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二次根式全章热门考点培优练
（19大题型提分练）
知识清单
1．二次根式的有关概念
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
注意：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
2.二次根式的性质：
（1）．
（2）．一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数
（3）．一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
（4）．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积
（5）．两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根
3.二次根式的乘法：
（1）．
（2）逆用：
（3）推广：①
②
4．二次根式的除法：
（1）
（2）逆用：
（3）推广：①
②，其中．
5．最简二次根式
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
6．二次根式的加减
（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）步骤：
①将各个二次根式化成最简二次根式；
②找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．
（3）注意：
①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．
②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．
③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．
（3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．
题型专练
类型一、二次根式的定义
1．下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．当a＝时，二次根式的值是 　 　．
类型二、二次根式有意义的条件
4．若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞0 C．x＞0且x≠3 D．x≥0且x≠3
6．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 　．
类型三、二次根式是整数，求参数的值
7．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　．
8．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　．
9．当x＝　 　时，二次根式取最小值，其最小值为 　 　．
类型四、二次根式的性质
10．下列各式中，正确的是（　　）
A．±2 B．4
C．±4 D．3
11．若，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6
12．若，则5m﹣n2的值为　 　
类型五、利用二次根式的性质进行化简
13．已知3＜x＜5，化简的正确结果为（　　）
A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x
14．若a＞1，化简1＝　 　．
15．已知﹣3＜x＜2，化简|x﹣2|．
类型六、二次根式与数轴问题
16．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．﹣2b B．﹣2a C．2b﹣2a D．0
17．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：．
18．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题．
（1）化简： 　 　， 　 　．
（2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简．
类型七、最简二次根式
19．下列二次根式中，最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
20．若与最简二次根式能合并同类项，则m的值为 　 　．
21．下列各式中是最简二次根式的有 　 　个．
类型八、二次根式的乘除法则
22．下列各式从左到右一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
23．若在实数范围内成立，则x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≥4 C．0≤x＜4 D．x＞4
24．若 成立，则x的取值范围是　 　．
类型九、二次根式的乘除运算
25．计算、化简
（1）
（2）6（﹣2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）．
26．计算
（1）6；
（2）；
（3）；
（4）．
27．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
类型十、二次根式的加减
28．计算的结果是（　　）
A．3 B．5 C．5 D．2
29．计算：
（1）263；
（2）（）+（）．
30．计算：|1|．
类型十一、二次根式的混合运算
31．（1）；
（2）．
32．计算：
（1）；
（2）．
33．计算：
（1）；
（2）6|2|．
类型十二、乘法公式在二次根式的混合运算的应用
34．计算的结果为 　 　．
35．计算：　 　．
36．计算：
（1）；
（2）．
类型十三、二次根式的化简求值
37．若，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等于 　 　．
38．已知，，求：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2﹣ab．
39．已知，．
（1）求a+b的值；
（2）求a2﹣3ab+b2的值．
类型十四、二次根式的应用
40．年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45）
41．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）．
（1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　 　s（结果保留根号）；
（2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　 　m；
