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专题 二次根式40道压轴题型专训（8大题型）
【题型目录】
题型一 利用二次根式的性质化简
题型二 复合二次根式的化简
题型三 二次根式的混合运算
题型四 二次根式的化简求值
题型五 分母有理化
题型六 二次根式的应用
题型七 二次根式的规律计算
题型八 二次根式的新定义计算
【经典例题一 利用二次根式的性质化简】
1．阅读理解：对于任意正整数，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值．
(1)若，当取最小值时，求a的值．
(2)若，求的最小值．
2．已知．
(1)计算：当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
(2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）；
(3)请说明（）中猜想的合理性．
3．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：
(1)当时，化简：______；
(2)若等式成立，则a的取值范围是______；
(3)若，求a的值．
4．已知，且为偶数，求的值．
5．阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
【经典例题二 复合二次根式的化简】
6．先阅读下列材料然后作答．
提出问题 该如何化简？
分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有．
解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ．
方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）．
7．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴．
(1)直接写出答案：= ；= ．
(2)化简：．
(3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？
8．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
9．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
10．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中、、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________；
(2)若，且、均为正整数，试化简：；
(3)化简：．
【经典例题三 二次根式的混合运算】
11．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
12．计算
(1)；
(2)（）．
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．计算：
(1)
(2)
15．计算：．
【经典例题四 二次根式的化简求值】
16．先化简，再求值：，其中.
17．已知，求的值
18．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简和；
（2）化简；
（3）若，求4a2﹣8a+1的值．
19．已知，，求的值．
20．已知，．
（1）求的值．
（2）求值．
【经典例题五 分母有理化】
21．阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
22．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①；
②；（要求；写出变形过程）
(3)计算：的结果____．
23．材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．
例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（ ±）2，所以＝＝ ±：
材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，．这样的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）；
请根据材料解答下列问题：
(1)= ；= ．
(2)化简： ++…+．
24．解决如下问题：
(1)分母有理化：．
(2)计算：．
(3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
25．（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+ +||．
【经典例题六 二次根式的应用】
26．阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．

27．【阅读材料】
小慧同学数学写作片段
乘法公式“大家族”
学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，
；
；
；
．
……
【解题运用】
（1）在实数范围内因式分解：___________；
（2）设满足等式，求的值；
（3）若正数满足等式，求代数式的值．
28．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…
（1）计算下列各式的值：
__________.
__________.
（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；
（3）求的值.
29．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．
印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)
根据上述信息解决下列问题：
（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　
（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．

30．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ； ； ；
（2）化简：；
（3）已知，，求的值.
【经典例题七 二次根式的规律计算】
31．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
32．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设，求不超过的最大整数是多少？
33．阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
34．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②；③；④__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①；②；③；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①；
②．
35．阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝　　；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
【经典例题八 二次根式的新定义计算】
36．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数．
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程
(1)若，则_____， _____， _____；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．
37．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
(1)______，______；
(2)若，求x的值．
38．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
(1)代数式中x的取值范围是______；
(2)已知：，求：
①_____；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：．
39．小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
，，；
再根据平方根的定义可得：
，，；
请回答下列问题：
(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①______；（n为正整数）=______．
② ______；当时，化简______．
(2)应用：求；的值．
(3)拓广：求的值．
40．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求：
①________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：．
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专题 二次根式40道压轴题型专训（8大题型）
【题型目录】
题型一 利用二次根式的性质化简
题型二 复合二次根式的化简
题型三 二次根式的混合运算
题型四 二次根式的化简求值
