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专题 12 数列递推归类
目录
题型 01 换元型累加（积）法求通项 ..............................................................................................................................1
题型 02 待定系数型二阶等比数列 ....................................................................................................................................3
题型 03 倒数型等差构造 ....................................................................................................................................................5
题型 04 “隐形和“求通项 ................................................................................................................................................7
题型 05 前 n 项积型 ............................................................................................................................................................9
题型 06 高次型 ..................................................................................................................................................................11
题型 07 同构型 ..................................................................................................................................................................13
题型 08 周期型 ..................................................................................................................................................................15
题型 09 奇偶分段型 ..........................................................................................................................................................17
题型 10 等比三阶构造型 ..................................................................................................................................................19
题型 11 二阶“和定”型构造 ........................................................................................................................................21
题型 01 换元型累加（积）法求通项
【解题规律·提分快招】
形如：对于递推公式为 an - an-1 = f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；
利用累加法求通项： an = a1 f (1) f (2) f (3) ... f (n -1) （一定注意，是n-1项积）
an 1
形如： = f n a 的数列的递推公式，采用累乘法求通项；n
利用累乘法求通项： an = a1 f (1) f (2) f (3) ... f (n -1) （一定注意，是n-1项积）
【典例 1-1】
a a 1
（2022 高三·全国·专题练习）在数列 an 中， a = 2， n 1 = n1 ln(1 ) ，则 an 等于（n 1 n n ）
A． 2 n ln n B．2n (n -1) ln n
C． 2n n ln n D．1 n n ln n
【答案】C
【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答.
an 1 a【详解】因 = n ln(1
1) a a ，则有 n 1 - n = ln(n 1) - ln n ，
n 1 n n n 1 n
a a a a a a a a
于是得，当 n 2时， n = 1 ( 2 - 1 ) ( 3 - 2 ) L ( n - n-1 )
n 1 2 1 3 2 n n -1
= 2 ln 2 - ln1 ln 3- ln 2 L é ln n - ln n -1 ù = 2 ln n ，
因此， an = 2n n ln n ，显然， a1 = 2满足上式，所以 an = 2n n ln n .故选：C
【典例 1-2】
a a 1
（2023·湖南长沙·一模）在数列 an 中， a = 2， n 1 = n1 ln(1 ) ，则 a =（ ）n 1 n n n
A． 2 n ln n B． 2 n -1 ln n C．1 n ln n D． 2n n ln n
【答案】D
a
【分析】利用累加法先求出 n = 2 ln n ,进而求得 an 即可n
a a n 1 a a n a a n -1 a a 2
【详解】由题, n 1 = n ln ,则 n = n-1 ln , n-1 = n-2 ln …, 2 = 1 ln ,
n 1 n n n n -1 n -1 n -1 n - 2 n - 2 2 1 1
a a n a n n -1
所以由累加法可得, n = 1 ln ln
n -1L ln 2 n = a ln ,即 1 × ×L
2
× ,
n 1 n -1 n - 2 1 n è n -1 n - 2 1 ÷
a
则 n = 2 ln n ,所以 an = 2n n ln n 故选：Dn
【点睛】本题考查累加法求数列通项公式,考查对数的运算性质
【变式 1-1】
（23-24 高二下·河南·阶段练习）已知数列 an 满足a3 - a2 = 9,an - 4an-1 3an-2 = 0 n 3 ，则 an - a1 =（ ）
n n n-1
A 3 - 3． B 3 3． C 3 -1．2 ×3n - 6 D．
2 4 2
【答案】A
【分析】根据已知的递推关系可以得到{an 1 - an}为等比数列，再用累加法求解即可.
【详解】由已知得： an - an-1 = 3(an-1 - an-2 )(n 3)，
又 a3 - a2 = 9，所以 a3 - a2 = 3(a2 - a1) = 9 ，即 a2 - a1 = 3，
所以{an 1 - an}是以3为首项，3为公比的等比数列,
n-1 n
因此 an 1 - an = 3 3 = 3 ，
当 n 2时， a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 3
2 ,Lan - an-1 = 3
n-1
a a 3 32 L 3(1- 3
n-1) 3n - 3
相加得： n - 1 = 3
n-1 = = .
1- 3 2
故选：A.
【变式 1-2】
（23-24 高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列 an 中， a1 =1，若 (n 1) an - an 1 = anan 1，则下
列结论中正确的是（ ）
1 1 1 1 1 2
A． - - B． an 2 an (n 2)(n 1)
1 1 1
C． - < a × ln(n 1) <1a2n an 2
D． n
【答案】D
1 1 1
【分析】根据递推关系 = a a n 1，即可判断 A；由基本不等式即可判断 B；根据累加法以及放缩法即n 1 n
1 1 n 1
可判断 C；根据导数可证明 > ln( 1) = ln ，进而根据累加法以及放缩即可求解 D.
n n n
1 1 1
【详解】数列 an 中， a1 =1， (n 1)(an - an 1) = anan 1，显然 an 0 ，则 - =an 1 an n 1
，
1 1 1 1
对于 A， - = an 1 an n 1 2
，A 错误；
1 1 1 1 1 1 1 1 2
对于 B， - = - - = + >an 2 a
÷ ÷
n è an 2 an 1 è an 1 an n+2 n 1 n 2 n 1
，B 错误；
1 1 1 1 1 1 1 1
对于 C， - = ( - ) ( - ) L ( - )a2n an a2n a2n-1 a2n-1 a2n-2 an 1 an
= 1 + 1 1 L 1 1 1 1 1 n 1 L = = ，C 错误；
2n 2n -1 2n - 2 n 2n 2n 2n 2n 2n 2
对于 D，令 f (x) = x - ln(x 1), x > 0，求导得 f (x) =1
1 x
- = > 0，
x 1 x 1
因此 f (x) 在 (0, )上单调递增， f (x) > f (0) = 0，于是当 x > 0时， x > ln(x 1)，
1 1 1 1 1 n 1
则有 > ln( 1)
n 1
= ln ，当 n 2时， - = > ln
n n n an an-1 n n
，
1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) L ( 1 1 )= 1 1 L 1则 - = - - - an a1 an an-1 an-1 an-2 a2 a1 n n -1 2
>ln n 1 ln n L ln 4 ln 3 = ln(n 1) - ln 2，
n n -1 3 2
1
因此 >ln(n 1) - ln 2 1>ln(n+1)
1
， > ln 2
1
> ln(n+1)
an a
，则 ，
1 an
显然 an > 0 ，所以 an × ln n 1 <1，D 正确.
故选：D
【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被
消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
【变式 1-3】
a ×a a ×a
（19-20 高一下·浙江宁波· n n-1 n n 1期中）如果数列 an 满足 a1 = 2， a2 =1，且 =an-1 - an a - a
，那么此数列的第
n n 1
10项为（ ）
1 1 1 1
A．
210
B． 9 C． D．2 10 5
【答案】D
ì 1 1 ü 1 1
【分析】由已知的递推式取倒数，得到新数列 í - 构成以 -a a 为首项，以1为公比的等比数列．求 an an-1 2 1
出该等比数列的通项后利用累加法可得数列 an 的第10项．
1 1
-
an ×an-1 an ×an 1 an-1 - an an - an 1 1 1 1 1 an 1 an
【详解】由 = = - = - =1an-1 - an a - a
得 a × a ，即 ，所以n n 1 n n-1 an × an 1 an an-1 an 1 an 1 1-
an an-1
ì 1 1 ü 1 1
所以数列 í - 构成以 -a a 为首项，以1为公比的等比数列， an an-1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 n-1 1 1 1 1
又 a1 = 2， a2 =1， - =1- =a a 2 2 ，则
- = 1 = ，所以可得 - = ，
2 1 an an-1 2 2 a2 a1 2
1 1 1
- = ，
1 1 1 1 1 1
- = - = n 1 1 n- = 2
a3 a2 2 a
，累加得 ，所以 ，即 an = ；
n an-1 2 an a1 2 an 2 n
所以 a
1
10 = .故选：D5 ．
题型 02 待定系数型二阶等比数列
【解题规律·提分快招】
p
形如 an 1 = qan p(q 0，1, p,q为常数）,构造等比数列 an , = 。q -1
特殊情况下，当 q 为 2 时， =p。
an an-1 q
形如 an = pan-1 q pq 0 ，也可以变形为 n = n-1 n pq 0, p 1 p p p ，也可以变形为
a q q n - = p a - .1- p n-1è 1- p
÷

