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2025 年甘肃省临夏州中考数学一模试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.农历 2025 年是乙巳蛇年，数字 2025 的倒数是( )
A. 2025 B. 2025 C. 12025 D.
1
2025
2.金蛇献瑞，蛇舞新春.下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.一部《哪吒之魔童闹海》在全球影史票房榜上不断将新纪录收入囊中.据网络数据平台，
截至 3 月 19 日、《哪吒之魔童闹海》累计票房(含海外及预售票房)突破 151.7 亿元. 151.7
亿用科学记数法表示为( )
A. 1.517 × 102 B. 151.7 × 108 C. 1.517 × 1010 D. 0.1517 × 1011
4.如图，已知 // ，∠ = 65°，则∠ 的度数为( )
A. 115°
B. 65°
C. 60°
D. 75°
5.下列计算正确的是( )
A. 3 3 = 9 B. 4 ÷ 2 3 = 2 C. 2 2 + 3 3 = 5 5 D. ( 5)2 = 10
6.如图，在⊙ 中，∠ = 30°，则∠ =( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
7. 掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用 公司研发的两个 模型 1
和 2 共同处理一批数据.已知 2 单独处理数据的时间比 1 少 2 小时，若两模型合作处理，
仅需 1.5 小时即可完成.设 2 单独处理需要 小时，则下列方程正确的是( )
A. 1 1 + +2 = 1.5 B.
1+ 1 1 1 1 1 1 1 +2 = 1.5 C. + 2 = 1.5 D. + 2 = 1.5
8.如图是一次函数 = + 的图象，下列说法正确的是( )
A. 随 增大而增大 B.图象经过第三象限
C. < 0， > 0 D.当 < 0 时， < 0
9.如图，矩形 中，对角线 的垂直平分线 分别交 ， 于点 ， .
若 = 2， = 4，则 的长为( )
A. 2 3 B. 2 5
C. 4 3 D. 3 2
10.如图①，在△ 中，∠ = 60°，点 是边 的中点，点 从△ 的顶点 出发，沿 →
→ 的路线以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动到点 ，在运动过程中，线段 的长度
随时间 变化的关系图象如图②所示，点 是曲线部分的最低点，则 的长为( )
A. 3 B. 3 3 C. 12 D. 6 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
11.因式分解： 2 + = ______．
12.函数 = 3中，自变量 的取值范围是 ．
13.如图是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，则这个正八
边形的一个内角是______°.
14.关于 的一元二次方程 2 + 2 + = 0 有两个相等的实数根，则 的值是______．
15.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图 1 所示是一个竹
筒水容器，图 2 为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为 10 ，开口 宽为 12 ，这个
水容器所能装水的最大深度是______ ．
16.如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 为 的中点，
// 交 于点 .若 = 8，则 的长为______．
三、解答题：本题共 11 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 4 分)
计算： 9 ( 1 0 20255 ) + ( 1) ．
18.(本小题 4 分)
4 + 1 > 2( 1)
解不等式组： 3 ．
2 ≥ 2
19.(本小题 4 分)
下面是小夏同学进行分式化简的过程：
( 2 1 化简： 1 1) ÷ 2 1．
= ( 2 1 1解：原式 1 1 ) ÷

