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2025年广东省东莞市镇远中学、安东中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，最大的数是( )
A. B. C. D.
2.在下面四个几何体中，主视图与俯视图都是圆的为( )
A. B. C. D.
3.年月，中国人工智能企业深度求索宣布，其研发的智能助手的用户数量突破，称为全球用户量最大的智能助手之一数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.一把直尺与的直角三角板如图所示，，则( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
6.一个不透明的袋子里装有个红球、个蓝球和个绿球，所有球除颜色外完全相同小明从袋中随机摸出一个球，求摸到蓝球的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图，数轴上表示的点可能是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
8.点，，都在反比例函数的图象上，则( )
A. B. C. D.
9.如图，在菱形中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若菱形的周长是，则长为( )
A. B. C. D.
10.二次函数的图象的一部分如图所示已知图象经过点，其对称轴为直线下列结论：
；
；
；
若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．
其中结论正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：______．
12.一元一次不等式组的解集为______．
13.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____．
14.计算： ______．
15.如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与弧交于点，连接若，则图中阴影部分的面积是______结果保留．
三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
如图，在中，直径为，．
请用尺规作图法过点作的垂线，交于点，交劣弧于点，保留作图痕迹不写作法；
求的长．
18.本小题分
综合与实践：虎门林则徐像位于广东省东莞市虎门镇，是为纪念民族英雄林则徐而设立，由林则徐铜像与花岗石卧碑像结合而成林则徐铜像身姿挺拔，眼神坚定，仿佛正俯瞰着虎门海域，展现出其当年在虎门指挥禁烟和抗英斗争时的威严与决心小明为测量林则徐像的高度，制定了如下测量方案：如图，当小明在点眼睛处仰望石像顶部点，测得仰角为，再往石像的方向前进至点眼睛处，测得仰角为，且小明的眼睛距离地面，请帮他求出林则徐像的高度参考数据：，结果精确到
19.本小题分
为了尽快修建一条全长米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，修建道路完工后乙队所修的道路比甲队所修的道路的两倍多米．
甲乙两队各修道路多少米？
实际修建过程中，乙队每天比甲队多米，修建完工后乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的倍，乙队每天修建道路多少米？
20.本小题分
为了提高学生的阅读能力，某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示请根据统计图回答下列问题．
调查问卷单项选择
你最喜欢阅读的图书类型是_____
A.文学名著名人传记
C.科学技术其他
本次调查共抽取了______名学生，两幅统计图中的 ______， ______．
已知该校共有名学生，请你估计该校喜欢阅读“”类型图书的学生有多少名；
学校将举办读书知识竞赛，九年一班要在本班名优胜者男女中随机选送名参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为男女的概率．
21.本小题分
如图，在等腰中，点是边上的动点，连结，将绕点旋转至，使点与点重合，连结交于点作交于点，连结，交于点．
求证：；
求证：∽．
22.本小题分
如图，，是的两条直径，且，点是上一动点不与点，重合，连接并延长交的延长线于点，点在上，且，连接，分别交，于点，，连接，设的半径为．
求证：是的切线；
当时，求证：；
在点的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
23.本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
如图，点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求，两点间距离的最大值；
如图，连接，在抛物线上存在点，使，请直接写出符合题意的点坐标．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：原式
．
17.解：图形如图所示：
直径为，
，
，
，
，
．
18.解：如图：
由题意得：，，，，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
林则徐像的高度约为．
19.解：设甲队修道路米，则乙队修道路米，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲队修道路米，乙队修道路米；
设乙队每天修建道路米，则甲队每天修建道路米，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙队每天修建道路米．
20.解：名，
本次调查共抽取了名学生，
，
，
，
故答案为，，；
人，
估计该校喜欢阅读“”类图书的学生约有人；
根据题意，画树状图如图：
共有种等可能的结果，被选送的两名参赛者为男女的结果数为，
被选送的两名参赛者为男女的概率为．
21.证明：，
，
，
，
由旋转的性质得到：，
；
，
，
由旋转的性质得到：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
∽．
22.证明：连接，如图，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
证明：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
解：是定值，为，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
是定值，为．
23.解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
由抛物线的表达式知，点，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，则，
轴，轴，
，，
是等腰直角三角形，
，
由点、的坐标得：直线的表达式为：，
设点，则点，
，
，
故有最大值，当时，的最大值为：，
则的最大值为：；
当点在下方时，如图，设交轴于点，
，，
，
，
，即，
，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或，
则点；
当点在上方时，如图，过点作轴，使，连接，在线段上截取，连接，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
则，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，
直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或，
则点；
综上，点的坐标为或．
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