【典例 1-1】
（2023 高二上·福建泉州·阶段练习）已知数列 an 中，a1 =1, an = 3an-1 4（ n N* 且 n 2），则数列 an 通
项公式 an 为（ ）
A．3n-1 B．3n 1 -8 C．3n - 2 D．3n
【答案】C
【分析】先构造新数列 an 2 ，可知为等比数列，再求等比数列通项公式，进而求出数列 an 通项公式即
可.
【详解】由于 an = 3an-1 4，两边同时加上 2，得到 an 2 = 3an-1 6 = 3(an-1 2) .
因为 a1 =1，所以 a1 2 = 3，可知数列{an 2}是等比数列，首项为 3，且公比为3 .
等比数列{an 2} n的通项 an = 3 - 2 .
故选： C.
【典例 1-2】
1
（24-25 高二上·天津滨海新·阶段练习）在数列 an 中， a1 = ， a2 n = 4an-1 1 n 2 ，则
a4 = ( )
A．213 B．106 C．53 D．13
【答案】C
【分析】利用递推关系式依次求值.
【详解】因为数列 an
1
中， a1 = ， an = 4an-1 1 n 2 ，所以a2 = 4a1 1 = 3，2
a3 = 4a2 1 = 13，a4 = 4a3 1 = 53 .
故选：C.
【变式 1-1】
（22-23 高二上·天津河北·期末）若数列 an 中， a1 =1， an 1 = 3an -1， n N* .则a3 =（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据递推公式赋值运算求解.
【详解】当 n =1时，则 a2 = 3a1 -1 = 2，
当 n = 2时，则 a3 = 3a2 -1 = 5 .
故选：A.
【变式 1-2】
2022 高一下·云南德宏·期中）数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n ∈N＋)，那么 a4 的值为．
A．4 B．8 C．15 D．31
【答案】C
【详解】试题分析： ， ， ，故选 C.
考点：数列的递推公式
【变式 1-3】
（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）数列 an 满足 a1 Z,an 1 an = 2n 3，且其前 n 项和为 Sn .若 S17 = am，
则正整数m =（ ）
A．99 B．103 C．137 D．169
【答案】D
【分析】由 an 1 an = 2n 3，得出 an - n -1
n-1
为等比数列，求得 an = -1 a1 - 2 n 1,，得到
a = -1 m-1m a1 - 2 m 1，再求得 S17 = a1 168，分 m 为奇数和 m 为偶数，两种情况讨论，列出方程，即
可求解.
【详解】由 an 1 an = 2n 3得 an 1 - n 1 -1 = - an - n -1 ，
\ an - n -1 n-1为等比数列，\an - n -1 = -1 a1 - 2 ，
\an = -1
n-1 a1 - 2 n 1, am = -1
m-1 a1 - 2 m 1，
\S17 = a1 a2 a3 L a16 a17 = a1 2 2 4 L 16 3 8 = a1 168，
① m 为奇数时， a1 - 2 m 1 = a1 168 m =169 ;
② m 为偶数时，- a1 - 2 m 1 = a1 168 m = 2a1 165，
Qa1 Z,m = 2a1 165只能为奇数，\m为偶数时，无解，
综上所述，m =169 .
故选:D.
题型 03 倒数型等差构造
【解题规律·提分快招】
a pa= n-1 1 1 qn - =
形如 qan-1 p ，取倒数变形为 an an-1 p ；
【典例 1-1】
2a
（24-25 n
*
高二上·天津·阶段练习）已知数列 an 中， a1 =1且 an 1 = n Na 2 ，则a10为（ ）n
1 1 2 2
A． B． C．- D．
5 6 9 11
【答案】D
2 2
【分析】将已知式化简得出 - =1a a ，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可.n 1 n
Qa 2a= n【详解】 n 1 \a a 2 = 2a aa 2 ， n 1 n n ，即 n 1an 2an 1 = 2an，n
2 2 2 2 2
两边同时除以 an 1an 得：1 = - =1a a ，即 a a ，令
bn = b - b =1
n n 1 n 1 n a
，则 n 1 n ，
n
2 2则 bn 是首项为b1 = = 2a ，公差为1的等差数列，则bn = 2 n -1 = n 1，即 = n 1，1 an
2 2 2
则 an = ，则 a10 = = .故选：Dn 1 10 1 11
【典例 1-2】
（22-23 高一下·四川南充·期中）已知数列 an 满足递推关系 a
an 1
n 1 = , a1 = ，则 a =1 a 2 2017 （ ）n
1 1 1 1
A． B． C． D．
2016 2018 2017 2019
【答案】B
【分析】两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.
an 1 an 1 1
【详解】由 an 1 = = = 11 a ，所以n an 1 an an
1 1 1 1 1 = 2 ì 1 ü则 - =a a ，又 a1 = ，所以 a .所以数列 í 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列n+1 n 2 1 an
1 1 1
所以 = n 1a ，则 an = 所以 a2017 = 故选：Bn n 1 2018
【点睛】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.
【变式 1-1】
3a
（23-24 n
*
高二下·吉林长春·期中）已知数列 an 中， a1 =1且 an 1 = n N ，则 a =a 3 13 （ ）n
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 7 6 5
【答案】D
ì 1 ü
【分析】采用倒数法可证得数列 í 为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到 aa n
，得解.
n
3an 1 an 3 1 1
【详解】由 an 1 = a 3 得：
= =
n an 1 3an a
，
n 3
1 ì 1 ü 1
又 =1 \a ， 数列 í 是以 1 为首项， 为公差的等差数列，1 an 3
1 1
\ =1 (n n 2-1) = 3 3 1，\a =a 3 3 n n 2 ， n N
* ，\a
13
= = ，
n 15 5
故选：D．
【变式 1-2】
a
（23-24 n高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列 an 满足 an 1 = a2a -1，且 1 = 3，则 a8 = （ ）n
1 5 3
A．3 B． C． D．
3 3 5
【答案】D
ì 1 ü 1 2 n
【分析】由递推关系证明数列 í -1 是等比数列从而得 -1 = -1
an a 3
，代入 n = 8即可求解.
n
a 1n -
【详解】若 an 0 ，则 a an 2 1= = ，且 an 1 0 ，n 1 2an -1 2an -1 2
1
= 2 1- 1 1 从而由题意 -1 = - -1an 1 a
，即 ，
n a
÷
n 1 è an
ì 1 ü 1 2
也就是数列 í -1 是以 -1 = -a 3 为首项，-1为公比的等比数列， an 1
1 2
从而 -1 = -1 n
1 2 8 2 3
a 3 ，所以
-1 = -1 =
a 3 3 ，解得 a8 = .故选：D.n 8 5
【变式 1-3】
a
（23-24 高二上· n河北邢台·期末）在数列 an 中，已知 a1 = 2，且 an 1 = 2a -1，则 a4 =（ ）n
2 4
A． B．1 C． D． 2
3 3
【答案】A
【分析】利用递推公式逐项计算可得 a4的值.
a
【详解】在数列 an 中，已知 a1 = 2 a = n，且 n 1 2a ，n -1
2
a a= 1 2 2 a2 a 2 2则 2 = = a = = 3 = 2 a = 3 = =2a1 -1 2 2 -1 3
， 3 2a 2
， 4
2 -1 2 -1 2a3 -1 2 2 -1 3
.
3
故选：A.
题型 04 “隐形和“求通项
【典例 1-1】
ì a ü
（23-24 高二上· *天津·期末）设数列 an 满足 a1 2a2 3a3 ××× nan = 2n 1 n N ，则数列 í nn 1 的前 10
项和为（ ）
20 11 51 23
A． B C D11 ． ． ．6 22 6
【答案】C
ì3 , n =1
2 *
【分析】由题得 an 1 = n N an
2 *
，进而有 = í 2 1 1 n N ，由裂项相消法求n 1 n 1 = 2 - ,n 2
n n 1
÷
è n n 1
和即可.
【详解】由题意 a1 2a2 3a3 ××× nan = 2n 1 n N* ，则
a1 2a2 3a3 ××× nan n 1 an 1 = 2 n 1 1 n N* ，
* 2
两式相减得 n 1 an 1 = 2 n N ，所以 an 1 = n N* 2，又 an 1 1 = 2 1 1 = 3 ，1
ì3
ì3, n =1 , n =1
a = a
2
所以 n í2 n N* n， =, n 2 n 1 í 2 1 1 n N
* ，

n = 2 - ,n 2 n n 1
n n 1֏
ì a ü 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 51
所以数列 í n 的前 10 项和为 2 - - L - ÷ = 2 - ÷ = .
n 1 2 è 2 3 3 4 10 11 2 è 2 11 22
故选：C.
【典例 1-2】
（22-23 高二下·天津·期中）数列 an 满足 a1 4a 22 4 a3 L 4n-1a
n
n = （ n N* ），则 a1a2a3LLa4 10
等于
（ ）
1 55 10 9 66A B 1 1 ． ÷ ． - C．1
1 1-
4 4 ÷ 4 ÷
D． ÷
è è è è 4
【答案】A
1
【分析】先求 a1，再由已知仿写作差得到 an = n ，验证 a1是否符合，最后再用等差数列的求和公式求解.4
2 n-1
【详解】由 n N* ， a1 4a2 4 a3 L 4 a
n
= a 1n ，得 1 = 4 ，4
当 n 2 2时， a1 4a2 4 a3 L 4
n-2 a n -1 1n-1 =
n-1
，两式相减得 4 an = ，4 4
1 1 1
则 an = n ，显然 a1 = 4 满足上式，因此 a4 n
=
4n
，
10 1 10
1 1 1 1 1 1 2 3 L 10

55
2
所以 a a a La 1 11 2 3 10 = × 2 × 3 ×L× =
= = .
4 4 4 410 4 ÷ è è 4 ÷ ÷ è 4
故选：A
【变式 1-1】
1 1 1 2n 1
（2019·广东· 2一模）已知数列 an 满足 a1 a2 a3 L an = n n n N ，设数列 bn 满足：bn =2 3 n ana
，
n 1
n
数列 bn 的前 n 项和为Tn ，若Tn < n N 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）n 1
é1
A． ê ,
1 3 3
é ù ÷ B．4
, ÷ C． ê , D． , 4 ÷ è 8 ú è 8
【答案】D
【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的
单调性求出结果.
1 1 1 2
【详解】数列 an 满足 a1 a2 a3 L an = n n ，①2 3 n
a 1 a 1当 n 2时， 1 2 a3 L
1
an-1 = n -1
2 n -1，②
2 3 n -1
é ù
① -
1 2 2n 1 2n 1 1 1 1②得， an = 2n ，故 an = 2n ，则bn = = 2 = ê 2 - 2 ú ，n a 2nan 1 4n n 1 4 ê n n 1 ú
1 é 1 2 1 2 2T 1 1
ù
L 1 1 1
é 1 ù
则 n = ê - ÷ ÷ - ÷ - ú = ê1- ú ，4 ê è 2 è 2 è 3 n
2 n 1 2 ú 4 ê n 1
2
ú
n é ù n 2 1 1
由于Tn < n N
1 1 n
恒成立，故 ê1- 2 ú < ，整理得： > = n 1 4 ê n 1 ú n 1 4n 4 4 4 n 1
，
1 1 1 1
3因 4 4 n 1 随 n 的增加而减小，所以当 n =1时，

4 4 n 1 最大，且为 ，8
即
3
> .故选：D
8
【变式 1-2】
（21-22 高一下·浙江·期中）数列 an 中， a1 =1 2，对所有的 n 2， n N* ，都有 a1·a2·a3· ·an = n ，则 a3 a5
等于（ ）
25 25
A． B．
9 16
61 31
C． D．
16 15
【答案】C
【分析】分别令 n = 2,3, 4,5，代入递推关系式，即可求出 a3 ,a5 ，进而求出结果.
【详解】当 n = 2 2 2时， a1a2 = 2 ；当 n = 3时， a1a2a3 = 3 ；
当 n = 4时， a1a2a3a4 = 4
2
；当 n = 5时， a1a2a3a4a5 = 5
2
；
a1a2a
2
3 3 9 a1a2a3a4a5 5
2 25
则 a3 = = 2 = ， a5 = =a a 2 4 a a a a 42
= ；
1 2 1 2 3 4 16
a a 61所以 3 5 = .故选：C.16
【变式 1-3】
（24-25 高二上·云南大理·期末）已知正项数列 an
1 1 1 n
满足 L = n N*a1a2 a2a3 ana 2n 1 ，若n 1
a3 - 2a4 = 3，则a3 =（ ）
25 15
A． B．10 C． D．5
2 2
【答案】B
1 1 1 1
【分析】根据方程组法求得 n 2时 = 2 ，进而 = a - 2a = 3 aanan 1 4n -1 a3a4 35
，结合 3 4 求解 3 即可.
1 1
【详解】因为 L
1 n
= n N*
a1a2 a2a3 anan 1 2n 1
，
1 1 1 n -1
当 n 2时， L =a1a2 a2a3 a
，
n-1an 2n -1
1 n n -1 1
两式相减得： = - =anan 1 2n 1 2n -1 4n
2 -1， n 2，
1 1
当 n = 3时， = ， a3a4 = 35，又 a3 - 2a4 = 3a a 35 ，解得
a3 =10 .
3 4
故选：B
题型 05 前 N 项积型
【解题规律·提分快招】
前 n项积型求通项，可以类比前 n 项和求通项过程来求数列前 n 项积：
1.n=1，得 a1
ìT1 ，（n=1）T
2.n 2时， an = n

