4在 (0, )内最多有 1 个零点，不符题意，所以 a 0，
当 x a时， f (x) (x a)2 4，
由 (x a)2 4 0，可得 x a 2或 x a 2，
则在 x a上， f (x) (x a)2 4有一个零点，
所以 f (x) cos(πx πa)在 (0, a)内有 3 个零点，即 cos[π(x a)] 0 在 (0, a)内有 3 个零点，
因为0 < x < a ，所以 a < x a < 0 ， πa < π(x a) < 0，
7π
所以 - πa
5π 5 7
< ，解得 < a ，
2 2 2 2
5 7
综上所述，实数 a的取值范围为 , .
è 2 2 ú
故选：C.
题型 10 零点：局部小周期型
【解题规律·提分快招】
局部小周期两大模型
局部周期：
ì 2x , (x 0
1、f（x）= í
f（x-1）, ( x 0)
局部周期：
ì 2x , (x 0
2、f（x）= í
f（x-1）+b, ( x 0)
【典例 1-1】
ì2 x 1(x 0)
（2013·湖南益阳·一模）函数 f (x) í ，若方程 f (x) x a 有且只有两个不等的实根，则实数 a
f (x 1)(x 0)
的取值范围为（ ）
A． ( ,1) B．[0,1) C． ( ,0) D．[0, )
【答案】A
【分析】在同一坐标系中画出 f (x) 的图像与 y x a 的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数 a的
取值范围.
【详解】画出函数图像如下：
当 a <1时，函数 y f (x) 的图像与 y x a 的图像有两个交点，
即方程 f (x) x a 有且只有两个不等的实根.
故选：A
【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的
个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.
【典例 1-2】
（2012·全国·一模）已知函数 若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则
实数 a 的取值范围为
A．(-∞,0］ B．［0,1) C．(-∞,1) D．［0,+∞)
【答案】C
【详解】试题分析：根据题意从而得到
函数 f(x)= 的图象如图所示，
当 a＜1 时，函数 y=f（x）的图象与函数 y=x+a 的图象有两个交点，
即方程 f（x）=x+a 有且只有两个不相等的实数根
故选 C
【变式 1-1】
ì 3x , x < 0, 1
（24-25 高一上·山东威海·期中）已知函数 f x í 若函数 y f x mx （m 0 3f x 2 , x 0, ）有 个 2
零点，则正实数m 的取值范围为（ ）
7 7 7
A． 0, B． ,
è 72 ÷ è 72 36 ú
7 7 7
C． ê , ú D． ,
7
72 36 è 72 18ú
【答案】B
1 ì 3x , x < 0, 1
【分析】函数 y f x mx （m 0）有 3 个零点，即 f x í 的图像与直线 y mx 2 f x 2 , x 0, 2
（m 0）有 3 个不同的交点，利用图像即可得解.
【详解】由 y f x mx 1 ，令 y 1 0 ，得 f x mx ，
2 2
ì
3
x , x < 0,
由题意得，函数 f x
1
í y mx f x 2 , x 0,的图像与直线 （m 0）有 3 个不同的交点 2

ì 3x , x < 0,
f x 1 1 í 的图像如图①所示，其中 M 2, ÷，N 4, ÷
f x 2 , x 0, è 9 è 9
1 1
直线 y mx （m

0）过定点 A 0,
2 2 ÷
，斜率 k m < 0， 直线 AN，AM 的斜率分别为
è
1 1 1 1
ì 3x , x < 0,
k 2 9 7 7 ， k 2 9 ，如图②，由图像可知，函数 f x í1 4 72 2 2 36 f x 2 , x 0,
的图像与直线

y mx 1 7 7 7 7 （m 0）有 3 个不同的交点，所以 m < ， 即 < m 故选：B.
2 36 72 72 36
【变式 1-2】
ì 2x , x < 0, 1 3 1
（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知函数 f x í
f x 2 , x 0
当 m < 时，方程 f x x m 的根
2 4 8
的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】结合分段函数、周期函数和函数零点的含义结合两个函数图像求解.
【详解】当 x 0 时， f (x) f (x 2),即 f (x 2) f (x),则 f (x) 的周期为 2.
画出函数 f x 的图像，
1 1 3
令 x m 0, 则 x 8m,又因为 m < ,则 4 8m < 6,
8 2 4
由图可知方程 f x 1 x m 的根的个数即为两个函数图像交点的个数，
8
由图像可知，当 x < 0 时，存在一个零点，因为 x 0时， 20 1 m,
1 1
当 x 1 x m m 2 1时， .则在 ( 1,0) 两函数存在一个零点，
8 8
当 x 2 1 1 1 0时， < m < < 2 .4 4 2 则在
(0,2)两函数存在一个零点，
1 1
当 x 4时， 0 < m < < 20.则在 (2,4)2 4 两函数存在一个零点，
1
当 x 4时， x m < 2(x 4) 恒成立，则两函数无零点.综上所述，两函数有三个零点.故选：D.
8
【变式 1-3】
ì f x , 6 x < 0

（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知定义在 6,6 上的连续函数 f x ，满足 f x í x 1 1,0 x 2 ，

