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专题 05 导数基础思维核心应用
目录
题型 01 计算思维 ................................................................................................................................................................1
题型 02 定义思维 ................................................................................................................................................................2
题型 03 切线法基础：过点切线思维---2 单 3 空 .............................................................................................................3
题型 04 切线法：“过点”切线条数思维---4 单 1 空 .....................................................................................................5
题型 05 切线法：“过点”切线条数求参思维---3 单 2 空 .............................................................................................5
题型 06 切线法：切线逼近求零点思维--5 单...................................................................................................................6
题型 07 切线法：切线分界求参思维--4 单.......................................................................................................................7
题型 08 切线法：数形结合公式思维 ................................................................................................................................8
题型 09 切线法：切线逼近整数解 ....................................................................................................................................9
题型 10 公切线：求公切线方程 ......................................................................................................................................10
题型 11 公切线：公切线求参数---3 单 2 空 ....................................................................................................................11
题型 12 基础思维压轴小题---5 空 ...................................................................................................................................11
题型 01 计算思维
【解题规律·提分快招】
导数计算技巧：
1.任何导数值，都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。
2.复杂函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。
【典例 1-1】
1
（2025 高三·全国·专题练习）在等比数列 an 中， a1013 = 2，若函数 f x = x x - a x - a L x - a ，2 1 2 2025
则 f 0 = （ ）
A．-22024 B． 22024 C． -22025 D． 22025
【典例 1-2】
（24-25 高二上·河南平顶山·阶段练习）已知函数 f x 的导数为 f x ，且 f x = 2xf e + ln x ，则 f e =
（ ）
1
A．- B．- 1 C．1 D．e
e
【变式 1-1】
（23-24 高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数 f (x) = ex-1 + f (1)x2 + f (1)x +1，则 f (2) =（ ）
A．e + 2 B． e - 3 C． e - 5 D． e - 7
【变式 1-2】
（23-24 高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数 f x = x x -1 x - 2 x - 3 x - 4 x - 5 ，求 f 2 =（ ）
A．0 B．-12 C． -120 D．120
【变式 1-3】
23-24 2 2（ 高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数 f x = x - 2 x - 4 x2 - 7 x2 - 9 x2 -10 x2 -12 x2 + x ，
lim f (-2 + x) - f (-2)则 = （ ）
x 0 x
A．- 11520 B．- 23040 C．11520 D．23040
题型 02 定义思维
【解题规律·提分快招】
导数的几何意义，在实际做题思维中，有两个方向：
1. 导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的对比，原函数的
上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让学生理解。
2. 导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼近数值逼近思维。
【典例 1-1】
（20-21 高二下·陕西西安·期中）已知函数 f (x) 的图象如图所示， f (x)是 f (x) 的导函数，则下列数值排序
正确的是（ ）
A．0 < f (2) < f (3) < f (3) - f (2)
B．0 < f (3) < f (3) - f (2) < f (2)
C．0 < f (3) < f (2) < f (3) - f (2)
D．0 < f (3) - f (2) < f (3) < f (2)
【典例 1-2】
（20-21 高二下·全国·课后作业）函数 f x 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． f 1 > f 2 > f 3 > 0 B． f 1 < f 2 < f 3 < 0
C．0 < f 1 < f 2 < f 3 D． f 1 > f 2 > 0 > f 3
【变式 1-1】
（20-21 高二下·天津南开·期中）已知函数 f x 的图象如下所示， f x 为 f x 的导函数，根据图象判断下
列叙述正确的是（ ）
A． f x1 < f x2 B． f x1 > f x2
C． f x1 < f x2 < 0 D． f x1 > f x2 > 0
【变式 1-2】
（高二下·河南鹤壁·阶段练习）如图，函数的图象在 P 点处的切线方程是 y = -x + 8 ,若点 P 的横坐标是 5，则
f 5 + f ' 5 = (　　)
A 1． 2 B．
1 C．2 D．0
【变式 1-3】
（24-25 高二上·浙江温州·期末）已知函数 f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是
（ ）
f 3 - f 1 f 3 - f 1A ． < f 1 < f 3 B． f 3 < < f 1
2 2
C． f 3 < f 1 f 3 - f 1 f 3 - f 1< D． f 1 < < f 3
2 2
题型 03 切线法基础：过点切线思维
【解题规律·提分快招】
求“过点”型，如下图，
求导过程与计算如下，切线条数判断经验型标准：有几个切点，即有几条切线
1、设切点（或者给出了切点）：P( x0 , y0 )
2、y0 =f（x0）
3、y=f （x） k=f （x0）。
4、切线方程：y-y0 = k(x - x0 )

5、过 a，b ，代入：y-y0 = k(x - x0 )
得b-y0 = k(a - x0 ) 解出x0
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津武清·阶段练习）若直线 y = kx 与曲线 y
1
= lnx + 相切，则 k = （ ）
2x
A． ln2
1 1 1
+ B． C． D．4
4 2 4
【典例 1-2】
（2020 高三·全国·专题练习）已知曲线 C： f x = x3 - ax + a，若过曲线 C 外一点 A(1，0) 引曲线 C 的两条切
线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为（ ）
27 27
A． B．-2 C．2 D．-
8 8
【变式 1-1】
（23-24 高二下·安徽滁州·期末）过抛物线 x2 = 4y上一点 P 作切线与 y 轴交于点Q，直线 PQ被圆 x2 + y2 =1
截得的弦长为 2 ，则点Q的坐标为 .
【变式 1-2】
（22-23 高三上·山西·阶段练习）过点 (0,2)与曲线 f (x) = ln x + 2相切的切线方程为 ．
【变式 1-3】
（2023·云南大理·模拟预测）过点P(0, -e) 作曲线 y = x ln x 的切线，则切线方程是 ．
题型 04 切线法：“过点”切线条数思维
【解题规律·提分快招】
【典例 1-1】
1
（20-21 高二下·天津蓟州·期中）函数 f x = x3的斜率等于 1 的切线有（
3 ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．不确定
【典例 1-2】
2025 3 2（ 届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）曲线 y = f x = x - 5x - 25x -1过点 0,1 的切线条数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 1-1】
（21-22 高二下·天津南开·期中）曲线 f x = x3 + x - 2在点 P 处的切线平行于直线 y = 4x，则点 P 的坐标为
（ ）
A． 2,8 或 -1, -4 B． 1,0 或 -1, -4
C． -1, -4 D． 1,0
【变式 1-2】
（24-25 高二上·山西·期末）经过点 3,0 所作曲线 y = x2ex 的切线有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【变式 1-3】
（19-20 高二下· 3天津滨海新·阶段练习）已知函数 f x = x - 4x ，则过点P -1,4 可以作出 条 f x 图
象的切线.
题型 05 切线法：“过点”切线条数求参思维
【解题规律·提分快招】
“过点”型切线条数求参，有如下几个方向：
1. 如果有可能，可以简单求导画出图像，根据图像凸凹情况“目测”型判断（但易误判）
2. 可以采取“参变分离”方法，转化为水平线与函数图像交点求最值（极值）型
3. 可以采取求导分类讨论型求解，此时要注意一些题型会有可能需要处理“隐零点”的转化。
【典例 1-1】
（2023·全国·模拟预测）若曲线 y = 1- x ex 有两条过点 A a,0 的切线，则 a的取值范围是（ ）
A． - , -1 3,+ B． -3,1
C． - , -3 D． - ,-3 U 1,+
【典例 1-2】
（17-18 3高二上·江西南昌·期末）已知函数 f x = x - 3x，若过点M 3, t 可作曲线 y = f x 的三条切线，
则实数 t的取值范围是( )
A． -9,18 B． -18,18 C． -18,6 D． -6,6
【变式 1-1】
（2022·山东潍坊·三模）过点P 1,m m R n f x = xex有 条直线与函数 的图像相切，当 n 取最大值时，m
的取值范围为（ ）
5 5 1
A．- 2 < m < e B．- 2 < m < 0 C．- < m < 0 D．m < ee e e
【变式 1-2】
（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）过点 1,1 可作曲线 y = a + ln x x 的两条切线，则实数 a的取值范围
是 ．
【变式 1-3】
（2020 高三·全国·专题练习）若过点 P(-1,m) 可作曲线 f (x) = -x3 + 6x2的三条切线，则实数m 的取值范围为
题型 06 切线法：切线逼近求零点思维
【解题规律·提分快招】
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【典例 1-1】
ì-x2 1 + x, x < 0
（23-24 高三上·天津·期中）已知函数 f x = í 2 ，若函数 y = f x - kx 有且只有 3 个零点，则
ln x +1 , x 0
实数 k 的取值范围为（ ）
1 1 1
A ． 0, ÷ B． ,1÷ C． 1, + 2 D． ,12 è 4 ÷è è
【典例 1-2】
ìex - ax, x 0,
（22-23 高二下·天津河西·期末）已知函数 f x = í x2 3a 2 x 1, x 0有 个零点，则实数
a的取值范围
- - + + <
是（ ）
1 ,+ A． ÷ B． 1, + C． e, + D 2． e ,+
è e


【变式 1-1】
ìx2 +1, x 0
（22-23 高二下·天津武清·期中）已知函数 f (x) = í 1-x ，点 M、N 是函数 y = f (x) 图像上不同的两个
e , x < 0
点，设 O 为坐标原点，则 tan MON 的取值范围是（ ）
e2 2 ù 20, + 2 0, e + 2 0, e + 2
2
0, e + 2
ù
A． B． C． D．
è 2e
2 -1÷ 2 ú 2 ÷ è 2e -1 è 2e +1 è 2e
2 +1ú
【变式 1-2】
ìax + a, x -1
（21-22 高二下·天津·期末）已知函数 f x 满足 f x +1 = í 函数 g xln x +1 , x > -1 = f x - f -x 恰有 5
个零点，则实数 a的取值范围为（ ）
1 ,0 0, 1 1 , 1 1 A． - e ÷
B． ÷ C． - ÷ D． , + ÷
è è e è e e è e
【变式 1-3】
（2022·山东烟台·三模）已知函数 f
ì ln x , x > 0
x = í ，若方程 f x = ax -1有且仅有三个实数解，则实
x
2 + 2x -1, x 0
数 a的取值范围为（ ）
A．0 < a <1 B．0 < a < 2 C． a >1 D． a > 2
题型 07 切线法：切线分界求参思维
【解题规律·提分快招】
涉及到交点个数题型，可以有三个思路：
1. 全部移项到一侧，含参型，分类讨论，这是属于“小题大做”型，思维简单，讨论参数时较麻烦。
2. 可以采取“参变分离”，转化为不含参函数图像，以及含参的“水平线”法来解决交点个数问题，必要
时候，可以用“洛必达”法则来处理“断点”型函数值不存在的问题。
3. 特殊技巧，就是“分涵”，分离函数来处理，分离函数型，多分离成为不含参的曲线，与含参的直线型，
此时求交点来判断，要注意的是，含参直线，多有“含参直线过定点”这个特殊性质，也就是参数起到了
“旋转”直线的动态过程。
【典例 1-1】
（23-24 高二下·天津滨海新·期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如： y = ex 在点 0,1 处的切线
为 y = x +1，如图所示，易知除切点 0,1 外， y = ex 图象上其余所有的点均在 y = x +1的上方，故有 ex x +1 .
该结论可通过构造函数 f x = ex - x -1并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也
不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（ ）
① "x > 0,ex-1 ln x +1；
② "a R,"x R, ex ea x - a +1 ；
③ "x R, ex-1
1
- x - > 0 ；
2
④ "x > 0, xex x + ln x +1.
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【典例 1-2】
ì2x2 -8x +10，x > 2
（21-22 高二下·天津南开·期中）已知函数 f x = í ，若 f x x - me2-x 恒成立，则实数 m + x -1，x 2
的取值范围为（ ）
1A． - ,4 - 2ln 2 é ùB． ê ,4 - 2ln 2 4 ú
é1
C． ê ,5 - 2ln 2
ù é1 ù
ú D． ê ,5 - 2ln 2 8 4 ú
【变式 1-1】
ì3- ln x, x 1
（2019·天津·三模）已知函数 f (x) = í 2 , 若不等式 f (x) | 2x - a |对任意 x (0,+ )x 4x 6, x 1 上恒成立， - + >
则实数 a的取值范围为
é 1 ù
A． ê 3 - ,3 ú B．[3,3+ ln5] C．[3, 4 ln 2]
é 1+ D． ê3- ,5
ù
e e ú
【变式 1-2】
ì ex + 4m, x > 0
（21-22 高三下·全国·阶段练习）已知函数 f x = í ，若
2 - logm x +1 , -1 < x 0
f x - f
x , x R, 1 x2 " 1 2 > 0，且 g(x) = f (x) - x - 2仅有 1 个零点，则实数m 的取值范围为（ ）x1 - x
2
é1
A． ê ,
1 é1 , 1ù é1 ,1 1
4 e ÷
B． ê C． ÷ D． ,1÷ 4 e ú ê e è e
【变式 1-3】
2
（17-18 高三上·天津·阶段练习）已知函数 f
ì-x + 2x, x 0
x = í x ，若不等式 | f (x) | -ax - a +1 0恒成立，则
1- e , x > 0
实数 a的取值范围是 ．
题型 08 切线法：数形结合公式思维
【解题规律·提分快招】
高中数学有“三大几何意义”型公式，隐藏的比较深，如下三种形式：
a - c 2 + b - d 2
1. 距离型。多是借助距离公式（平方和形式），如这种形式 。可以处理为（a，b）与（c，
d）两点的距离的平方。
2. 分式型，多为斜率公式。
带绝对值型，可以用点到直线距离公式来凑配转化
【典例 1-1】
a-1
（18-19 高三·湖南长沙·阶段练习）已知实数 a,b,c,d e c -1 1 2 2满足 = = ，则 a - c + b - d 的最小值为
b d e
（ ）
A e
2 +1 e
． B．
e e2 +1
C e
2 +1 D e
2
．
e2
．
e2 +1
【典例 1-2】
（18-19 高二下·山西·阶段练习）已知 ln a - ln 3 = ln c,bd = -3，则 (a - b)2 + (d - c)2 的最小值为
3 10 18 16 12A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式 1-1】
2 2
（24-25 高三上·上海闵行·期中）已知 a，b R ，则 eb - a + ea - b 的最小值为 ．
【变式 1-2】
2
（23-24 高二下·浙江·期中）已知实数a > 0,b R ，且函数 f (a,b) = (a - 2b)2 + 4 ln a - b2 + 2b2，则函数
f (a,b) 的最小值为 ．
【变式 1-3】
2
（21-22 3ln a - a c - 2高二下·江西宜春·期末）若实数 a，b，c，d 满足 = = 1，则 (a + c)2 + (b + d )2 的最小
b d
值为 ．
题型 09 切线法：切线逼近整数解
【解题规律·提分快招】
对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
1. 一侧是可求导画图的函数
2. 一侧是含参型动直线。
3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。
【典例 1-1】
3 2
（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = ln x - a x - x ，若不等式 f x > 0恰有 3 个整数解，则实数 a 的
取值范围为（ ）
é ln 5
A． ê ,
ln 2 é ln 5 ln 2
B． ,
100 24 ÷ ÷ ê125 32
é ln 3 ln 2 é ln 3 ln 2 ù
C． ê , ÷ D． 18 4 ê
,
27 8 ú
【典例 1-2】
（22-23 高二下·山东·阶段练习）已知不等式 k(x + 2)ex-1 < x 恰有 2 个整数解，求实数 k 的取值范围（ ）
3 k 1
6
A． < 或 2e5 5e
3 1
2 < k B． < k 5e 2e 3 5e2 2e
2 3 2 3
C 5e
6
． 3 < k 2 D． 3 k < 2 或 2e
5 < k
3e 5e 3e 5e 3
【变式 1-1】
（21-22 x高三下·山东德州·阶段练习）已知不等式 kx + 3k e < x +1恰有 2 个整数解，求实数 k 的取值范围
（ ）
2 3
A 5e
6 3 1
． 3 k <
5
2 或 2e < k B． 2 < k 3e 5e 3 5e 2e
2 3 3 1 6
C． 3 < k 2 D． 2 k < 或 2e
5 < k 5e
3e 5e 5e 2e 3
【变式 1-2】
4a -1
（2021·安徽淮北·二模）若关于 x 的不等式 ln x + a - < 0有且只有两个整数解，则正实数 a的取值范围
x
是（ ）
A． 3ln 3 +1, 4 ln 2 + 4 B． - ln 2 +1,3ln 3 +1