所以 a
T n
= í Tn
n 1 , (n 2）-
Tn-1
【典例 1-1】
1 n
（2024·陕西西安·一模）记数列 an 的前 n 项积为Tn ，且a1 = ,an 1 = Tn -1，若数列 b 2n 满足 ai bn = Tn，2 i=1
则数列 bn 的前 20 项和为（ ）
A．-175 B．-180 C．-185 D．-190
【答案】C
n 1
【分析】利用递推公式及前 n 项积可得 a2n = an 1 - an 1
2
，再由累加法可求得 ai = an 1 n - ，可知数列 b4 n i=1
5
的通项公式为bn = -n ，即可计算出前 20 项和为-185 .4
【详解】根据题意由 an 1 = Tn -1可得 an 1 1 = Tn ，所以 an 1 = Tn-1 n 2 ，
an 1 1 Tn 2
两式相除可得 = = a a 1 = a a 1 = a a 2a 1 T n ，整理可得 n 1 n n n n ，即 an = an 1 - an 1，所以n n-1
a2n-1 = an - an 1 1， ×××××× a
2 = a 2- 3 4 - a3 1， a2 = a3 - a2 1，
n
2 2 1 1
累加可得 ai - a1 = an 1 - a2 n -1 ，由a1 = ,a2 n 1 = Tn -1可得 a2 = - ；i=1 2
n n
a2 a 1= n -1 1 1 = a n - a2 b = T a n 1所以 i n 1 n 1 ；结合 i n n可得 n 1 - bn = Tn = an 1 1，
i=1 2 4 4 i=1 4
5 1 5
所以bn = -n ,n 2；易知b4 1
= 符合上式，所以可得bn = -n ；4 4
n n 1 5n
即数列 bn 为等差数列，前 n 项和为b1 b2 ××× bn = - ，2 4
20 20 1
因此数列 bn 的前 20 项和为b1 b
5 20
2 ××× b20 = - = -185 .2 4
故选：C
【典例 1-2】
（2024·广东佛山·二模）设数列 an 的前 n 项之积为Tn ，满足 an 2T *n =1（ n N ），则 a2024 =（ ）
1011 1011 4047 4048
A． B． C． D．
1012 1013 4049 4049
【答案】C
1
【分析】由已知递推式可得数列{ }T 是等差数列，从而可得
Tn ，进而可得 a2024 的值．
n
【详解】因为 an 2Tn = 1(n N
* ) ，
T
所以 a1 2T1 =1，即 a1 2a
1 n
1 =1，所以 a1 = ，所以 2Tn =1(n 2, n N
*)
T ，显然
Tn 0，3 n-1
1 1 2(n 1 1 1所以 - = 2,n N*)T T ，所以数列
{ }
T 是首项为
= = 3
T a ，公差为 2 的等差数列，n n-1 n 1 1
1
1
所以 = 3 2(n -1) = 2n 1
1 T2024 2 2024 1 4047
T ，即Tn = ，所以
a
2n 1 2024
= =
T 1
=
n 2023 4049
．故选：C．
2 2023 1
【变式 1-1】
1 a
（24-25 n高二上·天津南开·期末）数列 an 满足 a1 = 2, an 1 = n1- a ，其前 项积为Tn ，则T10等于（ ）n
1 1
A．-6 B．- C．6 D．
6 6
【答案】A
【分析】依次代入 n =1,2,3,4可得 an 是以 4为周期的周期数列，由 anan 1an 2an 3 =1可推导得到结果.
1 an 1 a1
【详解】因为 a1 = 2, an 1 = 1- a ，所以当 n =1时，
a2 = = -3
n 1- a
；
1
a 1 an = 2 = 2
1 a 1 a 1当 时， 3 = - ；当 n = 3时， 4 = 3 =
1 a4
1- a 2 1- a 3；当 n = 4时，
a5 = = 2
2 3 1- a
；…，
4
a a a a a 2 3 1 1所以数列 n 是以 4为周期的周期数列，所以 n n 1 n 2 n 3 = - - ÷ =1 n N* ，
è 2 3
所以T10 = T8 × a9a10 = a1a2 = 2 -3 = -6 .故选：A.
【变式 1-2】
2 1
（24-25 高二上·江苏镇江·阶段练习）记Tn 为数列 an 的前 n 项积，已知 =1 T =Tn a
，则 12 （ ）
n
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
Tn
【分析】当 n 2时，由 an = 可得Tn -TT n-1
= 2，进一步可得数列 Tn 是等差数列，并求得其通项公式，
n-1
即可求出T12；
2 1 3
【详解】因为Tn 为数列 an 的前 n 项积，当 n =1时，T1 = a1，所以 = =1，∴ a1 = 3T ，1 a1 a1
T 2 T 2 T
当 n 2 a = n n-1 n-1时， n ，所以 = =1T T T T ，化简可得：
Tn -Tn-1 = 2，
n-1 n n n
所以 Tn 是以T1 = a1 = 3为首项， 2为公差的等差数列，所以Tn = 3 2 n -1 = 2n 1 .
所以T12 = 2 12 1 = 25 .故选：C.
【变式 1-3】
（24-25 15-n高三下·湖南长沙·阶段练习）数列 an 中， an > 0, a1an = 2 ，若Tn 是数列 an 的前 n 项积，则Tn 的
最大值（ ）
A． 228 B． 236 C． 256 D． 272
【答案】A
【分析】先求得 an ，然后求得Tn 的表达式，再根据二次函数的性质求得正确答案.
15-n
2
【详解】依题意得， a1 = 2
14 ,a = 27 2，所以 a = = 28-n1 n 27
，
T = a a La = 27 ×26 L28-n = 27 6 L 8-n所以 n 1 2 n
2
15 225
é 7 8-n ùn
- n-
-n2 15n 2 ÷è 4 ，
= 2 2 = 2 2 = 2 2
因为 n N* ，所以当 n = 7或 8 时，Tn 取得最大值为 228，故选：A.
题型 06 高次型
【解题规律·提分快招】
因式分解型求通项
经验型：一般情况下，数列次幂比较高（二次型）递推公式，可以考虑因式分解，或者配方型
【典例 1-1】
（24-25 高三上· 2 2山东·阶段练习）记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若an 1 = an 2an 1，且 a1 = 0，则 S20 的最
小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
1 2
【分析】变形给定的递推公式，利用累加法可得 | S20 |= | a21 - 20 |，进而分析求得最小值及取得最小值的条2
件即可.
2
【详解】数列 an 中，由an 1 = a2n 2an 1，得 2an 1 = a2n 1 - a2n ，
则 2S20 20 = (a
2
2 - a
2 ) (a2 - a2 ) L (a2 - a21 3 2 20 19 ) (a
2 - a221 20 ) = a
2
21 - a
2 2
1 = a21，
| S 1 2因此 20 |= | a21 - 20 |，又 | an 1 |=| an 1|且 a1 = 0，则 an 是整数，2
| S | a2 | S | 1= | a2 1于是 20 是整数， 21是偶数的平方，则 20 21 - 20 | | 4
2 - 20 |= 2 ，当 a21 = 4取等号，2 2
下面举例说明 a21可以取到 4， a *2n-1 = 0, n N , n 9， a2n = -1, n N
* ,n 8，
a18 =1, a19 = 2,a20 = 3, a21 = 4 ，此时 | S20 |=| a1 a2 L a20 |=| 9 0 8 (-1) 1 2 3 |= 2，
所以 | S20 |的最小值为 2.故选：C
【点睛】关键点点睛：利用累加法求和，再举例验证取等号的条件是求解本题的关键.
【典例 1-2】
2
（2024 高三·全国·专题练习）已知数列 an 满足 a1 = 2， an 1 = an an > 0 ，则 an =（ ）
A．10n-2 B．10n-1 C．102n-4 D n-1． 22
【答案】D
【分析】两边取对数,可得 ln an 是等比数列，即可求解.
【详解】数列 an 满足 a1 = 2， an 1 = a2n an > 0 ．
两边取对数可得 lnan 1 = 2lnan，则 ln an 是等比数列，首项为 ln 2，公比为 2，
\lnan = 2
n-1ln2 n-1，解得 an = 2
2 ．
故选：D．
【变式 1-1】
（24-25 高二上·福建龙岩·期中）已知数列 an ， a1 =1 2 2， an 1 - 4an 1an 4an = 0，则 a7 = （ ）
A．8 B．16 C．24 D．64
【答案】D
2
【分析】由 an 1 - 4an 1an 4a
2
n = 0可求得 an 1 = 2an，进而求出 an ，可求出 a7 .
2 2
【详解】因为 an 1 - 4an 1an 4an = 0，所以 (a
2
n 1 - 2an ) = 0，所以 an 1 = 2an，又因为 a1 =1，所以 an 0 ，所
an 1
以 = 2a ，所以数列 an 为等比数列， an = 2
n-1
（ n N* ），所以 a7 = 64 .
n
故选：D.
【变式 1-2】
nb2
（24-25 n 1高二上·福建宁德·阶段练习）已知正项数列 bn 满足b1 =1，bn = ，则下列错误的是（nb 1 ）n 1
A 1 5．b b2 = B． n 是递增数列2
b b 1
n 1
C． n 1 - n < D．bn 1 n 1
>
k =0 k 1
【答案】C
【分析】结合数列的递推公式、单调性、以及放缩法、累加法的应用，对各项逐一判断，即可得到本题答
案.
2 2
【详解】对于 A：∵ b1 =1，b
nb
= n 1
b
，∴ b = 2 2n 1 ，即b - b -1 = 0nbn 1 1 b2 1
2 2
1 5
因为在正项数列 bn 中，b2 > 0，∴ b2 = ，故 A 正确；2
2
b b b nbn 1 nb
2
n 1 bn 1 nb
2
B n 1
bn 1
对于 ： n 1 - n = n 1 - = - = > 0 ，nbn 1 1 nbn 1 1 nbn 1 1 nbn 1 1
即bn 1 > bn，∴ bn 是递增数列，故 B 正确；
nb2 nb2 2
C b - b = b - n 1 = n 1
bn 1 nb b- n 1 = n 1对于 ： n 1 n n 1 ，nbn 1 1 nbn 1 1 nbn 1 1 nbn 1 1
bn 1 1 1
∵ bn 1 >1,0
1
< <1, n < n 1 < n 1, = 1 >
b b ∴ nbn 1 1 n n 1，故 C 不正确；n 1 n 1 bn 1
1 1 1
对于 D：∵ bn 1 - bn > ，b - bn 1 n n-1
> ，……，b2 - b > ，n 1 2
n
∴ bn 1 = b
1 1 1 1
n 1 - bn bn - bn-1 ××× b2 - b1 b1 > ××× 1 = .n 1 n 2 k =0 k 1
故 D 正确.故选：C.
【变式 1-3】
5 2
（24-25 高二上·全国·课后作业）数列 an 满足：a1 = ,an 1 = an - 2，则 a2023 除以 7 的余数为（ ）2
A．1 B．2 C．4 D．以上都不对
【答案】B
2 1 1 1
【分析】构造数列 bn 满足 b1 = 2,bn 1 = bn ，由 a1 = b1 ,a2 = b b 2 b 猜测并运用数学归纳法证得 an = bn 1 2 b
；
n
2 n-1 2n-12 a 2 1 2022再由b1 = 2,bn 1 = bn 利用累乘法求得bn = 2 ，从而得到 n =
2 n
2n-1 ，由 a2 2023 = 2 结合 4 -1为 3 的倍
数、8n -1为 7 的倍数可求 a2023 除以 7 的余数.
2 5 1 2 2 1 1
【详解】设数列 bn 满足b1 = 2,bn 1 = bn ，则a1 = = b2 1 ,ab 2 = a1 - 2 = b1 b2 = b2 ，1 1 b2
1 2
当 k 2时，若a = b ，则a = a2
1
k k b k 1 k - 2 = b
1
k ÷ - 2 = b
2 1
k = b ，
k è bk b
2 k 1 b
k k 1
1
因此，对任意 n N ，均有an = bn b .n
由b1 = 2,b
2
n 1 = bn ，两边取对数，可得 lgbn 1 = 2lgbn ，
lgbn lgb n-1 lgb n-2 L lgb3 lgb则有 2 = 2n-1 lgb = lg2 2n-1lgbn-1 lgbn-2 lgbn-3 lgb2 lgb
，即 n ，
1
n-1
可得b = 22
n-1 1
n ，此时b1 = 2
2
也符合，所以 an = 2 2n-1 .2
n n-1
因为 4 -1 = 4 4 -1 3，故若 4n-1 -1为 3 的倍数，则必有 4n -1为 3 的倍数，
而 n =1时， 4n -1 = 3为 3 的倍数，故 42 -1为 3 的倍数，依次有 4n -1为 3 的倍数，
因为8n -1 = 8 8n-1 -1 7且 n =1时，8n -1 = 7为 7 的倍数，
故同理可得8n -1为 7 的倍数.
a = é222022 1 ù
1 2022
é 22022 ù 22022 2 -1
1 2022
又 32023 ê 2022 ú = 2 = 2 = 2 8 = 2 7 1
2 -13 ，
22
1 2022
故 7 1 2 -13 被 7 除余数为 1，故 a2023 除以 7 的余数为 2.
故选：B.
题型 07 同构型
【解题规律·提分快招】
同除型换元
n n
形如 a n a a t tn 1 = man t ，同除m
n 1，得 n 1 = n ，换元为b = b ，累加法即可。
mn 1 mn mn 1 n 1 n mn 1
二阶 f（n）型构造等差线性构造：
形如 a = ta f(n) (q 0，1, p,q为常数）,构造等比数列 a n b 。n 1 n n
【典例 1-1】
（23-24 *高二下·广东湛江·期中）在数列 an 中，已知a1 = 3，且 an 1 = 4an 6n - 5 n N ，则 a15 = （ ）
A． 415 -15 B． 215 - 29 C． 215 -15 D． 415 - 29
【答案】D
【分析】对于 an 1 = pan qn c这种类型的递推公式，一般构造成等比数列
an 1 x(n 1) y = p(an xn y) ，进而利用待定系数法求 x, y即可.
*
【详解】因为 an 1 = 4an 6n - 5(n N ) ，
所以 an 1 2n 1 = an 1 2(n 1) -1 = 4(an 2n -1)，
所以数列 an 2n -1 是以 a1 2 1-1 = 4为首项，公比 q = 4的等比数列，
所以 an 2n -1 = 4 ×4
n-1 = 4n ，
所以 an = 4
n - 2n -1 ，
a 15所以 15 = 4 - 29．
故选：D．
【典例 1-2】
（2023·四川成都·一模）若数列 an 满足 a1 = 3, an 1 = 2an - n 1，则 a2 a3 a4 =（ ）
A．6 B．14 C．22 D．37
【答案】D
【分析】根据条件求出 a2 , a3 , a4 ，即可得出结果.
【详解】∵ a1 = 3, an 1 = 2an - n 1，
∴ a2 = 2a1 -1 1 = 6， a3 = 2a2 - 2 1 =11， a4 = 2a3 - 3 1 = 20，
∴ a2 a3 a4 = 6 11 20 = 37 .
故选：D.
【变式 1-1】
（22-23 高二上·全国·单元测试）已知数列 an 满足 a1 =1， an 1 = 6a 2n 1n ，则数列 an 的通项公式是
（ ）.
A． 2 6n-1 - 2n-1 B．6n-1 - 2n-2
C．6n-1 - 2n-1 D． 2 6n-1 - 2n-2
【答案】A
ìan 1 ü【分析】由递推公式可得数列 í n 是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解. 2 2
a = 6a 2n 1 a【详解】因为 n 1
3a a a a 3a
n 1 n ，所以 n 1 =
n
n 1 ,
n 1
设 n 1 x = 3
n
n x

