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专题 二次根式运算的五大题型
【题型一 二次根式的乘除运算】
1．计算．
2．计算：．
3．计算：
(1)
(2)
4．计算题
(1)；
(2)
5．计算：
(1)；
(2)．
6．计算：
(1)；
(2)．
7．计算：．
8．计算：
9．计算：
10．（算：
【题型二 二次根式的加减运算】
1．计算
(1)
(2)
2．计算：．
3．计算：．
4．计算与化简：
(1)；
(2)．
5．计算下列各题
(1)
(2)
6．计算：．
7．计算：
(1)；
(2)．
8．计算：
(1)；
(2)
9．计算：．
10．计算：
(1)
(2)
【题型三 二次根式的混合运算】
1．计算：
2．计算：
(1)；
(2)．
3．计算：．
4．计算：
(1)；
(2)．
5．计算：
(1)；
(2)．
6．计算：
(1)；
(2)．
7．计算：
(1)；
(2)．
8．计算：
9．计算：
(1)；
(2)．
10．计算：
(1)；
(2)．
【题型四 二次根式的化简求值】
1．先化简，再求值：，其中，．
2．化简求值：，其中．
3．先化简，再求值：，其中．
4．先化简，再求值：，其中，．
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．
(1)化简M；
(2)当，时，求M的值．
6．化简求值．
(1)若为的小数部分，求的值．
(2)已知，，求．
7．先化简，再求值：，其中．
8．先化简，再求值：，其中．
9．先化简，再求值：，其中．
10．先化简，再求值：，其中
【题型五 二次根式的分母有理化】
1．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：；．
解答下列问题：
(1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ；
(2)若，求的值；
(3)请在以下问题①和②任选一个题作答：
①设实数，满足，求的值．
②化简：．
2．观察下列运算过程：
；
请运用上面的运算方法计算：
(1)已知，，求的值；
(2)求的值．
3．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知：，则______；
(2)化简：______；
(3)计算：．
4．阅读下列材料：
【材料一：分母有理化】①；
②；
；
【材料二：分子有理化】
．
请结合上述材料，解答下列问题：
(1)化简：__________，____________．
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)计算：．
5．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．他们是这样解答的：
，
，
，即，
，
．请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)______；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
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专题 二次根式运算的五大题型
【题型一 二次根式的乘除运算】
1．计算．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
化简二次根式，按二次根式乘、除法运算法则计算即可；
【详解】解：原式，
．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，负整数指数幂，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）原式利用二次根式乘法法则，以及平方差公式计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了乘方，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简及乘法，平方差公式等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．计算题
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算：
（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）先化简，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
5．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，实数的运算，化简绝对值：
（1）根据二次根式的乘除法计算法则把原式变形为，据此计算求解即可；
（2）先计算立方根和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)63
【分析】本题考查二次根式的乘法运算：
（1）根据乘法法则进行计算即可；
（2）利用乘法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式
．
7．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案．
【详解】解：
．
8．计算：
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式的除法，再进行加减计算即可．
【详解】解：原式
．
9．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先把每一个二次根式化成最简二次根式，计算二次根式的乘除法，再算减法即可．
【详解】解：原式
．
10．计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．
【详解】解： 原式
【题型二 二次根式的加减运算】
1．计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算及立方根，熟练掌握二次根式的加减运算及立方根是解题的关键．
（1）化为最简二次根式即可进行求解．
（2）根据二次根式的加减运算及立方根和绝对值可进行求解．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算．先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【详解】解：
．
3．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的加减法，先将各二次根式化为最二次根式后再合并即可得出答案．
【详解】解：
4．计算与化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
5．计算下列各题
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减计算即可；
（2）先计算绝对值、零指数幂、二次根式、乘方，再计算加减即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．计算：．
【答案】0
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
7．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质、二次根式加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键；
（1）根据二次根式的加减计算即可；
（2）先由零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质化简，再有二次根式加减运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
8．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，正确化简各项是解答本题的关键．
（1）根据立方根的意义，绝对值以及乘方的意义化简各项后再进行加减运算即可；
（2）先化简二次根式和计算乘法，再算减法即可求解；
【详解】（1）解：
（2）
9．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据二次根式的性质、立方根的定义进行化简，再合并即可，掌握二次根式的性质、立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：原式
．
10．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）化简二次根式，根据加减法即可求解．