C． ln 2
1
+ ,3ln 3+1ùú D． 3ln 2 +1,2 ln 3+ 3 è 2
【变式 1-3】
（17-18 高二下·福建· 2期中）设函数 f x = ln x - ax - a - 2 x ，若不等式 f x > 0恰有两个整数解，则实数
a的取值范围是
1 4 + ln 2A． +
ù é
B 1
4 + ln 2
+
è 4 ú
．
ê 4 ÷
6 + ln 3
C． ,
4 + ln 2ù é6 + ln 3 4 + ln 2
D．
è 12 6 ú ê
, ÷
12 6
题型 10 公切线：求公切线方程
【解题规律·提分快招】
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清
晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直
线相切， 然后分别设切点，求对应的切线，两条切线再用待定系数法求切点坐标或者对应关
系。
【典例 1-1】
（23-24 高二下·江西吉安·期末）函数 f (x) = 2 + ln x 与函数 g(x) = ex公切线的斜率为（ ）
A．1 B．±e C．1或 e D．1或 e2
【典例 1-2】
（23-24 高二下·河北·期末）若直线 l是曲线 y = lnx -1与 y = ln x -1 的公切线，则直线 l的方程为（ ）
A． y = x - 2 B． y = x
C． y = x +1 D． y = ex
【变式 1-1】
（23-24 x高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线 y = ax + b(a R,b > 0) 是曲线 f x = e 与曲线 g x = lnx + 2的
公切线，则 a + b =（ ）
A 2 B 1
1
． ． e2 C． D． e
【变式 1-2】
（22-23 x+2022高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若直线 y = kx + b是曲线 f (x) = ex-3 与 g x = e - 2022的
公切线，则 k = （ ）
1011 2022 2025
A． B． C． D．1
1012 2025 2022
【变式 1-3】
（22-23 x-2高三上·湖南·开学考试）若直线 y = kx + b是曲线 f x = e 与 g x = ex+2022 - 2022 的公切线，则 k =
（ ）
1011 1012
A． B．1 C． D．2022
1012 1011
题型 11 公切线：公切线求参数
【解题规律·提分快招】
公切线求参
属于属性集合题型。利用数形结合求方程解应注意两点
1．讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论
方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．
2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形
结合．
【典例 1-1】
（20-21 高二下·安徽合肥·
b
期中）函数 f (x) = ax + 的图象在点 (1,3) 2
1
处的切线也是抛物线 x = y 的切线，则
x 3
a - b = （ ）
A．1 B．3 C．6 D．2
【典例 1-2】
x
2018· · C : y = x2（ 广西桂林 二模）若曲线 1 与曲线C2 : y
e
= (a > 0) 存在公切线，则实数 a的取值范围（ ）
a
e2 ù ée2 ù é 2
A．( 0, 1) B． 1, ú C． ê , 2
e
4 4 ú
D． ê , +
è 4
÷

【变式 1-1】
（19-20 高二下·天津滨海新·阶段练习）直线 y = kx + b与曲线 y = f (x) 相切也与曲线 y = g(x) 相切，则称直线
y = kx + b为曲线 y = f (x) 和曲线 y = g(x) 的公切线，已知函数 f (x) = x2 , g(x) = a ln x,，其中 a 0，若曲线
y = f (x) 和曲线 y = g(x) 的公切线有两条，则 a的取值范围为（ ）
2
A． a < 0 B． a < -1 C．0 < a < 2e D．0 < a <
e
【变式 1-2】
（23-24 高二下·天津和平·阶段练习）若函数 f x = x -1与 g x = alnx -1的图象存在公共切线，则实数 a的
最大值为
【变式 1-3】
（2017·重庆·一模）函数 y = x2 – 1和 y = a ln x -1有相同的公切线，则实数 a 的取值范围为 ．
题型 12 基础思维压轴小题
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津·期中）若函数 f x = ax2 - 2x - x2 - ax +1 +1 a R 有两个零点，则实数 a的取值范
围为 .
【典例 1-2】
2 2
（24-25 高三上·江西赣州·期中）已知点 A x1, y1 , B x2 , y2 ，定义 dAB = x1 - y2 + x2 - y1 为 A, B的“可测
距离”.若点 A, B在曲线 y = e x-2 + a 上，且 dAB 的最小值为 4，则实数 a的值为 .
【变式 1-1】
（24-25 高三上·江苏苏州·期中）如图，对于曲线G 所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角a ，使得对
于曲线G 上的任意两个不同的点 A，B ，恒有 AOB a 成立，则称角a 为曲线G 的相对于点O的“界角”，
ì xex-1 +1，x > 0

并称其中最小的“界角”为曲线G 的相对于点O的“确界角”.已知曲线C ： y = í 1 ex2
（其中 是自然
+1，x 0 16
对数的底数），O为坐标原点，曲线C 的相对于点O的“确界角”为 b ，则 eb = .
【变式 1-2】
f x log x 1（2024·山东济宁·一模）已知函数 = a + x （ a > 0且 a 1）恰有一个零点，则实数 a的取值范围a
为 ．
【变式 1-3】
（21-22 x高二下·山东菏泽·期末）若关于 x 的方程 e 2x -1 = a x -1 无解，则实数 a的范围为 .
冲高考
1．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = lnx ，关于 x 的不等式 f x - f x0 a x - x0 的解集为
0, + ，其中 x0 0, + ， a为常数.给出下列四个结论：
y 1①直线 = x是曲线 y = f x 的一条切线；
e
f 3 f 4② < ；
3 4
③当 x0 =1时， a的取值范围是 -1,0 ；
④要使 a取唯一的值，仅当 x0 0,1 .
其中，所有正确结论的序号是 .
2．（23-24 高二上·湖南长沙·开学考试）已知过点 2,b 不可能作曲线 y = 2ex 的切线.对于满足上述条件的任
a xb b意的 ，函数 f x = - x2 + e2x +1(a >1)恒有两个不同的极值点，则 a的最大值为 .
lna 2
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知直线 ax - y +1 = 0过抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)的焦点，且与C 交于 A, B
两点.过 A, B两点分别作C 的切线，设两条切线交于 M 点，线段 AB 的中点为 N .若 a =1，则 MN = ；
VABM 面积的最小值为 .
4．（2023·河北沧州·模拟预测）若函数 y = f x 的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切
c
线互相垂直，则称函数 y = f x 具有T 性质.若函数 g x = ax - + bsin x cos x + c cos2 x 具有T 性质，其中 a，
2
b ， c为实数，且满足b2 + c2 = 1，则实数 a + b + c 的取值范围是 .
x
5．（22-23 高三上·江苏苏州·阶段练习）若过点 A -1, t 可以作出 3 条直线与函数 f x = 的图象相切，则 t
ex
的取值范围为 ．
6．（21-22 高三下·湖南· x阶段练习）已知函数 f x = e + a ln x - xa - x （ a > 0，e 为自然对数的底数，e
=2.71828…）．当 a=1 时，函数 f x 在点 P（1， f 1 ）处的切线方程为 ；若 x 1,+ ， f x 0，
则实数 a 的最大值为 ．
7．（21-22 高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知m > 0，若存在实数 x [1, + ) m × 2mx+1使不等式 - log 2 x 0成立，
则 m 的最大值为 ．
8．（2021· x全国·模拟预测）若函数 f x = ln x与函数 g x = e - m存在经过点（1，0）的公切线 l，则实数m
l h x = aex 2的值为 ，公切线 恒在函数 - x 图象的上方，则整数 a的最大值是 ．专题 05 导数基础思维核心应用
目录
题型 01 计算思维 ................................................................................................................................................................1
题型 02 定义思维 ................................................................................................................................................................3
题型 03 切线法基础：过点切线思维---2 单 3 空 .............................................................................................................5
题型 04 切线法：“过点”切线条数思维---4 单 1 空 .....................................................................................................8
题型 05 切线法：“过点”切线条数求参思维---3 单 2 空 ...........................................................................................10
题型 06 切线法：切线逼近求零点思维--5 单.................................................................................................................12
题型 07 切线法：切线分界求参思维--4 单.....................................................................................................................16
题型 08 切线法：数形结合公式思维 ..............................................................................................................................20
题型 09 切线法：切线逼近整数解 ..................................................................................................................................23
题型 10 公切线：求公切线方程 ......................................................................................................................................27
题型 11 公切线：公切线求参数---3 单 2 空 ....................................................................................................................29
题型 12 基础思维压轴小题---5 空 ...................................................................................................................................31
题型 01 计算思维
【解题规律·提分快招】
导数计算技巧：
1.任何导数值，都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。
2.复杂函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。
【典例 1-1】
1
（2025 高三·全国·专题练习）在等比数列 an 中， a1013 = 2，若函数 f x = x x - a1 x - a2 L x - a2 2025 ，
则 f 0 = （ ）
A．-22024 B． 22024 C． -22025 D． 22025
【答案】A
【分析】设 g x = x - a1 x - a2 L x - a2025 ,则 f x
1
= xg x ，可得 f 0 1= g 0 ，而
2 2
g 0 = 0 - a 20251 0 - a2 L 0 - a2025 = -1 × a1a2 La2025 ，利用等比数列的项的性质即可求得.
【详解】设 g x = x - a1 x - a2 L x - a2025 ，
则 f x 1= xg x ， f x 1= g x 1+ xg x ，
2 2 2
所以， f 0 1= g 0 .
2
2 2
因为 an 是等比数列，且 a1013 = 2， a1a2025 = a2a2024 =L = a1012a1014 = a1013 = 2 ，
于是， a1a2 La2025 = (a1a2025 ) × (a2a2024 )L(a1012a1014 ) ×a2013 = (2
2 )1012 2 = 22025
故 g 0 = 0 - a1 0 - a2 L 0 - a = -1 2025 × a a La = -220252025 1 2 2025 ，
所以， f 0 1= g 0 = -22024 .
2
故选：A.
【典例 1-2】
（24-25 高二上·河南平顶山·阶段练习）已知函数 f x 的导数为 f x ，且 f x = 2xf e + ln x ，则 f e =
（ ）
1
A．- B．- 1 C．1 D．e
e
【答案】B
【分析】对函数求导并带入 x=e求得 f e 1= - ，可得解析式，进而求函数值.
e
【详解】由 f x = 2xf e + ln x ，得 f x = 2 f e 1+ ，
x
x=e f e 2 f e 1当 时， = + ，解得 f e 1= - ，
e e
所以 f x = -2x + ln x ，则 f e -2e= + ln e = -1 .
e e
故选：B
【变式 1-1】
（23-24 高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数 f (x) = ex-1 + f (1)x2 + f (1)x +1，则 f (2) =（ ）
A．e + 2 B． e - 3 C． e - 5 D． e - 7
【答案】D
【分析】令 x =1，解得 f 1 = -2，对函数 f (x) = ex-1 + f (1)x2 + f (1)x +1求导，令 x =1，解得 f 1 =1，即
可求得 f (2) .
【详解】令 x =1，得 f 1 =1+ f 1 + f 1 +1，解得 f 1 = -2，
x-1
所以 f x = e - 4x + f 1 ，
令 x =1，得 f 1 =1- 4 + f 1 = -2，解得 f 1 =1，
所以 f x = ex-1 - 2x2 + x +1 x-1，所以 f x = e - 4x +1，所以 f 2 = e - 7 .
故选：D
【变式 1-2】
（23-24 高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数 f x = x x -1 x - 2 x - 3 x - 4 x - 5 ，求 f 2 =（ ）
A．0 B．-12 C． -120 D．120
【答案】B
【分析】令 g x = x x -1 x - 3 x - 4 x - 5 ，则 f x = x - 2 g(x)，求导后赋值即可.
【详解】令 g x = x x -1 x - 3 x - 4 x - 5 ，则 f x = x - 2 g(x)，两边求导得到
f x = g(x) + x - 2 g (x)，令 x = 2，得到 f 2 = g(2) = -12 .
故选：B.
【变式 1-3】
2 2 2 2 2 2
（23-24 高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数 f x = x - 2 x - 4 x - 7 x - 9 x -10 x -12 x2 + x ，
lim f (-2 + x) - f (-2)则 = （ ）
x 0 x
A．- 11520 B．- 23040 C．11520 D．23040
【答案】A
2
【分析】令 g x = x - 2 x - 2 x2 - 7 x2 - 9 x2 -10 x2 -12 x2 + x ，则 f x = x + 2 g x ，对函数求
导后结合导数的定义可得结果.
g x = x2 - 2 x - 2 x2 - 7 x2 - 9 x2【详解】令 -10 x2 -12 x2 + x ，
则 f x = x + 2 g x ，则 f x = g x + x + 2 g x ，
lim f (-2 + x) - f (-2)所以 = f (-2) = g(-2)
x 0 x
= 2 (-4) (-3) (-5) (-6) (-8) 2 = -11520 .
故选：A
题型 02 定义思维
【解题规律·提分快招】
导数的几何意义，在实际做题思维中，有两个方向：
1. 导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的对比，原函数的
上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让学生理解。
2. 导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼近数值逼近思维。
【典例 1-1】
（20-21 高二下·陕西西安·期中）已知函数 f (x) 的图象如图所示， f (x)是 f (x) 的导函数，则下列数值排序
正确的是（ ）
A．0 < f (2) < f (3) < f (3) - f (2)
B．0 < f (3) < f (3) - f (2) < f (2)
C．0 < f (3) < f (2) < f (3) - f (2)
D．0 < f (3) - f (2) < f (3) < f (2)
【答案】B
【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出
答案.
【详解】由函数 f (x) 的图象可知 f (x) 为单调递增函数，
故函数在每一处的导数值 f (x) > 0，即得 f (3) > 0, f (2) > 0，
设 A(2, f (2)), B(3, f (3)) A, B
f (3) - f (2)
，则 连线的斜率为 = f (3) - f (2) ，
3 - 2
由于曲线是上升的，故 f (3) > f (2),\ f (3) - f (2) > 0，
作出曲线在 x = 2, x = 3处的切线，设为 l1, l3 ， A, B连线为 l2，
结合图象可得 l1, l2 , l3 的斜率满足 k3 < k2 < k1，
即0 < f (3) < f (3) - f (2) < f (2) ，
故选：B
【典例 1-2】
（20-21 高二下·全国·课后作业）函数 f x 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． f 1 > f 2 > f 3 > 0 B． f 1 < f 2 < f 3 < 0
C．0 < f 1 < f 2 < f 3 D． f 1 > f 2 > 0 > f 3
【答案】A
【分析】由导数的几何意义分析可得 f 1 ， f 2 和 f 3 的几何意义，结合图像可得解.
【详解】由函数 f x 的图像可知，Q当 x 0 时， f x 单调递增，
\ f 1 > 0 ， f 2 > 0， f 3 > 0 .
Q随着 x 的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
\ f 1 > f 2 > f 3 > 0 .故选：A.
【变式 1-1】
（20-21 高二下·天津南开·期中）已知函数 f x 的图象如下所示， f x 为 f x 的导函数，根据图象判断下
列叙述正确的是（ ）
A． f x1 < f x2 B． f x1 > f x2
C． f x1 < f x2 < 0 D． f x1 > f x2 > 0
【答案】B