2 f x 2 , 2 < x 6
则方程[ f (x)]3 4[ f (x)]2 3 f (x) 0的解的个数为（ ）
A．13 B．14 C．20 D．21
【答案】D
【分析】将函数写成分段函数，由[ f (x)]3 4[ f (x)]2 3 f (x) 0，可得 f x 0, f x 1, f x 3，结合图
象求解即可.
ì4 6 x , 6 x < 5

4(x 4), 5 x < 4
2(x 4), 4 x < 3

2(x 2), 3 x < 2
x 2, 2 x < 1

x, 1 x < 0
ì f x , 6 x < 0

x,0 x 1
【详解】解：因为 f (x) í x 1 1,0 x 2

í2 x,1< x 2 ，

2 f x 2 , 2 < x 6 2(x 2), 2 < x 3
2(4 x),3 < x 4,

4(x 4), 4 < x 5,
4 6 x ,5 < x 6





由 f x ]
3 4 f x ]2 3 f x 0，可得 f x f x 1 f x 3 0，
即有 f x 0, f x 1, f x 3，作出函数 f x 的图象如图所示：
则 f x 0有 7 个根， f x 1有 10 个根， f x 3有 4 个根，
所以方程共有7 10 4 21个根.故选：D
题型 11 零点：放大镜类周期型
【解题规律·提分快招】
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有 0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【典例 1-1】
（2020·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数 f (x) 满足当 x 0 时，2 f (x 2) f (x)，且当 x ( 2,0]时，
f (x) | x 1| 1；当 x 0时， f (x) loga x(a 0 且 a 1).若函数 f (x) 的图象上关于原点对称的点恰好有 3
对，则 a的取值范围是（ ）
A． (625, ) B． (4,64) C． (9,625) D． (9,64)
【答案】C
【分析】先作出函数 f (x) 在 ( ,0]上的部分图象，再作出 f (x) loga x关于原点对称的图象，分类利用图
像列出有 3 个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】先作出函数 f (x) 在 ( ,0]上的部分图象，再作出 f (x) loga x关于原点对称的图象，
如图所示，当0 < a <1时，对称后的图象不可能与 f (x) 在 ( ,0]的图象有 3 个交点；
当 a 1时，要使函数 f (x) 关于原点对称后的图象与所作的图象有 3 个交点，
ì
a 1


