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2025 年江苏省宿迁市泗洪县中考数学二模试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.在 0，2， 2， 2这四个数中，最小的数是( )
A. 0 B. 12 C. 2 D. 2
2.下列运算正确的是( )
A. ( 5)2 = 5 B. ( 1 ) 2 = 16 C. 6 ÷ 3 = 2 D. ( 3)24 =
5
3.已知某三角形的三边长分别为 3，7， ，则 的值可以是( )
A. 1 B. 4 C. 7 D. 10
4.某校九年级科技创新兴趣小组的 7 个成员体重(单位： )如下：42，45，40，36，42，40，75，则这组
数据的中位数是( )
A. 36 B. 42 C. 40 D. 45
5.正方形网格中，∠ 如图放置，则 cos∠ 的值为( )
A. 55
B. 2 55
C. 12
D. 2
6.若关于 的方程 2 (3 + 1) + 2( + 1) = 0 有两个不相等的实数根 1， 2，且有 1 1 2 + 2 = 1 ，
则 的值是( )
A. 1 B. 1 C. 1 或 1 D. 2
7.如图， = = = 60，∠ = 90°， = 2 ，则线段 的最小值为( )
A. 35
B. 20 2 + 6
C. 30 5 30
D. 20 13 20
8.已知函数 1 = 2 2， = 22 3 + 2， 3 = 2 + 8，若无论 取何值， 总取 1、 2、 3中的最小值.
则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 3
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二、填空题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
9. 8 的立方根是 ．
10.计算| 3 2| + 2 60°的结果为______．
11.2025 年考研报名人数约有 3880000 人，数据 3880000 用科学记数法表示为______．
12.若正 边形的一个外角是 36°，则 = ______．
13.如图，点 、 、 在⊙ 上，若∠ = 30°，则∠ = ______°.
14.某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程： 、绘画； 、唱
歌； 、演讲； 、书法.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学
生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，则选课程 的人数是______．
15 1.已知一次函数 = 2 + 5，将其图象绕 轴上的点 (0, )旋转 180°，所得的图象经过(0, 3)，则 的值
为______．
16.如图，在 4 × 4 正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一
个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是
______．
17.如图，在 △ 中，∠ = 90°， ， 分别是 ， 上的点，将△ 沿着
折叠，使点 落在 边的中点(记为 ′)处.若 = 4， = 3，则 的长为______．
18 .如图，△ 是等腰三角形， 过原点 ，底边 // 轴，双曲线 = 经过 、
两点，过点 作 // 轴交双曲线于点 ， △ = 24，则 的值为______．
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三、解答题：本题共 10 小题，共 96 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 8 分)
已知 2 2 + 3 12 = 0，求代数式 (3 2 ) + (2 + 3)(2 3)的值．
20.(本小题 8 分)
5 2 < 3( 2)
解不等式组： 1
2 5 ≥ 1
3 ．2
21.(本小题 8 分)
已知：如图，∠ = 40°，在∠ 内部求作∠ = 20°，作法如下：
(1)以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线 、 于点 、 ；
(2)分别以点 、 为圆心， 的长为半径作弧，两弧在∠ 的内部交于点 ；
(3)作射线 ．
求证：∠ = 20°．
22.(本小题 8 分)
如图，已知直线 = + 4 与 轴、 轴分别交于 、 两点，与反比例函数 = 的图象分别交于 、 两点，
点 的坐标为(1,3)．
(1)求 和 的值；
(2)求△ 的面积．
23.(本小题 10 分)
春节期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶 600 高的山峰，由山底 处先步行 200 米到达
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处，再由 处乘坐登山缆车到达山顶 处.已知点 ， ， ， ， 在同一平面内，山坡 的坡角为 30°，缆
车行驶路线 与水平面的夹角为 53°．
(1)求登山缆车上升的高度 ；
(2)若步行速度为每分钟 20 米，登山缆车的速度为每分钟 50 米，求从山底 处到达山顶 处大约需要多少
分钟(换乘登山缆车的时间忽略不计，结果精确到 0.1)(参考数据： 53° ≈ 0.80， 53° ≈ 0.60， 53° ≈
1.33)
24.(本小题 10 分)
小明和小亮同学都特别喜欢唐代伟大的浪漫主义诗人李白的诗词，课间他们摘其 5 句诗词并用它们的编号
分别制成 5 张卡片(卡片除编号外完全相同)玩数学游戏.五句诗词如下：
编号诗句
日照香炉生紫烟
飞流直下三千尺
散入春风满洛城
遥看瀑布挂前川
谁家玉笛暗飞声
小明将这 5 张卡片背面朝上，洗匀放好.请你完成下列问题：
(1)填空：小亮从 5 张卡片中随机抽取 1 张，恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率是______；