,可得 n 1 n
2 2 2 ֏ 2 2n 1
= n 2x ,2
1 a 1 a 1 a 1 a 1
所以2x =1，即 x =
ì ü
, n 1 n n所以 1
2 2n 1
= 3
2 è 2n
÷，所以数列 í 是首项为 =1，公比为 3 的等比数2 2n 2

2 2
a 1 n-1 n n-1 n-1
列，所以 nn = 3 ，所以 an = 2 ×3 - 2 = 2 6
n-1 - 2n-1 .故选:A.
2 2
【变式 1-2】
（22-23 n 1高二上·全国·单元测试）已知数列 an 满足 a1 = 4， an 1 = 2an 2 ，则数列 an 的通项公式为
（ ）.
A．2n B． n 1 ×2n C． n -1 ×2n D．3n -1
【答案】B
ìa ü
【分析】构造 í n
2n
是等差数列，根据等差数列的通项公式求解即可.

n 1 a a
【详解】因为 an 1 = 2an 2 ，所以 n 1 = nn 1 n 1,2 2
ìa ü a
所以数列 í n 是首项为 1n = 22 ，公差为
1 的等差数列，
2
a
所以 nn = 2 n -1 1 = n 1 , a = n 1 × 2n所以 n .故选:B.2
【变式 1-3】
22-23 · · a a = 4,a = -a 4 ×3n-1（ 高三 北京 强基计划）已知数列 n 满足 1 n n-1 4(n 2)，则（ ）
n 1 n
A．a = -2 3nn (-1)
n , S 3 (-1)n = 2n - 2 2
n 1 n
B．an = 2 3
n (-1)n , Sn = 2n 2
3 (-1)
-
2
n 1 n
C．a n nn = 2 3 - (-1) , Sn = 2n 2
3 (-1)
-
2
n 1 n
D．a = 2 3nn (-1)
n , Sn = -2n 2
3 (-1)