【分析】利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断 f (x1) 与 f (x2 )、 f (x1)与 f (x2 )，及其与 0 的大小
关系.
【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知： f (x1) > f (x2 ) > 0，而 f (x1) < 0 < f (x2 ) ，
故选：B.
【变式 1-2】
（高二下·河南鹤壁·阶段练习）如图，函数的图象在 P 点处的切线方程是 y = -x + 8 ,若点 P 的横坐标是 5，则
f 5 + f ' 5 = (　　)
A 1． 2 B．
1 C．2 D．0
【答案】C
【详解】试题分析：函数 y = f x 的图象在点 P 处的切线方程是 y = -x + 8，所以，在 P 处的导数值为切线
的斜率， f 5 + f 5 = -5 + 8 -1 = 2，故选 C．
考点：本题主要考查导数的几何意义．
点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值．
【变式 1-3】
（24-25 高二上·浙江温州·期末）已知函数 f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是
（ ）
f 3 - f 1A ． < f f 3 - f 11 < f 3 B f 3 ． < < f 1
2 2
f 3 - f 1 f 3 - f 1C． f 3 < f 1 < D． f 1 < < f 3
2 2
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果.
【详解】根据导数的几何意义，
如图， f 1 , f 3 分别表示在点 A 1, f 1 , B 3, f 3 处切线的斜率,
f 3 - f 1 f 3 - f 1 f 3 - f 1
又 k AB = = ，由图可知 f 3 < < f 1 ，故选：B.3 -1 2 2
题型 03 切线法基础：过点切线思维
【解题规律·提分快招】
求“过点”型，如下图，
求导过程与计算如下，切线条数判断经验型标准：有几个切点，即有几条切线
1、设切点（或者给出了切点）：P( x0 , y0 )
2、y0 =f（x0）
3、y=f （x） k=f （x0）。
4、切线方程：y-y0 = k(x - x0 )

5、过 a，b ，代入：y-y0 = k(x - x0 )
得b-y0 = k(a - x0 ) 解出x0
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津武清·阶段练习）若直线 y = kx 与曲线 y = lnx
1
+ 相切，则 k = （ ）
2x
A． ln2
1 1 1
+ B． C． D．4
4 2 4
【答案】B
【分析】设出切点坐标P x0 , y0 ，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率.
【详解】设直线 y = kx y lnx
1
与曲线 = + 相切于点P x0 , y0 ，2x
y 1 1 k
1 1 2x -1
求导可得 = - ，因此切线斜率 = - = 0
x 2x2 x0 2x
2
0 2x
2 ，
0
lnx 1+ - 0
又切线过原点O 0,0 0，可得 k 2x0 2x0 -1，化简可得 x0lnx0 - x0 +1 = 0 ，PO = =x0 - 0 2x20
令 g x = xlnx - x +1，则 g x = lnx +1-1 = lnx ，
当 x 0,1 时， g x < 0，即 g x 在 0,1 上单调递减，
当 x 1, + 时， g x > 0，即 g x 在 1, + 上单调递增，
所以 g x 在 x =1处取得极小值，也是最小值， g 1 = 0，
2x -1 1
因此可得 x0 =1，即可得 k =
0
2 =2x 2 .故选：B0
【典例 1-2】
3
（2020 高三·全国·专题练习）已知曲线 C： f x = x - ax + a，若过曲线 C 外一点 A(1，0) 引曲线 C 的两条切
线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为（ ）
27 27
A． B．-2 C．2 D．-
8 8
【答案】A
【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，由点斜式得到切线方程，再由点 A 在切线上得到关于切点
横坐标的方程，求得两切点，再由两切点处的导数互为相反数求得 a 的值．
2
【详解】设切点坐标为 (t, t3 - at + a)，由题意知， f x = 3x - a，
k = f t = 3t 2切线的斜率为 - a ，①
3 2
所以切线方程为 y - t - at + a = 3t - a · x - t ，②
将点 1，0 代入② 3 2式得：- t - at + a = 3t - a 1- t ，
3
解之得： t = 0或 t = ，
2
3 27
分别将 t = 0和 t = 代入①式，得： k = -a 和 k = - a，
2 4
27
由题意知它们互为相反数，得： a = .
8
故选：A.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
【变式 1-1】
（23-24 高二下·安徽滁州·期末）过抛物线 x2 = 4y上一点 P 作切线与 y 轴交于点Q，直线 PQ被圆 x2 + y2 =1
截得的弦长为 2 ，则点Q的坐标为 .
【答案】 0, -1
【分析】利用导数求出抛物线的切线方程，再利用点到直线的距离以及弦长即可求解.
x 2 x x2
【详解】因为 x2 x= 4y，即y = y ，所以 = ，设点P(x 00 , )，则切线斜率为 k =
0 ，
4 2 4 2
x2 2
所以切线方程为 y - 0 x= 0 (x - x 20 ) ，即 2x0x - 4y - x0 = 0令 x = 0 y
x
，解得 = - 0
4 2 4
x2
所以点Q坐标为 (0, - 0 ) ，因为直线 PQ被圆 x2 + y2 =1截得的弦长为 2 ，
4
2 2 | -x
2
0 | 2 4 2
所以圆心到直线 PQ的距离为 12 - ( )2 = 所以 = ，即 x - 2x -8 = 0 ，
2 2 (2x 20 ) +16 2
0 0
2
解得 x0 = 4（负值已舍），所以点Q坐标为 (0, -1) .故答案为： (0, -1) .
【变式 1-2】
（22-23 高三上·山西·阶段练习）过点 (0,2)与曲线 f (x) = ln x + 2相切的切线方程为 ．
【答案】 x - ey + 2e = 0
【分析】根据求曲线过某点的切线方程的步骤，先设出切点坐标，再根据两点求斜率即可求解.
ln x0 + 2 - 2 1
【详解】设切点为 x0 , ln x0 + 2 ，则 =x0 x
，
0
得 x0 = e，则切点为 e,3 ，
切线方程为 y - 3
1
= (x - e)，即 x - ey + 2e = 0．
e
故答案为： x - ey + 2e = 0 .
【变式 1-3】
（2023·云南大理·模拟预测）过点P(0, -e) 作曲线 y = x ln x 的切线，则切线方程是 ．
【答案】 y = 2x - e
【分析】求解导函数，设切点坐标，求解 f x0 ，从而设出切线方程，代入点P(0, -e) 计算，即可求出答
案.
【详解】函数定义域为 (0, + )， f (x) = ln x + 1，
设切点为 x0 , x0 ln x0 ，\ f x0 = ln x0 +1，
所以切线方程为 y - x0 ln x0 = ln x0 +1 x - x0 ，
代入P(0, -e) ，得-e - x0 ln x0 = ln x0 +1 0 - x0 ，
解得： x0 = e，所以切线方程为 y - e = 2(x - e) ，
整理得： y = 2x - e ．
故答案为： y = 2x - e
题型 04 切线法：“过点”切线条数思维
【解题规律·提分快招】
【典例 1-1】
1
（20-21 高二下·天津蓟州·期中）函数 f x = x3的斜率等于 1 的切线有（
3 ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．不确定
【答案】B
1 3
【分析】设切点为 (x0 , x0 )，根据导数的几何意义求出切线方程，可得切线的条数.3
【详解】由 f (x)
1
= x3 1 3 2，得 f (x) = x2 ，设切点为 (x0 , x0 )，则切线的斜率为 f (x0 ) = x3 3 0
，
所以 x20 = 1，得 x0 = ±1，所以切点为 (1,
1)或 (-1,
1) (1, 1 1- ，当切点为 )时，切线方程为 y - = x -1，即
3 3 3 3
x - y 2- = 0 1 1 2；当切点为 (-1, - )时，切线方程为 y + = x +1，即 x - y + = 0 .
3 3 3 3
1 3
所以函数 f x = x 的斜率等于 1 的切线有 2条.故选：B
3
【典例 1-2】
（2025 3 2届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）曲线 y = f x = x - 5x - 25x -1过点 0,1 的切线条数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由题意，设切点 a, f a ，利用导数求得切线方程 y - f a = f a x - a ，进而 2a3 - 5a2 + 2 = 0，
设 g x = 2x3 - 5x2 + 2，利用导数研究函数 g(x)的零点个数，即为所求切线条数.
【详解】首先判断点 0,1 是否在已知曲线上.因为 f 0 = -1 1，所以点 0,1 不在函数 y = f x 的图象上.
由题意知， f (x) = 3x2 -10x - 25 ( 0, 1) a, f a f a = 3a2，设曲线过点 的切点为 ，则 -10a - 25 (1)
f a = a3 - 5a2 - 25a -1 (2)切线的方程为 y - f a = f a x - a ，因为切线过点 0,1 ，代入切线方程：
1- f a = f a -a (3)由 1 2 3 得1- a3 - 5a2 - 25a -1 = -a 3a2 -10a - 25
3 2
整理得 2a3 - 5a2 + 2 = 0 .设 g x = 2x - 5x + 2，则 g (x) 6x2 10x g (x) 0 0 x 5= - ，令 < < < ， g (x) > 0 x < 03 或
x 5 5 5> ，所以 g(x)在 (0, )上单调递减，在 (- ,0)、 ( ,+ )上单调递增，
3 3 3
则 g(x)的极大值为 g(0) = 2 > 0 g(5 71，极小值为 ) = - < 03 27 ，
且 x - , g(x) - ; x + , g(x) + ，
故 g(x)的图象与 x 轴有 3 个不同的交点，即方程 2a3 - 5a2 + 2 = 0有 3 个不同的根，
所以曲线过点( 0, 1)的切线有 3 条.故选：D
【变式 1-1】
（21-22 高二下·天津南开·期中）曲线 f x = x3 + x - 2在点 P 处的切线平行于直线 y = 4x，则点 P 的坐标为
（ ）
A． 2,8 或 -1, -4 B． 1,0 或 -1, -4
C． -1, -4 D． 1,0
【答案】D
【分析】根据函数在切点处的导数值等于切线斜率，即可求解切点坐标，检验不重合即可.
3
【详解】由 f x = x + x - 2得 f x = 3x2 +1 2，设点P(x0 , y0 )，则 f x0 = 3x0 +1 = 4 x0 = ±1，将 x0 = ±1
代入 f x 中即可得 f (1) = 0, f (-1) = -4
故P(1,0), P(-1, -4) ;当P(-1, -4) 时，切线方程为 y + 4 = 4(x +1) y = 4x ，不符合，舍去.所以点P 1,0 .
故选：D
【变式 1-2】
（24-25 高二上·山西·期末）经过点 3,0 所作曲线 y = x2ex 的切线有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【答案】C
x 2
【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为： x0e 0 × x0 - 2x0 - 6 = 0 的根的个数，结合根的判别式判定即
可.
2 x
【详解】因为 y = x + 2x e ，所以曲线 y = x2ex 2 x在点 x0 , x0 e 0 处的切线方程为
y - x2ex0 = x2 x00 0 + 2x0 e × x - x0 .
将 3,0 x 2代入，得 x 00e × x0 - 2x0 - 6 = 0 .
因为D > 0，所以方程 x2 - 2x - 6 = 0 有两个不同的根，且根不为 0，
x 2
所以方程 x e 00 × x0 - 2x0 - 6 = 0 共有 3 个不同的根，
即经过点 3,0 所作曲线 y = x2ex 的切线有 3 条.
故选：C.
【变式 1-3】
（19-20 3高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数 f x = x - 4x ，则过点P -1,4 可以作出 条 f x 图
象的切线.
【答案】二
【解析】设出曲线的切点坐标，对函数求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，把点P -1,4 坐标代入
切线方程中，求出方程的根进行判断即可.
【详解】设切点的坐标为：(x0 , x
3 - 4x ) f x = x3 - 4x f ' x = 3x2 - 4\ f ' x = 3x20 0 ， 0 0 - 4，因此切线方程
3
为： y - (x0 - 4x0 ) = (3x
2
0 - 4)(x - x )
3 2
0 ，把P -1,4 的坐标代入切线方程中，化简得： 2x0 + 3x0 = 0 x0 = 0或
x 30 = - ，所以过点P -1,4 可以作出二条 f x 的切线.2
故答案为：二
【点睛】本题考查了曲线切线的条数问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.
题型 05 切线法：“过点”切线条数求参思维
【解题规律·提分快招】
“过点”型切线条数求参，有如下几个方向：
1. 如果有可能，可以简单求导画出图像，根据图像凸凹情况“目测”型判断（但易误判）
2. 可以采取“参变分离”方法，转化为水平线与函数图像交点求最值（极值）型
3. 可以采取求导分类讨论型求解，此时要注意一些题型会有可能需要处理“隐零点”的转化。
【典例 1-1】
（2023· · y = 1- x ex全国 模拟预测）若曲线 有两条过点 A a,0 的切线，则 a的取值范围是（ ）
A． - , -1 3,+ B． -3,1
C． - , -3 D． - ,-3 U 1,+
【答案】D
【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】设切点为 x0 , 1- x x00 e ，由已知得 y = -xex x，则切线斜率 k = -x 00e ，
切线方程为 y - 1- x ex00 = -x ex00 x - x0 ．
∵ x x直线过点 A a,0 ，∴ - 1- x e 0 = -x 00 0e a - x0 ，
x2化简得 0 - a +1 x0 +1 = 0．∵切线有 2 条，
∴ Δ = a +1 2 - 4 > 0，则 a的取值范围是 - ,-3 U 1,+ ，
故选：D
【典例 1-2】
3
（17-18 高二上·江西南昌·期末）已知函数 f x = x - 3x，若过点M 3, t 可作曲线 y = f x 的三条切线，
则实数 t的取值范围是( )
A． -9,18 B． -18,18 C． -18,6 D． -6,6
【答案】A
【分析】设切点为 (a,a3 - 3a)，利用导数的几何意义，求得切线的斜率 k = f a ，利用点斜式写出切线方程，
将点A 代入切线方程，可得关于 a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得 2a3 - 9a2 = -t - 9 ，令
g(x) = 2x3 - 9x2，利用导数求出 g(x)的单调性和极值，则根据 y = g(x) 与 y = -t - 9有三个不同的交点，即可
得到 t的取值范围．
3
【详解】解：由 f x = x - 3x，得 f (x) = 3x2 - 3，设切点为 (a, a3 - 3a)(a R)，所以切线的斜率
k = f a = 3a2 - 3，曲线 f x = x3 - 3x在点 (a,a3 - 3a)处的切线方程为 y - (a3 - 3a) = (3a2 - 3)(x - a)，因为该
切线过点M 3, t ，所以 t - (a3 - 3a) = (3a2 - 3)(3- a)，即 2a3 - 9a2 = -t - 9 ，
Q过点M (3, t)可作曲线 y = f (x) 的三条切线，
\关于 a的方程 2a3 - 9a2 = -t - 9 有三个不同的根，
令 g(x) = 2x3 - 9x2，
\ g (x) = 6x2 -18x = 0，解得 x = 0或 x = 3，
当 x < 0 时， g (x) > 0，当0 < x < 3时， g (x) < 0，当 x > 3时， g (x) > 0，
\ g ( x ) 在 (- ,0)上单调递增，在 (0,3)上单调递减，在 (3, + )上单调递增，
\当 x = 0时， g(x)取得极大值 g(0) = 0，
当 x = 3时， g(x)取得极小值 g 3 = -27 ，
关于 a的方程 2a3 - 3a2 = -t - 9有三个不同的根，等价于 y = g(x) 与 y = -t - 9的图象有三个不同的交点，
\-27 < -t - 9 < 0 ，\-9 < t < 18 ，\实数 t的取值范围为 (-9,18)．故选：A．
【变式 1-1】
（2022·山东潍坊·三模）过点P 1,m m R 有 n 条直线与函数 f x = xex 的图像相切，当 n 取最大值时，m
的取值范围为（ ）
5 5 1
A．- < m < e B．- < m < 0 C．- < m < 0 D．m < e
e2 e2 e
【答案】B
【分析】求导分析 f x = xex 的图象可得 n = 3 2 x，再设切点坐标为 x0 , y 00 ，由题可得m = -x0 + x0 +1 ×e 有
三根，再构造函数 g x = -x2 + x +1 ×ex 求导分析图象单调性与最值即可
x
【详解】由 f x = xe ， f x = x +1 ex ，故当 x < -1时， f x < 0， f x 单调递减，且 f x < 0 ；当 x > -1
x
时， f x > 0， f x 单调递增，结合图象易得，过点P 1,m m R 至多有 3 条直线与函数 f x = xe 的图
像相切，故 n = 3 .
x x x
此时，设切点坐标为 x 0 0 00 , y0 ，则切线斜率 k = x0 +1 ×e ，所以切线方程为 y - x0e = x0 +1 ×e x - x0 ，将
P 1,m 代入得m = -x20 + x0 +1 ×ex0 ，存在三条切线即函数m = -x2 + x +1 ×ex有三个不同的根，又
g x = - x -1 x + 2 ×ex ，易得在 -2,1 上， g x > 0， g x 单调递增；在 - , -2 和 1, + 上，
g x < 0， g x 5单调递减，画出图象可得当 g -2 < m < 0，即- < m < 0时符合题意
e2
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定
根的个数与参数取值范围的问题，属于难题
【变式 1-2】
（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）过点 1,1 可作曲线 y = a + ln x x 的两条切线，则实数 a的取值范围
是 ．
【答案】 a >1
【分析】根据导数的几何意义可得函数 f (x) = x - ln x - a 有两个零点，利用导数和零点存在性定理可得结
果.
【详解】设切点为 (x0 , y0 )，则 y0 = (a + ln x0 )x0，
y = (a + ln x) 1× x + (a + ln x) × x = × x + a + ln x =1+ ln x + a ，
x
所以切线的斜率为 y |x=x =1+ ln x0 0 + a，
切线方程为 y - (a + ln x0 )x0 = (1+ ln x0 + a)(x - x0 )，因为切线过点 (1,1) ，所以
1- (a + ln x0 )x0 = (1+ ln x0 + a)(1- x0 )，整理得 x0 - ln x0 - a = 0，依题意可得 x0 - ln x0 - a = 0有两个不等的正根，
设 f (x) = x - ln x - a ，则函数 f (x) 有两个零点， f (x) =1
1 x -1
- = ，当 0 < x <1时， f (x) < 0，当 x >1时，
x x
f (x) > 0，所以 f (x) 在( 0, 1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，所以 f (x)min = f (1) =1- a ，则1- a < 0，得
a >1，又0 < e-a <1， f (e-a ) = e-a - ln e-a - a = e-a > 0，所以 f (x) 在 (e-a ,1)内有唯一零点，
因为 ea > 1， f (ea ) = ea - ln ea - a = ea - 2a，设 y = ex - 2x(x >1)，则 y = ex - 2 > e - 2 > 0，y = ex - 2x 在 (1,+ )
上为增函数，又 a >1，所以 ea - 2a > e - 2 > 0，即 f (ea ) = ea - 2a > 0 ，所以 f (x) 在 (1,ea )内有唯一零点，
因此函数 f (x) 有两个零点，符合题意.故 a >1 .故答案为： a >1
【变式 1-3】
（2020 高三·全国·专题练习）若过点 P(-1,m) 可作曲线 f (x) = -x3 + 6x2的三条切线，则实数m 的取值范围为
【答案】-20 < m < 7
【分析】设出切点坐标，利用导数求得切线斜率的表达式，由此求得m 的表达式，通过构造函数 g x0 ，结
合导数求得 g x0 单调性、极值，求得m 的取值范围.
【详解】过点 P(-1,m) 作曲线 f (x) = -x3 + 6x2 '的切线， f x = -3x2 +12x，设切点坐标为Q x0 , y0 则
y = -x 3 + 6x 2 ' 20 0 0 则过切点的直线方程的斜率为 k = f x0 = -3x0 +12x0
ìy = -x 3 + 6x 2
k y0 - m
0 0 0
过切点Q x0 , y0 和 P(-1,m) 的斜率为 PQ = x +1 则 í
3
-3x 2 12x y0 - m 化简可得+ = m = 2x0 - 3x
2
0 -12x0 0 0 0
x0 +1
令 g x0 = 2x 30 - 3x 20 -12x0，则 g ' x0 = 6x 20 - 6x0 -12 = 6 x0 - 2 x0 +1 令 g
' x0 = 0解得 x0 = -1或
x = 2当 x < -1时， g '0 0 x0 > 0，所以 g x0 单调递增
-1 < x '当 0 < 2时， g x0 < 0 ，所以 g x0 单调递减
当 2 < x0时， g ' x0 > 0，所以 g x0 单调递增
所以当 x0 = -1时， g x0 = 2x 30 - 3x 20 -12x0取得极大值为 g -1 = 2 -1 3 - 3 -1 2 -12 -1 = 7
所以当x 3 2 30 = 2时， g x0 = 2x0 - 3x0 -12x0取得极小值为 g 2 = 2 2 - 3 22 -12 2 = -20
所以若m = 2x 3 - 3x 20 0 -12x0有三个不同交点，则-20 < m < 7
此时满足过点 P(-1,m) 可作曲线 f (x) = -x3 + 6x2三条切线.
故答案为：-20 < m < 7
【点睛】本小题主要考查导数与切线，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
题型 06 切线法：切线逼近求零点思维
【解题规律·提分快招】
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【典例 1-1】
ì x2 1 - + x, x < 0
（23-24 高三上·天津·期中）已知函数 f x = í 2 ，若函数 y = f x - kx 有且只有 3 个零点，则
ln x +1 , x 0
实数 k 的取值范围为（ ）
1
A
1
． 0, ÷ B． ,1÷ C． 1, +
1
D． ,1