（3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由．
类型十五、复合型二次根式的化简
42．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，
所以的算术平方根是．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）；
（2）．
43．下面我们观察：，反之，，
∵
∴．
仿上例，求：
（1）化简：；
（2）计算：．
类型十六、分母有理化及其化简
44．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
（二）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（三）
请用不同的方法化简．
（1）参照（二）式得　 　；
（2）参照（三）式得　 　；
（3）化简：．
45．阅读下列材料，然后回答问题：
已知，求2a2﹣8a+1的值，小名是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： 　 　；
（2）化简：；
（3）若，求3a2﹣12a﹣1的值．
类型十七、有关二次根式的大小比较
46．阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务．
比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较．
任务：
（1）填空： 　 　；
（2）①判断△ABC的形状，并说明理由；
②直接判断与的大小；
（3）延伸拓展：直接判断与的大小．
47．老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小．
解：，．
∵12＜18，
∴．
参考上面例题的解法，解答下列问题：
（1）填空： 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）比较与的大小；
（3）若，，试比较M，N的大小．
类型十八、二次根式的新定义问题
48．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有a☆b，例如：7☆4，那么3☆（﹣7）＝ 　 　．
49．如果一个三角形三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约﹣约），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式．
（1）设a，b，c为△ABC的三边，当a＝4，b＝5，c＝6时，求S△ABC的面积．
（2）请你对公式②进行变形，推导出公式①．
50．定义：我们将（）与（）称为一对“对偶式”．因为（）（）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知1，求的值，可以这样解答：
因为（）×（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7，
所以7．
（1）已知：8，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：8；
（3）计算：．
类型十九、有关二次根式规律探究问题
51．先阅读材料，再回答问题：
；
；
；
；
…
（1）请根据以上规律写出第七个等式；
（2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55，请写出这个等式；
（3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且n≥1）
52．细心观察图形，认真分析各式，解答问题：
，（S1是Rt△A1A2O的面积），，（S2是Rt△A2A3O的面积），，（S3是Rt△A3A4O的面积），
…
（1）用含n（n为正整数）的式子表示Sn，则Sn＝ 　 　；
（2）推算出OA＝ 　 　；
（3）若，求S的值．
53．观察下列各式及其验证过程：
，
验证：．
，
验证：．
（1）按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数且n≥2）表示的等式并给出说明．
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二次根式全章热门考点培优练
（19大题型提分练）
知识清单
1．二次根式的有关概念
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
注意：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
2.二次根式的性质：
（1）．
（2）．一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数
（3）．一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
（4）．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积
（5）．两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根
3.二次根式的乘法：
（1）．
（2）逆用：
（3）推广：①
②
4．二次根式的除法：
（1）
（2）逆用：
（3）推广：①
②，其中．
5．最简二次根式
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
6．二次根式的加减
（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）步骤：
①将各个二次根式化成最简二次根式；
②找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．
（3）注意：
①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．
②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．
③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．
（3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．
题型专练
类型一、二次根式的定义
1．下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的定义，根号下部分一定大于等于零，进而得出答案．
【详解】解：A．当x＜0时，不是二次根式，不符合题意；
B． 是二次根式，符合题意；
C． 中被开方数小于0，故不是二次根式，不符合题意；
D．2，2不是二次根式，不符合题意，
故选：B．