2
【答案】B
(-1)n a = (-1)n-1【分析】题设中递推关系可得 n an-1 - 4 (-3)
n-1 4 (-1)n ，利用累加法可求通项，再利用公式
法可求 Sn .
n n-1 n-1 n
【详解】根据题意，有 (-1) an = (-1) an-1 - 4 (-3) 4 (-1) ，
2
故累加可得 (-1)n an = -a1 - 4 -3 - 4 -3 -L- 4 -3
n-1 4 -1 2 L 4 -1 n
3
= -a1 - 4 é (-3)
n-1 -1ù 4 é( 1)
n-1 1ù 1
4
- - - ֏ 2
= -a1 - 3 é(-3)
n-1 -1ù - 2 é (-1)
n-1 -1ù =1 (-3)n 2 -1
n n 2 ，
a = 2 3n所以 n (-1)
n
，而 a1 = 4
n n
也符合该式，故an = 2 3 (-1) .
3 n 1 nn
进而 Sn = 2n 3 -1 é(-1)n -1ù
1 3 (-1)
2
，整理得 S
2 n
= 2n - 2 ．
2
故选：B.
题型 08 周期型
【解题规律·提分快招】
若数列{an}满足 an an-1 an-2 = s，则 an 周期T=3
若数列{an}满足 an an-1 an-2 = s，则 an 周期T=3
【典例 1-1】
3 4
（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列 a *n 满足 a1 = 3 ， an 1 = - （ ），则 a =3 n N3an 3
2024
（ ）
A．- 3 B．0 C． 3 D．2
【答案】B
【分析】根据递推公式可得数列的周期性即可求解.
3 4 3 4 3 4
【详解】由 a1 = 3 ， an 1 = - 可得 a2 = - = - = 0，3 3an 3 3 3a1 3 3 4 3
a 3 4 3 43 = - = - = - 3 ， a
3 4 3 4
= - = - = 3 = a ，
3 3a2 3 3 3
4 3 3a3 3 3 -2 3
1
因此 an 为周期数列，且周期为 3，故 a2024 = a2 = 0 ，故选：B
【典例 1-2】
（23-24 高二上·
1
云南昆明·阶段练习）数列 an 中， a = - ， an = 1
1
- (n 2)
1 a ，则
a2023 的值为（4 ）n-1
1 4 5
A．- B． C．5 D．
4 5 4
【答案】A
【分析】根据数列的周期性计算得出 a2023 = a1即可求解.
1 a 1 1 1 4 5 1【详解】数列 an 中，因为 a = - ，所以 2 = - =1 4 = 5,a3 =1- = , a =1- = - ,1 4 a1 5 5 4 4 4 ，
数列 an 周期为 3，
a 1则 2023 = a3 674 1 = a1 = - .故选：A.4
【变式 1-1】
1 a
（22-23 高二上·福建莆田·期中）在数列 an 中， a n1 = -2， an 1 = 1- a ，则a2022 =（ ）n
1 1
A．-2 B．- C．- D．3
3 2
【答案】B
【分析】根据数列的递推式，计算数列的项，可推得数列为周期性数列，利用其周期即可求得答案.
1
1 a 1-n 1- 2 1 3 1
【详解】由题意可得 a1 = -2， an 1 = 1 a = = -
a = =
- a ，∴ 2 ， ，n 1 2 3
3
1 1 2
3
1 1
a4 = 2
1+3
1 = 3， a5 = = -2 ,∴该数列 an 是周期数列，周期T = 4 ,1- 1- 3
2
1
又 2022 = 505 4 2 ，∴ a2022 = a2 = - ，故选：B ．3
【变式 1-2】
a - 3
（20-21 高二上·宁夏中卫· a a = 0,a = n n N *阶段练习）已知数列 n 中，若 1 n 1 ，则 a2020 等于（ ）3an 1
A．0 B．- 3 C． 3 D．1
【答案】A
【解析】利用递推公式推出数列的周期，根据周期可求得结果.
an - 3 - 3
a an - 3 a an 1 - 3 3an 1 -an - 3【详解】因为 n 1 = ，所以 n 2 = = = ，3an 1 3an 1 1 3(an - 3) 1 3an -1
3an 1
-a - 3
- n - 3
a -an 2 - 3 3an -1 -(an - 3)所以 n 4 = = = = a ，3an 2 -1 3(-an - 3) 1 -( 3an 1)
n 1
-
3an -1
所以数列 an 的周期为 3，所以 a2020 = a673 3 1 = a1 = 0 .故选：A
【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了利用周期求数列的项，属于中档题.
【变式 1-3】
a - 7
（24-25 高三下·广东深圳· n阶段练习）已知数列 an 满足 a1 = -1， an 1 = a =a 2 ，则 2025 （ ）n
8 3
5
A．- B．-1 C． D．
2 2
【答案】D
【分析】由题意列举数列的前几项，可得数列的周期性，可得答案.
a - 7 a - 7 a - 7 5 a - 7
【详解】由 a1 = -1
n 1 2 3
， an 1 = ，则 a2 = = -8 a = = a = = -1an 2 a1 2
， 3 a 2 2 ， 42 a
，
3 2
所以数列 an 的最小正周期为3，
5
由 2025 3 = 675，则 a2025 = a3 = .故选：D.2
题型 09 奇偶分段型
【解题规律·提分快招】
奇偶各自独立型求通项
1. a形如 n 1 = t n 2 型，奇数项与偶数项各自成等比数列。
an-1
（1）、n是奇数时，an = a
n-1
1（× t）
（2）、n是偶数时，an = a2（× t）
n-2
2. 形如an 2 - an = t奇数项与偶数项各自成等差数列
1 n a a n 1 t（）、 为奇数时， n = 1 （ - ）2
（2）、n为n数时，a tn = a2 （n - 2）2
【典例 1-1】
n n *
（23-24 高二上·安徽六安·期末）已知数列 an 满足 a1 =1, a2n = a2n-1 (-1) ,a2n 1 = a2n 3 n N ，则数列
an 的第 2024 项为（ ）
31012 -1 31012 - 3 1012 1012A． B． C 3 1． D 3 3．
2 2 2 2
【答案】A
n n
【分析】确定 a2n 1 - a2n-1 = (-1) 3 ，利用累加法和分组求和计算得到答案.
【详解】 a2n 1 = a2n 3
n = a n n n n2n-1 (-1) 3 ,即 a2n 1 - a2n-1 = (-1) 3 .
a2n-1 = a2n-1 - a2n-3 a2n-3 - a2n-5 L a3 - a1 a1
n n-1
= é n-1 (-1) 3
n-1 ù é( 3 - 3 1- (-1) -1)
n-2 3n-2 ù L -1 3 1 = - 12 2
3n (-1)n-1 3n (-1)n-1 n n-1 n
= -1 = -1. a 3 (-1) 3 12n = a2n-1 (-1)
n = -1 (-1)n = (-1)n -1.
2 2 2 2 2 2 2
31012a 1 1 3
1012 -1
2024 = - = .故选：A.2 2 2
【典例 1-2】
ìa 1, n为奇数
23-24 高三上·天津和平·阶段练习）设数列 an 满足 a1 =1 a n， 2 = 2， an 2 = í n N*2a , n ，令 n 为偶数
bn = log2a2n
2 ×sin a π× 2n-1 ，则数列 b 的前 100 项和为（2 ÷ n ）è
A． 4950 B． -5000 C．-5050 D． -5250
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式，求出数列 an 的通项公式，进而求出bn ，再利用分组求和法求解即得.
ìan 1, n为奇数
【详解】数列 an 满足 a1 =1， a2 = 2， an 2 = í n N*2a , n ， n 为偶数
所以数列 a2n-1 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，即 a2n-1 = n ，
数列 a2n n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，即 a2n = 2 ，
2
b log 2n sin nπ 2 nπ因此 n = 2 × = n sin nπ ì ü，显然 ísin2 2 2 的周期为 4，
b b b b k N*则 4k -3 4k -2 4k -1 4k
= 4k - 3 2 4k - 3 π 2 4k - 2 π 2 4k -1 πsin 4k - 2 sin 4k -1 sin 4k 2 sin 4kπ
2 2 2 2
= 4k - 3 2 - 4k -1 2 = -8 2k -1 ，
令 cn = b4n-3 b4n-2 b4n-1 b4n ，则有 cn = -8 2n -1 ，
因为 cn 1 - cn = -8 é 2 n 1 -1ù - é -8 2n -1 ù = -16，所以数列 cn 是等差数列，
b c 25 é -8 8 1- 2 25100 25 ù所以数列 n 的前 项和，即数列 n 的前 项和为 = -5000 .
2
故选：B.
【变式 1-1】
6
（24-25 高三上·天津和平·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 = ，7
ì2a ,0 a 1 n n <
a 2n 1 = í 1 ，则下列结论正确的为（ ） 2a -1, a <1
n 2 n
a 3 a 5A． 2021 = B． 2022 = C． S2019 =1344 D． S2022 =13487 7
【答案】D
【分析】根据题意先求数列的前四项，即可看到数列具有周期性，因此根据这一特性，即可逐一计算各项
中的值，即可判断答案.
ì 1
6
2an ,0 an < 2
【详解】因为 a1 = ， a7 n 1
= í ，
2a 1n -1, a 2 n
<1
所以 a2 = 2a1 -1 = 2
6
-1 5= ,a3 = 2a2 -1 = 2
5
-1 3= ， a = 2a
6
= ，
7 7 7 7 4 3 7
5
故数列 an 是以 3 为周期的周期数列，则 a2021 = a673 3 2 = a2 = ，故 A 错；7
a 32022 = a673 3 3 = a3 = ，故 B 错；7
又 a1 a a
6 5 3
2 3 = = 2，故 S2019 = S673 3 = 673 2 =1346，故 C 错；7 7 7
S2022 = S674 3 = 674 2 =1348，故 D 对，故选：D.
【变式 1-2】
ì
2an ,0 a
1
n <
（2024 高二上·天津南开·专题练习）数列 an
2 2
满足 an 1 = í ,若 a =1 1 ，则
a2024 等于（ ）
2an -1, a <1
5
2 n
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】利用递推关系式计算求出数列周期可得答案.
Qa 2 é0, 1 a 2a 4 4 1【详解】 1 = ê ÷\ 2 = 1 =
é 3 1 2
,又
5 2 5 5 ê
,1÷ ， a3 = 2a2 -1 = ,\a4 = 2a -1 = ,\a = 2a = ， 2 5 3 5 5 4 5
1，所以数列周期为 4， a2024 = a4 = 故选：D5
【变式 1-3】
ì2a n -1, n为奇数
（23-24 n高二下·河南漯河·期末）已知数列 an 满足 a1 =1, an 1 = í , n N* .
an - n 2, n为偶数
① a7 = 8；② a2n-1 是等差数列；③ a2n - 2n 2 是等比数列；④数列 an 前 2n项和为3 ×2n n2 - n - 3 .
上述语句正确的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【分析】依次代入 n 的值即可判断①，利用等比数列的定义即可判断②③；根据②③可以求出数列
a2n-1 、 a2n 的通项公式，然后利用分组求和即可判断④.
【详解】对于①， a1 =1, a2 = 2a1 1-1 = 2,a3 = a2 - 2 2 = 2, a4 = 2a3 3 -1 = 6,
a5 = a4 - 4 2 = 4,a6 = 2a5 5 -1 =12, a7 = a6 - 6 2 = 8，故①正确；
对于②，令dn = a2n-1，由①知， d1 = a1 =1，
d an 1 = 2 n 1 -1 a
a
= 2n 1
a
= 2n
- 2n 2
= 2n-1 1
- 2n 2 2a2n-1 2n -1 -1- 2n 2= = 2，
dn a2n-1 a2n-1 a2n-1 a2n-1 a2n-1
所以， dn 是公比为 2 的等比数列，即 a2n-1 是公比为 2 的等比数列，故不是等差数列，故②错误；
对于③，令 cn = a2n - 2n 2，
由①知， a2 = 2，所以 c1 = a2 - 2 2 = 2，
c a2 n 1 - 2 n 1 2n 1 a a - 2n= = 2n 2 - 2n = 2n 1 1 2a= 2n 1 2n 1 -1- 2n
cn a2n - 2n 2 a2n - 2n 2 a2n - 2n 2 a2n - 2n 2
2a2n 1 2 a2n - 2n 2 = = = 2，所以 cn 是等比数列，即 a2n - 2n 2 是等比数列，故③正确；a2n - 2n 2 a2n - 2n 2
④ ② n-1 n n对于 ，由 知， dn = a2n-1 = 2 ， cn = a2n - 2n 2 = 2 a2n = 2 2n - 2，
数列 an 前 2n项和为数列 a2n-1 前 n 项的和 Sn 与数列 a2n 前 n 项的和Tn 的和，即所求和为 Sn Tn .
1 1- 2n 1 2 3
又 S = = 2n -1，Tn = 2 0 2 2 2 4 ××× 2n 2n - 2 n 1- 2
2 1- 2n
1 2 3 n n 0 2n - 2= 2 2 2 ××× 2 0 2 4 ××× 2n - 2 = = 2 ×2n - 2 n2 - n ，1- 2 2
n n 2
所以 Sn Tn = 2 -1 2 ×2 - 2 n - n = 3 × 2n n2 - n - 3，故④正确；
故选：D.
题型 10 等比三阶构造型
【解题规律·提分快招】
三阶递推型，可以通过凑配系数来构造等比数列。
【典例 1-1】
（2024·四川宜宾·二模）在数列 an 中，已知 a1 = 2, a2 =1，且满足 an 2 an = an 1，则数列 an 的前 2024 项
的和为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】用 n 1去换 an 2 an = an 1中的 n ，得 an 3 = an 2 - an 1 ，相加即可得数列的周期，再利用周期性运算
得解.
【详解】由题意得 an 2 = an 1 - an ，用 n 1替换式子中的 n ，得 an 3 = an 2 - an 1 ，
两式相加可得 an 3 = -an ，即 an 6 = -an 3 = an ，所以数列 an 是以 6 为周期的周期数列.
又 a1 = 2， a2 =1，\a3 = -1, a4 = -2, a5 = -1, a6 =1 .
所以数列 an 的前 2024 项和 S2024 = 337 a1 a2 L a6 a1 a2 = 3 .
故选：A.
【典例 1-2】
（2022·云南昆明· *模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1, a2 = 3,an = an-1 an 1 n N ,n 2 ，则a2022 =（ ）
A．-2 B．1 C．4043 D．4044
【答案】A
【分析】由递推式得到 an 2 = -an-1 ，从而得到 an 6 = an，由此再结合 an = an-1 an 1 即可求得 a2022 的值.
【详解】由 an = an-1 an 1 得 an 1 = an an 2 ，
两式相加得 an 2 = -an-1 ，即 an 3 = -an ，故 an 6 = an，
所以 a2022 = a6 = -a3 = -(a2 - a1) = -2 .故选：A．
【变式 1-1】
（2025 高三·全国·专题练习）数列 an 中， a1 = 2， a2 = 3， an 1 = an - an-1 n 2 ，那么 a2025 =（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】B
【分析】通过递推公式找出数列的周期性计算即可.
【详解】因为 an = an-1 - an-2 n 3 ，所以 an 1 = an - an-1 = an-1 - an-2 - an-1 = -an-2 ，
所以 an 3 = -an ，所以 an 6 = -an 3 = an ，所以 an 是以 6 为周期的周期数列．
因为 2025 = 337 6 3，所以 a2025 = a3 = a2 - a1 =1．
故选：B
【变式 1-2】
（24-25 高三上·湖南·阶段练习）设数列 an 满足a1 = a2 = 1,an 2 = an 1 an ,Sn为 an 的前 n 项和，则数列 Sn
中的项不包括（ ）
A．54 B．232 C．610 D．1596
【答案】C
【分析】根据递推关系推导数列的前15项，由此判断出正确答案.
【详解】 a1 = a2 =1, a3 = 2,a4 = 3, a5 = 5, a6 = 8, a7 =13，
a8 = 21, a9 = 34,a10 = 55, a11 = 89, a12 =144, a13 = 233, a14 = 377, a15 = 610 ，
S8 = 54, S11 = 232, S15 =1596，所以不包括610 .故选：C
【变式 1-3】
（24-25 高三上·浙江·阶段练习）数列 an 满足 an 2 = 2an 1 3an ，则下列 a1， a2的值能使数列 an 为周期数
列的是（ ）
A． a1 = 0， a2 =1 B． a1 = -1， a2 =1 C． a1 = 0， a2 = 2 D． a1 = -2，a2 = 0
【答案】B
【分析】由数列的周期性定义，逐项代入验证即可；
【详解】对于 A，当 n =1时， a3 = 2a2 3a1 = 2；当 n = 2时， a4 = 2a3 3a2 = 7；当 n = 3时， a5 = 2a4 3a3 = 20,L
无周期性，故 A 错误；
对于 B，当 n =1时， a3 = 2a2 3a1 = -1；当 n = 2时， a4 = 2a3 3a2 =1；当 n = 3时， a5 = 2a4 3a3 = -1,L所
以数列是以 2 为周期的周期数列，故 B 正确；
对于 C，当 n =1时， a3 = 2a2 3a1 = 4；当 n = 2时， a4 = 2a3 3a2 =14；当 n = 3时， a5 = 2a4 3a3 = 40,L无
周期性，故 C 错误；
对于 D，当 n =1时， a3 = 2a2 3a1 = -6；当 n = 2时， a4 = 2a3 3a2 = -12 ；当 n = 3时， a5 = 2a4 3a3 = -42,L
无周期性，故 D 错误；故选：B.
题型 11 二阶“和定”型构造
【解题规律·提分快招】
满足 a a = f (n)，称为“和”数列，常见如下几种： n 1 n
a a = t
1.“和”常数型： n 1 n
，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
a a = An B
2.“和”等差型： n 1 n
则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3. a a = An
2 B
“和”二次型： n 1 n
，则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
【典例 1-1】
（22-23 · n *高二下 江西上饶·期末）已知数列 an 满足 a1 =1， an an 1 = 2 n N ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． a4 = 3 B． an 为等比数列
22023C a a - 2 a = D a a a = 22022． 1 2 2022 ． - 33 1 2 2021
【答案】C
【分析】利用递推式可求得 a2 , a3 , a4 的值，可判断 A，B，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断 C，
D.
【详解】数列 an 满足 a =1 a a = 2n *1 ， n n 1 n N ，则 a1 a = 2 32 ， a2 a3 = 4， a3 a4 = 2 ，
有 a2 =1， a3 = 3， a4 = 5，A 错误；
a2 a3
显然 =1 = 3a ， a ，因此数列 an 不是等比数列，B 错误；1 2
a1 a2 L a2022 = a1 a2 a3 a4 L a2021 a2022
2 1- 41011
1 3 2021 2 +2 +L+2 = = 2 4
1011 - 2 = 2
2023 - 2
= ，C 正确；
1- 4 3 3
a1 a2 L a2021 = a1 (a2 a3) (a4 a5 ) L (a2020 a2021)
1011 1011 2022
=1 22 +24 +L+22020 = 1 (1- 4 ) = 4 -1 = 2 -1 ， D 错误.
1- 4 3 3
故选：C
【典例 1-2】
（2023·四川·模拟预测）数列 an 满足 an an 1 = 3n ，且 a1 =1，则 a100 等于（ ）
A．148 B．149 C．152 D．299
【答案】B
【分析】根据递推公式求 a2和偶数项之间的递推关系，然后由累加法可得.
【详解】由题意得 a2 = 3- a1 = 2，因为 an an 1 = 3n ， an-1 an = 3n - 3 n 2 ，
所以 an 1 - an-1 = 3 n 2 ，
所以 a100 = a100 - a98 a98 - a96 L a4 - a2 a2 = 49 3 2 =149．
故选：B．
【变式 1-1】
（24-25 高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ．若 an an 1 = 2n 5， a1 =1，则 S8 =
（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】C
【分析】根据 an 1 - an-1 = 2 ，即可根据奇偶项分别为等差数列，分组求和，或者利用 a2n-1 a2n 为等差数列，
即可由等差求和公式求解.
【详解】方法一：
∵ an 1 an = 2n 5 ①，∴当 n 2时， an an-1 = 2 n -1 5 ②，
①-②得当 n 2时， an 1 - an-1 = 2 ，
∴ an 中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为 2．
a =1 n -1∵ 1 ，∴当 n 为奇数时， an = a1 2 = n ；2
当 n 为偶数时， an = 2n 5 - an 1 = n 4．
4 1 7 4 6 12∴ S8 = a1 a3 a