è 2 è 2 ÷è 4
【答案】B
【分析】根据题意，得到 x = 0是 y = f x - kx的一个零点，转化为 x > 0和 x < 0 时，分别有一个零点，分类
讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解.
ì 1
-x2 + x, x < 0
【详解】解：由函数 f x = í 2 ，若 y = f x - kx有且只有 3 个零点，
ln x +1 , x 0
当 x = 0时，可得 f 0 = ln1 = 0，可得 x = 0是 y = f x - kx的一个零点，
x < 0 2 1 1
1
当 时，由 -x + x = kx2 ，可得
x = - k < 0 k >
2 ，解得 ；2
1
当 x > 0时， f x = ln x +1 ，可得 f x = ，可得 f 0 =1，
x +1
要使得函数 y = f x - kx在 x > 0上有一个零点，
即函数 y = f x 与 y = kx 的图象有一个公共点，则满足0 < k <1，
1 k 1 f x - kx (1综上可得： < < ，即函数 有三个零点时，实数 k 的范围为 ,1)
2 2
故选：B.
【典例 1-2】
ì ex - ax, x 0,
（22-23 高二下·天津河西·期末）已知函数 f x = í x2 a 2 x 1, x 0有 3 个零点，则实数
a的取值范围
- - + + <
是（ ）
1
A． ,+ ÷ B． 1, + C． e, + D．e e
2 ,+
è
【答案】C
【分析】先分析 x < 0 时二次函数零点的情况，而 x 0 时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，
利用导数求解即可.
2 2
【详解】当 x < 0 时，D = é- a + 2 ù - 4 -1 1 = a + 2 + 4 > 0，且 f 0 =1 > 0，
则二次函数开口向下且在 x < 0 内抛物线与 x 轴只有一个交点，
所以 f x 在 - ,0 上有唯一零点，
x
因为 f x 有 3 个零点，所以 f x = e - ax 在 0, + 上有 2 个零点，
即 y = ex 与 y = ax 的图象有 2 个交点，
ìex0 = a,
如图当直线与曲线相切时设切点为 x , ex00 , y = ex ，所以 í 解得 a = e，
e
x0 = ax0 ,
由图可知， a > e时， y = ex 与 y = ax 的图象有 2 个交点，
所以实数 a的取值范围是 e, + .
故选：C.
【变式 1-1】
ìx2 +1, x 0
（22-23 高二下·天津武清·期中）已知函数 f (x) = í 1 x ，点 M、N 是函数 y = f (x)- 图像上不同的两个
e , x < 0
点，设 O 为坐标原点，则 tan MON 的取值范围是（ ）
e2 + 2 e2 + 2 ù e2 20, 0, 0, + 2 0, e + 2
ù
A． 2 ÷ B． 2 ú C．2e -1 2e -1 2e2 +1÷
D． 2e2è è è è +1
ú

【答案】B
【分析】作出函数 f x 的图形，求出过原点且与函数 f (x) 的图像相切的直线的方程，结合两直线夹角公式，
数形结合可得出 tan MON 的取值范围．
【详解】当 x < 0 时， f (x) = e1-x ，则 f (x) = -e1-x < 0，所以 f (x) 在 (- ,0)上单调递减，且 f (x) > f (0) = e ，
当 x 0 时， f (x) = x2 +1，作出函数 f (x) 的图像，如图所示，
2
设过原点且与函数 f (x)(x 0)的图像相切的直线的方程为 y = k1x，设切点为 (x1, x1 +1)，斜率 k1 = f (x1) = 2x1，
2
所以切线方程为： y - (x1 +1) = 2x1(x - x1)，
2 2
将原点坐标代入切线方程可得，-(x1 +1) = 2x1(-x1)，即 x1 =1，解得 x1 =1，所以过原点且与函数
【变式 1-2】
ìax + a, x -1
（21-22 高二下·天津·期末）已知函数 f x 满足 f x +1 = í 函数 g x = f x - f -xln x +1 , x > -1 恰有 5
个零点，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1- ,0 0, 1 1 1A． B． C． - , D． , +