2．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【详解】解：在式子，，，，中，是二次根式的有，，共3个．
故选：B．
3．当a＝时，二次根式的值是 　3　．
【答案】3．
【分析】先把a＝代入，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】解：当a＝时，
＝3．
故答案为：3．
类型二、二次根式有意义的条件
4．若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再逐个判断即可．
【详解】解：要使二次根式有意义，必须2﹣x≥0，
解得：x≤2，
∵3＞2，2＝2，1＜2，0＜2，
∴只有选项A符合题意，选项B、选项C、选项D都不符合题意，
故选：A．
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞0 C．x＞0且x≠3 D．x≥0且x≠3
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”和分式分母不为零进行计算即可得．
【详解】解：由题意得，，
解得x≥0且x≠3，
故选：D．
6．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　x≤3　．
【答案】x≤3．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式3﹣x≥0，求出x的取值范围即可．
【详解】解：由题可知，
3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
类型三、二次根式是整数，求参数的值
7．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　6　．
【答案】6．
【分析】先求出54＝32×6n，再根据已知条件得出答案即可．
【详解】解：∵，
又∵n是正整数，是整数，
∴n的最小值是6．
故答案为：6．
8．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　3　．
【答案】3．
【分析】根据n是正整数，是整数，得出13+n是一个完全平方数，最小的完全平方数是16，由此求得n的值．
【详解】解：∵n是正整数，是整数，且n取最小值，
∴13+n＝16．
∴n＝3．
故答案为：3．
9．当x＝　﹣1　时，二次根式取最小值，其最小值为 　0　．
【答案】﹣1，0．
【分析】根据二次根式的定义得到x+1≥0，则x≥﹣1，然后根据x的范围求解．
【详解】解：根据题意得x+1≥0，
解得x≥﹣1，
当x＝﹣1时，二次根式取最小值，其最小值为0．
故答案为：﹣1，0．
类型四、二次根式的性质
10．下列各式中，正确的是（　　）
A．±2 B．4
C．±4 D．3
【答案】B
【分析】根据平方根与立方根的定义进行解题即可．
【详解】解：A．2，选项说法不正确，不符合题意；
B．4，选项说法正确，符合题意；
C．±±4，选项说法不正确，不符合题意；
D．3，选项说法不正确，不符合题意．
故选：B．
11．若，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质得一次不等式，求解即可．
【详解】解：∵|a﹣6|，，
∴6﹣a≥0．
∴a≤6．
故选：B．
12．若，则5m﹣n2的值为　1　
【答案】1．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴2﹣m＝0，n+3＝0，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴5m﹣n2＝5×2﹣（﹣3）2＝1．
故答案为：1．
类型五、利用二次根式的性质进行化简
13．已知3＜x＜5，化简的正确结果为（　　）
A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x
【答案】A
【分析】由已知得出x﹣5＜0，x﹣3＞0，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵3＜x＜5，
∴x﹣5＜0，x﹣3＞0，
∴
＝|x﹣5|+x﹣3
＝5﹣x+x﹣3
＝2，
故选：A．
14．若a＞1，化简1＝　a　．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：∵a＞1，
∴1＝a﹣1+1＝a．
故答案为：a．
15．已知﹣3＜x＜2，化简|x﹣2|．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意得到x﹣2＜0，x﹣3＜0，2x﹣5＜0，根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵﹣3＜x＜2，
∴x﹣2＜0，x﹣3＜0，2x﹣5＜0，
∴|x﹣2|2﹣x﹣（3﹣x）+（5﹣2x）＝2﹣x﹣3+x+5﹣2x＝4﹣2x．
类型六、二次根式与数轴问题
16．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A．﹣2b B．﹣2a C．2b﹣2a D．0
【答案】D
【分析】由数轴得出a＜0，b＞0，进一步得出b﹣a＞0，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可．
【详解】解：由数轴得，a＜0，b＞0，
∴b﹣a＞0，
∴
＝|a|+b﹣（b﹣a）
＝﹣a+b﹣b+a
＝0，
故选：D．
17．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：．
【答案】3a﹣3b．
【分析】实数a，b在数轴上对应点的位置判断a，b的符号，进而判断a﹣b，b﹣1，a﹣1的符号，再由二次根式化简方法进行计算即可．
【详解】解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可知b＜﹣1＜0＜a＜1，
∴a﹣b＞0，b﹣1＜0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+|b|+|a﹣b|+|b﹣1|﹣|a﹣1|
＝a﹣b+a﹣b+1﹣b﹣1+a
＝3a﹣3b．
18．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题．
（1）化简： 　4　， 　π﹣3　．
（2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】（1）4；π﹣3；
（2）b﹣2．
【分析】（1）根据，，再去掉绝对值即可；
（2）先根据数轴的位置判断a＜0＜1＜b，则1﹣a＞0，1﹣b＜0，再根据二次根式的性质化简，并去掉绝对值即可．
【详解】解：（1）根据题意可知；．
故答案为：4；π﹣3．
（2）由数轴可知a＜0＜1＜b，则1﹣a＞0，1﹣b＜0，
∴|a|＝﹣a，|1﹣a|＝1﹣a，|1﹣b|＝﹣（1﹣b）．
原式＝|a|﹣|1﹣a|+|1﹣b|