5 a7 a2 a4 a6 a8 = = 52．2 2
方法二：
∵ an an 1 = 2n 5，∴ an 2 an 3 = 2 n 2 5，a1 a2 = 7，
∴数列 a2n-1 a2n 是以 7 为首项，4 为公差的等差数列，
∴ S
4 3
8 = a1 a2 a3 a4 L a7 a8 = 4 7 4 = 52．故选：C．2
【变式 1-2】
ì 1 ü
（24-25
n
高二上·重庆秀山·期末）已知数列 an 满足 an an 1 = 2 -1 ,n N*，且 a2 = 5，记数列 í 的
a

nan 1
前 n 项和为 Sn ，则 S49 =（ ）
1 1 2
A． B． C． D．2
13 15 15
【答案】A
ì 1 ü
【分析】按 n 为奇数和偶数讨论得到 anan 1的通项公式，利用裂项相消法求数列 í 的前 n 项和.
anan 1
【详解】 a1 = -2 - a2 = -7 ，当 n = 2k -1 k N* 时， an an 1 = -2, an 1 an 2 = 2 ，
两式相减得，an 2 -an = 4，
所以 an
n 1
的奇数项是以-7为首项，4 为公差的等差数列， an = -7 4

-1

÷ = 2n - 9 ，
è 2
当 n = 2k k N* 时， an an 1 = 2, an 1 an 2 = -2 ，两式相减得， an 2 - an = -4，
所以 an
n
的偶数项是以 5 为首项，-4为公差的等差数列， an = 5 - 4 -1÷ = 9 - 2n ；
è 2
综上可知： a n 1 *n = -1 2n - 9 ,n N ，
n 1
所以 anan 1 = (-1) 2n - 9 × (-1)n 2 2n - 7 = - 2n - 9 2n - 7 ，
b 1 1 1 1 1 设 n = a a ，则
bn = - = - - ÷，
n n 1 2n - 9 2n - 7 2 è 2n - 9 2n - 7
S b b b L b 1 é 1 1 1 1 1 1 1 1 ù所以 n = 1 2 3 n = - ê -

2 7 5 ÷
- ÷ - ÷ L -
è è 5 3 è 3 1 è 2n - 9 2n - 7 ÷ ú
1 1 1 n
= - - - 49 1
2 7 2n - 7 ÷
= ，则 S49 = = .故选：Aè 14n - 49 14 49 - 49 13
【变式 1-3】
（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知数列 an 对任意 k N* 满足 ak ak 1 = 3k 2，则 a2 a2023 =（ ）
A．3032 B．3035 C．3038 D．3041
【答案】C
【分析】由数列的递推关系求解即可.
【详解】因为 ak ak 1 = 3k 2，所以 ak 1 ak 2 = 3 k 1 2 = 3k 5，
两式相减得： ak 2 - ak = 3，令 k =1得a1 a2 = 5，
所以 a2k -1 = a1 3(k -1)，所以 a2k -1 a2 = 3k 2，
当 k =1012时， a2 a2023 = 3 1012 2 = 3038 .故选：C.
冲高考
1.（24-25 n *高三上·广东深圳·期末）已知数列 an 满足 an 1 = (-1) an n n N , a2025 = 2025，则 a1 = ．
【答案】1
【分析】由递推公式求出具体的项，根据规律即可求解.
n *
【详解】由 an 1 = (-1) an n n N ，则 a2025 = a2024 2024 = 2025，可得 a2024 =1，
a2024 = -a2023 2023 =1，可得 a2023 = 2022 ，
a2023 = a2022 2022 = 2022 ，可得 a2022 = 0，
a2022 = -a2021 2021 = 0，可得 a2021 = 2021，
a2021 = a2020 2020 = 2021，可得 a2020 =1，
a2020 = -a2019 2019 =1，可得 a2019 = 2018，
a2019 = a2018 2018 = 2018，可得 a2018 = 0 ，L
由以上规律可得，出现 1 的项的周期为 4，
2024 = 4 506，所以 a4 = 1 .
a4 = -a3 3 =1，可得 a3 = 2，
a3 = a2 2 = 2 ，可得a2 = 0，
a2 = -a1 1 = 0，可得 a1 =1，
故答案为：1.
【点睛】方法点睛：数列的周期性：一般采用代值求周期法.先根据递推公式求出具体的项，找出变化规律，
得到周期，再求解即可.
ì2a , n = 2k
2．（24-25 高二上·天津南开· n *期末）已知数列 an 满足 an 1 = í k N ， a2是 a1， a3 的等比中
an 1, n = 2k -1
项，则数列 an 的通项公式 an = .
ì n-1
3 2 2 - 2, n为奇数
【答案】 an = í n
-1
3 22 -1,n为偶数
【分析】由已知求得 a2 , a3，然后由等比中项定义求出 a1，再分 n 为奇函数，偶数分别求出通项公式.
ì2an , n = 2k
【详解】因为 an 1 = í k N* ，
an 1, n = 2k -1

所以 a2 = a1 1， a3 = 2a2 = 2a1 2，
又 a2是 a1,a 2
2
3 的比例中项，所以 a2 = a1a3，即 (a1 1) = a1(2a1 2)，
显然 a1 0且 a1 -1，故解得 a1 =1；
当 n 是奇数时， an = 2an-1 = 2(an-1 1）= 2an-2 2， n 3，
所以 an 2 = 2(an-2 2)，而 a1 2 = 3，
所以数列 a1 2, a3 2,L,a2n-1 2,L是等比数列，
n-1 n-1
则 an 2 = 3 2 2 ，即 an = 3 2 2 - 2；
1 1 n 1-1 n -1
当 n 是偶数时，则 an = an 1 = 3 2 2 - 2÷ = 3 22 -1；2 2 è
ì n-1
3 2 2 - 2, n为奇数
综上可得 an = í n .
-1
3 22 -1,n为偶数
ì n-1
3 2 2 - 2, n为奇数
故答案为： an = í n
-1
3 22 -1,n为偶数
【点睛】关键点点睛：本题关键是首先推导出 a1的值，另外就是当 n 是奇数时求出通项公式.
3．（24-25 高三上·河北张家口·期末）若无穷数列 an 满足 a1 = 0, an 1 - an = n,n N* ，则称数列 an 为a 数
列. 若a 数列 an 为递增数列，则 a10 = ；若a 数列 bn 满足b2n 2 > b b
n -1 *
2n ，且 n , n N ，则b2n = .2
【答案】 45 n - 2
【分析】结合所给定义与递增数列的性质可得 an 1 - an = n，利用累加法计算即可得空一；依题意 bn 的偶
数项构成单调递增数列，从而可得当b2n 0时，有 n 2，再证明相邻两项不可能同时为非负数，从而可得
b2n - b2n-2 =1,n 2，进而根据等差数列的通项公式求解即可.
【详解】由 an 为递增数列，则 an 1 - an > 0，故 an 1 - an = n，
则 an - an-1 = n -1， an-1 - an-2 = n - 2，L， a2 - a1 =1，
则 an - an-1 an-1 - an-2 L a2 - a1 = n -1 n - 2 L 1
n -1 1 n -1 n n -1
即 an - a