è e ÷ e ÷ ÷ ÷ è è e e è e
【答案】A
【分析】画出 f x 、f -x 的图象， 因为 y = ax 与 y = -ax， y = ln x 与 y = ln -x 的图象关于 y 轴对称，
且 y = ax 与 y = -ax交于原点，要使 f x = f -x 恰有 5 个零点，
y = ln x 与 y = -ax的图象必需有两个交点，求出 y = ln x 与 y = -ax相切时 a的值可得答案.
ìax + a, x -1 ìax, x 0
【详解】因为 f x +1 = íln x +1 , x > -1，所以 f x = í ， ln x, x > 0
ì-ax, x 0
f -x = í g x = f x - fln -x , x < 0，因为函数 -x 恰有 5 个零点，
所以 f x 、f -x 的图象恰有 5 个交点，画出 f x 、f -x 的图象，由图象可得，
因为 y = ax 与 y = -ax， y = ln x 与 y = ln -x 的图象关于 y 轴对称，
且 y = ax 与 y = -ax交于原点，要恰有 5 个零点，
则 y = ax 与 y = ln -x ， y = ln x 与 y = -ax的图象必有两个交点，
当 y = ln x 与 y = -ax的图象相切时，设切点 m, n ，
1 1 n
此时切线的斜率为 y = = = ，可得 n =1，1 = ln m得m = e，所以切点 e,1 ，
x m m
1 1
即-a = ，交点 a = - ，所以要使函数 g x = f x - f -x 1 恰有 5 个零点，则 a - ,0
e e e ÷
.故选：A.
è
【变式 1-3】
ì ln x , x > 0
（2022·山东烟台·三模）已知函数 f x = í 2 ，若方程 f x = ax -1有且仅有三个实数解，则实
x + 2x -1, x 0
数 a的取值范围为（ ）
A．0 < a <1 B．0 < a < 2 C． a >1 D． a > 2
【答案】B
【分析】作出函数 f (x) 的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求
解即可．
【详解】解：作出函数 f (x) 的图象如图：
依题意方程 f x = ax -1有且仅有三个实数解，即 y = f x 与 y = ax -1有且仅有三个交点，
因为 y = ax -1必过 0, -1 ，且 f 0 = -1，
若 a 0时，方程 f x = ax -1不可能有三个实数解，则必有 a > 0，
当直线 y = ax -1与 y = ln x
1
在 x >1
1
时相切时，设切点坐标为 x , y f (x ) =0 0 ，则 f (x) = x ，即 0 x ，则切线方程0
y y 1- = (x - x ) y 1 1为 0 0 ，即 = × x + y0 -1 = × x + ln x0 -1x x x ，
Q切线方程为 y = ax -1，
0 0 0
a 1\ =
x 且 ln x0 -1 = -1，则 x0 =1，所以 a =1，0
即当 a > 0时 y = ax -1与 y = f x 在 0, + 上有且仅有一个交点，
要使方程 f (x) = ax -1有且仅有三个的实数解，
则当 x 0 时 f x = x2 + 2x -1与 y = ax -1有两个交点，设直线 y = ax -1与 f x = x2 + 2x -1切于点 0, -1 ，
此时 f x = 2x + 2，则 f 0 = 2，即 a = 2，所以0 < a < 2 ，故选：B
题型 07 切线法：切线分界求参思维
【解题规律·提分快招】
涉及到交点个数题型，可以有三个思路：
1. 全部移项到一侧，含参型，分类讨论，这是属于“小题大做”型，思维简单，讨论参数时较麻烦。
2. 可以采取“参变分离”，转化为不含参函数图像，以及含参的“水平线”法来解决交点个数问题，必要
时候，可以用“洛必达”法则来处理“断点”型函数值不存在的问题。
3. 特殊技巧，就是“分涵”，分离函数来处理，分离函数型，多分离成为不含参的曲线，与含参的直线型，
此时求交点来判断，要注意的是，含参直线，多有“含参直线过定点”这个特殊性质，也就是参数起到了
“旋转”直线的动态过程。
【典例 1-1】
（23-24 高二下·天津滨海新·期中）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧. 如： y = ex 在点 0,1 处的切线
为 y = x +1，如图所示，易知除切点 0,1 外， y = ex 图象上其余所有的点均在 y = x +1的上方，故有 ex x +1 .
x
该结论可通过构造函数 f x = e - x -1并求其最小值来证明. 显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也
不同. 请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（ ）
① "x > 0,ex-1 ln x +1；
② "a R,"x R, ex ea x - a +1 ；
③ "x R, ex-1 - x
1
- > 0 ；
2
④ "x > 0, xex x + ln x +1.
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【答案】C
ex x 1 x ln x +1 ex-1【分析】利用 + 可得 ，由 x -1 +1 ln x +1知①正确；由 ex-a x - a +1知②正确；
x
利用反例可说明③错误；令 f x = xe - x - ln x -1，利用导数可求得 f x 0，知④正确.
x
【详解】对于①，当 x > -1时，由 ex x +1得： ln e ln x +1 ，即 x ln x +1 ；
\ex-1 x = x -1 +1 ln x -1+1 +1 = ln x +1，故①正确；
ex x a
对于②，由 ex x +1得： ex-a x - a +1，即 a x - a +1，\e e x - a +1 ，故②正确；e
对于③，由 ex x +1得： ex-1 x ；
1 3
当 x =1时， ex-1 = x =1，此时 x + = ，
2 2
ex-1 x 1 ex-1 x 1则 < + ，即 - - > 0不成立，故③错误；
2 2
x
对于④，令 f x = xe - x - ln x 1 f x x 1 ex 1 1- = + - - = x +1 x 1 ，则
x
e - ÷，
è x
令 g x = f x ，则 g x = x + 2 ex 1+ 2 > 0，\ g x 在 0, + 上单调递增，x
又 f
1 3
÷ = e 2 1- < 0 f 1 = 2 e -1 > 0 \$x ,1 ， ， 0 ÷，使得 f x0 = 0，
è 2 2 è 2
当 x 0, x0 时， f x < 0；当 x x0 ,+ 时， f x > 0；\ f x 在 0, x0 上单调递减，在 x0 ,+ 上单
x
调递增，\ f x f x0 = x0e 0 - x0 - ln x0 -1；
由 f
1
x x00 = 0得： e = ， ln x0 = -xx 0 ，\ f x0 =1- x0 + x0 -1 = 0，0
\ f x 0，即"x > 0， xex x + ln x +1，④正确.
故选：C.
【典例 1-2】
ì2x2 -8x +10，x > 2
（21-22 高二下·天津南开·期中）已知函数 f x = í f x x - me2-x ，若 恒成立，则实数 m + x -1，x 2
的取值范围为（ ）
é1
A． - ,4 - 2ln 2 B． ê ,4 - 2ln 2
ù
4 ú
é1 ,5 2ln 2ù é1 ùC．
ê
-
8 ú
D． ,5 - 2ln 2
ê 4 ú
【答案】C
【分析】由 f (x) 在 (- ,2) 和 (2,+ ) 上的单调性，画出 y = f (x) 的图象，分别求得当 f (x) = 2x2 - 8x +10与
y = x - m 相切时，当 y = e2-x + x -1和 y = m - x相切时，切点的坐标，求得对应的m 值，结合函数图象即可求
得范围．
【详解】解： f (x)… | x - m |恒成立可以转化为函数 y = f (x) 的图象不在 y =| x - m |图象的下方，
Q当 x 2 时， f (x) = e2-x + x -1，\ f (x) = -e2-x +1 0 ，\ f (x)在 (- ,2) 上单调递减，且 f （2）= 2，
又当 x > 2时， f (x) = 2x2 - 8x +10 = 2(x - 2)2 + 2 ，\ f (x)在 (2,+ ) 上单调递增，且 f （2）= 2，
x - m, x…m
画出函数图象如下图所示，令 g(x) = x
ì
- m = í ，
m - x, x < m
9
当 y = 2x2 -8x +10 和 y = x - m 相切时，设切点的横坐标为x1，\ f (x1) = 1，即 4x1 -8 =1，解得 x1 = ，切点4
(9 17 m 1 m…1坐标为 , ) ，此时 = ，结合图象可知 ，当 y = e2-x + x -14 8 和
y = m - x相切时，设切点的横坐标为
8 8
x2，
\ f (x2 ) = -1，即 -e2-x2 +1 = -1，解得 x2 = 2 - ln 2，\切点坐标为 (2 - ln 2,3 - ln 2) ，
此时m = 5 - 2ln 2，结合图象可知m 5 - 2ln 2 ，
所以实数m 1的取值范围为 m 5 - 2ln 2 .8 故选：C．
【变式 1-1】
ì3- ln x, x 1
（2019·天津·三模）已知函数 f (x) = í 2 , x 4x 6, x 1 若不等式
f (x) | 2x - a |对任意 x (0,+ )上恒成立，
- + >
则实数 a的取值范围为
é 1 ù
A． ê 3 - ,3 ú B．[3,3+ ln5] C．[3, 4 + ln 2]
é
D． ê3
1
- ,5ù
e e ú
【答案】C
a a
【解析】设g(x)= | 2x - a |，易得 a＞0，分 x 与 x < 两种情况讨论，可得g(x) 的表达式，由不等式
2 2
f (x) | 2x - a |对任意 x (0,+ )上恒成立，利用导数进行计算，可得 a的取值范围.
【详解】解：由题意得：设g(x)= | 2x - a |，易得 a＞0，
ì
2x - a, x
a