(2)小亮从 5 张卡片中随机抽取 2 张，请用列表或画树状图的方法求出都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句
子的概率；
(3)填空：小亮从 5 张卡片中随机抽取 2 张，两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的概率是
______．
25.(本小题 10 分)
如图，在⊙ 中， 是直径， 是弦，且 ⊥ ，垂足为 ， = 20， = 12，在 的延长线上取一
点 ，连接 ，使∠ = 2∠ ．
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(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2)求 的长．
26.(本小题 10 分)
在 2024 年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面.某新能源汽
车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解 3 辆中级型汽车、2 辆紧凑型汽车的进价共计 104
万元；2 辆紧凑型汽车比 3 辆中级型汽车的进价少 40 万元．
(1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价；
(2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车 100 辆，已知
中级型汽车的售价为 26 万元/辆，紧凑型汽车的售价为 20 万元/辆.根据销售经验，购中级型汽车的数量不
低于 25 辆，设购进 辆中级型汽车，100 辆车全部售完获利 万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车
各多少辆.才能使 最大？ 最大为多少万元？
27.(本小题 12 分)
1
如图，已知抛物线 = 2
2 + + 与 轴交于点 (4,0)、 ，与 轴交于点 (0,2)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)若点 是抛物线上在直线 上方一点，连接 ，与 交于点 ，直线 把△ 分成面积相等的两部
分，求 点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点 ，使∠ = 2∠ ，若存在，请求出点 的横坐标，若不存在，请说明理由．
28.(本小题 12 分)
实践与探究：
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(1)如图(甲)，正方形纸片 的边长为 2，沿对角线 剪开，然后固定纸片△ .把纸片△ 沿剪痕
方向平移得到△ ′ ′ ′，连接 ′ 、 ′ 、 ′ ．
①在平移过程中，试判断四边形 ′ ′的形状，并说明理由；( ′与 不重合)
②在平移过程中，求 ′ + ′的最小值；
(2)如图(乙)，菱形纸片 的边长为 2，∠ = 60°，沿对角线 剪开，然后固定纸片△ ，把纸片
△ 沿剪痕 方向平移得到△ ′ ′ ′，连接 ′ 、 ′ 、 ′ ，在平移过程中，求 ′ + ′
的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 2
10.2
11.3.88 × 106
12.10
13.60
14.10
15.1
16. 513
17.12548
18. 9
19.解：∵ 2 2 + 3 12 = 0，
∴ 2 2 + 3 = 12，
则原式= 3 2 2 + 4 2 9 = 2 2 + 3 9 = 12 9 = 3．
20.解：∵解不等式 5 2 < 3( 1)得： < 2，
1
解不等式2 5 ≥ 1
3
2 得： ≥ 3，
∴不等式组无解．
21.证明：由作图可得， = = = ，
∴四边形 是菱形，
∴ 平分∠ ，
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又∵ ∠ = 40°，
∴ ∠ = 12∠ =
1
2 × 40° = 20°．
22.解：(1)把点 (1,3) 代入反比例函数 = ，
∴ 3 = 1，
∴ = 3，
把点 (1,3))代入 = + 4，
∴ 3 = + 4，
∴ = 1，
(2)过点 作直线 的垂线，交 于点 ，如图所示．
直线 的解析式为 = + 4，当 = 0 时， = 4，
∴ 点坐标为(0,4)，
当 = 0 时， = 4，
∴ 点坐标为(4,0)，
∴ | | = 4，| | = 4，| | = 42 + 42 = 4 2，
1△ = 2 × | | × | | =
1
2 × | | × | |，
| | = 16 4 4 2 ，4 2 2 = 2 = 2 2
联立方程
= + 4
= 3 ，
可求得 点坐标为(3,1)，
| | = (3 1)2 + (1 3)2 = 2 2，
∴ 1 1△ = 2 × | | × | | = 2 × 2 2 × 2 2 = 4．
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23.解：(1)如图，过点 作 ⊥ 于 ，
则四边形 为矩形，
∴ = ，
在 △ 中，∠ = 30°， = 200 ，
则 = 12 = 100 ，
∵ = 600 ，
∴ = 600 100 = 500( )，
答：登山缆车上升的高度 为 500 ；
(2)在 △ 中， = 500 ，∠ = 53°，
= 500则 sin∠ ≈ 0.80 = 625( )，
∴ 200 625从山底 处到达山顶 处大约需要的时间为： 20 + 50 = 22.5(分钟)，
答：从山底 处到达山顶 处大约需要 22.5 分钟．
24.解：(1)由题意知，共有 5 种等可能的结果，其中恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的结果有： ，
， ，共 3 种，
∴ 3恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率为5．
3
故答案为：5．
(2)列表如下：

( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