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题型六 二次根式的应用
题型七 二次根式的规律计算
题型八 二次根式的新定义计算
【经典例题一 利用二次根式的性质化简】
1．阅读理解：对于任意正整数，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值．
(1)若，当取最小值时，求a的值．
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查二次的性质，完全平方公式，分式的求值，解分式方程：
（1）根据，得到，当且仅当，取等号，进行求解即可；
（2）将转化为，利用，进行求解即可．
【详解】（1）解：，
当且仅当，取等号，解得：（负值舍去），
经检验，是原方程的根；
∴；
（2）当
当且仅当时取等号，解得：（负值舍去），
经检验是原方程的解，
则的最小值为3．
2．已知．
(1)计算：当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
(2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）；
(3)请说明（）中猜想的合理性．
【答案】(1)，；，；，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（）把的值分别代入计算即可求解；
（）根据（）所得结果即可判断求解；
（）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证；
本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，，
故答案为：，；
当时，，，
故答案为：，；
当时，，；
故答案为：，；
（2）解：猜想：无论为任何非负数时，，
故答案为：；
（3）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
3．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：
(1)当时，化简：______；
(2)若等式成立，则a的取值范围是______；
(3)若，求a的值．
【答案】(1)4
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解题的关键：
（1）根据二次根式的性质，结合的范围，进行化简即可；
（2）分，和三种情况进行讨论求解即可；
（3）分，和三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴
；
（2），
当时，上式；
当时，上式，
∵，
∴，不符合题意；
当时，上式，不符合题意；
∴a的取值范围是；
（3）
当时，，解得：；
当时，，
当时，，解得：；
综上：或．
4．已知，且为偶数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的非负性及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
由二次根式的非负性可确定x的取值范围，再根据x为偶数可确定x的值，然后对原式先化简再代入求值.
【详解】解：∵，
∴
解得，，
∵为偶数，，
∴，
∴
．
5．阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)的值为或7
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
（1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可；
（2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可．
【详解】（1）解：当时，，，
∴．
（2）解：原式，
当时，原式，解得，符合条件；
当时，原式，舍去；
当时，原式，解得，符合条件．
∴的值为或7．
【经典例题二 复合二次根式的化简】
6．先阅读下列材料然后作答．
提出问题 该如何化简？
分析问题 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，，这样，，那么便有．
解决问题 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， ．
方法应用 （1）利用上述解决问题的方法化简：， （2）在中，，，，求边的长．（结果化成最简）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是复合二次根式的化简，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）根据勾股定理及题中方法求出即可．
【详解】解：（1），这里，，
由于，，即，，
；
（2）在中，，，，
，
即
，，
，，
，，
．
7．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴．
(1)直接写出答案：= ；= ．
(2)化简：．
(3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？
【答案】(1)；
(2)-
(3)a与的关系是： ，b与的关系是：．
【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【详解】（1）解：
；
．
故答案为：；．
（2）
．
（3）
两边平方得：
∴a与的关系是： ，
b与的关系是：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
8．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：；
再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①______；
②______．
(2)若，且，，为正整数，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)46或14
【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．
（2）变形已知等式，建立，，的方程组求解．
【详解】（1）解：①；
；
②
；
故答案为：①；②；
（2）解：
，
，
，，均为正整数．
或，
或．
或14．
【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
9．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)a的值为或
【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；
（3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，，
又为正整数，
，或者，
当时，；
当，，
综上所述，a的值为或．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
10．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中、、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________；
(2)若，且、均为正整数，试化简：；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；
（2）将变为即可求解；
（3）将化为进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴；
（3）
．
【点睛】此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．
【经典例题三 二次根式的混合运算】
11．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．
（1）把被开方数化为完全平方的形式即可得解，
（2）将转化为，再根据解答过程即可得解，
（3）将转化为，再根据解答过程即可得解；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
12．计算
(1)；
(2)（）．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）
解：
＝
＝－＋
．
（2）
解：
＝·
．
【点睛】
本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)1
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
14．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
15．计算：．
【答案】
【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
【详解】
=
=
=.
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
【经典例题四 二次根式的化简求值】
16．先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
当时，
原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
17．已知，求的值
【答案】5
【分析】根据的值先求出和的值，再对要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
【详解】解:∵，
∴，
∴，
故答案为5.