＝﹣a﹣（1﹣a）﹣（1﹣b）
＝﹣a﹣1+a﹣1+b
＝b﹣2．
类型七、最简二次根式
19．下列二次根式中，最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式定义进行解题即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
20．若与最简二次根式能合并同类项，则m的值为 　3　．
【答案】3．
【分析】根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可．
【详解】解：3，
∵与最简二次根式能合并同类项，
∴m﹣1＝2，
解得m＝3，
故答案为：3．
21．下列各式中是最简二次根式的有 　1　个．
【答案】1．
【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
2，不是最简二次根式；
则只有是最简二次根式．
故答案为：1．
类型八、二次根式的乘除法则
22．下列各式从左到右一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质进行化简进而得出答案．
【详解】解：A．不能化简，故此选项不符合题意；
B．a，b的符号不确定，需分情况，故此选项不符合题意；
C．∵﹣a3≥0，∴a≤0，∴，故此选项符合题意；
D．，a的符号不确定，故此选项不符合题意；
故选：C．
23．若在实数范围内成立，则x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≥4 C．0≤x＜4 D．x＞4
【答案】D
【分析】根据直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴x≥0，x﹣4＞0，
解得x＞4，
故选：D．
24．若 成立，则x的取值范围是　2≤x≤3　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的定义得出x﹣2≥0，3﹣x≥0，求出即可．
【详解】解：要使原式成立，必须x﹣2≥0，3﹣x≥0，
解得：2≤x≤3，
故答案为：2≤x≤3．
类型九、二次根式的乘除运算
25．计算、化简
（1）
（2）6（﹣2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把化成400×5，400＝202；
（2）（3）根据二次根式乘法法则：（a≥0，b≥0）进行计算，结果要化成最简二次根式；
（4）根据二次根式除法法则：（a≥0，b＞0）进行计算，结果要化成最简二次根式；
（5）先把被开方数分解因式，再化简；
（6）根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0），进行计算，结果要化成最简二次根式；
（7）根据二次根式的除法法则进行计算；
（8）根据二次根式的乘除法法则进行计算；
【详解】解：（1），
，
，
＝20，
（2）6（﹣2），
＝﹣6×2，
＝﹣12，
＝﹣12，
＝﹣12×4，
＝﹣48，
（3），
，
，
＝4ab2，
＝4ab2，
（4），
，
，
＝6，
（5），
，
＝x，
（6），
，
，
（7），
，
，
，
（8），
，
，
．
26．计算
（1）6；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先化简，再计算二次根式的乘法；
（2）利用二次根式的性质（a≥0且b≥0）计算可得；
（3）根据二次根式的乘除法，将除法转化为乘法，再统一计算乘法可得；
（4）先计算括号内的二次根式的除法，再计算乘法可得．
【详解】解：（1）原式＝636×3＝﹣108；
（2）原式30；
（3）原式1；
（4）原式 ．
27．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用二次根式的运算法则：乘法法则，运算即可；
（2）利用二次根式的除法运算法则运算即可；
（3）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可；
（4）利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数．
【详解】解：（1）2；
（2）；
（3）；
（4）a2|b|．
类型十、二次根式的加减
28．计算的结果是（　　）
A．3 B．5 C．5 D．2
【答案】D
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【详解】解：原式＝462
＝222
＝2．
故选：D．
29．计算：
（1）263；
（2）（）+（）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，再合并得出答案．
【详解】解：（1）原式＝2×263×4
＝
＝14；
（2）原式＝22
＝3．
30．计算：|1|．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】原式＝311+2
2．
类型十一、二次根式的混合运算
31．（1）；
（2）．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可；
（2）先计算乘除，再计算加减．
【详解】解：（1）原式＝23+2
1；
（2）原式
2
．
32．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣2；
（2）4．
【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的除法法则运算，再化简二次根式，然后进行有理数的加减运算；
（2）先根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的乘法法则运算，再化简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）原式＝11
＝1﹣2﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝24
＝24﹣2
＝4．
33．计算：
（1）；
（2）6|2|．
【答案】（1）4；
（2）22．
【分析】（1）根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可；
（2）先去绝对值，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）原式2
＝42
＝4；
（2）原式＝522
＝22．
类型十二、乘法公式在二次根式的混合运算的应用
34．计算的结果为 　8　．
【答案】8．
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：原式＝（）2﹣2（）2+4
＝6﹣42+4
＝8．
故答案为：8．
35．计算：　　．
【答案】．
【分析】先利用的积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