2 a
可得g(x)= í ，g(x) 与 x 轴的交点为 ( ,0) ，
-2x + a, x a 2＜
2
① x a当 ，由不等式 f (x) | 2x - a |对任意 x (0,+ )上恒成立，可得临界值时， f (x)与g(x)相切，此时
2
a
f (x) = x2 - 4x + 6, x >1， g(x) = 2x - a, x ，
2
可得 f '(x) = 2x - 4，可得切线斜率为 2， 2x - 4 = 2 ， x = 3，可得切点坐标（3，3），
3 a 3
可得切线方程： y = 2x - 3，切线与 x 轴的交点为 ( ,0) ,可得此时 = ， a = 32 ，2 2
综合函数图像可得 a 3；
② x a同理，当 ＜ ，由 f (x)与g(x)相切，
2
a
（1）当 f (x) = x2 - 4x + 6, x >1， g(x) = -2x + a, x＜ ，可得 f '(x) = 2x - 4，可得切线斜率为-2， 2x - 4 = -2，
2
x =1，可得切点坐标（1，3），可得切线方程 y = -2x + 5，可得 a = 5，综合函数图像可得 a 5，
（2）当 f (x) = 3- ln x, x 1， g(x) = -2x + a, x
a ' 1＜ ， f (x)与g(x)相切，可得 f (x) = - ，
2 x
1 1 1
此时可得可得切线斜率为-2，- = -2 ， x = ，可得切点坐标 ( ,3 + In2) ,
x 2 2
1
可得切线方程： y - (3+ In2) = -2(x - ) ， y = -2x + 4 + In2
2
(2 In2 ,0) a In2可得切线与 x 轴的交点为 + ，可得此时 = 2 + ， a = 4 + In2，
2 2 2
综合函数图像可得 a 4 + In2，
综上所述可得3 a 4 + In2，
故选 C.
【点睛】本题考查函数的性质及分段函数，导函数的几何意义及导函数在研究不等式恒成立中的应用，综
合性大，难度较大.
【变式 1-2】
ì ex + 4m, x > 0
（21-22 高三下·全国·阶段练习）已知函数 f x = í2 log x 1 , 1 x ，若 - m + - < 0
f x - f x
"x1, x R,
1 2
2 > 0，且 g(x) = f (x) - x - 2仅有 1 个零点，则实数m 的取值范围为（ ）x1 - x2
é1 , 1 é1 1ù é1 1 A． ê ÷ B． 4 e ê
, C．
4 e ú ê
,1÷ D． ,1
e è e ÷
【答案】C
1
【分析】根据题意 f (x) 在 R 上单调递增，得 m <1，再由 g(x)零点个数，结合导数研究 f (x) 与 y = x + 2
4
交点情况求参数范围.
【详解】由题设 f (x) 在 R 上单调递增，
1 1
由对数函数性质知0 < m <1 0，且 e + 4m 2 - logm 1，可得m ，所以 m <1，4 4
其中 y = ex + 4m 在 x = 0处的切线方程为 y - (4m +1) = x，即 y = x + 4m +1，且 4m +1 2，
所以 y = ex + 4m 与 y = x + 2 在 (0, + )上无交点，
所以 y = 2 - logm (x +1)与 y = x + 2 有且仅有一个交点 (0,2)，
由 g(x) = f (x) - x - 2仅有 1 个零点，只需 y = 2 - logm (x +1)在 x = 0处的斜率 k 1，
y 1而 = - k
1
= - 1 m 1
(x +1) ln m ，即 ，可得 ln m -1，则 ，ln m e
1
综上， m <1 .故选：C
e
【变式 1-3】
ì-x2 + 2x, x 0
（17-18 高三上·天津·阶段练习）已知函数 f x = í ，若不等式 | f (x) | -ax - a +1 0恒成立，则
1- e
x , x > 0
实数 a的取值范围是 ．
【答案】-8 a 1
【分析】画出函数 y =| f (x) |的图象，结合图象按 a < 0,a = 0,a > 0三种情况分类求解作答.
【详解】画出 y =| f (x) |的图象，如图：
不等式 | f (x) | -ax - a +1 0 | f (x) | a(x +1) -1，函数 y = a(x +1) -1图象是恒过定点P(-1, -1) 的直线，
不等式 | f (x) | -ax - a +1 0恒成立，即为函数 y =| f (x) |的图象总在直线 y = a(x +1) -1及上方，
当 a = 0时，不等式 | f (x) | +1 0 恒成立，则 a = 0，
当 a < 0时，函数 y =| f (x) |, x > 0的图象在直线 y = ax + a -1上方，
则当且仅当函数 y =| f (x) |, x 0的图象在直线 y = ax + a -1及上方，
而 y = x2 - 2x, x > 0的图象恒在直线 y = ax + a -1上方，
于是得 x2 - (2 + a)x - a +1 0对一切实数恒成立，有D = (a + 2)2 + 4(a -1) 0，解得-8 a 0，则-8 a < 0，
当 a > 0时，当函数 y =| f (x) |, x > 0的图象在直线 y = ax + a -1及上方时，函数 y =| f (x) |, x 0的图象必在直
线 y = ax + a -1及上方，
x
即"x > 0,ex - ax e- a 0 a ，令 g(x) = ex - x -1, x > 0 ，求导得： g (x) = ex -1 > 0，
x +1
x
则函数 g(x)在 (0, + )上单调递增，"x > 0， g(x) > g(0) = 0，即 ex > x e+1 >1恒成立，因此0 < a 1，
x +1
综上得：实数 a的取值范围是-8 a 1 .
故答案为：-8 a 1
题型 08 切线法：数形结合公式思维
【解题规律·提分快招】
高中数学有“三大几何意义”型公式，隐藏的比较深，如下三种形式：
a - c 2 + b - d 2
1. 距离型。多是借助距离公式（平方和形式），如这种形式 。可以处理为（a，b）与（c，
d）两点的距离的平方。
2. 分式型，多为斜率公式。
带绝对值型，可以用点到直线距离公式来凑配转化
【典例 1-1】
a-1
（18-19 高三·湖南长沙·阶段练习）已知实数 a,b,c,d e c -1 1满足 = = ，则 a - c 2 + b - d 2 的最小值为
b d e
（ ）
2 e
A e +1． B．
e e2 +1
2 2
C e +1 e． 2 D．e e2 +1
【答案】D
1 2 2
【分析】设 (b, a)是曲线C : y = ln x的点， (d ,c)是直线 l : y = × x +1的点， a - c + b - d 可看成曲线 C 上
e
的点到直线 l 上的点的距离的平方，通过求函数 y = ln x
1
到直线 l : y = × x +1的最小距离，即可得到本题答案.
e
1
【详解】由题，得 a = ln b,c = ×d +1，
e
设 (b, a)是曲线C : y = ln x
1
的点， (d ,c)是直线 l : y = × x +1的点，
e
a - c 2 + b - d 2 可看成曲线 C 上的点到直线 l 上的点的距离的平方，
1 1
对 y = ln x 求导得 y = x ，令 y = ，得
x = e，
e
所以曲线 C 上的点 (e,1)到直线 l 的距离最小，
|1-1+1| 1 e
= =
2
该点到直线 l 的距离为 1 12 +1 1+ e
2
，
÷ + (-1) e2è e
2
e e2
因此 (a - c)2 + (b - d )2 的最小值为 ÷ = 2 .
è 1+ e2 1+ e
故选：D
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.
【典例 1-2】
（18-19 高二下·山西·阶段练习）已知 ln a - ln 3 = ln c,bd = -3，则 (a - b)2 + (d - c)2 的最小值为
3 10 18 16 12A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】B
a
【分析】由题意 ln a - ln 3 = ln c可化为 ln = ln c ，故得 a = 3c,bd = -3
-3
．令 y = 3x ，y = ，则 (a - b)2 + (d - c)2
3 x
表示直线 y 3x
3
= 上的点与曲线 y = g(x) = - 上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利
x
用点到直线的距离公式即可得出所求结论．
a
【详解】由题意， ln a - ln 3 = ln c可化为 ln = ln c ，故得 a = 3c,bd = -3．
3
y 3x, y -3 3令 = = ，则 (a - b)2 + (d - c)2 表示直线 y = 3x 上的点与曲线 y = g(x) = - 上的点的最小距离的平方．
x x
设直线 y = f (x) = 3x + m与曲线 y = g(x)
3
= - 相切于点P x0 , y0 ，不妨取 x0 > 0．∵ g (x)
3
= 2 ，x x
∴ g (x
3
0 ) = 2 = 3x ，解得
x0 =1．∴切点为P 1,-3 ，∴ -3 = 3+ m ，解得m = -6，
0
∴ P 1, 3 3 - (-3)- y = 3x d 3 10= = ∴ (a - b)2 + (d - c)2 (3 10 )2 18切点 到直线 的距离 ， 的最小值为 = ．
10 5 5 5
故选 B．
【变式 1-1】
2 2
（24-25 高三上·上海闵行·期中）已知 a，b R ，则 eb - a + ea - b 的最小值为 ．
【答案】2
a b x
【分析】设P a, e ,Q e ,b ，把问题转化为求 f x = e 与 g x = ln x图象上两点距离的平方的最小值，再
利用导数的几何意义求解即可；
【详解】 eb 2- a + ea - b 2 = 2 2a - eb + ea - b ，
设P a, ea ,Q eb ,b x x，则 P 在函数 f x = e 的图象上，Q在函数 g x = ln x的图象上，且 f x = e 与
g x = ln x关于直线 y = x 对称，
x
所以问题转化为求 f x = e 与 g x = ln x图象上两点距离的平方的最小值，
f x = ex ，令 f x =1，则 x = 0，由对称性可得 PQ 最小时， a = 0,b =1，
PQ 2 b 2= a 2 2
min ，所以 e - a + e - b 的最小值为 PQ = 2min .故答案为：2.
x
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求 f x = e 与 g x = ln x图象上两点距离的
平方的最小值.
【变式 1-2】
2
（23-24 高二下·浙江·期中）已知实数a > 0,b R ，且函数 f (a,b) = (a - 2b)2 + 4 ln a - b2 + 2b2，则函数
f (a,b) 的最小值为 ．
5 -1
【答案】
2
【分析】由题意可得 f a,b 的几何意义为A ， B 两点间距离 | AB |与点 B 到 x 轴的距离 d 之和，其中点A 在
曲线 y = 2lnx上，点 B 在抛物线 x2 = 2 y 上，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由题意得 f (a,b) = (a - 2b)2 + (2lna - 2b2 )2 + 2b2，设 A(a, 2lna)， B(2b, 2b2 )，则点A 在曲线 y = 2lnx上，
点 B 在抛物线 x2 = 2 y 上， f (a,b) 的几何意义为A ， B 两点间距离 | AB |与点 B 到 x 轴的距离 d 之和．
1 1
设抛物线 x2 = 2 y 的焦点为F (0, )，则由抛物线的定义知 | BF |= d + ，所以 d =| BF | 1-
2 2 2
，
1
所以 f (a,b) = AB + d = AB + BF - AF
1
-
2 2
问题转化为求曲线 y = 2lnx上的点到点F 的距离的最小值，设曲线 y = 2lnx
1
上的点 A0 (x0 ，2lnx0 )到点F (0, )2
1
的距离最小，则 A
2lnx0 -
0F 与曲线在点 A0 处的切线垂直，即 2 2× = -1，所以 lnx
1 1
0 = - x
2
0 + ，
x0 - 0 x
4 4
0
作出函数 y = lnx y
1 x2 1与函数 = - + 的图象，如图所示：
4 4
1 2 1
由图象知，两函数图象只有一个交点 (1,0)，所以方程 lnx0 = - x0 + 的解为 x =14 4 0 ，则
A0 (1,0)．
所以 AF A0F = (1- 0)
2 + (0 1- )2 5= ，所以函数 f (a,b) 5 -1 5 -1的最小值为 ．故答案为： ．
2 2 2 2
【点睛】关键点点睛：将 f (a,b) = (a - 2b)2 + (2lna - 2b2 )2 + 2b2看作是 A(a, 2lna)， B(2b, 2b2 )两点间距离 | AB |与
点 B 到 x 轴的距离 d 之和，利用抛物线的性质求解.
【变式 1-3】
2
（21-22 3ln a - a c - 2高二下·江西宜春·期末）若实数 a，b，c，d 满足 = = 1，则 (a + c)2 + (b + d )2 的最小
b d
值为 ．
【答案】 2 2
【分析】由题意可知点 (a , b ) 在曲线 y = 3ln x - x2 上.点 (-c, -d )在曲线 y = x + 2 上.由 (a + c)2 + (b + d )2 的最
小值的几何意义就是曲线 y = 3ln x - x2(x > 0) 到曲线 y = x + 2 上点的距离的最小值.设出切点由斜率为1，即
可求出切点，利用点到直线的距离即可求出最值.
3ln a - a2 c - 2
【详解】因为 = = 1所以b = 3ln a - a2 , d = c - 2 -d = -c + 2 .所以点 (a , b ) 在曲线
b d
y = 3ln x - x2 上.点 (-c, -d )在曲线 y = x + 2 上.
(a + c)2 + (b + d )2 的最小值的几何意义就是曲线 y = 3ln x - x2(x > 0) 到曲线 y = x + 2 上点的距离的最小值.
等价于曲线 y = 3ln x - x2(x > 0) 平行于 y = x + 2 的切线到曲线 y = x + 2 的距离.
3
设切点为 (x0 , y0 ) , y
3
= - 2x 3,则 y
x x=x
= - 2x
0 x 0
=1 x0 =1或 x0 = - （舍）
0 2
1+1+ 2
所以 y0 = 3ln1-1 = -1，切点 (1, -1) .该点到直线 y = x + 2 的距离为： d = = 2 2 .2
所以 (a + c)2 + (b + d )2 的最小值为 2 2 .故答案为： 2 2 .
【点睛】本题考查了利用导数求曲线上的点到直线的距离的最值.考查了转化与化归思想.属于难题.其中
(a + c)2 + (b + d )2 的几何意义为点 (a , b ) 到点 (-c, -d )的距离是解本题的关键.
题型 09 切线法：切线逼近整数解
【解题规律·提分快招】
对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
1. 一侧是可求导画图的函数
2. 一侧是含参型动直线。
3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。
【典例 1-1】
（2023· · f x = ln x - a x3 - x2全国 模拟预测）已知函数 ，若不等式 f x > 0恰有 3 个整数解，则实数 a 的
取值范围为（ ）
é ln 5 , ln 2 é ln 5 ln 2 A． ê B． , 100 24 ÷ ê125 32 ÷
é ln 3 , ln 2 é ln 3 , ln 2 ùC． ê D． 18 4 ÷ ê 27 8 ú
【答案】A
ln x
【分析】根据题意将不等式等价转化为 g(x) = 2 > a x -1 恰有 3 个整数解．利用导数研究函数的性质并x
画出草图，结合图形列出关于 a 的不等式组，解之即可.
【详解】函数 f x 的定义域为 0, + ．
f x > 0 ln x a x 1 ln x由 ，得 2 > - ，则不等式 2 > a x -1 恰有 3 个整数解．x x
ln x 1- 2ln x
设 g x = 2 ，则 g x = 3 ，当 x 0, e 时， g x > 0， g x 单调递增，x x
当 x e,+ 时， g x < 0， g x 单调递减，又 g 1 = 0，所以当0 < x <1时， g x < 0 ，当 x >1时，
g x > 0，
易知 y = a x -1 x > 0 的图象恒过点 1,0 ，
在同一直角坐标系中，分别作出 y = a x -1 x > 0 与函数 g x 的图象，如图所示．
ln x
由图象可知 a > 0，要使不等式 2 > a x -1 恰有 3 个整数解，x
ì 4 -1 a < g 4 ln 5 a ln 2则 í <5 1 a g 5 ，解得 ，故选：A． - 100 24
【典例 1-2】
（22-23 高二下·山东·阶段练习）已知不等式 k(x + 2)ex-1 < x 恰有 2 个整数解，求实数 k 的取值范围（ ）
3 1 5e6 3 1A． 2 k < 或 2e
5 < k B． 2 < k 5e 2e 3 5e 2e
2 3 2 6
C． 3 < k 2 D． 3 k
3
< 2 或 2e
5 < k 5e
3e 5e 3e 5e 3
【答案】A
k x + 2 ex-1 < x k x 2 x【分析】原不等式 等价于 + < x 1 ，设 g x = k- x + 2 ，e
f x x= x-1 ，然后转化为函数的交点结合图像可求.e
x-1
【详解】原不等式 k x + 2 e < x等价于 k x + 2 x< x-1 ，设 g x = k x + 2
x
， f x = ，
e ex-1
1- x
所以 f x = x-1 = 0，得 x =1．当 x <1时， f x > 0，所以 f x 在 - ,1 上单调递增，当 x >1时，e
f x < 0，
所以 f x 在 1, + 上单调递减，当 x =1时， f x 取极大值.又 f 0 = 0，且 x >1时， f x > 0，
因此 g x = k x + 2 与 f x x= x-1 的图像如下，直线 g x = k x + 2 恒过点 -2，0 .e
当 k 0时，显然不满足条件；
ì 2
ì f 2 > g 2 > 4k 3 1
当 k > 0
e
时，若 1，2 为不等式的解，只需要满足 í f 3 g 3 ，即 í ，解得 2 k < ； 3 5k 5e 2e
e2
f x x= x0 当 x-1 的切线过点 (-2,0) 时，设切点为 x , ，e 0è ex0 -1 ÷
x 1- x
则切线方程为 y - 0 0x -1 = x -1 x - x0 ，该直线过点 (-2,0) ，0
x0 1- x- 0x -1 = -2 - x ，e 0 e 0 e 0 ex0 -1 0
ì f (-3) > g(-3)
6
解得 x0 = -1± 3 ，若-3, -4是原不等式的解，则 í f (-4) > g(-4)，解得 2e
5 k 5e< ；

f (-5) g(-5)
3
é 3 2 5 5e6 ù
综上 k 的取值范围为 ê , U 2e , 故选：A. 4e2 3e ÷ úè 3
【变式 1-1】
（21-22 高三下·山东德州· x阶段练习）已知不等式 kx + 3k e < x +1恰有 2 个整数解，求实数 k 的取值范围
（ ）
2 3 5e6k 5 3 1A． <
3e3 5e2
或 2e < k B． < k
3 5e2 2e
2 k 3 3 k 1
6
C． 3 < 2 D． 2 < 2e
5 k 5e或 <
3e 5e 5e 2e 3
【答案】D
x x +1 x +1
【分析】原不等式 kx + 3k e < x +1等价于， k x + 3 < ，设 g x = k x + 3x ， f x = ，然后转化e ex
为函数的交点结合图象可求.
【详解】原不等式 kx + 3k ex < x +1 x +1等价于， k x + 3 < x ，e
设 g x = k x + 3 f x x +1 f x -x， = x ，所以 = x = 0 ，得 x = 0．e e
当 x < 0 时， f x > 0，所以在 - ,0 上单调递增，当 x > 0时， f x < 0，所以在 0, + 上单调递减，
又 f -1 = 0 x +1，且 x > 0时， f x > 0，因此 g x = k x + 3 与 f x = 的图象如下，
ex
当 k 0时，显然不满足条件，
ì 2
ì f 1 > g 1 > 4k 3 1
当 k
e
> 0 时，若 0，1 是不等式的解，只需要满足 í
f 2 g 2
，即 í 3 ，解得 2
k < ．
5k 5e 2e
e2
x +1
当 f (x) = x 的切线过点 (-3,0)
x0 +1
时，设切点为 x0 , ÷，e è ex0
x +1 -x
则切线方程为 y - 0 x =
0 x x x0 +1 -x- 0
e 0 ex0 0
，该直线过点 (-3,0)，0 - x = x -3- x0 ，解得 x0 = -2 ± 3 ，e 0 e 0
ì f (-4) > g(-4)
6
若-5,-4 是原不等式的解，则 í f (-5) > g(-5) ，解得 2e5 5e< k ；

f (-6) g(-6)
3
é 3 1 5e65 ù
所以 k 的范围为 ê 2 , ÷ U 2e , ú .故选：D． 5e 2e è 3
【变式 1-2】
x ln x a 4a -1（2021·安徽淮北·二模）若关于 的不等式 + - < 0有且只有两个整数解，则正实数 a的取值范围
x
是（ ）
A． 3ln 3 +1, 4 ln 2 + 4 B． - ln 2 +1,3ln 3 +1