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是通分和配方法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简和；
（2）化简；
（3）若，求4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1），；（2）；（3）5
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为，进而可得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）
故答案为：，；
（2）原式
；
（3），
，
，
即．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
19．已知，，求的值．
【答案】970
【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则．
20．已知，．
（1）求的值．
（2）求值．
【答案】（1）40；（2）
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；
（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．
【详解】（1），
，
，，
．
（2），，
，，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法、完全平方公式的变形等知识点．
【经典例题五 分母有理化】
21．阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
（3）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①；
②；（要求；写出变形过程）
(3)计算：的结果____．
【答案】(1)，
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出的有理化因式和的有理化因式；
（2）①分子分母同时乘，然后化简即可；
②分子分母同时乘2+3，然后化简即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）由题意可得，
的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，；
（2）①；
②；
（3）
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式．
23．材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．
例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（ ±）2，所以＝＝ ±：
材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，．这样的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）；
请根据材料解答下列问题：
(1)= ；= ．
(2)化简： ++…+．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用完全平方公式，将被开方数转化为完全平方，然后根据二次根式的性质化简即可；
（2）运用平方差公式，将分子分解因式，进一步约分，或者分母分子都乘以分母的有理化因式，再进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴=，
，
故答案为：，；
（2）解：∵＝＝＝﹣1，
，
，
，
∴原式=
=．
【点睛】本题考查了平方差、完全平方公式的应用和二次根式的性质，灵活运用乘法公式进行二次根式的运算是解题的关键．
24．解决如下问题：
(1)分母有理化：．
(2)计算：．
(3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】(1)﹣1
(2)44
(3)3
【分析】（1）根据平方差公式，分子分母都乘以计算即可；
（2）先把，，，…，，分母有理化，再代入计算即可；
（3）先分母有理化，求出a＝，移项平方求出，整体代入求值即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
，
，
…
，
，
=，
=，
=45-1，
=44；
（3）解：a＝，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次根式分母有理化，利用分母有理化化简二次根式，平方差公式，完全平方公式，整体代入求值，掌握二次根式分母有理化，利用分母有理化化简二次根式，平方差公式，完全平方公式，整体代入求值是解题关键．
25．（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+ +||．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【详解】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
【经典例题六 二次根式的应用】
26．阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．

【答案】(1)6
(2)20米
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．
（1）根据材料提供的信息解答即可．
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．
（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是6和12，
∴，，
∴，
∴
∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
27．【阅读材料】
小慧同学数学写作片段
乘法公式“大家族”
学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，
；
；
；
．
……
【解题运用】
（1）在实数范围内因式分解：___________；
（2）设满足等式，求的值；
（3）若正数满足等式，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）12；（3）．
【分析】（1）根据公式即可完成多项式的因式分解；
（2）利用公式法将多项式转化为，求得即可计算出结果；
（3）利用公式可将分解为，并再根据完全平方公式将分解结果转化为，再由已知可推出，将其代入化简后的代数式即可得出计算结果．
【详解】解：（1），
故答案为：．
（2）
，
则，
∴
∴．
（3）
．
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握因式分解的基本方法，牢记因式分解的相关公式且准确灵活运用公式是解题的关键．
28．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…
（1）计算下列各式的值：
__________.
__________.
（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；
（3）求的值.
【答案】（1）1；1（2）结果为1，证明过程见详解（3）
【分析】（1）根据题目定义的运算方式代数计算即可.
（2）根据第（1）题的计算结果总结规律，并加以证明.
（3）运用第（2）题的运算规律和加法结合律进行将式子中每一项适当分组，再进行计算.
【详解】解：（1）；
.
（2）猜想的结果为1.
证明：
（3）
【点睛】本题以定义新运算的形式考查了二次根式的综合计算，遵循新运算的方式，熟练掌握二次根式的计算是解答关键.
29．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
古希腊几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了三角形面积的计算公式(海伦公式)：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么三角形的面积是．
印度算术家波罗摩笈多和婆什迦罗还给出了四边形面积的计算公式：如果一个四边形的四边长分别为，记，那么四边形的面积是(其中，和表示四边形的一组对角的度数)
根据上述信息解决下列问题：
（1）已知三角形的三边是4，6，8，则这个三角形的面积是　　　　　　　　　　　　
（2）小明的父亲是工程师，设计的某个零件的平面图是如图的四边形，已知，，，，，．求出这个零件平面图的面积．

【答案】（1）；（2）
【分析】(1)根据三角形的面积公式直接代入数据计算即可；
【详解】(1)p=，
∴三角形的面积是：
；
(2) ，
∴，
，
∴，
∴
，
又，
∴，
∴这个零件平面图的面积是．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据题目给出的公式代入计算．还考查了计算能力．
30．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ； ； ；
（2）化简：；
（3）已知，，求的值.