1 = = ，2 2
a = 0 n n -1 10 9又 1 ，则 an = ，故 a2 10
= = 45；
2
由b2n 2 > b2n ，故数列 b2n 是单调递增数列，
即数列 bn 的偶数项构成单调递增数列，
n -1
依题意，可得 b1 = 0，b2 = -1或b2 =1，由bn ，故b2 = -1，2
故b3 = -3或b3 =1，则b4 = -6或b4 = 0或b4 = -2或b4 = 4 ，
n -1 3
由bn ，故b2 4
，又b
2 2n 2
> b2n ，则b4 > -1，
故b4 = 0 ，故当b2n 0时，有 n 2，
下面证明数列 bn 中相邻两项不可能同时为非负数：
假设数列 bn 中存在bi ,bi 1同时为非负数，
因为 bi 1 - bi = i ，
b - b = i i 1 -1若 i 1 i ，则有bi 1 = bi i i > ，与条件矛盾；2
若bi 1 - b
i -1
i = -i，则有bi = bi 1 i i > ，与条件矛盾；2
即假设不存在，即对任意正整数 n ，bn ,bn 1中至少有一个小于0 ；
由b2n 0，对 n 2成立，
故 n 2时，b2n-1 0，b2n 1 0，即b2n > b2n-1,b2n > b2n 1，
故b2n - b2n-1 = 2n -1,b2n-1 - b2n-2 = - 2n - 2 ，
故 b2n - b2n-1 b2n-1 - b2n-2 =1，
即b2n - b2n-2 =1， n 2，
又b2 = -1,b4 = 0，所以数列 b2n 是b2 = -1，公差为 1 的等差数列，
所以b2n = -1 n -1 = n - 2 .
故答案为： 45； n - 2 .
【点睛】关键点点睛：空二的关键点在于考虑每项前后的两项数列正负，并根据累加可得b2n - b2n-2 =1 .
1 1 nπ
4．（2023·湖南永州· 2二模）已知数列 an 满足 a3 = - , an an 1 = n cos ，则a240 = ．4 16 2
【答案】1785
1
【分析】利用余弦函数的周期性可得数列 an 满足 a4k 4 - a4k = k ，再由累加法利用等差数列前 n 和可得4
结果.
ì nπ ü
【详解】由余弦函数性质可知数列 ícos 是以 4为周期的周期数列，
2
1
易知 a4k a4k 1 = k
2 a 2 ， 4k 1 a4k 2 = 0， a4k 2 a4k 3 = - k k ÷ ， a4k 3 a4k 4 = 0，
è 4
1 1 1
则 a4k 4 - a4k = k ，且 a3 = - , a3 a4 = 0 ，可得 a4 = ；4 4 4
1 1 1 1
由累加法可得 a240 = a240 - a236 a236 - a232 ××× a8 - a4 a4 = 59 58 ××× 1 4 4 4 4
1 59 59 1
= 59 58 ××× 1 60 = 15 =1785；
4 2
故答案为：1785
【点睛】方法点睛：根据三角函数的周期性可得数列中的周期或类周期规律，再利用等差数列和等比数列
性质，利用累加法或累乘法即可求得结果.
5．（23-24 高三上·上海普陀·期末）已知各项均不为零的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，a1 = -1，4 a3 8，a2024 < 0 ，
且 2anan 2 an 1an 3 = 0，则 S2024的最大值为 ．
1- 4506
【答案】
3
4506 -1
【分析】根据递推式先推出 an 4 = 4an ，然后分组求和可得 S2024 = a2 a3 3 a4 -1 ，结合条件，通过
基本不等式，二次函数的性质求 S2024的最大值.
【详解】因为 2anan 2 an 1an 3 = 0，
所以 an 1an 3 = -2anan 2，将 n 1代入得 an 2an 4 = -2an 1an 3，
所以 an 2an 4 = 4anan 2 ，又 an 2 0，
所以 an 4 = 4an ，
所以 S2024 = a1 a5 L a2021 a2 a6 L a2022 a3 a7 L a2023 a4 a8 L a2024
-1 1- 4506 a 1- 4506 a 1- 4506 a 1- 45062 = 3 4
1- 4 1- 4 1- 4 1- 4
4506 -1
= a
3 2
a3 a4 -1
505
又因为 a2024 = a4 4 < 0，所以 a4 < 0，
又由 2a1a3 a2a4 = 0， a1 = -1，得 a2a4 = 2a3，
因为 4 a3 8，所以 a2 < 0, a2 a4 -2 a2a4 = -2 2a3 ，当且仅当 a2 = a4时等号成立，
4506 -1 4506S -1所以 é
2 ù é
2024 a3 - 2 2a3 -1 = a3 - 2 - 3 ， a3 2,2 2 ù3 3 ê ú ，
4506 506
所以当 a3 = 2 2
-1
时， S é2024最大，且最大为 ê 2 2 - 23
2
- 3ù 1- 4ú = 3
1- 4506
故答案为： .
3
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件中的递推式求出数列中隐藏的等比数列，然后利用分组求和
的方法进行求和.
6．（22-23 高二下·浙江·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球
者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人，若 n 次传球后球在甲手中的概率为 pn ，则 p10 = .
171
【答案】
512
【分析】记 An 表示事件“经过 n 次传球后，球在甲的手中”，设 n 次传球后球在甲手中的概率为 pn ，得到
1 1 1 1 1
p1 = 0, An 1 = An × An 1 An × An 1，化简整理得 pn 1 = - pn , n =1,2,3,L，即 p - = - ( p - )，结合等2 2 n 1 3 2 n 3
比数列的通项公式，即可求解 pn ，进而可求解 p10 .
【详解】记 An 表示事件“经过 n 次传球后，球在甲的手中”，
设 n 次传球后球在甲手中的概率为 pn ,n =1,2,3,L,n ，
则有 p1 = 0, An 1 = An × An 1 An × An 1，
所以 pn 1 = P(An × An 1 An × An 1) = P(An × An 1) P(An × An 1)
= P(An ) × P(An 1 | An ) P(An ) × P(An 1 | An )
1 1
= (1- pn ) × pn ×0 = (1- p2 2 n
)，
1 1
即 pn 1 = - pn , n =1,2,3,L，2 2
p 1 1所以 n 1 - = - ( p
1
n - )，且 p
1 1
- = - ，
3 2 3 1 3 3
1 1 1
所以数列{pn - }表示以- 为首项，- 为公比的等比数列，3 3 2
1 1 1 n-1p - = - (- )n-1 1 1 1所以 n ，所以 p = - -3 3 2 n 3 2 ÷
.
è 3
p 1 1
10-1
1 171
所以 10 = - - =3 è 2 ÷ 3 512
171
故答案为： .
512
6．（2023 *高三·全国·专题练习）已知数列 an 中， a1 = 2， a2 = 4 ，且 an 2 = 2an 1 3an n N ，则 an = .
3n - -1 n
【答案】
2
【分析】根据特征方程求数列通项的公式计算即可.
【详解】特征方程为 x2 = 2x 3，解得： x=-1或 3，
∴ n可设 an = A × -1 B ×3n，
ì-A 3B = 2
∵ a1 = 2， a
1
2 = 4 ，∴ í ，解得：B = ， A
1
= -
A 9B
，
= 4 2 2
n
1 3n - -1
从而 an = - 1
n 1 - 3n = .
2 2 2
3n - -1 n
故答案为： .
2专题 12 数列递推归类
目录
题型 01 换元型累加（积）法求通项 ..............................................................................................................................1
题型 02 待定系数型二阶等比数列 ....................................................................................................................................2
题型 03 倒数型等差构造 ....................................................................................................................................................3
题型 04 “隐形和“求通项 ................................................................................................................................................3
题型 05 前 n 项积型 ............................................................................................................................................................4
题型 06 高次型 ....................................................................................................................................................................5
题型 07 同构型 ....................................................................................................................................................................6
题型 08 周期型 ....................................................................................................................................................................7
题型 09 奇偶分段型 ............................................................................................................................................................8
题型 10 等比三阶构造型 ....................................................................................................................................................9
题型 11 二阶“和定”型构造 ..........................................................................................................................................9
题型 01 换元型累加（积）法求通项
【解题规律·提分快招】
形如：对于递推公式为 an - an-1 = f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；
利用累加法求通项： an = a1 f (1) f (2) f (3) ... f (n -1) （一定注意，是n-1项积）
an 1
形如： = f n a 的数列的递推公式，采用累乘法求通项；n
利用累乘法求通项： an = a1 f (1) f (2) f (3) ... f (n -1) （一定注意，是n-1项积）
【典例 1-1】
a a 1
（2022 高三·全国·专题练习）在数列 a n 1 nn 中， a1 = 2， = ln(1 ) ，则 a 等于（n 1 n n n ）
A． 2 n ln n B．2n (n -1) ln n
C． 2n n ln n D．1 n n ln n
【典例 1-2】
（2023·湖南长沙·一模）在数列 an 中， a1 = 2
a
， n 1
a
= n ln(1 1 ) ，则 a =（
n 1 n n n ）
A． 2 n ln n B． 2 n -1 ln n C．1 n ln n D． 2n n ln n
【变式 1-1】
（23-24 高二下·河南·阶段练习）已知数列 an 满足a3 - a2 = 9,an - 4an-1 3an-2 = 0 n 3 ，则 an - a1 =（ ）
A 3
n - 3 nB 3 3 3
n-1 -1
． ． C．2 ×3n - 6 D．
2 4 2
【变式 1-2】
（23-24 高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列 an 中， a1 =1，若 (n 1) an - an 1 = anan 1，则下
列结论中正确的是（ ）
1 1 1 1 1 2
A． - a B．
- <
n 1 an 2 an 2 an (n 2)(n 1)
1 1 1
C． - < D． an × ln(n 1) <1a2n an 2
【变式 1-3】
a ×a a ×a
（19-20 高一下· · a a = 2 a =1 n n-1浙江宁波 期中）如果数列 n 满足 1 ， 2 ，且 = n n 1an-1 - an a - a
，那么此数列的第
n n 1
10项为（ ）
1 1 1 1
A．
210
B． 9 C． D．2 10 5
题型 02 待定系数型二阶等比数列
【解题规律·提分快招】
p
形如 an 1 = qan p(q 0，1, p,q为常数）,构造等比数列 an , = 。q -1
特殊情况下，当 q 为 2 时， =p。
an an-1 q
形如 an = pan-1 q pq 0 ，也可以变形为 pn = n-1 n pq 0, p 1 p p ，也可以变形为
a q p q n - = a1- p n-1
-
1- p ÷
.
è
【典例 1-1】
（2023 高二上·福建泉州·阶段练习）已知数列 an 中，a *1 =1, an = 3an-1 4（ n N 且 n 2），则数列 an 通
项公式 an 为（ ）
A．3n-1 B．3n 1 -8 C．3n - 2 D．3n
【典例 1-2】
1
（24-25 高二上·天津滨海新·阶段练习）在数列 an 中， a1 = ， a = 4a2 n n-1 1 n 2 ，则
a4 = ( )
A．213 B．106 C．53 D．13
【变式 1-1】
（22-23 高二上·天津河北·期末）若数列 an 中， a1 =1， a *n 1 = 3an -1， n N .则a3 =（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式 1-2】
2022 高一下·云南德宏·期中）数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n ∈N＋)，那么 a4 的值为．
A．4 B．8 C．15 D．31
【变式 1-3】
（24-25 高二下·湖南长沙·开学考试）数列 an 满足 a1 Z,an 1 an = 2n 3，且其前 n 项和为 Sn .若 S17 = am，
则正整数m =（ ）
A．99 B．103 C．137 D．169
题型 03 倒数型等差构造
【解题规律·提分快招】
a pa= n-1 1 1 qn - =
形如 qan-1 p ，取倒数变形为 an an-1 p ；
【典例 1-1】
2a
（24-25 n高二上·天津·阶段练习）已知数列 an 中， a1 =1且 an 1 = n N* ，则aa 2 10为（ ）n
1 1 2 2
A． B． C．- D．
5 6 9 11
【典例 1-2】
an
（22-23 高一下·四川南充·期中）已知数列 an 满足递推关系 an 1 = , a
1
=
1 a 1 2 ，则
a2017 = （ ）
n
1 1 1 1
A． B． C． D．
2016 2018 2017 2019
【变式 1-1】
3a
（23-24 n
*
高二下·吉林长春·期中）已知数列 an 中， a1 =1且 an 1 = n N aa 3 ，则 13 =（ ）n
1 1 1 1
A． B． C． D．
8 7 6 5
【变式 1-2】
an
（23-24 高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列 an 满足 an 1 = a = 32a -1，且 1 ，则 a8 = （ ）n
1 5 3
A．3 B． C． D．
3 3 5
【变式 1-3】
an
（23-24 高二上·河北邢台·期末）在数列 an 中，已知 a1 = 2，且 an 1 = ，则 a2a -1 4 =（ ）n
2 4