36．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1；
（2）6．
【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后把化简后合并即可；
（2）先把除法运算化为乘法运算，再利用二次根式的除法法则运算，接着分母有理化，然后化简二次根式后合并即可．
【详解】解：（1）原式＝3（2+21）+3﹣1
＝33﹣22
1；
（2）原式＝（36）
＝321
＝6．
类型十三、二次根式的化简求值
37．若，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等于 　1　．
【答案】1．
【分析】由可得，可得a2﹣4a＝1，再利用整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴2a2﹣8a﹣1＝2（a2﹣4a）﹣1＝2×1﹣1＝1．
故答案为：1．
38．已知，，求：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2﹣ab．
【答案】（1）；
（2）35．
【分析】（1）先求得，ab＝﹣1，再将a2b+ab2变形为ab（a+b），代入即可求解；
（2）将a2+b2﹣ab变形为（a+b）2﹣3ab，再代入即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）；
（2）由（1）知，a+b＝4，ab＝﹣1，
∴a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝（4）2﹣3×（﹣1）
＝32+3
＝35．
39．已知，．
（1）求a+b的值；
（2）求a2﹣3ab+b2的值．
【答案】（1）2；
（2）7．
【分析】（1）先把a，b的值分母有理化，再求和即可；
（2）把（1）中a，b的值代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵，
，
∴a+b2；
（2）由（1）知，a，b，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab
＝[（）﹣（）]2﹣（）（）
＝（）2﹣（3﹣2）
＝（﹣2）2﹣1
＝8﹣1
＝7．
类型十四、二次根式的应用
40．年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据长方形的周长＝（长+宽）×2，可以解答本题；
（2）根据长方形的面积＝长×宽和造价为每平方米2元的草坪，可以求得在该长方形土地上全部种植草坪的总费用．
【详解】解：（1）由题意可得，
该长方形土地的周长是：（）×2m，
即该长方形土地的周长是m；
（2）由题意可得，
在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：352.8（元），
即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元．
41．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）．
（1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　　s（结果保留根号）；
（2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　80　m；
（3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）80；
（3）能．
【分析】（1）先计算高度得到h＝75，然后把h的值代入公式得到t的值；
（2）把t＝4代入公式，然后求出h的值即可；
（3）先计算高度得到h＝48，再利用公式E＝mgh计算出150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上产生的动能E为67.5J，然后利用67.5J＞65J可判断该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人．
【详解】解：（1）（26﹣1）×3＝75（m），
当h＝75时，t，
即该物品落地的时间为；
故答案为：；
（2）当t＝4时，4，
解得h＝80（m）；
故答案为：80；
（3）能．
理由如下：
（16﹣1）×3＝45，
当h＝45，m＝150g＝0.15kg，g≈10N/kg，E＝0.15×10×45＝67.5（J），
∵67.5J＞65J，
∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人．
类型十五、复合型二次根式的化简
42．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，
所以的算术平方根是．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意得到，即可到答案；
（2）把化为，即可得到答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
43．下面我们观察：，反之，，
∵
∴．
仿上例，求：
（1）化简：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【详解】解：（1）∵
∴；
（2）
．
类型十六、分母有理化及其化简
44．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
（二）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（三）
请用不同的方法化简．
（1）参照（二）式得　　；
（2）参照（三）式得　　；
（3）化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）参照（二）式的方法解答，即可求解；
（2）参照（三）式的方法解答，即可求解；
（3）先进行分母有理化，再计算，即可求解．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）；
故答案为：；
（3）
．
45．阅读下列材料，然后回答问题：
已知，求2a2﹣8a+1的值，小名是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： 　　；
（2）化简：；
（3）若，求3a2﹣12a﹣1的值．
【答案】（1）；
（2）9；
（3）2．
【分析】（1）分式的分子和分母同时乘 的有理化因式，进行计算即可；
（2）把各个加数分母有理化，然后进行简便计算即可；
（3）先把分母有理化，求出a，再利用完全平方公式求出a2﹣4a的值，最后整体代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
，
故答案为：；
（2）
...