【答案】（1） （2） （3）62
【分析】（1）分子分母分别乘 即可.
（2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可.
（3）将x，y化简后，对后面算式运用完全平方公式进行变形，代入即可.
【详解】（1） ，
，
故答案为 ， ，
（2）原式=
（3），
∴
【点睛】考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
【经典例题七 二次根式的规律计算】
31．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．
【答案】(1)；（答案不唯一）
(2)
(3)见解析
(4)①；②18
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示计算即可；
（2）由材料提示，归纳总结即可；
（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据材料提示的方法代入运算即可．
【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：，
故答案为：；
（2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：，
故答案为：；
（3）解：，
等式左边等式右边；
（4）①解：
．
②，
，
，
．
32．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设，求不超过的最大整数是多少？
【答案】(1)
(2)2023
【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可；
（2）根据题目中的规律计算即可得到结论．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律．
【详解】（1）解：① ；
② ；
③ ，
故．
（2）解：①
；
②
；
③
，
，……
，
故．
故不超过的最大整数是2023．
33．阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可以写出一般性等式；
（2）根据分数的运算法则即可验证；
（3）根据（1）中的结论进行计算即可；
（4）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：
它的一般性等式为；
（2）证明：
原式成立；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
34．（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
①；②；③；④__________；…
（2）深入探究，观察下列等式：
①；②；③；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
①；
②．
【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075
【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；
(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；
(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．
【详解】解：（1）10；
（2）；
（3）①原式
；
②原式
．
【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键
35．阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝　　；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
【答案】（1）；（2）；（3）2020
【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】（1）
＝
＝
＝
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3）（+…+）×（+1）
＝（+…+）×（+1）
＝（）×（+1）
＝
＝2020．
【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．
【经典例题八 二次根式的新定义计算】
36．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数．
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程
(1)若，则_____， _____， _____；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．
【答案】(1)，，
(2)①作图见解析；②
【分析】（1）将分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
37．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
(1)______，______；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程：
（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；
（2）分和，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∵，
∴；
故答案为：，；
（2）当，即：时，则：，解得：，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴（舍去）；
当，即：时，则：，
∴或（舍去）；
∴．
38．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
(1)代数式中x的取值范围是______；
(2)已知：，求：
①_____；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：．
【答案】(1)；
(2)①2；②．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；
（2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可．
【详解】（1）解：，解得：，
∴x的取值范围为．
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴．
故答案为：2．
②由题意可得：，则，解得：，
经检验，是方程的根．
∴方程的解为．
39．小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
，，；
再根据平方根的定义可得：
，，；
请回答下列问题：
(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①______；（n为正整数）=______．
② ______；当时，化简______．
(2)应用：求；的值．
(3)拓广：求的值．
【答案】(1)①；（n为正整数）；②；
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，根据题意正确分母有理化以及化简二次根式是解答本题的关键．
（1）①根据题干提供的方法进行分母有理化即可；②分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；
（2）每项进行分母有理化然后进行求解即可；
（3）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简分母有理化，最后合并即可．
【详解】（1）解：①；
；
故答案为：；（n为正整数）；
②；
；
故答案为：；；
（2）
；
（3）
，
．
40．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求：
①________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：．
【答案】(1)①2；②
(2)，10，2
(3)
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵，
∴；
故答案为：2
② 由①得，已知，两式相加得到，
，
即，
则，解得，
经检验，满足题意，
即方程的解是；
（2）解：由二根式有意义的条件得到，
解得，
即的取值范围是，x的最大值是10，x的最小值是2；
故答案为：，10，2
（3）
【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
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