1
则 í loga 3 ，解得9 < a < 625 .
2

log 5
1
a < 4
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，
是一道中档题.
【典例 1-2】
ì 1 x 1，x 2，0
（20-21 高三上·天津河西·阶段练习）已知函数 f x í ，若方程 f x x a2 f x 2 x 0 在区间 ， ，
2，4 内有 3 个不相等的实根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 2 < a < 0 B． a 2 < a < 0 或 a 1
C． a 2 < a < 0 或1 < a < 2 D． a 2 < a 0
【答案】B
【分析】转化为函数 y f (x) 与函数 y x a 的图象在 2，4 内有三个交点，求出 x (0, 2]和 x (2, 4]的解
析式，再利用图象可得结果.
【详解】方程 f x x a在区间 2，4 内有 3 个不相等的实根，等价于函数 y f (x) 与函数 y x a 的图
象在 2，4 内有三个交点，
当 x [ 2,0]时， f (x) 1 | x 1|，
当 x (0, 2]时， x 2 ( 2,0]， f (x) 2 f (x 2) 2 1 | x 2 1| 2 1 | x 1| ，
当 x (2, 4]时， x 2 (0,2]， f (x) 2 f (x 2) 4 1 | x 3 | ，
作出函数 y f (x) 在 2，4 内的图象，如图：
由图可知： 2 < a < 0或 a 1，故选：B.
【点睛】本题考查了分段函数的图象的应用，考查了转化与化归思想、数形结合思想，考查了由方程根的
个数求参数的取值范围，属于中档题.
【变式 1-1】
ì1 1 x ,0 x 2
（21-22 高三上·天津河西·期末）已知函数 f x í ，当 x 0,82 f x 2 , x 2 时，函数F x f x kx
恰有六个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）
4 2 4
A． ,1÷ B．5
,
è è 3 5 ÷
2 , 4 4 C． ê3 5 ÷
D． ,1÷
ê 5
【答案】B
【分析】先求出函数的表达式，再根据函数的表达式画出图象，最后根据数形结合思想求解.
【详解】当0 x 1时， f (x) 1 (1 x) x ；当1< x 2时， f (x) 1 (x 1) 2 x .
2x 4,2 < x 3
当 2 < x 4 时，0 < x 2 2，可得 f (x)
ì
í ，当 4 < x 6时， 2 < x 2 4，
2x 8,3 < x 4
ì4x 16,4 < x 5 ì8x 48,6 < x 7
可得 f (x) í ，当6 < x 8时， 4 < x 2 6，可得 f (x) .
4x 24,5 < x 6
í
8x 64,7 < x 8
画出函数 f (x) 在 0,8 上的图象如下图所示：
k 2 0 2 4 0 4由上图 OA ， k3 0 3 OB
，
5 0 5
函数F x f x kx恰有六个零点，即函数 y f x 与函数 y kx 有 6 个交点，
从上图观察可知 y kx 在直线OA与直线OB 之间即可满足题意，
2 4
此时， < k < .故选：B
3 5
【变式 1-2】
（24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习）定义在R 上的函数 f x 满足 f x 2 2 f x ，且当 x 0,2 时，
f x x 2 x ，则函数 y f x 1 在 4,4 上的零点个数为（ ）
4
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
1
【分析】根据函数的解析式与性质作图，再分析 f x 的零点个数即可.
4
【详解】当 x 0,2 时， f x x 2 x ，且 f x 2 2 f x ，
则当 x 2,4 时， f x 2 f x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 4 ，
1 1 1
当 x 2,0 时， f x f x 2 x 2 2 x 2 x x 2 ，
2 2 2
当 x 4, 2 时， f x 1 f x 1 2 1 ÷ x 2 x 2 2
1
x 2 x 4
1
，可作出 f x 与 y
2 2 è 2 4 4
的图像： 函数 y f x 1 的零点即 y f x 与 y 1 的交点，故在
4 4
4,4 上的零点个数为 7.故选：C
【变式 1-3】
（19-20 高三上·河南郑州·阶段练习）已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数， g(x) [x]为取整函数， x0 是函
数 f (x) ln x x 4 的零点，则 g x0 （ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据零点存在定理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由定义求得 g x0 的值.
【详解】函数 f (x) ln x x 4 在(0, + ∞)递增，且 f (2) ln 2 2 < 0， f (3) ln 3 1 0，
所以函数 f (x) 存在唯一的零点 x0 (2, 3)，故 g x0 2，故选：C.
【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用，由定义求函数值，属于基础题.
题型 12 零点：高斯取整型
【解题规律·提分快招】
取整函数（高斯函数）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心头”，一端是“实心头”
3.还可以引入“四舍五入”函数作对比
【典例 1-1】
（2020·山东聊城·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪
念数学家高斯，人们把函数 y x , x R 称为高斯函数，其中 x 表示不超过 x 的最大整数.设 x x x ，
则函数 f x 2x x x 1的所有零点之和为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由题意知，当 x 0时， f x 1，所以0 不是函数 f x 的零点，当 x 0时，令
y1 2 x 2x 2 x , y
1 1专题 04 嵌套函数与函数零点归类
目录
题型 01 复合一元二次：可因式分解型 ............................................................................................................................1
题型 02 复合一元二次：根的分布型 ................................................................................................................................2
题型 03 嵌套函数：无参型 ................................................................................................................................................4
题型 04 嵌套函数：解析式含参型 ....................................................................................................................................5
题型 05 嵌套函数：零点方程含参 ....................................................................................................................................6
题型 06 嵌套函数：综合型 ................................................................................................................................................6
题型 07 零点：分参水平线型 ............................................................................................................................................7
题型 08 零点：切线分界法 ................................................................................................................................................8
题型 09 零点：分段含参讨论型 ......................................................................................................................................10
题型 10 零点：局部小周期型 ..........................................................................................................................................11
题型 11 零点：放大镜类周期型 ......................................................................................................................................12
题型 12 零点：高斯取整型 ..............................................................................................................................................13
题型 13 零点：超难压轴小题 ..........................................................................................................................................14
结束.....................................................................................................................................................................................16
题型 01 复合一元二次：可因式分解型
【解题规律·提分快招】
2
形如 a f x bf x c 0 a[ f x m][ f x n] 0一元二次型可以因式分解，可以通过换元法
f x t ，转化为“水平线” t1 m, t2 n 求交点。
【典例 1-1】
ìx2ex , x <1
（24-25 高三上·天津南开·阶段练习）已知函数 f x í ex ，函数 f
2
x 4af x 0 a R 有两个
2 , x 1 x
不等实根，则 a的取值范围是（ ）
1 e2 1 e2 e
A． , B． , U ,
è e
2 16 ÷ e2 16 ÷ 2 ÷ è è
e 1 e2 e
C． , ÷ D． 2 , ÷ U , è 2 è e 16
÷
è 4
【典例 1-2】
ex 2
（2024·天津市河北区期中）已知函数 f x x ，若函数 g x f x af x e
2 ae恰有 5 个不同的零
点，则实数 a的取值范围是（ ）
A． , 2e B． , e C． ,
2
D
1
÷ ． ,

