资源简介

重庆市渝西中学2024 2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知，，，则（ ）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
3．已知方向相同，且，则等于（　　）
A．16 B．256 C．8 D．64
4．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
6．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（ ）
A．4049 B．4048 C．4047 D．4046
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量和实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若且，则当时，一定有与共线
C．若
D．若且，则
10．已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）.
A．
B．的图象关于点对称
C．在单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
11．若的内角的对边分别是，外接圆的半径为，若，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则 .
13．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若，且，则三角形的形状为 .
14．已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，且与的夹角为120°，求：
(1)；
(2)若向量与平行，求实数的值．
16．在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
17．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
18．在平面四边形中，，且.
(1)中，设角、、的对边分别为、、，若.
①当时，求的值；
②当时，求ac的最大值.
(2)若，当变化时，求长度的最大值.
19．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
(2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；
(3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】对于A，，A不是；
对于B，由，得不共线，B是；
对于C，，向量共线，C不是；
对于D，，向量共线，D不是.
故选B．
2．【答案】A
【详解】，，，
，，与共线，
因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确；
因为，，
所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确；
故选A.
3．【答案】A
【详解】因
,则.
故选A.
4．【答案】B
【详解】，，
所以在方向上的投影向量为
故选B.
5．【答案】B
【详解】根据正弦定理可得，
即，解得，
故选B.
6．【答案】A
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选A.
7．【答案】D
【详解】法一：分别是的中点，.
与的夹角等于，
，
则；
法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则
，
则
；
法三：在中，由余弦定理，
又因为P为的重心，则，
在中再由余弦定理，
在中由余弦定理，
在中，由余弦定理，则
.
故选D.
8．【答案】A
【详解】在中，，可得，
即，故，
即，所以，
所以，即，所以
故.
故选A.
9．【答案】BC
【详解】对于A选项：若，则或或，A错误；
对于B选项：根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，B正确；
对于C选项：当与均不是零向量时，由，可得，即，
故与的夹角为或，可得；
当与至少有一个是零向量时，显然；
综上所述：，C正确；
对于D选项：∵且，则，
∴，但不能确定，D错误．
故选BC．
10．【答案】ACD
【详解】根据图象可知，即，
所以，解得，所以A选项正确，
此时，
将代入得，即，
所以，解得，
又，所以，，
B选项，，所以B选项错误.
C选项，由得，，
是正弦函数的单调递增区间，所以在单调递增，C选项正确.
D选项，将函数的图象向右平移个单位得到
，
所以D选项正确.
故选ACD．
11．【答案】ABD
【详解】对于A项，，则，即，故A项正确；
对于B项，，则，故B项不成立；
对于C项，因为，
所以，故C项正确；
对于D项，，
由，可知均为锐角，所以，
又，所以，
所以，
所以，故D项正确.
故选ABD.
12．【答案】0
【详解】，由于，
所以.
13．【答案】等腰三角形
【详解】由余弦定理，移项可得，
由三角形的面积公式得.
将上述两个公式代入可得：
，所以.
所以，又因为，所以.
表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量.
以这两个单位向量为邻边作平行四边形，
则其对角线平分（菱形的对角线平分一组对角），
所以表示的角平分线方向的向量.
因为，所以的角平分线垂直于，
根据等腰三角形三线合一的性质可知.
所以是等腰三角形，又因为，所以，.
综上，三角形的形状为等腰三角形.
14．【答案】
【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图，
因为，
所以点在直线上，取线段的中点，连接，
则，
显然当时，有最小值，
又易知，，所以的最小值为，所以，
故的最小值为．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
所以.
（2）由于向量与平行，
所以存在实数，使得，
所以，解得.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，
即，
化简得，
因为，可得，所以，
因为，所以.
（2）因为且，
由余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
故的面积为.
17．【答案】(1)
(2)2小时
【详解】（1）由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
（2）在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要2小时．
18．【答案】(1)①16；②
(2)
【详解】（1）①当时，由正弦定理可得，故
.
②当时，因为，故均为锐角，作于.
由图可得，，由可得
，故，则
.
.
故
，当且仅当，
即时取等号，故的最大值为
（2）设，由余弦定理，即.
由正弦定理可得.
则，
.
故当时，取最大值，即的最大值为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）函数的“源向量”为，
所以，，
则，则当时，
则当时，，
所以函数的值域为
（2）因为，则，则，
又，所以），
且，从而，
，
则
；
因此可得为定值.
（3）如下图所示：
函数的“源向量”为，
则，则
则
则又，
即，
所以，
因为，即，当且仅当时取等号，
又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0，
综上所述，
令，则
从而，其中，
所以，
即的取值范围．

展开更多......

收起↑