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2024-2025学年江苏省镇江市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.剪纸是中国独特的民间艺术，如图是我国传统文化中的“福禄寿喜”剪纸图，其中是中心对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.下列运算，结果正确的是( )
A. 3 2 = B. ( + )2 = 2 + 2
C. (3 3)2 = 9 6 D. ( 4)3 = 7
3 1.在方程2 = + 1，2 + 3 = 5，2 1 = ， + = 0 中二元一次方程的个数为( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4.下列四组数值是二元一次方程 2 + = 10 的解是( )
A. = 1 = 4 = 2 = 2 = 5 B. = 2 C. = 4 D. = 3
5.已知 = 8， = 16，则 的值为( )
A. 12 B. 6 C. 8 D. 2
6.已知 + = 5， = 3，则( + 1)( + 1) =( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 9
7.如( + )与( + 4)的乘积中不含 的一次项，则 的值为( )
A. 4 B. 4 C. 0 D. 1
8 1.计算( )20242 × 2
2025 × 3 的值等于( )
A. 3 B. 3 C. 6 D. 6
9.小芳和小明在手工课上各自制作楼梯模型(中间是空的)，如下图，则他们所用的材料( )
A.一样长 B.小明的长 C.小芳的长 D.不能确定
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10.如图，格点三角形甲逆时针旋转 90°后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A.点 B.点 C.点 D.点
二、填空题：本题共 6小题，每小题 3分，共 18分。
11.某微生物细胞直径为 0.000035 米，将 0.000035 用科学记数法表示为______．
12 = 2.已知 = 1是方程 + = 3 的解，则代数式 2 + 3 的值为______．
13.若 2 + 4 = 0，则22 × 2 = ______．
14.如图，等腰△ 中， = ， = 14 ，点 是 的中点， = 5 ，将
线段 沿 方向平移 7 得到线段 ，点 、 分别落在边 、 上，则△
的周长是______ ．
15.如图，在直角△ 中，∠ = 90°，分别以两直角边为腰作等腰直角三角形，
记 1 = △ ， 2 = △ ，其中 1 + 2 = 9， = 6，则图中阴影部分面积为______．
16.有许多非常复杂的几何图形可以由简单的数学规则创造出来.比如谢尔宾斯基三角形，它的构造方法是：
以一个等边三角形为初始图形，每次将等边三角形分割成 4 个边长为原来一半的小三角形，并去掉其中间
的小三角形，将这个过程反复进行下去，就可以得到无限细节的谢尔宾斯基三角形，如图所示，按此规律，
第 个图形中剩余的三角形(黑色三角形)的个数为______．
三、解答题：本题共 8小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17.(本小题 8 分)
计算：
(1)( 1)2024 + (2025 )0 ( 1 ) 12 ；
(2)2024 × 2026 20252．
18.(本小题 10 分)
计算：
(1)8 5 ( )3 + ( 3 4)2；
(2)( )( + 3 ) ( + )2．
19.(本小题 10 分)
解二元一次方程组：
= 3
(1) 3 8 = 4；
3 + 2 = 12
(2) 5 6 = 8．
20.(本小题 8 分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，△ 的三个顶点都在格点上．
(1)平移图中的△ ，使点 移到点 1的位置，画出平移后的△ 1 1 1；画出△ 关于点 成中心对称的
△ 2 2 2；
(2) △ 1 1 1与△ 2 2 2是否成中心对称？若是，画出其对称中心点 的位置；
(3)在直线 上找一点 ，使△ 的周长最小，请在图中标出点 的位置．
21.(本小题 8 分)
如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正方形，
并满足：①4 个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余 3 个小正方形中的 1 个有公共点；②连同空
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白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴．
(1)在正方形网格中画出你的 3 种涂法；
(2)共有______种涂法. (8 个图不一定全用到)
22.(本小题 7 分)
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“好数”.例如：因为 8 = 32 12，
16 = 52 32，24 = 72 52，所以 8，16，24 这三个数都是“好数”．
(1)32 和 45 这两个数是“好数”吗？若是，请表示成两个连续奇数的平方差形式；
(2)设两个连续奇数是 2 + 1 和 2 1(其中 取正整数)，试求由这两个连续奇数构造的“好数”．
23.(本小题 10 分)
【知识生成】通过第八章的学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得
到一个数学等式，请
结合图形解答下列
问题：
(1)写出图 1 中所表示的数学等式______；
(2)如图 2，是用 4 块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数
学等式是______；
(3)【知识应用】
若 + = 8， = 7，求 的值；
(4)【灵活应用】
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图 3 中有两个正方形 、 ，现将 放在 的内部得到图甲，将 、 并列放置后构造新的正方形得到图乙.若
图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 3 和 12，则正方形 ， 的面积之和是______．