e e ÷è è
【变式 1-1】
ì x 4 1 , x 1
（2024 天津市五区县重点联考）已知函数 f x 2í ，若方程 2 f x a 2 f x a 0
x
2 6x 8, x >1
有 7 个不同的实根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0, 2 B． 0, 2 C． 1,1 D． 1,2
【变式 1-2】
ì5 2 x 2 ,
x 0
（21-22 高一上·天津·期末）已知函数 f x í2x 3 ，若函数 g x f 2 x m 2 f x 2m有 9
, (x < 0) x 1
个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）
A． 1,2 3,4 B． 1,2 3,4 C． 2,3 4 D． 2,3 U 4,
【变式 1-3】
ì x2 4x 2, x 0, 2
（23-24 天津市蓟州区下营中学）已知函数 f x í 若函数 g x 3 f x m 3 f x m
ln x , x > 0,
有 5 个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A． , 2 B． , 6
C． 6 U , 6 D． , 6 6,
题型 02 复合一元二次：根的分布型
【解题规律·提分快招】
根的分布
1.基础分布：0 分布
特征：（1）、两正根；（2）、两负跟；（3）、一正一负两根。
方法：判别式+韦达定理
2．区间分布与 K 分布
特征：（1）、根比某个常数 K 大或者小；（2）、根在某个区间（a，b）内（外）
方法：借助复合条件的大致图像，从以下四点入手
（1）开口方向；
（2）判别式；
（3）对称轴位置；
（4）根的分布区间端点对应的函数值正负
如果是“0”分布，可以用韦达定理
【典例 1-1】
ì 2x 2 1 , x 0 2
（23-24 高三上·天津·期中）已知函数 f x í ，若关于 x 的方程 f (x) mf (x) 2 0恰有 6
log2 x , x > 0
个不同的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
, 11 11A． ÷ 3, 2 2 B．( , 2 2 è 3 3 ÷
, 11 ( 11C． ÷ , 2 2

÷ D． 3, 2 2 è 3 3
【典例 1-2】
ì x 3, x 3
（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 f x í ，若函数
x
2 6x 9, x > 3
2g x f x af x 2有 6 个零点，则 a的值可能为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【变式 1-1】
ì x2 2x, x 0
2
（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 f x í ， g x 2 f x mf xlog 1，若 1 x , x > 0
2
m 2 2,3 ，则 g x 零点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式 1-2】
ì 2
x 1 1, x 2
（22-23 高一上·湖北黄冈·期末）已知函数 f x í 若关于
x 的方程
log2 x 2 , x > 2
f 2 x a 8 f x a 0有6 个不同的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）
15 15 7
A ． 4, ú B． ê ,0 C． 4,0 D． 4, è 4 4 ÷ è 2 ÷
【变式 1-3】
ì x
，x >1 2
（22-23 高三上·天津东丽·期末）已知函数 f x í elnx ，若方程 f x 4a 2 f x 1 0的
x
3 3x 4，x 1
图像恰有 5 个不同实根，则实数 a的取值范围是（ ）
9 49
A． ê ， ÷ B． 1， 8 è 24 ÷
9 9 49
C． 1， ú D．8 ê
， ÷
è 8 24
题型 03 嵌套函数：无参型
【解题规律·提分快招】
嵌套函数基础方法理解
1、可换元
2、可通过换元构造“双坐标系”，注意对应的横纵坐标变量以及含义。
【典例 1-1】
ì| 2x 1 |, x < 2
f (x) （高二下·河北保定·期末）若函数 í 3 ，则函数 g x f f x 2的零点个数为（ ）

, x 2
x 1
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例 1-2】
ì x 1 , x < 0,
（高三上·湖北·阶段练习）已知函数 f (x) í ， g(x) x2 4x 1 4l ，若关于 x 的方程 f [g(x)] l
lg x, x > 0
有 6 个不相等的实数解，则实数l 的取值范围是
2 2 2 1 1 2
A． (0, ) B． (0, ) C3 ． ( , ) D． ( , )5 5 2 2 3
【变式 1-1】
ì 4
x , x > 0
（24-25 2高三上·天津和平·阶段练习）已知函数 f x í x , g x x ax b ，若方程 g f x 0
log2 x , x < 0
有且仅有 5 个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（ ）
A． 64 B． 128 C．4 D．8
【变式 1-2】
ìa a < b ì 1 ü
（24-25 高一上·重庆·阶段练习）定义min a,b í ，设 f x min x 1 , x 1
b a b
í ，则方程
2


f f t
1
0 的实根个数为（ ）2
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式 1-3】
ìx2 2x 1, x 0
（23-24 高三上·湖北·开学考试）设函数 f x í ，则函数 y f f x 1 1的零点个数为
lnx, x > 0
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型 04 嵌套函数：解析式含参型
【解题规律·提分快招】
1.引入参数
2.参数在所给的母函数内。
3.参数在解析式或者定义域中，分别对函数图像的影响
4.授课时讲清楚因为参数而造成的“动图”，可以引导学生借助画分解图来增加理解。
5.教师授课时可以借助几何画板展示，但是对于学生，特别是普通程度学生，要引导学生手工画“分解图”
增加实战能力。
【典例 1-1】
ìkx 2, x 0 1
（24-25 高一上·广东·期中）已知函数 f (x) í x f f x 2 , x 0，若方程 有且仅有一根，则实数 k 的 < 2
取值范围是（ ）
3 3 3
A． ,0÷ B． ê ,0÷ C．[0, ) D． , 4 4 4 ÷è è
【典例 1-2】
ì log 1 x ，x <1
（24-25 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知 f x
2
í ，若方程 f f2 x 0有6 个不等实
x 2 m，x 1
数根，则实数m 的取值范围为（ ）
13 1
A． 1,2 B． 2,
è 2
ú