C． ln 2
1
+ ,3ln 3+1ùú D． 3ln 2 +1,2 ln 3+ 3 è 2
【答案】C
【分析】原不等式可化简为 xlnx +1 < 4a - ax ，设 f (x) = xlnx +1， g(x) = 4a - ax ，作出函数 f (x) 的图象，由图
象可知函数 g(x)的图象应介于直线 AC 与直线BC 之间（可以为直线BC)，进而求得答案．
【详解】解：原不等式可化简为 x ln x +1 < 4a - ax ，设 f (x) = x ln x +1， g(x) = 4a - ax ，
f (x) x ln x 1 f (x) ln x 1 f (x) 0, 1 1由 = + 得， = + ，易知函数 在 ÷单调递减，在 , +

e ÷ 单调递增，è e è
作出 f (x) 的图象如下图所示，
而函数 g(x) = 4a - ax
4a -1
恒过点C 4,0 ，要使关于 x 的不等式 ln x + a - < 0有且只有两个整数解，则函数
x
g(x)的图象应介于直线 AC 与直线BC 之间（可以为直线BC ），又 A 2,2 ln 2 +1 ，B 3,3ln 3 +1 ，
k 0 - (2 ln 2 +1)∴ AC = = - ln 2
1 0 - (3ln 3 +1)
- ， kBC = = -3ln 3 -1，∴ -3ln 3 -1 -a < - ln 2
1
- ，
4 - 2 2 4 - 3 2
∴ ln 2
1
+ < a 3ln 3 +1．故选：C．
2
【变式 1-3】
（17-18 2高二下·福建·期中）设函数 f x = ln x - ax - a - 2 x ，若不等式 f x > 0恰有两个整数解，则实数
a的取值范围是
1 4 + ln 2 4 + ln 2A． +
ù é1+ ú B4 ． ê 4 ÷è
6 + ln 3 , 4 + ln 2ù é6 + ln 3 , 4 + ln 2 C． D．
è 12 6 ú ê 12 6 ÷
【答案】D
【分析】求出函数的定义域、化简不等式，构造新函数，结合函数的图象，从而可得 a的范围，得到答案．
2
【详解】由题意，函数 f x = ln x - ax - a - 2 x 的定义域为 (0, + )，
不等式 f x > 0 2，即 ln x - ax - a - 2 x > 0 2，即 ln x > ax + a - 2 x，
两边除以 x
ln x
，可得 > a(x +1) - 2，又由直线 y = a(x +1) - 2 恒过定点 (-1,-2) ，
x
ln x
若不等式 f x > 0恰有两个整数解，即函数 y = 图象有 2 个横坐标为整数的点落在直线 y = a(x +1) - 2 的
x
上方，由图象可知，这 2 个点为 (1,0), (2,0) ，可得 f (2) > 0, f (3) 0，
ìln 2 - 4a - 2 a - 2 > 0 6 + ln 3 4 + ln 2 a é6 + ln 3 , 4 + ln 2 即 í a ÷

故选 D．
【点睛】本题主要考查了函数的零点的综合应用，其中解答中把不等式的解，转化为函数的图象的关系，
合理得出不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
题型 10 公切线：求公切线方程
【解题规律·提分快招】
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清
晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直
线相切， 然后分别设切点，求对应的切线，两条切线再用待定系数法求切点坐标或者对应关
系。
【典例 1-1】
（23-24 高二下·江西吉安·期末）函数 f (x) = 2 + ln x 与函数 g(x) = ex公切线的斜率为（ ）
A．1 B．±e C．1或 e D．1或 e2
【答案】C
【分析】先设切点分别为 (x1, f (x1)), (x2 , g(x2 ))，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得
ì 1 x
= e 2
í x1 ，最后计算x1值即可.
x
1+ ln x1 = (1- x2 )e 2
【详解】设切点分别为 (x1, f (x1)), (x2 , g(x2 ))， x1 > 0, x2 > 0
1 x
且导数为 f (x) = , g (x) = e ，
x
ì 1
1 = e
x2
x x
所以切斜方程为既为 y - (2 + ln x1) = (x - x ) 2x 1 ，也为 y - e = e
2 (x - x2 )，所以 í x1 ，
1
1+ ln x
x2
1 = (1- x2 )e
1 x 12
且 ln( ) = ln e - ln x1 = x2 ，所以1+ ln x1 = (1+ ln x1) (1+ ln x1)(x1 -1) = 0x ，1 x1
1 1
所以 x1 =1或 x1 = ，所以公切线的斜率为 k = =1x 或
e .故选：C.
e 1
【典例 1-2】
（23-24 高二下·河北·期末）若直线 l是曲线 y = lnx -1与 y = ln x -1 的公切线，则直线 l的方程为（ ）
A． y = x - 2 B． y = x
C． y = x +1 D． y = ex
【答案】A
【分析】设出直线 l与曲线 y = lnx -1和 y = ln x -1 的切点分别为 x1, lnx1 -1 和 x2 , ln x2 -1 ，由公切线得
到方程解出切点坐标，计算求解即可.
【详解】由 y = lnx -1
1
，得 y = ，由 y = ln x -1 y 1，得 = .
x x -1
设直线 l与曲线 y = lnx -1相切于点 x1, lnx1 -1 ，与曲线 y = ln x -1 相切于点 x2 , ln x2 -1 ，
1 1 ln x -1 - lnx -1
则 = ，故 x1 = x2 -1
2 1 1.又 = ，解得 x1 = 1, x2 = 2x x -1 ，所以直线 l过点 1,-1 ，斜率为1 2 x2 - x1 x 1
1，
即直线 l的方程为 y = x - 2 .故选：A
【变式 1-1】
（23-24 高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线 y = ax + b(a R,b > 0) 是曲线 f x = ex 与曲线 g x = lnx + 2的
公切线，则 a + b =（ ）
1
A 1．2 B． 2 C．
e D．
e
【答案】A
【分析】设 t, et 是 f x 图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线 g x = lnx + 2上的切点，继而求出 t
的值，结合切线方程，即可求得答案.
【详解】由题意知直线 y = ax + b(a R,b > 0) 是曲线 f x = ex 与曲线 g x = lnx + 2的公切线，
t, et设 是 f x 图象上的切点， f x = ex ，
所以 f x t t t t在点 t, e 处的切线方程为 y - e = e x - t ，即 y = e x + 1- t et ①
g x 1= = et x = e-t -t令 ，解得 , g e = lne-t + 2 = 2 - t ，
x
即直线 y = ax + b(a R,b > 0) 与曲线 g x = lnx + 2的切点为 e-t , 2 - t ，
2 - t - et
所以 -t = e
t ，即1- t = 1- t et ，解得 t = 0或 t =1，
e - t
当 t =1时，①为 y = ex,b = 0，不符合题意，舍去，
所以 t = 0，此时①可化为 y = x +1，所以 a + b =1+1 = 2，故选：A
【变式 1-2】
22-23 · · y = kx + b f (x) = ex-3 g x = ex+2022（ 高三上 湖北省直辖县级单位 阶段练习）若直线 是曲线 与 - 2022的
公切线，则 k = （ ）
1011 2022 2025
A． B． C． D．1
1012 2025 2022
【答案】B
【分析】设直线 y = kx + b与 f x 的图象相切于点P1 x1, y1 ，与 g x 的图象相切于点P2 x2 , y2 ，求出
f x ， g x ，由点P1 x1, y1 、点P2 x2 , y2 在切线上，得切线方程，进而即得.
【详解】设直线 y = kx + b与 f (x) = ex-3 的图象相切于点P1 x1, y1 ，与 g x = ex+2022 - 2022 的图象相切于点
P x , y f x = ex-3 g x = ex+2022 y = ex -3 x +20222 2 2 ，又 ， ，所以 11 ， y2 = e 2 - 2022 ，
由点P1 x1, y x -31 在切线上，得切线方程为 y - e 1 = ex1 -3 x - x1 ；
x +2022 x +2022
由点P2 x2 , y2 在切线上，得切线方程为 y - e 2 + 2022 = e 2 x - x2 ，故
ìex1 -3 = ex2 +2022 x - x = 2025 ex -3 2022 2022í 1 x1 -3x -3 = k = e = . B. e 1 1- x1 = e
x2 +2022 1 x ，解得- 1 2 ， ，故 故选：2 - 2022 2025 2025
【变式 1-3】
（22-23 高三上·湖南·开学考试）若直线 y = kx + b是曲线 f x = ex-2与 g x = ex+2022 - 2022 的公切线，则 k =
（ ）
1011 1012
A． B．1 C． D．2022
1012 1011
【答案】A
【分析】设直线 y = kx + b与 f x 的图象相切于点P1 x1, y1 ，与 g x 的图象相切于点P2 x2 , y2 ，求出
f x ， g x ，由点P1 x1, y1 、点P2 x2 , y2 在切线上，得切线方程，联立切线方程可得答案..
【详解】设直线 y = kx + b f x = ex-2 P x , y g x = ex+2022与 的图象相切于点 1 1 1 ，与 - 2022 的图象相切于点
P2 x2 , y x-2 x+2022 x -2 x +20222 ，又 f x = e ， g x = e ，所以 y = e 11 ， y 22 = e - 2022 ，
由点P1 x , y x -2 x -21 1 在切线上，得切线方程为 y - e 1 = e 1 x - x1 ；
由点P2 x2 , y2 在切线上，得切线方程为 y - ex2 +2022 + 2022 = ex2 +2022 x - x2 ，
ìex1 -2 = ex2 +2022 x -2 1011í 1 x
1011
故 1
-2
ex1 -2 1- x1
x +2022 ，解得 e = ，故 k = e = . A.= e 2 1- x 故选：2 - 2022 1012 1012
题型 11 公切线：公切线求参数
【解题规律·提分快招】
公切线求参
属于属性集合题型。利用数形结合求方程解应注意两点
1．讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论
方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．
2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形
结合．
【典例 1-1】
1
（20-21 高二下·安徽合肥·期中）函数 f (x) ax
b
= + 的图象在点 (1,3) 2处的切线也是抛物线 x = y 的切线，则
x 3
a - b = （ ）
A．1 B．3 C．6 D．2
【答案】C
【分析】根据导数得出函数 f x 与抛物线在点 (1,3)处的切线的斜率，根据已知两切线相同即可得出答案.
f (x) ax b【详解】 = + ，则 f (x) = a
b
- b2 ，则在点 (1,3)处的切线的斜率为 kx x 1
= f (1) = a -
12
= a - b，
x2 1= y ，则 y = 6x，则在点 (1,3)处的切线的斜率为 k = 6，
3 2
b 2 1
函数 f (x) = ax + 的图象在点 (1,3)处的切线也是抛物线 x = y 的切线，
x 3
则 k1 = k2 ，即 a - b = 6，
故选：C.
【典例 1-2】
x
（2018·广西桂林·二模）若曲线C1 : y = x
2 e
与曲线C : y = (a > 0) 存在公切线，则实数 a2 的取值范围（ ）a
e2 ù ée2 ù ée2
A．( 0, 1) B． 1, ú C． ê , 2ú D． ê , +
è 4 4 4
÷

【答案】D
【解析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到
m = 2n - 2，则 4n - 4
1
= en 有解．再利用导数进一步求得 a的取值范围．
a
x
y = x2 1(m, m2 ) 2m 1y e= (a > 0) (n, en ) en【详解】 在点 的切线斜率为 ， 在点 的切线斜率为 ，
a a a
1 m2 1n - en
如果两个曲线存在公共切线，那么： 2m = e ．又由斜率公式得到，
a 2m = a
， 由此得到
m - n
m = 2n - 2，
则 4n
1
- 4 = en 有解，由 y = 4x - 4 y
1
= ex 1 x， 的图象有公共点即可．当直线 y = 4x - 4 与曲线 y = e 相切时，
a a a
1 2s
设切点为 (s, t)，则 e = 4 ，且 t = 4s - 4
1
= es ，可得 t = 4, s = 2即有切点 (2,4)， a e= ，故 a的取值范围是：
a a 4
e2a… ．故选: D .
4
【变式 1-1】
（19-20 高二下·天津滨海新·阶段练习）直线 y = kx + b与曲线 y = f (x) 相切也与曲线 y = g(x) 相切，则称直线
y = kx + b为曲线 y = f (x) 和曲线 y = g(x) 的公切线，已知函数 f (x) = x2 , g(x) = a ln x,，其中 a 0，若曲线
y = f (x) 和曲线 y = g(x) 的公切线有两条，则 a的取值范围为（ ）
2
A． a < 0 B． a < -1 C．0 < a < 2e D．0 < a <
e
【答案】C
【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，
可以得到变量 a关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画
出图象图形，最后利用数形结合求出 a的取值范围.
【详解】设曲线 f (x) = x2 的切点为： (s, s2 )， f (x) = x2 f '(x) = 2x，所以过该切点的切线斜率为
f '(s) = 2s ，因此过该切点的切线方程为： y - s2 = 2s(x - s) y = 2sx - s2 ；
设曲线 y = g(x) 的切点为： (t, a ln t) g(x) = a ln x g '， (x)
a ' a= ，所以过该切点的切线斜率为 g (t) = ，因此
x t
a
过该切点的切线方程为： y - a ln t = (x - t)
a
y = x - a + a ln t ，则两曲线的公切线应该满足：
t t
ì
2s
a
=
í t a = 4t 2 (1- ln t) ，构造函数 h(t) = 4t 2 (1- ln t)(t > 0) h ' (t) = 4t(1- 2ln t) ,
-s
2 = -a + a ln t
1 ' 1当 t > e2 时， h (t) < 0,h(t)单调递减，当
'
0 < t < e2 时， h (t) > 0, h(t)单调递增，所以函数有最大值为：
1
h(e2 ) = 2e，当 t > e 时， h(t) < 0，当0 < t < e， h(t) > 0，函数的图象大致如下图所示：
要想有若曲线 y = f (x) 和曲线 y = g(x) 的公切线有两条，则 a的取值范围
为0 < a < 2e .故选：C
【变式 1-2】
（23-24 高二下·天津和平·阶段练习）若函数 f x = x -1与 g x = alnx -1的图象存在公共切线，则实数 a的
最大值为
【答案】 2e
【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标 x1, x2 表示，并据此建立关系，
将 a由切点坐标 x2表示，进而将 a转化为关于 x2的函数，通过求导求其最大值.
【详解】由题意得， f (x) = 2x
a 2
， g (x) = ．设公切线与 f (x) = x2 -1的图象切于点 x , x -1 ，
x 1 1
a ln x -1 - x2 -1 2
与 g(x) = a ln x -1 x , a ln x -1 ∴ 2x a= = 2 1 a ln x - x的图象切于点 ， 2 12 2 1 = ，x2 x2 - x1 x2 - x1
2
∴ a = 2x1x
2x x ln x
0，∴ 2x = 1 2 2
- x1
2 1 ，∴ x1 = 2x2 - 2x2 ln x2，∴ a = 2x 21x2 = 4x2 - 4x
2
2 ln x ．x2 - x
2
1
设 h(x) = 4x2 - 4x2 ln x ，则h (x) = 4x(1- 2ln x)，∴ h x 在 (0, e)上单调递增，在 ( e,+ )上单调递减，
∴ h(x) = h( e) = 2e ，∴实数 amax 的最大值为 2e，故答案为： 2e .
【变式 1-3】
（2017·重庆·一模）函数 y = x2 – 1和 y = a ln x -1有相同的公切线，则实数 a 的取值范围为 ．
【答案】 (- ，2e]
【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运
用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到 a 的范围．
【详解】解：两曲线 y＝x2﹣1 与 y＝alnx﹣1 存在公切线，
y＝x2
a
﹣1 的导数 y′＝2x，y＝alnx﹣1 的导数为 y′= ，
x
设 y＝x2﹣1 相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线 y＝alnx﹣1 相切的切点为（m，alnm﹣1），
a a
y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即 y＝2nx﹣n2﹣1，y﹣（alnm﹣1）= （x﹣m），即：y = x - a + alnm -1∴
m m
ì2n a = 2 a
í m
a
∴ 2 = a - alnm，∴ 2 =1- lnm
n
2 +1 = a +1- alnm 4m 4m
a 1
即 = m2 1- lnm 有解即可，令 g（x）＝x2（1﹣lnx），y′＝2x（1 2﹣lnx）+x
4
- ÷ = x（1﹣2lnx）＝0，可
è x
得 x = e ，∴g（x）在（0， e ）是增函数；（ e ，+∞）是减函数，
e a e
g（x）的最大值为：g（ e ）= ，又 g（0）＝0，∴ ，∴a≤2e．2 4 2
故答案为（﹣∞，2e]．
题型 12 基础思维压轴小题
【典例 1-1】
（24-25 高三上·天津·期中）若函数 f x = ax2 - 2x - x2 - ax +1 +1 a R 有两个零点，则实数 a的取值范
围为 .
【答案】 - , -4 U 4, + U - 2, 2
【分析】构建 g x = ax2 - 2x ， h x = x2 - ax +1 -1，分析可知 y = g x 与 y = h x 有 2 个不同的交点，
2
分类讨论 a, 的大小关系，根据切线以及图象分析交点即可.
a
【详解】若 a = 0，令 f x = 2 x - x2 +1 +1 = 2 x - x 2 +1 +1 = 0 2 x +1 = x 2，即 +1，整理可得
x 3 x + 4 = 0，解得 x = 0，可知 f x 只有 1 个零点 0，不合题意，所以 a 0，
令 f x = ax2 - 2x - x2 - ax +1 +1 = 0，可得 ax2 - 2x = x2 - ax +1 -1，
令 g x = ax2 - 2x = 0 2，解得 x = 0或 x = ；令 h x = x2 - ax +1 -1 = 0，解得 x = 0或 x = a；a
由题意可知： y = g x 与 y = h x 2有 2 个不同的交点，1.若 a > 0，则 > 0，当0 < x < a 时，可知
a
x2 - ax +1 <1，
此时 h x < 0或无意义， y = g x 与 y = h x 必然没有交点，
所以只需要研究 x - ,0 a,+ 2即可.（1）当 > a，即0 < a < 2 时，对于 x2 - ax +1可知a
D = a2 - 4 < 0，
则 h x 的定义域为R ，如图所示： 由图象可知： y = g x 与 y = h x 的交
点不止 2 个，不合题意；
2 2
（2）当 < a，即a > 2 时，则 g x = ax - 2x ，①当 x a时， 因为a
ax2 - 2x - 2 x 2-
2
÷ = ax
2 4 1- 4x + = ax - 2 2 > 0 2 ，且
a a a x - +1÷ - x
2 - ax +1
a =