( 1)( +1)…第一步
= 2 1 1 ( 1)( +1) 1 …第二步
= ( 2)( +1) …第三步
(1)小夏同学的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程．
20.(本小题 6 分)
用直尺和圆规作圆的内接正方形．
作法 图形
①作直径 ．
②过点 作 的垂线 ．
③作∠ 的平分线交⊙ 于点 ．
④以 为圆心， 长为半径，作弧交⊙ 于点 ．
⑤依次连接 ， ， .四边形 就是所求作的正方形．
(1)完成作图；(保留作图痕迹)
(2)说明按作法求作的四边形 是正方形的理由．
21.(本小题 6 分)
为了让同学们更多地了解家乡文化，在某次班会上，甲、乙准备从“ .临夏砖雕， .傩舞傩
戏、 .河州泥塑、 .保安腰刀”这四个传统的非物质文化遗产中，各选一个进行学习并做演
讲.班长做了 4 张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别粘贴了这 4 个非物质文化遗产
的图画.将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这 4 张卡片中随机抽取一张，放回后乙再随机抽
取一张，以所抽取卡片正面的内容进行准备．
(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到临夏砖雕的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率．
22.(本小题 8 分)
如图①是位于嘉峪关市雄关广场转盘中心的象征这座城市的雄关之光，于 2001 年 6 月建成，
其形如长剑指天，寓意亲手创造了戈壁钢城的嘉峪关人坚韧不拔，奋发向上，继续创建嘉峪
关更加辉煌明天的美好愿望.某校实践小组把“测量雄关之光雕塑的高度”作为一项活动课
题，并设计了如下的测量方案．
活动课题 测量雄关之光雕塑的高度
工具 无人机
示意图
如图②，用无人机在点 处测得雕塑顶端 处的仰角为∠ ，雕塑底端 处
说明 的俯角为∠ ，无人机距离雕塑的水平距离为 ，雕塑 垂直于地面， ，
， ， 在同一平面内
测量数据 ∠ = 35°，∠ = 58°， = 17 米
请根据以上测量数据，计算雄关之光雕塑 的高度. (结果保留整数)(参考数据： 35° ≈
0.57， 35° ≈ 0.82， 35° ≈ 0.70， 58° ≈ 0.85， 58° ≈ 0.53， 58° ≈ 1.60)
23.(本小题 7 分)
随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中
分别随机抽取了 20 个用户的得分数据进行整理、描述和分析(得分用 表示)，共分为四组，
：60 < ≤ 70， ：70 < ≤ 80， ：80 < ≤ 90， ：90 < ≤ 100，下面给出了部分
信息．
甲款人工智能软件得分数据：
64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，
100．
乙款人工智能软件在 组内(80 < ≤ 90)的所有得分数据：
85，86，87，88，88，88，90，90．
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 85.5 96.6
乙 86 88 69.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： = ______， = ______， = ______；
(2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由(写出一条理由即
可)；
(3)若本次调查有 900 名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有 1200 名用户对乙款
人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意(90 < ≤ 100)的
总用户数．
24.(本小题 7 分)
如图，在平面直角坐标系 2中，正比例函数 = 3 的图象与反比例函数 =

( ≠ 0)在第

一象限内的图象相交于点 ，点 (6,1)在反比例函数 = 的图象上．
(1)求反比例函数的解析式及点 的坐标；
(2)求直线 与两坐标轴围成的△ 的面积．
25.(本小题 8 分)
如图，在△ 中， = ，以边 为直径作⊙ ，分别交边 ， 于点 ， ，过点
作直线 ⊥ 于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证：直线 是⊙ 的切线；
(2)若 = 4， = 2，求⊙ 半径的长．
26.(本小题 8 分)
【探究与证明】
【问题情境】如图 1，点 为正方形 内一点， = 2， = 4，∠ = 90°，将直角
三角形 绕点 逆时针方向旋转 度(0 ≤ ≤ 180°)点 、 的对应点分别为点 ′、 ′．
【问题解决】
(1)如图 2，在旋转的过程中，点 ′落在了 上，求此时 ′的长；
(2)若 = 90°，如图 3，得到△ ′(此时 ′与 重合)，延长 交 ′于点 ，
①试判断四边形 ′的形状，并说明理由；
②连接 ，求 的长．
27.(本小题 10 分)
已知：如图，抛物线 = 2 + + 3 与坐标轴分别交于点 ， ( 3,0)， (1,0)，点 是线
段 上方抛物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交线段 于点 ，再过点 作 / /
轴交抛物线于点 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点 运动到什么位置时， 的长最大，求出 点坐标．
(3)是否存在点 使△ 为等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ( + )
12. ≥ 3
13.135
14.1
15.18
16.2
17.解： 9 ( 1 )0 + ( 1)20255
= 3 1+ ( 1)
= 1．
4 + 1 > 2( 1)①
18.解： 3 ，
2 ≥ 2②
3
解不等式①，得： > 2，
解不等式②，得： ≤ 1，
∴ 3原不等式组的解集为 2 < ≤ 1．
19.解：(1)由计算过程可知，从第二步出现错误，
故答案为：二；
2 1
(2)( 1 1) ÷ 2 1
2 1 1 ( + 1)( 1)
= ( 1 1 )
2 1 +1 ( + 1)( 1)
= 1
( + 1)( 1)
= 1
= + 1．
20.解：(1)如图，四边形 即为所求．
(2)理由：∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = 12 × 90° = 45°，
∵ 是直径，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
∵ 是直径，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
∴ = = = ，
∴四边形 是菱形，
∵ ∠ = 90°，
∴四边形 是正方形．
21.解：(1)由题意知，共有 4 种等可能的结果，其中抽到临夏砖雕的结果有 1 种，
∴ 1抽到临夏砖雕的概率为4．
1
故答案为：4．
(2)列表如下：

( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
共有 16 种等可能的结果，其中甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的结果有 12 种，
∴ 12 3甲、乙两人抽到不同非物质文化遗产的概率为16 = 4．
22.解：∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
在 △ 中，∵ ∠ = 35°， = 17 米，
∴ = 35° = 17 × 0.70 = 11.9(米)，
在 △ 中，∵ ∠ = 58°， = 17 米，
∴ = 58° = 17 × 1.60 = 27.2(米)，
∴ = + = 11.9 + 27.2 ≈ 39(米)，
答：雄关之光雕塑 的高度约为 39 米．
23.解：(1) ∵甲款人工智能软件的所有评分数据中 85 出现的次数最多，
∴众数为 85，
即 = 85，
乙款人工智能软件的评分的中位数为(87 + 86) = 86.5(分)，
即 = 86.5；
∵乙款人工智能软件中 组所占的百分比为× 100% = 40%，
∴ % = 1 40% 30% 10% = 20%，
即 = 20；
故答案为：86.5，85，20；
(2)乙款人工智能软件更受用户欢迎．
理由如下：
∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差，
∴乙款人工智能软件比较稳定，
∴乙款人工智能软件更受用户欢迎；
(3) ∵ 900 × 620 + 1200 × 20% = 510(名)．
∴估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意(90 < ≤ 100)的总用户数为 510 名．
24.解：(1) ∵点 (6,1) 在反比例函数 = 的图象上．
∴ = 6，
∴ 6反比例函数解析式为 = ，
= 6 = 3 = 3
联立方程组 2 ，解得 = 2， = 2， = 3
∴ (3,2)；
(2)设直线 的解析式为 = + ，代入点 (3,2)和点 (6,1)得：
3 + = 2 = 1
6 + = 1，解得 3， = 3
= 1直线 的解析式为 3 + 3，
∴ (0,3)， (9,0)，
∴ = 3， = 9，
∴ 1△ = 2 × 3 × 9 =
27
2．
25.(1)证明：连接 ，∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ，
∵ ⊥ ，
∴ ⊥ ，
∵ 是⊙ 的半径，
∴直线 是⊙ 的切线；
(2)解：连接 ，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵直线 是⊙ 的切线，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ 4 2 = 4，
∴ = 8，
∴ = = 6，
∴⊙ 半径的长为 3．
26.解：(1) ∵ = 2， = 4，∠ = 90°，
∴ = 2 + 2 = 22 + 42 = 2 5，
∵四边形 是正方形，
∴ = = 2 5，∠ = 90°，
∴ = 2 = 2 10，
由旋转的性质得： ′ = = 2 5，
∴ ′ = ′ = 2 10 2 5；
(2)①四边形 ′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得： ′ = ，∠ ′ = = 90°，∠ ′ = ∠ = 90°，
∵ ∠ = 180° 90° = 90°，
∴四边形 ′是矩形，
又∵ ′ = ，
∴四边形 ′是正方形；
②过点 作 ⊥ 于点 ，如图 3 所示：
则∠ = 90° = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 4， = = 2，
∴ = = 4 2 = 2，
∴ = 2 + 2 = 42 + 22 = 2 5．
27.解：(1)由题意得： = ( + 3)( 1) = 2 + + 3，则 = 1，
∴抛物线解析式为 = 2 2 + 3；
(2) ∵ = 0 时， = 2 2 + 3 = 3，
∴ (0,3)，
∴直线 解析式为 = + 3，
∵点 在线段 上方抛物线上，
∴设 ( , 2 2 + 3)( 3 < < 0)，
∴ ( , + 3)，
∴ = 2 2 + 3 ( + 3) = 2 3 = ( + 32 )2 +
9
4 ≤
9
4，
即当 = 32时
3 15
最大，此时，点 ( 2 , 4 )；
(3)存在点 使△ 为等腰直角三角形，
设 ( , 2 2 + 3)( 3 < < 0)，则 ( , + 3)，
∴ = 2 2 + 3 ( + 3) = 2 3 ，
∵抛物线 = 2 2 + 3 = ( + 1)2 + 4，
∴对称轴为直线 = 1，
∵ // 轴交抛物线于点 ，
∴ 、 关于对称轴对称，
∴ ( 1) = ( 1) ，
∴ = 2 ，
∴ = | | = | 2 2 |，
∵△ 为等腰直角三角形，∠ = 90°，
∴ = ，
①当 3 < ≤ 1 时， = 2 2 ，
∴ 2 3 = 2 2 ，
解得： 1 = 1(舍去)， 2 = 2，
∴ ( 2,3)，
②当 1 < < 0 时， = 2 + 2 ，
∴ 2 3 = 2 + 2 ，
解得： = 5+ 172 (不合题意的值已舍去)，
( 5+ 17 , 5+3 17即点 2 2 )，
综上所述，点 坐标为( 2,3) ( 5+ 17或 2 ,
5+3 17
2 )时，使△ 为等腰直角三角形．

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