A． B．1 C． D． 2
3 3
题型 04 “隐形和“求通项
【典例 1-1】
ì a ü
（23-24 *高二上·天津·期末）设数列 a nn 满足 a1 2a2 3a3 ××× nan = 2n 1 n N ，则数列 ín 1 的前 10
项和为（ ）
20 11 51 23
A． B11 ． C． D．6 22 6
【典例 1-2】
n
（22-23 · · a a 4a 42 a L 4n-1高二下 天津 期中）数列 *n 满足 1 2 3 an = （ n N ），则 a1a2a3LLa10 等于4
（ ）
1 55 1 10 1 9 66A B 1- C 1- 1 ． ÷ ． ÷ ． ÷ D．
è 4 ÷ è 4 è 4 è 4
【变式 1-1】
1 1 1 2n 1
（2019· · 2广东 一模）已知数列 an 满足 a1 a2 a3 L an = n n n N ，设数列 bn 满足：bn = a a ，2 3 n n n 1
n
数列 bn 的前 n 项和为Tn ，若Tn < n N 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）n 1
é1 , 1 3 3A． ê
é
÷ B． , ÷ C． ê ,
ù
D
4 4 8 ú
． , 8 ÷ è è
【变式 1-2】
（21-22 高一下·浙江·期中）数列 an 中， a1 =1 2，对所有的 n 2， n N* ，都有 a1·a2·a3· ·an = n ，则 a3 a5
等于（ ）
25 25
A． B．
9 16
61 31
C． D．
16 15
【变式 1-3】
1 1 1 n
（24-25
*
高二上·云南大理·期末）已知正项数列 an 满足 L = n Na a a a a a 2n 1 ，若1 2 2 3 n n 1
a3 - 2a4 = 3，则a3 =（ ）
25 15
A． B．10 C． D．5
2 2
题型 05 前 N 项积型
【解题规律·提分快招】
前 n项积型求通项，可以类比前 n 项和求通项过程来求数列前 n 项积：
1.n=1，得 a1
ìT1 ，（n=1）T
2.n 2 a = n 时， n 所以 a = TT n í nn 1 , (n 2）- Tn-1
【典例 1-1】
a a 1
n
2024· · n T = ,a 2（ 陕西西安 一模）记数列 n 的前 项积为 n ，且 1 2 n 1
= Tn -1，若数列 bn 满足 ai bn = Tn，
i=1
则数列 bn 的前 20 项和为（ ）
A．-175 B．-180 C．-185 D．-190
【典例 1-2】
（2024·广东佛山·二模）设数列 an 的前 n 项之积为T *n ，满足 an 2Tn =1（ n N ），则 a2024 =（ ）
1011 1011 4047 4048
A． B． C． D．
1012 1013 4049 4049
【变式 1-1】
1 a
（24-25 高二上· n天津南开·期末）数列 an 满足 a1 = 2, an 1 = n1- a ，其前 项积为Tn ，则T10等于（ ）n
1 1
A．-6 B．- C．6 D．
6 6
【变式 1-2】
2 1
（24-25 高二上·江苏镇江·阶段练习）记Tn 为数列 an 的前 n 项积，已知 =1，则T12 =T a （ ）n n
A．23 B．24 C．25 D．26
【变式 1-3】
（24-25 15-n高三下·湖南长沙·阶段练习）数列 an 中， an > 0, a1an = 2 ，若Tn 是数列 an 的前 n 项积，则Tn 的
最大值（ ）
A． 228 B． 236 C． 256 D． 272
题型 06 高次型
【解题规律·提分快招】
因式分解型求通项
经验型：一般情况下，数列次幂比较高（二次型）递推公式，可以考虑因式分解，或者配方型
【典例 1-1】
（24-25 2高三上·山东·阶段练习）记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若an 1 = a2n 2an 1，且 a1 = 0，则 S20 的最
小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例 1-2】
2
（2024 高三·全国·专题练习）已知数列 an 满足 a1 = 2， an 1 = an an > 0 ，则 an =（ ）
A n-1．10n-2 B．10n-1 C．102n-4 D． 22
【变式 1-1】
（24-25 2 2高二上·福建龙岩·期中）已知数列 an ， a1 =1， an 1 - 4an 1an 4an = 0，则 a7 = （ ）
A．8 B．16 C．24 D．64
【变式 1-2】
nb2
（24-25 n 1高二上·福建宁德·阶段练习）已知正项数列 bn 满足b1 =1，bn = ，则下列错误的是（ ）nb n 1 1
A b 1 5． 2 = B． bn 是递增数列2
1 n 1
C．bn 1 - bn < D．b >n 1 n 1 k =0 k 1
【变式 1-3】
5
（24-25 2高二上·全国·课后作业）数列 an 满足：a1 = ,an 1 = an - 2，则 a2023 除以 7 的余数为（ ）2
A．1 B．2 C．4 D．以上都不对
题型 07 同构型
【解题规律·提分快招】
同除型换元
n n
形如 a = ma tn，同除mn 1 a，得 n 1 an t t ，累加法即可。n 1 n n 1 = ，换元为b = b m mn mn 1 n 1 n mn 1
二阶 f（n）型构造等差线性构造：
形如 a 为常数）,构造等比数列 。n 1 = tan f(n) (q 0，1, p,q an n b
【典例 1-1】
*
（23-24 高二下·广东湛江·期中）在数列 an 中，已知a1 = 3，且 an 1 = 4an 6n - 5 n N ，则 a15 = （ ）
A． 415 -15 B． 215 - 29 C． 215 -15 D． 415 - 29
【典例 1-2】
（2023·四川成都·一模）若数列 an 满足 a1 = 3, an 1 = 2an - n 1，则 a2 a3 a4 =（ ）
A．6 B．14 C．22 D．37
【变式 1-1】
（22-23 n 1高二上·全国·单元测试）已知数列 an 满足 a1 =1， an 1 = 6an 2 ，则数列 an 的通项公式是
（ ）.
A． 2 6n-1 - 2n-1 B．6n-1 - 2n-2
C．6n-1 - 2n-1 D． 2 6n-1 - 2n-2
【变式 1-2】
（22-23 高二上·全国·单元测试）已知数列 an 满足 a1 = 4， an 1 = 2an 2n 1，则数列 an 的通项公式为
（ ）.
A．2n B． n 1 ×2n C． n -1 ×2n D．3n -1
【变式 1-3】
（22-23 高三· n-1北京·强基计划）已知数列 an 满足a1 = 4,an = -an-1 4 ×3 4(n 2)，则（ ）
A a 2 3n ( 1)n , S 2n 2 3
n 1 (-1)n
． n = - - n = - 2
n 1 n
B．a = 2 3n (-1)n , S 2n 3 (-1)n n = - 2 2
n 1 n
C．an = 2 3
n - ( 3 (-1)-1)n , Sn = 2n - 2 2
n 1
D a 2 3n ( 1)n , S 3 (-1)
n
． n = - n = -2n 2 2
题型 08 周期型
【解题规律·提分快招】
若数列{an}满足 an an-1 an-2 = s，则 an 周期T=3
若数列{an}满足 an an-1 an-2 = s，则 an 周期T=3
【典例 1-1】
3 4
（23-24 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列 an 满足 a1 = 3 ， an 1 = - （ n N* ），则 a =3 3an 3
2024
（ ）
A．- 3 B．0 C． 3 D．2
【典例 1-2】
1
（23-24
1
高二上·云南昆明·阶段练习）数列 an 中， a1 = - ， an = 1- (n 2)a ，则 a2023 的值为（4 ）n-1
1 4 5
A．- B． C．5 D．
4 5 4
【变式 1-1】
1 a
（22-23 高二上·福建莆田·期中）在数列 an 中， a1 = -2， a nn 1 = ，则a1- a 2022 =（ ）n
1 1
A．-2 B．- C．- D．3
3 2
【变式 1-2】
a - 3
（20-21 高二上· *宁夏中卫·阶段练习）已知数列 an 中，若a = 0,a = n1 n 1 n N ，则 a3a 1 2020 等于（ ）n
A．0 B．- 3 C． 3 D．1
【变式 1-3】
an - 7
（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）已知数列 an 满足 a1 = -1， an 1 = a 2 ，则 a2025 =（ ）n
8 3
5
A．- B．-1 C． D．
2 2
题型 09 奇偶分段型
【解题规律·提分快招】
奇偶各自独立型求通项
1. a形如 n 1 = t n 2 型，奇数项与偶数项各自成等比数列。
an-1
（1）、n是奇数时，an = a1（× t）
n-1
（2）、n是偶数时，a n-2n = a2（× t）
2. 形如an 2 - an = t奇数项与偶数项各自成等差数列
1 n a a n 1 t（）、 为奇数时， n = 1 （ - ）2
t
（2）、n为n数时，an = a2 （n - 2）2
【典例 1-1】
（23-24 n n *高二上·安徽六安·期末）已知数列 an 满足 a1 =1, a2n = a2n-1 (-1) ,a2n 1 = a2n 3 n N ，则数列
an 的第 2024 项为（ ）
31012 -1 31012 - 3 31012 1 31012A 3． B． C． D．
2 2 2 2
【典例 1-2】
ìa 1, n为奇数
23-24 n *高三上·天津和平·阶段练习）设数列 an 满足 a1 =1， a2 = 2， an 2 = í n N ，令
2an , n为偶数
b πn = log
2
2a2n ×sin a2n-1 × ÷，则数列 bn 的前 100 项和为（2 ）è
A． 4950 B． -5000 C．-5050 D． -5250
【变式 1-1】
6
（24-25 高三上·天津和平·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 = ，7
ì
2an ,0 a
1
n <
a = 2n 1 í 1 ，则下列结论正确的为（ ） 2a -1, a <1
n 2 n
3 5
A． a2021 = B． a2022 = C． S2019 =1344 D． S2022 =13487 7
【变式 1-2】
ì 1
2a n
,0 an < 2
（2024 2高二上·天津南开·专题练习）数列 an 满足 an 1 = í ,若 a1 = ，则 a2024 等于（ ）
2an -1,
1
a <1 5
2 n
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式 1-3】
ì2an n -1, n为奇数（23-24 高二下·河南漯河· *期末）已知数列 an 满足 a1 =1, an 1 = í ,a n N . n - n 2, n为偶数
① a7 = 8；② a2n-1 是等差数列；③ a2n - 2n 2 是等比数列；④数列 an 前 2n项和为3 ×2n n2 - n - 3 .
上述语句正确的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
题型 10 等比三阶构造型
【解题规律·提分快招】
三阶递推型，可以通过凑配系数来构造等比数列。
【典例 1-1】
（2024·四川宜宾·二模）在数列 an 中，已知 a1 = 2, a2 =1，且满足 an 2 an = an 1，则数列 an 的前 2024 项
的和为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【典例 1-2】
*
（2022·云南昆明·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1, a2 = 3,an = an-1 an 1 n N ,n 2 ，则a2022 =（ ）
A．-2 B．1 C．4043 D．4044
【变式 1-1】
（2025 高三·全国·专题练习）数列 an 中， a1 = 2， a2 = 3， an 1 = an - an-1 n 2 ，那么 a2025 =（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【变式 1-2】
（24-25 高三上·湖南·阶段练习）设数列 an 满足a1 = a2 = 1,an 2 = an 1 an ,Sn为 an 的前 n 项和，则数列 Sn
中的项不包括（ ）
A．54 B．232 C．610 D．1596
【变式 1-3】
（24-25 高三上·浙江·阶段练习）数列 an 满足 an 2 = 2an 1 3an ，则下列 a1， a2的值能使数列 an 为周期数
列的是（ ）
A． a1 = 0， a2 =1 B． a1 = -1， a2 =1 C． a1 = 0， a2 = 2 D． a1 = -2，a2 = 0
题型 11 二阶“和定”型构造
【解题规律·提分快招】
满足 an 1 an = f (n)
，称为“和”数列，常见如下几种：
a a = t
1.“和”常数型： n 1 n
，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
a
2.“和”等差型： n 1
an = An B
则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3. an 1 an = An
2 B
“和”二次型：
，则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
【典例 1-1】
（22-23 高二下·江西上饶·期末）已知数列 an n满足 a1 =1， an an 1 = 2 n N* ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． a4 = 3 B． an 为等比数列
22023C．a - 21 a2 a2022 = D a
2022
．
3 1
a2 a2021 = 2 - 3
【典例 1-2】
（2023·四川·模拟预测）数列 an 满足 an an 1 = 3n ，且 a1 =1，则 a100 等于（ ）
A．148 B．149 C．152 D．299
【变式 1-1】
（24-25 高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ．若 an an 1 = 2n 5， a1 =1，则 S8 =
（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【变式 1-2】
ì 1 ü
（24-25
n
高二上·重庆秀山·期末）已知数列 a *n 满足 an an 1 = 2 -1 ,n N ，且 a2 = 5，记数列 í 的
anan 1
前 n 项和为 Sn ，则 S49 =（ ）
1 1 2
A． B． C． D．2
13 15 15
【变式 1-3】
（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知数列 a *n 对任意 k N 满足 ak ak 1 = 3k 2，则 a2 a2023 =（ ）
A．3032 B．3035 C．3038 D．3041
冲高考
1. n *（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知数列 an 满足 an 1 = (-1) an n n N , a2025 = 2025，则 a1 = ．
ì2a , n = 2k
2 n *．（24-25 高二上·天津南开·期末）已知数列 an 满足 an 1 = í k N a a a
an 1, n = 2k 1
， 2是 1， 3 的等比中-
项，则数列 an 的通项公式 an = .
3．（24-25 *高三上·河北张家口·期末）若无穷数列 an 满足 a1 = 0, an 1 - an = n,n N ，则称数列 an 为a 数
n -1 *
列. 若a 数列 an 为递增数列，则 a10 = ；若a 数列 bn 满足b2n 2 > b2n ，且bn , n N ，则b2n = .2
4．（2023·湖南永州·二模）已知数列 an a
1 , a a 1 n2cos nπ满足 3 = - n n 1 = ，则a4 16 2 240
= ．
5．（23-24 高三上·上海普陀·期末）已知各项均不为零的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，a1 = -1，4 a3 8，a2024 < 0 ，
且 2anan 2 an 1an 3 = 0，则 S2024的最大值为 ．
6．（22-23 高二下·浙江·期中）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球
者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一个人，若 n 次传球后球在甲手中的概率为 pn ，则 p10 = .
6 *．（2023 高三·全国·专题练习）已知数列 an 中， a1 = 2， a2 = 4 ，且 an 2 = 2an 1 3an n N ，则 an = .

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