13 1 , 4 13 7

C． 2 ÷÷
D． 4,
è è 2
ú

【变式 1-1】
ì a ×2x，x 0，
（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知函数 f x í 若关于 x 的方程 f f x 0有且仅有两个实
log2x，x > 0，
数根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． ,0 0,1 C． 1, D． 0,1 U 1,
【变式 1-2】
（2019·天津河西·一模）已知函数 f x 满足， f ì
kx k, x 0
x í ，其中 k 0，若函数 y f f x 1有 4
ln x, x > 0
个零点，则实数 k 的取值范围是 .
【变式 1-3】
f x x a（22-23 高一上·江苏泰州·期末）已知函数 x a ，若关于 x 的方程 f f x 2恰有三个不相
x a
等的实数解，则实数 a的取值集合为 .
题型 05 嵌套函数：零点方程含参
【解题规律·提分快招】
1.解析式无参，很容易画出图像
2.“方程”中有参。
【典例 1-1】
ìx2 2x 3, x 0
（22-23 高一上·福建厦门·期末）已知函数 f x í ，则方程 f f x k 的实数解的个数至
log2 x 2, x > 0
多是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【典例 1-2】
ì x 1 a
e , x < 0
（20-21 2高三上·天津南开·阶段练习）已知实数 a > 0，函数 f (x) í （ e为自然
ex 1 a x2 (a 1)x a , x 0
2 2
x f f (x) e a a对数的底数），若关于 的方程 恰好有 3个不相等的实根，则实数 a的取值范围是 .
2
【变式 1-1】
ì x2 4x, x 4
（2021·天津南开·二模）设函数 f x í ，若函数 y f x 在区间 a, a 1 上单调递增，则实
log2 x, x > 4
数 a的取值范围是 ；若函数 g x f f x m 恰有 5 个的零点，则m 的取值范围为 .
【变式 1-2】
ìe2x , x 0
（21-22 高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数 f x í ， g(x) x2 2x（其中 e 是自然对数的底
x, x > 0
数），若关于 x 的方程 g( f (x)) m 恰有三个不等实根 x1, x2 , x3，且 x1 < x2 < x3，则2x1 x2 2x3 的最大值
为 .
【变式 1-3】
x
（24-25 高三上·天津北辰·期末）已知函数 f (x) e , g(x) 2e ln x .若函数 y f (g(x)) a恰有三个零点，
x 1 x
则实数 a的取值范围是 .
题型 06 嵌套函数：综合型
【解题规律·提分快招】
1.f（x）与 g（x）型
2.多为一分段一个是常规函数
多以 af ( f (x)) bf (x) c 0 题型为主
【典例 1-1】
（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知定义在 0, 上的函数 y f x 满足:对任意 x 0, ，都有
f [ f (x) 1 ] 5 .若函数 y f x 5的零点个数为有限的 n(n∈N)x 个，则 n 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例 1-2】
（24-25 高一上·浙江宁波·期中）已知函数 f (x) 为R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x2 2x ，若函数 g(x)
ì f (x), x 0
满足 g(x) í g( f (x)) a 0 8f (x), x 0，且 有 个不同的解，则实数
a的取值范围为（ ）
<
A． a < 1 B． 1 < a < 0
C．0 < a <1 D． a >1
【变式 1-1】
（24-25 4 4高三上·江西新余·阶段练习）已知函数 f x sin x cos x 0 x 2π ，则关于 x 的方程：
f f x f x 2 1 0的实根个数为：( ).
A． 2 B． 4 C．6 D．8
【变式 1-2】
ì x2 2ax, x 0 1（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x í （0 < a < ），函数 g x f f x f x 1
lnx , x
，则
> 0 2
函数 g x 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-3】
ì x e 1, x 0
（22-23 2高二下·辽宁·期末）已知函数 f x í 2 , g x x ax 1，若 y g( f (x))有 6 个零点，
x 4x 3 , x > 0
则 a的取值范围为（ ）
10 5 10 5
A． 2, ÷ B． ,3 2 3 ÷
C． (3, ) D． ,3
è è è 2 ú
题型 07 零点：分参水平线型
【解题规律·提分快招】
1.分离参数。得常数函数（含参水平线）
2.函数画图，需要运用到复合函数单调性，
【典例 1-1】
ì 1 x 1
f x ÷ , x 1（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知函数 íè 2 2 ，若关于 x 的方程 a f x 恰有两个不同
x2 4x 2, x >1
实根，则实数 a的取值范围是（ ）
1 1
A． ,
1,2 0, ÷ B． ÷ 1,2
è 2 è 2
1 3 1
C． ,1÷ , 2÷ D． , 2÷
è 2 è 2 è 2
【典例 1-2】
ìlog x, x > 0
（24-25 高一上· 3天津河东·阶段练习）已知函数 f x í x ，且关于 x 的方程 f x x a 0
3 , x 0
有且只

有一个实根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0, B． ,0 C． 1, D． 1,
【变式 1-1】
ì3ln x x a 1, x > 0
（24-25 高一上·天津·期末）若函数 f (x) í 2 恰有 3 个零点，则 a的取值范围为（ ）
ln(x 4x a), x 0
A． 5, 1 B． 5, e C． ( 5, 4) D． 5, e
【变式 1-2】
ìx2 2x 3, x 0
（24-25 高一上·天津红桥·期末）已知函数 f x í ．若方程 f x k 有三个不等的实数解
2 ln x, x > 0
x1, x2 , x3 且 x1 < x2 < x3，则下列结论错误的是（ ）
k 4, 3 x 1 , 1A． B． 3
è e2 e ú
2 2
C． x1x3 x2x3 ê , 2 ÷ D．0 < xe e 1
x2 1