＝﹣1+10
＝9；
（3）∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴3a2﹣12a＝3，
∴3a2﹣12a﹣1
＝3﹣1
＝2．
类型十七、有关二次根式的大小比较
46．阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务．
比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较．
任务：
（1）填空： 　　；
（2）①判断△ABC的形状，并说明理由；
②直接判断与的大小；
（3）延伸拓展：直接判断与的大小．
【答案】（1）；
（2）①△ABC是直角三角形，理由见解析；②．
【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可；②根据三角形三边关系进行判断即可．
【详解】解：（1）（）2＝11+2．
故答案为：；
（2）①△ABC是直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴．
47．老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小．
解：，．
∵12＜18，
∴．
参考上面例题的解法，解答下列问题：
（1）填空： 　＞　（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）比较与的大小；
（3）若，，试比较M，N的大小．
【答案】（1）＞；
（2）；
（3）．
【分析】（1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案；
（2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案；
（3）综合（1）（2）的解法即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，，
∵45＜75，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）∵，，
又∵，即48＜60，
∴，
∴，
∴；
（3）∵2＜6，3＜5，
∴，
∴，，
∵，，
又∵，即48＜60，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即．
类型十八、二次根式的新定义问题
48．用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有a☆b，例如：7☆4，那么3☆（﹣7）＝ 　　．
【答案】．
【分析】根据新定义运算，对式子进行求解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
49．如果一个三角形三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为，①古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约﹣约），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式．
（1）设a，b，c为△ABC的三边，当a＝4，b＝5，c＝6时，求S△ABC的面积．
（2）请你对公式②进行变形，推导出公式①．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【分析】（1）根据给定的算法求得p，再分别求得p﹣a，p﹣b和p﹣c，代入计算即可；
（2）结合已知求得，和，利用平方差公式对秦九韶公式进行变型，进行化简即可得到海伦公式．
【详解】解：（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，，
∴，，，
∴；
（2）∵，
∴，，，
∴，
．
50．定义：我们将（）与（）称为一对“对偶式”．因为（）（）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知1，求的值，可以这样解答：
因为（）×（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7，
所以7．
（1）已知：8，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：8；
（3）计算：．
【答案】（1）2；
（2）x＝﹣5；
（3）．
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
且，
∴；
（2）∵，
∴，
化简后两边同时平方得：4﹣x＝9，
∴x＝﹣5，
经检验：x＝﹣5是原方程的解；
（3）原式
．
类型十九、有关二次根式规律探究问题
51．先阅读材料，再回答问题：
；
；
；
；
…
（1）请根据以上规律写出第七个等式；
（2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55，请写出这个等式；
（3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且n≥1）
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由题意知，；
（2）由1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，可求当一个等式的最右边的值是55的等式；
（3）由题意可推导一般性规律为：第n个等式为，然后作答即可．
【详解】解：（1）∵，
，
，
，
……，
∴第七个等式为；
（2）∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55，
∴当一个等式的最右边的值是55，这个等式为：；
（3）由题意可推导一般性规律为：第n个等式为：，
∴第n个等式为．
52．细心观察图形，认真分析各式，解答问题：
，（S1是Rt△A1A2O的面积），，（S2是Rt△A2A3O的面积），，（S3是Rt△A3A4O的面积），
…
（1）用含n（n为正整数）的式子表示Sn，则Sn＝ 　　；
（2）推算出OA＝ 　　；
（3）若，求S的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）观察各式，根据已知内容归纳总结即可；
（2）根据已有规律，即可求解；
（3）代入值化简，进行分母有理化，整理后即可得到答案．
【详解】解：（1）由各式可知，，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
故答案为：；
（3）2S
，
∴．
53．观察下列各式及其验证过程：
，
验证：．
，
验证：．
（1）按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数且n≥2）表示的等式并给出说明．
【答案】（1）猜想，验证见详解；（2），验证见详解．
【分析】（1）根据题目中所提供的方法进行验证即可；
（2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可．
【详解】解：（1）猜想，
验证：4；
（2），
验证：．
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