共有 20 种等可能的结果，其中都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的结果有：：( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，共 6 种，
∴ 6 3都为李白的古诗《望庐山瀑布》中句子的概率为20 = 10．
(3)由(2)表格可知，共有 20 种等可能的结果，其中两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的结
果有：( , )，( , )，( , )( , )，共 4 种，
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∴ 4 1两张恰好为李白的古诗《望庐山瀑布》中相邻句子的概率为20 = 5．
1
故答案为：5．
25.(1)证明：连接 ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2∠ ，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = 90°，
∵ 是⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 的切线；
(2)解：∵ 是直径， 是弦，且 ⊥ ，
∴ = 12 = 6，
∵ = 20，
∴ = 10，
∴ = 2 2 = 8，
∵ ∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ 10 = 8 10，
∴ = 252，
∴ = = 252 8 =
9
2．
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26.解：(1)设中级型汽车的进价为 万元，紧凑型汽车的进价为 万元，
3 + 2 = 104
由题意得： 3 2 = 40 ，
= 24
解得： = 16，
答：中级型汽车的进货单价为 24 万元，紧凑型汽车的进货单价为 16 万元；
(2)设购进中级型汽车 辆，
由题意得：25 ≤ ≤ 100，
∴ = (26 24) + (20 16)(100 ) = 2 + 400，
∵ 2 < 0，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 = 25， 取最大值，最大值为 2 × 25 + 400 = 350，
∴ 100 25 = 75(辆)，
答：该经销商应购进中级型 25 辆，紧凑型汽车 75 辆，才能使 最大， 最大为 350 万元．
1
27.解：(1)由题意得： 0 = 2 × 16 + 4 + 2，
= 2
3
解得： = 2，
= 2
1 3
则抛物线的表达式为： = 22 + 2 + 2；
(2)由抛物线的表达式知，点 (1,0)，
∵直线 把△ 分成面积相等的两部分，则点 是 的中点，则点 (2,1)，
1
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： = 3 ( + 1)，
1
联立上式和抛物线的表达式得：3 ( + 1) =
1
2
2 + 32 + 2，
= 10 ( 10 , 13解得： 3，则点 3 9 )；
(3)存在，理由：
如图，取 = = 1，连接 、 ，则 = = 5
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作 ⊥ 于点 ，
= 1 1△ 2 × = 2 × × ，即 2 × 2 = 5 ×
4
，则 = 5，
4 4
则 sin∠ = 2∠ = 5 4 ，则 tan∠ = ，5 = 5 = sin∠ 3
4
则直线 的表达式为： =± 3 ( 4)，
4 1
联立上式和抛物线的表达式得：± 3 ( 4) =
2
2 +
3
2 + 2，
= 4( ) 11 5解得： 舍去 或 3或3，
11 5即点 的横坐标为 3或3．
28.解：(1)①四边形 ′ ′是平行四边形，理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ = ， // ，
如图 1，∵把纸片△ 沿剪痕 的方向平移得到△ ′ ′ ′，
∴ ′ ′ = = ， ′ ′// // ，
∴四边形 ′ ′是平行四边形；
② ∵四边形 ′ ′是平行四边形，
∴ ′ = ′ ，
∴ ′ + ′ = ′ + ′ ，
如图 2，作点 关于 ′的对称点 ″，连接 ″， ″，
当 ， ′， ″共线时， ′ + ′ = ′ + ′ = ′ ″ + ′ 有最小值，
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此时 ′ + ′ 的最小值= ″，
∵将△ 沿射线 的方向平移得到△ ′ ′ ′，
∴ // ′ ′， = ′ ′，
∴四边形 ′ ′是平行四边形，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 45°，
∵ 关于 ′的对称点 ″，
∴ ∠ ′ ″ = ∠ ′ = 45°， ″ = ，
∴△ ″是等腰直角三角形，且 ， ， ″共线，
在直角△ ″中，由勾股定理得： ′′ = 2 + ″2 = 22 + 42 = 2 5，
∴ ′ + ′ 的最小值= 2 5；
(2)如图 3，菱形 的边长为 2，
∴ ′ = ′ ，
∴ ′ + ′ = ′ + ′ ，
作点 关于 ′的对称点 ″，连接 ″， ″，
当 ， ′， ″共线时， ′ + ′ = ′ + ′ = ′ ″ + ′ 有最小值，
此时 ′ + ′ 的最小值= ″，
∵ // ′ ′， = ′ ′，
∴四边形 ′ ′是平行四边形，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 30°，
∵ 关于 ′的对称点 ″，
∴ ∠ ′ ″ = ∠ ′ = 30°， ″ = ，
∴△ ″是等边三角形，且 ， ， ″共线，
在直角△ ″中，由勾股定理得： ′′ = ″2 2 = 42 22 = 2 3，
∴ ′ + ′ 的最小值为 2 3．
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