【变式 1-3】
（24-25 高三上·江西·期中）已知函数 f (x) ln x 1 k 有两个零点 a，b a < b ，则a 2 b 1 的取值范围
是（ ）
A． 2 2 1, B． 2, C． 0,2 D． 0, 2 2
题型 08 零点：切线分界法
【解题规律·提分快招】
当分离参数较困难时，可以“分离函数”，一般情况下，一侧多为直线，一侧是可以研究出图像的函数。
1.交点（零点）的个数和位置，多借助切线来寻找确定。
2.切线虽然大多数可以通过导数来解得，但对于如一元二次等常见函数的切线，可以通过方程联立解决，
这样可以简化一些计算。
3.对于圆和圆锥曲线部分图像所获得的函数，导数求切线难度大，圆和圆锥曲线求切线的方法要注意总结
掌握。
【典例 1-1】
ì 3x 1 1, x > 0,
（2022·天津宝坻·二模）已知函数 f x í 2 若函数 y f x kx 1有m 个零点，函数
x 2x, x 0,
y f x 1 x 1有 n 个零点，且m n 7，则非零实数 k 的取值范围是（
k ）
0, 1 3, A． ú B． C． 0,
1
ú 3,
1
D． ,1÷ 1,3
è 3 è 3 ê3
【典例 1-2】
ì x2 4a 3 x 3a, x < 0,
（24-25 高三上·北京·开学考试）已知函数 f x í , (a > 0 a 1) , log x 1 1, x 0 ，且 在 上单 a
调递减，且函数 g x f x x 2恰好有两个零点，则 a的取值范围是（ ）
1 , 2 ì3ü 1A． ê ú í B． ê ,
2 U ì3ü 2 2 3 ÷ í C． 0, ú D． , 3 3 4 3 3 4 è 3 ê 3 4 ú
【变式 1-1】
ì
4x x
2 ,0 < x 2 1
（2024·辽宁抚顺·一模）函数 f x 满足：当 x > 0时， f x í 1 ， y f xx 3 是奇函数．记
2 , x > 2 2
3
m
关于 x 的方程 f x 7 kx 1 0 k R 的根为 x1, x2 , × × ×, xm ，若 f xi ，则 k 的值可以为（ ）2 i 1 2
11 17 5
A． B． C． D．1
18 12 4
【变式 1-2】
ì x e , x 1
（22-23 高二下·天津西青·阶段练习）已知函数 f x í ，若函数 g x f x k x 2
2 x 4x 3,1 < x < 3
有三个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）
0, 1 U 1 , e
15 1 e
A． 4 ÷
B．
è è e 3ú
0, U15 ÷÷
,
è è 2e 3
ú
15 1 e 15 1 e
C． 0, ÷÷ U , ú D． 0, U ,
è 15 è e 3 è 15 ÷
÷ ÷
è 2e 3
【变式 1-3】
ìx2 4x, 3 x 0
（22-23 高三上·天津河西·期末）已知函数 f x í ，若方程 f x x 1 kx 0有且只有
2x 3, x > 0
三个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是（ ）
2 ,3 2 2 1 A． ê ÷ B． ê ,1 3 3 ÷
1 1
C． , ú D． ê ,5÷è 3 3
题型 09 零点：分段含参讨论型
【解题规律·提分快招】
属于“动态函数”画图法
1.参数在分段函数定义域分界点处。
2.函数图像的“动态”讨论点，多从特殊点，交点，单调性改变点，奇偶性等处寻找。
3.引导学生多画分解图。
【典例 1-1】
ì2x m, x <1
（24-25 高一上·天津南开·阶段练习）若函数 f x í 2 2 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围
x 4mx 3m , x 1
是（ ）
1
A． ê ,1÷ B． ,0 1, 3
C． 1,2 1D． ê ,1

÷ U 2,
3
【典例 1-2】
ìlog 1 x, x > 0
2
（23-24 高三上·天津蓟州·阶段练习）已知函数 f (x) í 1 15 ，函数 g(x) x
2 ，若函数
a x , x 0
2 4
y f (x) g(x)有 3 个零点，则实数 a的取值范围为（ ）
15 5,15 A．（ ，3） （5， ） B．
2 2 ֏
19
C． 5, ÷ D． 5,
19
è 2 è 2 ú
【变式 1-1】
ìx2 ,0 x < a,
（21-22 高一上·云南临沧·期末）已知函数 f x í x 若存在实数 b，使得方程 f x b 0有两个
2 , x a,
不同的解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 0, 2 B． 2,
C． 2, 4 D． 4,
【变式 1-2】
ìx2 2ax 2a, x 1
（23-24 高三上·天津蓟州·阶段练习）已知 a R ，函数 f x í ，关于 x 的方程
ln x 1,x >1
f x 1 x a 恰有两个互异的实数解，则实数 a的取值范围是（ ）
4

