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重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024 2025学年高一下学期三月检测数学试题（B卷）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．24 B．25 C．7 D．8
3．已知等比数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．已知直线上有动点，点为圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（ ）
A．高为4 B．母线与底面所成角为
C．侧面积为 D．体积为
10．已知数列的前n项和，则（ ）
A． B．
C．数列的前2n项和为 D．
11．已知曲线E过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，下列结论正确的是（ ）
A．曲线E关于对称
B．若点在曲线E上，则其方程为
C．对于任意，曲线E围成的图形的面积一定小于
D．存在，使得曲线E上有5个整点（即横，纵坐标均为整数的点）
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线，，当时，直线与之间的距离为 .
13．数列中，，若，则 .
14．已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在平面直角坐标系中，已知圆，直线．
(1)求证：直线与圆总有两个不同的交点；
(2)在①，②最小，③过A，B两点分别作圆的切线，切线交于点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解；
设圆的圆心为，直线与圆交于A，B两点，当__________时，求直线的方程．
16．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
17．已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设求的前n项和.
18．已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值.
19．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数．
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由于与垂直，故，解得，
故，
故选C．
2．【答案】D
【详解】由题意，，，
故选D．
3．【答案】C
【详解】数列为等比数列，设数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，即，
故.
故选C.
4．【答案】D
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选D.
5．【答案】B
【详解】,
可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列，
因为，
所以，
故选B．
6．【答案】B
【详解】由可知，该圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
故圆心到直线上的点的长度最短为，
则.
故选B.
7．【答案】D
【详解】设，
以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，
可得，，
故所求角的余弦值为，当时取“”．
故选D．
8．【答案】A
【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为，
椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，
由它们有相同的焦点，得到，即．
不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆的定义，②
①2②2得，
所以，
①2②2得，
所以，
又，故，
所以，
则的形状是直角三角形
即有的面积为.
故选A．
9．【答案】ACD
【详解】依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别，腰长，
对于A，圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高，A正确；
对于B，母线与底面所成角等于圆台轴截面等腰梯形的底角，，B错误；
对于C，圆台的侧面积，C正确；
对于D，圆台的体积，D正确.
故选ACD．
10．【答案】AC
【详解】A选项，由已知，不适合，A正确，从而B错误；
时，，所以，
C选项，数列的前项和为：
，C正确；
D选项，
，D错．
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上除原点外一点为，
由已知，即.
若点在曲线上，则也满足曲线方程，所以曲线关于直线对称，故A正确；
对于B，将代入曲线方程，得，即，故，此时方程为，故B错误；
对于C，，所以，
由可知，，故的图象位于内,
故，故C正确；
对于D，因为，所以且，或者且，
由可知，，
故其图象在第一，三象限，由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点，
则曲线在第一象限内只能有两个整点，
当整点为时，，此时第一象限的整点只有在曲线上，其有3个整点，不满足题意；
当整点为时，，此时第一象限的整点也在曲线上，且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，
当整点为时，，此时第一象限的整点只有在曲线上，其有3个整点，不满足题意；
当整点为时，，此时第一象限整点也在曲线上，且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意.
综上可得D正确.
故选ACD.
12．【答案】/
【详解】因为直线，，，
所以，解得或，
当时，直线，，两直线重合，不满足要求，
当时，直线，，两直线平行，满足要求，
所以当时，直线与之间的距离为.
13．【答案】
【详解】因为，
令，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
，
所以，所以.
14．【答案】/
【详解】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，
直线与圆相切，
，
，
为的中点，，
相似于，且相似比为，
故.
.
在双曲线中，由双曲线定义知，
.
为直角三角形，
，即，解得，
故双曲线的离心率为.
15．【答案】(1)见解析
(2)选①②③
【详解】（1）解：直线化为，
令，解得，
所以直线过定点，
又，所以定点在圆内，
所以直线与圆相交，
即直线与圆总有两个不同的交点；
（2）将圆得方程化为标准方程：，
则，半径，
选①，因为，所以，
在中，，即弦得长为，
所以圆心到直线的距离，
即，解得，
所以直线；
选②，当直线所过定点为弦的中点时，最小，
此时，，所以，
即，解得，
所以直线；
选③，因为过A，B两点分别作圆的切线，切线交于点，
所以，，所以，
即，解得，
所以直线.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在菱形中，连接，
由已知底面是菱形，，
为等边三角形，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以.
因为平面，平面，
且，所以平面.
（2）因为平面，平面，则有，
由（1）知，，故，，两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
因为是的中点，，，所以，
因为底面是菱形，，
所以，
所以为等边三角形，由（1）也为等边三角形，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，
所以为平面的一个法向量，
又因为平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，即，
又因为，所以，，
所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）可知，，即，
所以.
所以，①
，②
由①－②，得，
所以.
故的前项和为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得解得
所以椭圆的标准方程为.
（2）解法1：韦达定理
设点，，由（1）易求得，
当直线的斜率不存在时，设其方程为（且），
所以由，且，得到，
即，解得或（舍）
此时点到直线的距离为，
当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立消去并整理得.
则，，，
所以，即.
所以，
，
整理得，即，
所以或.
若，则直线的方程为，
所以直线过点，不合题意；
若，则直线的方程为，
所以直线过定点.
又因为，所以点在椭圆内.
则点到直线的距离为.
所以点到直线距离的最大值为.
解法2：齐次式法
易求得，设点，，则，
椭圆的方程为，即，
，
设直线的方程为，联立并齐次化，得
整理得，
即，
方程的两根为，，由韦达定理得，
从而，与对照，
则解得故直线过定点，
、JKK;显然，点到直线距离的最大值为.

19．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）点在函数的图象上，
，，
数列是“平方递推数列”，
因为，
对两边同时取对数得，
数列是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
所以，
故数列的奇数项构成1为首项，4为公差的等差数列，偶数项构成2为首项，4为公比的等比数列，
由等差数列求和公式及等比数列求和公式可得：
所以等价于：
化简可得：
，
令，则，当且仅当时取等号，等号无法成立，
当，即时，；当，即时，；
所以，
所以的最大值

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