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专题 二次根式
（一）二次根式
（1）二次根式概念：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】
①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
②二次根式≥0，是一个非负数。
③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（ ≥0）就表示a的算术平方根。
（2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（二）二次根式的性质
=
考点1：二次根式的定义
典例1：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】二次根式的定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式，叫做被开方数．
【变式3】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
考点2：二次根式的定义——求字母
典例2：已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【变式1】如果是一个正整数，则整数的最小值是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．8
【变式2】已知是整数，则自然数所有可能的值的和为 ．
【变式3】若是正整数，二次根式是正整数，则最小值 ．
考点3：二次根式有意义的条件
典例3：当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若x是整数，且有意义，则的值是（　　）
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
【变式2】如果，那么 ．
【变式3】已知，则 ．
考点4：利用二次根式的性质化简
典例4：若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式1】若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ．
【变式3】在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ．
【变式4】若关于x的方程有实根，试化简．
【变式5】（1）已知正数a的两个平方根分别是和，求a的值；
（2）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．求的值．
【变式6】在下列条件下化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【变式7】探究并解决问题．
(1)通过计算下列各式的值探究问题．
①______；_____；
探究：对于任意非负有理数a，_____．
②______；______；
探究：对于任意负有理数a，_____．
综上，对于任意有理数a，_____．
(2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
考点5：复合二次根式的化简
典例5：化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ．
【变式3】求把根号外数放到根号内的值
【变式4】先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
【变式5】阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
【变式6】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：
（1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ；
（2）化简：
【变式7】观察下面的运算，完成计算：

(1)
(2)．
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专题 二次根式
（一）二次根式
（1）二次根式概念：一般地，我们把形如（ ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】
①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
②二次根式≥0，是一个非负数。
③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（ ≥0）就表示a的算术平方根。
（2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（二）二次根式的性质
=
考点1：二次根式的定义
典例1：下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【详解】解：①当时，不是二次根式；
②当时，不是二次根式；
③是二次根式；
④当时，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故选B．
【变式1】下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式．
根据二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式，
∴A、B、D不符合要求；C符合要求；
故选：C．
【变式2】二次根式的定义：一般地，形如 的式子叫做二次根式，叫做被开方数．
【答案】
【知识点】求二次根式的值
【分析】此题考查了二次根式的定义，属于直接考察性题目，比较简单．
根据二次根式的定义即可作出回答．
【详解】解：二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式．a叫做被开方数．
故答案为：．
【变式3】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【答案】3
【知识点】求二次根式中的参数、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是整数，或或，
∴满足条件的正整数是或或．
即满足条件的正整数共有3个，
故答案为：3．
考点2：二次根式的定义——求字母
典例2：已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【知识点】有理数加法运算、求二次根式中的参数
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选：D．
【变式1】如果是一个正整数，则整数的最小值是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．8
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件、求二次根式中的参数、求一元一次不等式的解集
【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可．
【详解】解：∵是一个正整数，
∴，
∴，
∵为整数，
∴a的最小值为，
且时，符合题意，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键．
【变式2】已知是整数，则自然数所有可能的值的和为 ．
【答案】
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】根据二次根式的定义可知，直接列出所有可能的值再求和即可．
【详解】是整数，则自然数所有可能的值为，
所以所有可能的值的和为．
故答案为：
【点睛】此题考查二次根式的定义，解题关键是明确．
【变式3】若是正整数，二次根式是正整数，则最小值 ．
【答案】3
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】根据二次根式的定义即可解答．
【详解】解：若为正整数，则x的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，把12分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
考点3：二次根式有意义的条件
典例3：当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故选：C．
【变式1】若x是整数，且有意义，则的值是（　　）
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据为整数和二次根式有意义求出x的值，再分别代入求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∵x是整数，
∴或4或5，
原式或1，
故选：C．
【变式2】如果，那么 ．
【答案】1
【知识点】有理数的乘方运算、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得、的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
解得，
，
故答案为：．
【变式3】已知，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、求不等式组的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
考点4：利用二次根式的性质化简
典例4：若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】化简绝对值、已知字母的值 ，求代数式的值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可．
【详解】解：∵，
，，
∴，
故选：D．
【变式1】若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式2】已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴、化简绝对值
【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
【详解】
解：由数轴可知：，，，
∴
．
故答案为：．
【变式3】在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的立方根、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，立方根等知识点，由数轴得，，，，进一步得出，，再根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算即可，解题的关键是熟练掌握这些知识点．
【详解】由数轴得，，，
∴，，
，
故答案为：．
【变式4】若关于x的方程有实根，试化简．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，涉及二次根式的化简、绝对值的化简等知识，掌握相关知识是解题关键．由一元二次方程有实根得到，继而解得，再由完全平方公式因式分解，化简二次根式，结合绝对值的性质解题．
【详解】解：∵方程有实根，
∴，
∴．
．
【变式5】（1）已知正数a的两个平方根分别是和，求a的值；
（2）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．求的值．
【答案】（1）（2）2
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、实数与数轴、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了平方根，实数与数轴，化简绝对值以及二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据正数a的两个平方根分别是和，得出，解得，即可作答．
（2）结合从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，求出点B所表示的数，再代入进行化简求值，即可作答．
【详解】解：（1）∵正数a的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
则，
∴；
（2）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
∴
则
．
【变式6】在下列条件下化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可；
（2）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可；
（3）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可；
【详解】（1）解：．
当时，，
原式．
（2）当时，，
原式．
（3）当时，，
原式．
【变式7】探究并解决问题．
(1)通过计算下列各式的值探究问题．
①______；_____；
探究：对于任意非负有理数a，_____．
②______；______；
探究：对于任意负有理数a，_____．
综上，对于任意有理数a，_____．
(2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】(1)①4；0；a；②3；5；；
(2)
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的算术平方根、利用二次根式的性质化简
【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键．
（）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果；
②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出，；
（）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果．
【详解】（1）解： ，，
探究：对于任意非负有理数a，；
，，
探究：对于任意负有理数，；
综上，对于任意有理数，；
（2）解：观察数轴可知： ，，，
．
考点5：复合二次根式的化简
典例5：化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．
【详解】解：原式
，
故选：D．
【变式1】对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：由题意可得：，∴
∴
故选：C
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式2】阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ．
【答案】/
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】仿照题意进行求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键．
【变式3】求把根号外数放到根号内的值
【答案】
【知识点】二次根式的除法、复合二次根式的化简
【分析】由题意可知a＜0，再利用根式的性质即可算出结果．
【详解】解：要使根式有意义，则 ≥0，解得a＜0，
∴= ( a) = =．
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的运算，利用二次根式成立的条件确定a＜0是解题关键．
【变式4】先阅读再求值．
在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
(2)计算：．
【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析
(2)
【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可；
（2）仿照小莉的解答过程求解即可．
【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下：
（2）原式
【变式5】阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【知识点】复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
由（1）中结论可知：，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴或，
当时，；
当时，；
∴a的值为或．
（3）解：，
∴．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
【变式6】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：
（1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ；
（2）化简：
【答案】（1），；（2）；
【知识点】复合二次根式的化简、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
（2）模仿例题解决问题即可．
【详解】解：（1）根据题目意思，
∵和,
点的“横负纵变点”为，
点的“横负纵变点”为，
故答案为：，；
（2）∵2+5=7,2×5=10,
∴；
【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．
【变式7】观察下面的运算，完成计算：

(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】（1）被开方数，据此即可开方；
（2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）
则原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键．
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