A． ,0 5 , 5 2 6 5 2 6

÷ B． , ÷÷ , 4 8 ÷÷è è è 8

, 5 2 6 5
5 2 6
C． 8 ÷÷
, D． ,0 ,
è è 4
÷ è 8 ÷
÷

【变式 1-3】
ìcos πx πa , x < a
（2023·贵州贵阳·三模）已知函数 f x í 2 2 ，其中 a R ，若 f x 在区间 0, 内恰好
x 2ax a 4, x a
有 4 个零点，则 a 的取值范围是（ ）
3 5 3 5 5 7 5 7
A． ,
è 2 2 ú
B． ê , ú C． , D． , 2 2 è 2 2ú ê 2 2ú
题型 10 零点：局部小周期型
【解题规律·提分快招】
局部小周期两大模型
局部周期：
ì 2x , (x 0
1、f（x）= í
f（x-1）, ( x > 0)
局部周期：
ì 2x , (x 0
2、f（x）= í
f（x-1）+b, ( x > 0)
【典例 1-1】
ì2 x 1(x 0)
（2013·湖南益阳·一模）函数 f (x) í ，若方程 f (x) x a 有且只有两个不等的实根，则实数 a
f (x 1)(x > 0)
的取值范围为（ ）
A． ( ,1) B．[0,1) C． ( ,0) D．[0, )
【典例 1-2】
（2012·全国·一模）已知函数 若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则
实数 a 的取值范围为
A．(-∞,0］ B．［0,1) C．(-∞,1) D．［0,+∞)
【变式 1-1】
ì 3x , x < 0, 1
（24-25 高一上·山东威海·期中）已知函数 f x í 若函数 y f x mx f x 2 , x 0, （m > 0）有 3 个 2
零点，则正实数m 的取值范围为（ ）

A． 0,
7 7 7
72 ÷
B． ,
è è 72 36 ú
7
C． ê ,
7 7 , 7 D．
72 36 ú è 72 18ú
【变式 1-2】
ì x
2 , x < 0, 1 3（24-25 高三上·北京·阶段练习）已知函数 f x í 当 m < 时，方程 f x
1
x m
f x 2 , x 0
的根
2 4 8
的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 1-3】
ì f x , 6 x < 0

（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知定义在 6,6 上的连续函数 f x ，满足 f x í x 1 1,0 x 2 ，

2 f x 2 , 2 < x 6
则方程[ f (x)]3 4[ f (x)]2 3 f (x) 0的解的个数为（ ）
A．13 B．14 C．20 D．21
题型 11 零点：放大镜类周期型
【解题规律·提分快招】
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有 0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。
【典例 1-1】
（2020·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数 f (x) 满足当 x 0 时，2 f (x 2) f (x)，且当 x ( 2,0]时，
f (x) | x 1| 1；当 x > 0时， f (x) loga x(a > 0 且 a 1).若函数 f (x) 的图象上关于原点对称的点恰好有 3
对，则 a的取值范围是（ ）
A． (625, ) B． (4,64) C． (9,625) D． (9,64)
【典例 1-2】
ì 1 x 1，x 2，0
（20-21 高三上·天津河西·阶段练习）已知函数 f x í f x x a2 f x 2 x 0 ，若方程 在区间 ， ，
2，4 内有 3 个不相等的实根，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 2 < a < 0 B． a 2 < a < 0 或 a 1
C． a 2 < a < 0 或1 < a < 2 D． a 2 < a 0
【变式 1-1】
ì1 1 x ,0 x 2
（21-22 高三上·天津河西·期末）已知函数 f x í ，当 x 0,8 时，函数F x f x kx
2 f x 2 , x > 2
恰有六个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）
4 ,1 2 4 A． 5 ÷
B． ,
è è 3 5 ÷
2 4 4
C． ê , ÷ D． ,1÷ 3 5 ê5
【变式 1-2】
（24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习）定义在R 上的函数 f x 满足 f x 2 2 f x ，且当 x 0,2 时，
f x x 2 x 1，则函数 y f x 在 4,4 上的零点个数为（ ）
4
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式 1-3】
（19-20 高三上·河南郑州·阶段练习）已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数， g(x) [x]为取整函数， x0 是函
数 f (x) ln x x 4 的零点，则 g x0 （ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
题型 12 零点：高斯取整型
【解题规律·提分快招】
取整函数（高斯函数）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心头”，一端是“实心头”
3.还可以引入“四舍五入”函数作对比
【典例 1-1】
（2020·山东聊城·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪
念数学家高斯，人们把函数 y x , x R 称为高斯函数，其中 x 表示不超过 x 的最大整数.设 x x x ，
则函数 f x 2x x x 1的所有零点之和为（ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
【典例 1-2】
（21-22 高三上·吉林·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
为了纪念高斯，人们把函数 y x ， x R称为高斯函数，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，例如：
1.1 1， 0.1 1．设 x x x ，则函数 f x 2021 x x 零点的个数为（ ）
A．4040 B．4041 C．4042 D．4043
【变式 1-1】
（19-20 高三上·河南南阳·期末）十八世纪，函数 y [x]（[x]表示不超过 x 的最大整数）被“数学王子”高斯
采用，因此得名为高斯函数，结合定义的表述，人们习惯称为“取整函数”，根据上述定义，则方程
2019x2 [x] 2020 0的所有实数根的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 1-2】
（24-25 高一上·湖北·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数
f (x) [x]称为高斯函数，其中 x R ，[x]表示不超过 x 的最大整数，例如： 1.1 2 ， 2.5 2，则方程
[2x 1] [x] 4x 的所有大于零的解之和为（ ）
1 3 3 7A． 2 B． C． D．4 2 4
【变式 1-3】
ìcos 2πx 2πa , x < a
（24-25 高一上·天津·期末）设 a R ，函数 f x í 2 2 ，若函数 f x 在区间 0, x 2 a 1 x a 5, x a
内恰有 7 个零点，则实数 a的取值范围是（ ）
7 11
A． , 2ú U ,
13 7 ,2 U 13 ,15 B．
è 4 è 4 4 ú 4 ú è è 4 4 ú
9 , 5 U 13 ,15 9 5 11 13 C． ú D． , U ,è 4 2 è 4 4 ú è 4 2ú è 4 4 ú
题型 13 零点：超难压轴小题
【典例 1-1】
ì 3a 1 x 3, x 2
（20-21 高二下· 2天津河北·期末）设函数 f x í a R ，记函数 g x f x ax8a x 3 , x 2 有且仅 <
有 n 个互不相同的零点（ n N ），则当 n 取到最大值时，实数 a 的取值范围是（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A． ê ,
,
2 3 ÷ ÷
0, ÷ B． , ÷ , ÷ 0, ÷
è 3 4 è 8 ê 2 3 è 3 8 è 4
5 1 1 1 1 5 1 1 1 1
C． , ú , ÷ 0, ÷ D． , ú , 0,è 4 2 è 3 4 è 8 è 4 2 è 3 8 ÷ ÷ è 4
【典例 1-2】
ì1 x+1 ,x [ 2,0] 1
（2018·天津·一模）已知函数 f (x)= í ，若函数 g(x) x f (x) b 在区间[ 2,6]内有3个
f (x 2),x (0,+ ) 3
零点，则实数b 的取值范围是 .
【变式 1-1】
（24-25 高三上·天津·期中）若函数 f x ax2 2x x2 ax 1 1 a R 有两个零点，则实数 a的取值范
围为 .
【变式 1-2】
（24-25 高三上· 2天津·阶段练习）若函数 f x x ax 2x a a 恰有两个零点，则 a 的取值范围为 .
【变式 1-3】
ìxlnx, x > 0,