24.(本小题 11 分)
如图，在直角△ 中，∠ = 90°，∠ = 60°．
(1)在图 1 中，用直尺和圆规作出∠ 的角平分线 ，交边 于点 ；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法)
(2)如图 2，在(1)的条件下，已知等腰直角三角形 ，∠ = 45°，点 在线段 上，且不与点 、 重合，
点 在 上，△ 固定不动，△ 绕点 顺时针旋转 (0 < < 90°)，如图 3，当 / / 时，求旋转
角 的度数；
(3)如图 4，等腰直角△ 的起始位置如图 4 所示，∠ = 45°，点 在 上，点 在 延长线上时，若
△ 固定不动，绕点 顺时针转动△ ，旋转角的度数小于 130°，则当△ 的三边依次与 平行时，
旋转角的度数为______．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.3.5 × 10 5
12.0
13.16
14.17
15.92
16.3
17.解：(1)( 1)2024 + (2025 )0 ( 12 )
1
= 1 + 1 2
= 0；
(2)2024 × 2026 20252
= (2025 1) × (2025 + 1) 20252
= 20252 1 20252
= 1．
18.解：(1)8 5 ( )3 + ( 3 4)2
= 8 5 ( 3) + 9 8
= 8 8 + 9 8
= 8；
(2)( )( + 3 ) ( + )2
= 2 + 3 3 2 2 2 2
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= 4 2．
19.解：(1) = 3① ，3 8 = 4②
由①，得 = 3 + ③，
把③代入②，得 3(3 + ) 8 = 4，
去括号，得 9 + 3 8 = 4，
解得： = 1，
把 = 1 代入③，得 = 3 + 1 = 4，
∴ = 4方程组的解为 = 1；
(2) 3 + 2 = 12①，
5 6 = 8②
① × 3，得 9 + 6 = 36③，
② +③，得 14 = 28，
解得： = 2，
把 = 2 代入①，得 3 × 2 + 2 = 12，
解得： = 3，
∴ = 2方程组的解为 = 3．
20.解：(1)由题意得，△ 向右平移 4 个单位长度，向上平移 1 个单位长度得到△ 1 1 1，
如图，△ 1 1 1和△ 2 2 2即为所求．
(2) △ 1 1 1与△ 2 2 2成中心对称．
如图，连接 1 2， 1 2， 1 2相交于点 ，
则点 即为所求．
(3)如图，取点 关于直线 的对称点 ′，连接 ′交直线 于点 ，连接 ，
此时△ 的周长为 + + = + + ′ = + ′，为最小值，
则点 即为所求．
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21.解：(1)图形如图所示：
(2)共有 7 种涂法．
故答案为：7．
22.解：(1)设两个连续奇数是 2 + 1 和 2 1(其中 取正整数)，
(2 + 1)2 (2 1)2
= 4 2 + 4 + 1 (4 2 4 + 1)
= 4 2 + 4 + 1 4 2 + 4 1
= 8 ，
当 8 = 32 时，
= 4，
2 + 1 = 9，
2 1 = 7，
32 = 92 72，32 是“好数”．
当 8 = 45 时，
= 5.625，(不符合题意，舍去)．
答：32 是“好数”，32 = 92 72，45 不是好数．
(2)设两个连续奇数是 2 + 1 和 2 1(其中 取正整数)，
(2 + 1)2 (2 1)2
= 4 2 + 4 + 1 (4 2 4 + 1)
= 4 2 + 4 + 1 4 2 + 4 1
= 8 ．
答：由这两个连续奇数构造的“好数”是 8 ．
23.解：(1)图 1 整体上是边长为 + 的正方形，因此面积为( + )2，拼成图 1 的四个部分的面积和为 2 +
2 + 2，
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所以有( + )2 = 2 + 2 + 2，
故答案为：( + )2 = 2 + 2 + 2；
(2)图 2 中间小正方形的边长为 ，因此面积为( )2，中间小正方形的面积也可以看作大正方形面积
与四个长方形的面积差，即( + )2 4 ，
所以有( )2 = ( + )2 4 ，
故答案为：( )2 = ( + )2 4 ；
(3) ∵ + = 8， = 7，
∴ ( )2 = ( + )2 4 = 64 28 = 36，
∴ = 6 或 = 6；
(4)设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，
∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 3 和 12，
∴ ( )2 = 3，( + )2 ( 2 + 2) = 12，即 = 6，
∴正方形 ， 的面积之和为 2 + 2 = ( )2 + 2 = 3 + 12 = 15，
故答案为：15. .
24.解：(1)如图，
(2)如图， 与 交于点 ，
∵ ∠ = 60°， 平分∠ ，
∴ ∠ = 30°，
∴ ∠ = 60°，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∵ ∠ = 45°，
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∴ ∠ = 180° 45° 60° = 75°，
∴ ∠ = 90° 75° = 15°．
即旋转角 的度数为 15°；
(3)分三种情况：
当 // ，如图，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ = 30°，
即旋转角为 30°；
当 // 时，如图，
∵ ∠ = ∠ = 60°，∠ = ∠ = 45°，
∴ ∠ = 180° ∠ ∠ = 180° 45° 60° = 75°；
当 // 时，如图，
∴ ∠ = ∠ = 90° ∠ = 30°，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90° + 30° = 120°；
综上所述，旋转角为 30°或 75°或 120°．
故答案为：30°或 75°或 120°
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