（2）化简二次根式及零次幂和绝对值，根据二次根式的加减法即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【题型三 二次根式的混合运算】
1．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算分子和乘法，再算除法．
【详解】解：
．
2．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键．结合二次根式的混合运算法则，先根据乘法运算律进行计算，再进行乘法运算，然后进行加减计算即可得解．
【详解】解：
．
4．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
5．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算：
（1）先化简各数，再进行加减运算即可；
（2）先进行乘除运算，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
6．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)2
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根和平方根，进而根据实数的性质进行计算即可；
（2）根据二次根式的乘除法运算进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
7．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式根据平方差公式进行计算即可；
（2）原式先化简二次根式，再合并即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
8．计算：
【答案】8
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据完全平方公式，平方差公式，零指数幂，以及化简绝对值，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合计算：
（1）先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案；
（2）根据乘法公式先去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
10．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法即可．
【详解】（1）解：
（2）
【题型四 二次根式的化简求值】
1．先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，
先根据整式的乘除法混合运算法则计算，再代入求值即可．
【详解】解：原式
．
，，
原式．
2．化简求值：，其中．
【答案】，．
【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
3．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算．
【详解】解：
，
当时，原式．
4．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．
(1)化简M；
(2)当，时，求M的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由数轴可得，，从而得出，，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解．
【详解】（1）解：由数轴可得：，，
∴，，
∴
；
（2）解：当，时,
．
6．化简求值．
(1)若为的小数部分，求的值．
(2)已知，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，无理数的估算，完全平方公式的变形求值：
（1）先把有理化，再估算出有理化的结果即可得到答案；
（2）先分母有理化求出x、y的值，进而求出和的值，再根据完全平方公式的变形代值计算即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
7．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的分式通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
8．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
9．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再把的值代入计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
10．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
；
当时，
原式
．
【题型五 二次根式的分母有理化】
1．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：；．
解答下列问题：
(1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ；
(2)若，求的值；
(3)请在以下问题①和②任选一个题作答：
①设实数，满足，求的值．
②化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)选①，；选②，
【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式．
（1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式；
（2）先求出，，得到，再代入求解即可；
（3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解；
选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式为，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
（3）解：选①，
∵，
∴，
同理，
两式得，
∴；
选②，∵
．
2．观察下列运算过程：
；
请运用上面的运算方法计算：
(1)已知，，求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了计算规律探究、分母有理化、平方差公式，发现计算规律并正确运用是解题关键．
（1）根据分母有理化得出，，进而得到，，再代入代数式进行计算即可求解；
（2）根据运算方法可得到，然后按照规律计算即可．
【详解】（1）解：，，
，，
，，
；
（2）
．
3．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知：，则______；
(2)化简：______；
(3)计算：．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化．
（1）根据阅读材料的方法进行求解即可；
（2）分母有理化即可得答案；
（3）将每个加数分母有理化，再相加即可．
【详解】（1）解：因为，
所以．
故答案为：2；
（2）解：原式，
故答案为：；
（3）原式
，
．
4．阅读下列材料：
【材料一：分母有理化】①；
②；
；
【材料二：分子有理化】
．
请结合上述材料，解答下列问题：
(1)化简：__________，____________．
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化．
（1）利用分母有理化计算即可得解；
（2）先求出，，再比较即可得解；
（3）根据分母有理化计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：，．
（2）解：
同理
因为
所以．
（3）解：
．
5．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．
他们是这样解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1)______；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)10
(3)6
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化．
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并二次根式即可；
（3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
，
，
．
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