（23-24 高三下·浙江·开学考试）已知函数 f x í1 若函数 g x f f x af x 1有唯一零点，
x, x < 0, x
则实数 a的取值范围是 .
题型通关
1 2．（2024·浙江温州·二模）若关于 x 的方程 x mx 1 x2 mx 1 2 mx 的整数根有且仅有两个，则实数m
的取值范围是（ ）
5 5 5
A． ê2, ÷ B． 2, ÷ C． , 2

ú U

ê2,
5 5 5
÷ D． , 2÷ U 2, ÷
2 è 2 è 2 2 è 2 è 2
1 1
2．（2022· 3 2陕西西安·二模）已知函数 f (x) x ax bx c有两个极值点 x
3 2 1
, x2 ，若 f (x1 ) x1，则关于 x
的方程 f 2 (x) af (x) b 0的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24 高一下·上海徐汇·期末）对于实数 x ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，例如 2.1 3, 2.1 2 .
已知 f x sin x sinx , g x f x ，则下列 3 个命题中真命题的个数为 .
（1）函数 g x 是周期函数；
π
（2）函数 g x 的图像关于直线 x 2 对称；
（3）方程 f x × g x x有 2 个实数根.
ì log5 1 x x <1
f x 1 x f x 2 4．（22-23 高一上·湖北武汉·期末）函数 í ，若关于 的方程 t 0恰

÷
x 2 2 2 x 1 è x
好有 8 个不同的实数根，则实数 t的取值范围是 .
5．（19-20 高三下·重庆渝中·阶段练习）函数 f x 满足 f 1 x f 1 x ，当 x >1时， f x x ，若
ln x
f 2 x 2mf x 4m 0有 8 个不同的实数解，则实数 m 的取值范围是 ．
ì2 x 1 1,0 < x 2

6．（2022·全国·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x > 0时， f (x) í1 有下列结
f (x 2), x > 2 2
论：
①函数 f x 在 6, 5 上单调递增；
②函数 f x 的图象与直线 y x 有且仅有 2个不同的交点；
③若关于 x 的方程[ f (x)]2 (a 1) f (x) a 0(a R) 恰有 4个不相等的实数根，则这 4个实数根之和为8；
④记函数 f x 在 2k 1, 2k k N* 127上的最大值为ak ，则数列 an 的前7 项和为 .64
其中所有正确结论的编号是 .
7．（2016·上海杨浦·一模）已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当0 x 1时， f x x2 ，当 x > 0时，
f x 1 f x f 1 ，若直线 y kx 与函数 y f x 的图象恰有 7 个不同的公共点，则实数 k 的取值范围
为 .
结束

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