a
4 4 4
- + 2 ÷ x + - ，è è è a a2 a
4 4
因为 y = a - + 2 在 é 2,+ 上单调递增，则 y = a - + 2 2 - 2 > 0，a a
x 2
2
- +1 2 4 4 2可得 ÷ - x - ax +1 a 4 - + 2 ÷ a 4 4+ - = a2 + + 2a - - 4 > 2 2 a - > 02 ÷ ，è a è a a a a a è a
2 2
即 2 x - +1÷ > x - ax +1
2 2 2 2 2 2
，可得 x - > x - ax +1 -1则 ax - 2x > 2 x - ÷ > x - > x - ax +1 -1，
è a a è a a
即 g x > h x ，可知 y = g x 与 y = h x 没有交点；
2x - a
②当 x < 0 时， g x = 2ax - 2 a，则 g 0 = -2，且 h x = ，则 h 0 = - ，
2 x2 - ax +1 2
a
若- -2 ，解得 2 < a 4，此时结合图象可知： y = g x 与 y = h x 没有交点；2
a
若- < -2 ，解得 a > 4，此时结合图象可知： y = g x 与 y = h x 有 1 个交点；
2
2
（3）当 = a ，即 a = 2 ，此时结合图象可知： y = g x 与 y = h x 有 2 个交点；a
对应的图象如图所示，
说明：考虑到定义域问题，若a > 2 ， y = h x 只作 x - ,0 a,+ 部分图象，
因为 y = g x 与 y = h x 必有一个交点为坐标原点，
可知当 x - ,0 a, + 时， y = g x 与 y = h x 有且仅有一个交点，
结合图象可知：若 y = g x 与 y = h x 有 2 个不同的交点，则 a = 2 或 a > 4；
2.若 a < 0时，令 t = -x, m = -a > 0，即 x = -t, a = -m
则 f x = ax2 - 2x - x2 - ax +1 +1 = -m -t 2 - 2 -t - -t 2 - -m -t +1 +1
= -mt 2 + 2t - t 2 - mt +1 +1 = mt 2 - 2t - t 2 - mt +1 +1，
此时与 a > 0等价，当且仅当m = 2 或m > 4 ，即 a = - 2 或 a < -4时，符合题意；
综上所述：实数 a的取值范围为 - ,-4 4, + - 2, 2 .故答案为： - ,-4 4, + - 2, 2 .
【典例 1-2】
（24-25 2 2高三上·江西赣州·期中）已知点 A x1, y1 , B x2 , y2 ，定义 dAB = x - y + x - y 为 A, B1 2 2 1 的“可测
距离”.若点 A, B在曲线 y = e x-2 + a 上，且 dAB 的最小值为 4，则实数 a的值为 .
【答案】1+ 2 2 / 2 2 +1
【分析】依题意求出 y = e x-2 + a 的反函数，将“可测距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导
函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.
【详解】由函数可得 x = ln y - a + 2 ，即 y = ln x - a + 2 ，
所以 y = e x-2 + a 的反函数为 y = ln x - a + 2 .
由点B x x-22 , y2 在曲线 y = e + a 上，可知点B1 y2 , x2 在其反函数 y = ln x - a + 2 上，
所以 dAB = x1 - y
2
2 + x2 - y
2
1 相当于 y = e x-2 + a 上的点 A x1, y1 到曲线 y = ln(x - a) + 2上点B1 y2 , x2 的
2 2
距离，即 d = d = x x-2 y = ln x - a + 2 y = xAB AB1 1 - y2 + x2 - y1 ，利用反函数性质可得 y = e + a 与 关于 对
称，所以当 AB 与 y = x1 垂直时， dAB = dAB1 取得最小值为 4，
因此 A, B1两点到 y = x 的距离都为 2.过点B1作切线平行于直线 y = x ，斜率为 1，由 y = ln x - a + 2 ，得
y 1= =1，可得 x = a +1, y = ln a +1- a + 2 = 2 ，即B1 a +1,2 ，x - a
a +1- 2
点B1到 y = x 的距离 d = = 2，解得 a =1± 2 2 .2
当 a = 1- 2 2 时， y = ln x - a + 2 = ln x -1+ 2 2 + 2与 y = x 相交，不合题意；
当 a = 1+ 2 2 时， y = ln x - a + 2 = ln x -1- 2 2 + 2与 y = x 不相交，符合题意.
综上， a = 1+ 2 2 .故答案为：1+ 2 2 .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用反函数性质将“可测距离”问题转化为互为反函数图象上两点
距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.
【变式 1-1】
（24-25 高三上·江苏苏州·期中）如图，对于曲线G 所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角a ，使得对
于曲线G 上的任意两个不同的点 A，B ，恒有 AOB a 成立，则称角a 为曲线G 的相对于点O的“界角”，
ì xex-1 +1，x > 0

并称其中最小的“界角”为曲线G 的相对于点O的“确界角”.已知曲线C ： y = í 1 （其中 e2 是自然
x +1，x 0 16
对数的底数），O为坐标原点，曲线C 的相对于点O的“确界角”为 b ，则 eb = .
π
【答案】 e 2
【分析】利用导数的几何意义，求出 x > 0时，过原点且与 y = xex-1 +1相切的切线斜率，以及
y 1 2过原点且与 = x +1相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解.
16
x > 0 y = xex-1 +1 A x , x ex1 -1 +1 , y = x +1 ex-1,k = x +1 ex1 -1【详解】当 时，过原点作 的切线。设切点 1 1 1 1 ，
x -1 x -1 x -1 2 x -1
则切线方程为 y - x1e 1 +1 = x1 +1 e 1 x - x1 ，又切线过点 0,0 ，所以-x1e 1 -1 = -x - x 11 1 e ，所以
x2 x1 -11 e -1 = 0
2 x-1
，设 g x = x e x > 0 ，则 g x = x2 + 2x ex-1 > 0，
g x g 1 =1 x =1, k = 2 y 1故 为增函数，且 ，所以 1 1 ，当 x < 0 时，过原点作 = x2 +1的切线，16
B x , 1 x2 1 , y 1 1 1 1设切点 2 2 + ÷ = x,k
2
2 = x2 ，则切线为 y - x2 +1÷ = x2 x - x2 ，又切线过点 0,0 ，
è 16 8 8 è16 8
1 2 1 1 π
所以- x2 -1 = - x
2
2 ，又 x2 0, x2 = -4, k2 = - ，因为 k1k2 = -1，所以两切线垂直，所以 b = ，即16 8 2 2
π
eb = e 2 ，
π
故答案为： e 2 .
【变式 1-2】
1
（2024·山东济宁·一模）已知函数 f x = loga x + （ a > 0且 a 1）恰有一个零点，则实数 a的取值范围a x
为 ．
1
1,ee ì - ü【答案】 ù e U íe

x
1
【分析】原式转化为判断 ÷ = log 1 x 的交点问题，分 a 0,1 和 a >1两种情况讨论结合指对函数对称性，
è a a
导数的几何意义进而得解.
1 x
【详解】令 f x = log x 1a + = 0得 x = - log x = log x
1 1
x a a 1 ，即 ÷ = log 1 x ，令b = ，a a è a a a
1
当b = >1时，即 a 0,1 时，若两函数有且仅有一交点，
a
x
由指数函数和对数函数特征可判断此交点必定落在 y = x 这条直线上，且该点为 y = b , y = logb x 两函数的公
切点，
ì
ìbx0 = logb x0 = x0 bx 0 = logb x0 = x0
设切点为 x0 , x0 ，则 y x0 =1

，则有 í bx =1 x 1x=x ，即 íb 0 × ln b =1 ，解得 x0 = ，0
ln b
logb x

x=x =1
1
=1
0 x0 × ln b
1
x
由b 0 = x0 得， x0 ln b = ln x0 ，所以 ln x0 =1，解得 x e e
1 1 1
0 = ，即b = e， -b = ee ，即 = e
e ，
a a = e
e ；
当b 0,1 时，即 a 1, + 时，由指数函数和对数函数特征可判断 y = bx 与 y = logb x 要有公切点，
此切点必定落在 y = x 这条直线上，设切点为 x0 , x0 ， y x0 = -1，
ì
ìbx0 = log x
b 0
= x0
b
x0 = logb x0 = x0
bx x0 1í x则有 0x=x = -1 ，即 íb × ln b = -1 ，解得 x0 = - ，由b = x0 得 x0 ln b = ln x0 0 ，
ln b
log x
1
b x=x = -1 = -10 x0 × ln b
1 1 1 1 e 1 e 1
所以 ln x e e0 = -1，解得 x0 = ，即b = ，b = ÷ ，即 = ， a = e ；e e è e a e ÷è
e 1
由指数函数和对数函数特征可知：当b x 0, ÷ ÷÷ 时， y = b 与 y = loge b
x 有 3 个交点；
è è
1 e e e é 1 1 é 1
当b ÷ ,1÷÷时， y = b
x 与 y = logb x 有 1 个交点；故b ê ÷ ,1÷÷时，即 ê ÷ ,1÷时， a 1,e
e ù 时， y = bx
è e è ê è e a ê è e ÷
与 y = logb x 有一交点.
1
e ì - ü 故答案为： 1,e ù íe e

【点睛】关键点点睛：当指对函数底数在 0,1 时，图象难以表示出来，对于后续处理难度较大，题干信息
相对较少，解题时能挖掘出指对函数的对称性，由导数的几何意义确定斜率值是解题关键，重点考查了分
类讨论思想，函数与导数综合解决零点问题，值得深入研究！
【变式 1-3】
x
（21-22 高二下·山东菏泽·期末）若关于 x 的方程 e 2x -1 = a x -1 无解，则实数 a的范围为 .
3
【答案】 1,4e2 ÷
è
x -1 2x -1 x -1 2x -1
【分析】将问题转化为 x = 无解，构造 f x = x ， g x = ，利用导函数求解 f xe 的单调e a a
性和极值，最值情况，再同一坐标系下画出 f x ， g x 的图象，从而得到当斜率位于两切线 l1, l2 之间时，
x
两函数无交点，即方程 e 2x -1 = a x -1 无解，设出切点，求出两切线斜率，从而求出实数 a的范围.
x
【详解】 e 2x -1 = a x -1 无解，
1
当 a = 0时，此时只需 x = 即可，所以 a = 0时，方程有解，舍去；
2
x -1 2x -1
即 a 0，则方程可化为 = 无解，令 f x = x -1 f x 2 - x，则 = ，
ex a ex ex
当 x < 2时， f x > 0 x -1，当 x > 2时， f x < 0，即 f x = ex 在 - , 2 上单调递增，在 2, + 上单调递减，
x -1
且当 x >1 f x = > 0 x -1时， x 恒成立， f x = ex 在 x = 2处取得极大值，也是最大值，e
f x = f 2 1=max ，e2
2x -1 1
令 g x = ，为过点 ,0
x -1 2x -1
÷的直线，画出 f x =a x 与 g x = 的图象如下：è 2 e a
求出 g x 2x -1= f x = x -1与 ex 相切的两切线 l1, l2 ，当斜率位于两切a
x0 -1
x0
线 l1, l
x
2 之间时，两函数无交点，即方程 e 2x -1 = a x -1 无解，设切点为 x ,
x0 -1 2 - x0 e
0 ，则
è ex0 ÷ ex
= 1 ，0 x0 - 2
3
x = 0 3 2 2 3
2 - 3
解得： 0 或 ，当 x0 = 0时， 2 2 a2 e0
= ，此时 a =1；当 x
a 0
= 时，
2 3 =
，解得： a = 4e2 ，故实数 的
e2 a
3 3
范围为 1,4e2 ÷故答案为： 1, 4e2 ÷
è è
冲高考
1．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = lnx ，关于 x 的不等式 f x - f x0 a x - x0 的解集为
0, + ，其中 x0 0, + ， a为常数.给出下列四个结论：
1
①直线 y = x是曲线 y = f x 的一条切线；
e
f 3 f 4② < ；
3 4
③

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