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专题 二次根式的加减
（一）二次根式的加减
（1）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
（2）二次根式比较大小：
①若a＞b＞0，则有；
②若，则有a＞b．
③将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
（二）二次根式的混合运算
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
考点1：同类二次根式
典例1：下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式2】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ．
【变式3】若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
考点2：同类二次根式——求字母
典例2：若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【变式1】若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【变式2】最简二次根式与能合并，则 ．
【变式3】若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
考点3：二次根式加减运算
典例3：计算：．
【变式1】计算：
(1)；
(2)；
【变式2】计算
(1)；
(2)．
【变式3】计算：．
【变式4】计算：
(1)；
(2)．
【变式5】计算：
考点4：已知字母的值化简求值
典例4：若，，求的值．
【变式1】已知，，求代数式的值：
(1)；
(2) ．
【变式2】已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【变式3】已知，，求代数式的值；
考点5：已知条件式化简求值
典例5：已知，求的值．
【变式1】已知，求代数式的值．
【变式2】已知，求的值．
【变式3】（1）若，求；
（2）若，求的值．
【变式4】已知，．求的值．
【变式5】完成下列各小题：
（1）已如，求的值；
（2）已知，求式子的值；
考点6：二次根式的新定义运算
典例6：定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为
所以
(1)已知：，求的值；
(2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：
【变式1】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．
(1)若与是关于15的友好二次根式，求；
(2)若与是关于4的友好二次根式，求．
【变式2】对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：．
(1)______，______；
(2)已知，求的值．
【变式3】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
(2)化简：；
(3)已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______．
考点7：二次根式的应用
典例7：现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【变式1】材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式．
请解决下列问题：
(1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为，即，，，
∴___________．
根据海伦公式可得：___________．
(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
【变式2】阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，
∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式．

利用上面公式解决下列问题：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离；
(2)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标；
(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．
【变式3】【观察发现】
∵．
∴；
∵，
∴．
【初步探索】
（1）化简： ；
（2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ；
（3）若，且x，y均为正整数，求x的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）；
型号 长 宽 高
A型
B型
C型
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
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专题 二次根式的加减
（一）二次根式的加减
（1）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
（2）二次根式比较大小：
①若a＞b＞0，则有；
②若，则有a＞b．
③将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
（二）二次根式的混合运算
二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。
考点1：同类二次根式
典例1：下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意；
、，与不是同类二次根式，符合题意；
、，与是同类二次根式，不合题意；
、，与是同类二次根式，不合题意；
故选：．
【变式1】下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式
【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键．
【详解】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意；
、∵，
∴与不是同类二次根式，该选项不合题意；
、∵，，
∴与是同类二次根式，该选项符合题意；
、∵，，
∴与不是同类二次根式，该选项不合题意；
故选：．
【变式2】若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式的判断、同类二次根式
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，如果两个最简二次根式是同类二次根，那么这两个二次根式的被开方数相等，根据最简二次根式 与 是同类二次根式，可得关于的一元二次方程，解方程可得：，，又因为当时，，被开方数必须是非负数，所以只能选 ．
【详解】解：最简二次根式 与 是同类二次根式，
，
整理得：，
解得：，，
当时，，
．
故答案为：．
【变式3】若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，同类二次根式，因式分解法解一元二次方程等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，同类二次根式，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
由题意知，，可求，由最简二次根式和是同类二次根式，可得，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，整理得，，
解得，或（舍去），
故答案为：．
考点2：同类二次根式——求字母
典例2：若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式、求一个数的平方根
【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出、的值，从而得出的值，再求平方根即可得出答案．
【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是，
故选：B．
【变式1】若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、利用二次根式的性质化简
【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并成一项，
∴与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
【变式2】最简二次根式与能合并，则 ．
【答案】2
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知最简二次根式求参数、同类二次根式
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，，计算求解，然后代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
解得，，，
∴，
故答案为：2．
【变式3】若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】//
【知识点】同类二次根式
【分析】由同类二次根式的定义可知，，从而可求得、的值，最后代入计算即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，．
解得：，．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义得到关于、的方程组是解题的关键．
考点3：二次根式加减运算
典例3：计算：．
【答案】
【知识点】二次根式的加减运算
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【详解】解：
．
【变式1】计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了实数的运算及二次根式的加减运算．
（1）根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解；
（1）先化简二次根式，再计算加减即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式2】计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式加减运算，涉及二次根式性质、合并同类二次根式等知识，熟记二次根式性质及二次根式加减运算是解决问题的关键．
（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先由二次根式性质化简，再计算二次根式除法，最后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式3】计算：．
【答案】
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式加减运算，熟练掌握二次根式化简是解题的关键．
先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
．
【变式4】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的加减运算：
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式5】计算：
【答案】(1) ;(2) -2 .
【知识点】二次根式的加减运算
【分析】（1）将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可.
【详解】解：（1）原式=2 -2-3+3=.
（2）原式=3+4-5= -2 .
故答案为(1) ;(2) -2 .
【点睛】本题考查二次根式的加减.
考点4：已知字母的值化简求值
典例4：若，，求的值．
【答案】
【知识点】已知字母的值，化简求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查二次根式，完全平分公式的知识，解题的关键是根据，然后把，的值，代入，即可．
【详解】∵，
∴当，时，．
【变式1】已知，，求代数式的值：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)16
(2)4
【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用；
（1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可；
（2）原式化为，再整体代入即可．
【详解】（1）解：∵，；
∴；
（2）解：．
【变式2】已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知字母的值，化简求值
【分析】本题考查了二次根式的化简与求值，注意利用因式分解，是使得问题能得以简算的关键．
（1）先计算、和的值，将原式分解因式，再整体代入计算即可；
（2）将原式分解因式，再将和的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，，
∴；
（2）解：
．
【变式3】已知，，求代数式的值；
【答案】24
【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的加减运算、二次根式的乘法、通过对完全平方公式变形求值
【分析】此题考查了二次根式的乘法和加法，完全平方公式，代数式求值等知识，解题的关键是求出，．
首先求出，，然后利用完全平方公式变形代数求解即可．
【详解】解：因为
所以，
所以．
考点5：已知条件式化简求值
典例5：已知，求的值．
【答案】
【知识点】已知条件式，化简求值
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴a、b同号，且a、b均为正数数，
∴
．
【变式1】已知，求代数式的值．
【答案】
【知识点】已知条件式，化简求值、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，求出的值，进而得出的值，再根据二次根式的性质计算即可．掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
【详解】解：，
，，
解得：且，
，
，
【变式2】已知，求的值．
【答案】当时，原式；当时，原式．
【知识点】已知条件式，化简求值、利用二次根式的性质化简、十字相乘法
【分析】讨论：当，，利用因式分解的方法得到，解得，当，，则，解得，然后把，代入中进行分式的化简求解．
【详解】解： 要有意义，即，
且或且，
当且时，
，
或（舍去），
解得：，
把代入得：；
当且时，
，
（舍去）或，
解得：，
把代入得：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整式因式分解与二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式3】（1）若，求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）18；（2）
【知识点】已知条件式，化简求值、已知字母的值，化简求值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可．
【详解】解：（1），，
，，
则
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键．
【变式4】已知，．求的值．
【答案】
【知识点】已知条件式，化简求值、利用二次根式的性质化简、分式化简求值
【分析】先计算x+y= 6，xy=6，可得x<0，y<0，根据二次根式的性质化简，然后x+y= 6，xy=6，代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴x+y= 6，xy=6，
∴x<0，y<0．
原式=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式的化简，二次根式的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5】完成下列各小题：
（1）已如，求的值；
（2）已知，求式子的值；
【答案】（1）15；（2）±4
【知识点】已知字母的值，化简求值、已知条件式，化简求值
【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．
（2）根据已知等式可得，再利用完全平方公式变形可得结果．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴原式=2（x+y）2-xy=15．
（2）∵，
∴，
∴，
∴=±4．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，一元二次方程的解，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键．
考点6：二次根式的新定义运算
典例6：定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为
所以
(1)已知：，求的值；
(2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：
【答案】(1)2
(2)
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式的运算法则为解题的关键．
（1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；
（2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：由题意可得：，则，
解得：，
经检验，是方程的根．
∴方程的解为．
【变式1】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．
(1)若与是关于15的友好二次根式，求；
(2)若与是关于4的友好二次根式，求．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键：
（1）根据定义，得到，求解即可；
（2）根据定义，得到：，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，
∴；
（2）由题意：
∴，
∴．
【变式2】对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：．
(1)______，______；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)1，3
(2)
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式．
（1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：1，3；
（2）∵，
∴，
，
，
，
∴．
【变式3】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
(2)化简：；
(3)已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简，绝对值的意义．正确理解“横负纵变点”的概念，正确转化完全平方式是解题关键．
（1）根据“横负纵变点”的概念求解即可；
（2）仿照材料，将变形为，即可化简；
（3）先根据不等式的性质，得出，，再利用完全平方式将化简求值，得出点的坐标，最后利用“横负纵变点”的概念求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：，
点的“横负纵变点”为，
，
点的“横负纵变点”为，
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
，，
，
点，
点是点M的“横负纵变点”，且，
点的坐标是，
故答案为：．
考点7：二次根式的应用
典例7：现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)2，，
(2)阴影部分面积为；
(3)不能截出；理由见解析
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的应用
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
故答案为：2，，；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
∴长方形木板①的长为，宽为，
∴阴影部分面积为；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
【变式1】材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式．
请解决下列问题：
(1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为，即，，，
∴___________．
根据海伦公式可得：___________．
(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
【答案】(1)9，
(2)
【知识点】二次根式的应用
【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）直接代入求解即可；
（2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，．
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴
．
【变式2】阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，
∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式．

利用上面公式解决下列问题：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离；
(2)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标；
(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．
【答案】(1)5；
(2)；
(3)
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、已知两点坐标求两点距离、二次根式的应用
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．
（1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（2）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值；
（3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．
【详解】（1）解：，之间的距离为：；
故答案为：5；
（2）作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，
，
，
，
设直线的一次函数表达式为，
把代入　解得　，
当时，解得，即，
，
即为的最小值为．
（3）表示点到和的距离之和．
两点之间线段最短，则当点在以和为端点的线段上时，的值最小．
利用公式可得，点和之间的距离为．
即的最小值为．
【变式3】【观察发现】
∵．
∴；
∵，
∴．
【初步探索】
（1）化简： ；
（2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ；
（3）若，且x，y均为正整数，求x的值；
【解决问题】
（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）；
型号 长 宽 高
A型
B型
C型
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？
【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）符合条件的包装纸箱型号有两种，选择C型号包装纸箱
【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的应用、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查二次计算与化简与应用，
（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给出的、与、的关系式，列式算出结果即可；
（3）将所给式子两边平方求解即可；
（4）先判断B，C两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可；
解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）∵，且a，b，m，n均为正整数，
∴，
即，
∴，，
故答案为：；；
（3）∵，且x，y均为正整数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x的值为；
（4）∵，，
∴底面积的饰品盒底面边长为，
底面积的饰品盒底面边长为，
∵，，
∴两个正方形的长之和：，
∴B，C两种型号的包装纸箱符合条件，
B型号的包装纸箱的体积为：，
C型号的包装纸箱的体积为：，
∵，
∴应选择C型号包装纸箱．
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