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第1章《三角形的证明》章节知识点复习题
【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】
【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长度问题.
1.如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．

(1)求的度数；
(2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
2.如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧．
(1)若，，求的度数；
(2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值．
3.已知在中，的平分线交于点D，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长．
4.如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】
1.在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接．
(1)如图1，当时，
①求证：；
②求的度数．
(2)当时，补全图2，并求证：．
2.如图，点D、E在的边上，，．
(1)求证：．
(2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形．
3.如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)求证：．
4.如图1，在中，D为边上一点，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，点E在延长线上，连接，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求证：．
【题型3 等边三角形的性质与判定】
1.已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
2.如图1，是等边三角形，点D，E，F分别为边的中点．
(1)求证：为等边三角形；
(2)连接交于点G，如图2，求证：；
(3)如图3，已知的面积为8，求的面积．
3.如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．

(1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）．
(2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长．
4.如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：直线是线段的垂直平分线；
(2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
【题型4 解决“一线”的最短路径问题】
1.如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
2.如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
3.如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
4.如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ．
【题型5 解决“两线”的最短路径问题】
1.如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（　　）

A． B． C． D．
2.如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置）
3.如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
4.在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点D，使与互为补角，连接．

(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，当，时，试说明与的位置关系；
(3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交，于点M，N，若，，P，Q分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值．
【题型6 直角三角形全等的判定】
1.如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
2.如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：．
3.如图，中，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
4.如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：．
【题型7 直角三角形的性质的应用】
1.如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
2.如图，直线，于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ．
4.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数；
(2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数；
(3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系．
【题型8 勾股定理及其逆定理】
1.葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？
(1)想一想怎样找出最短路径；
(2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？
2.在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．
(1)如图①，如果点和顶点重合，求的长；
(2)如图②，如果点落在的中点处，求的长．
3.如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
4.已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
(1)如图1，与交于点；
①找格点，使且；
②直接写出的度数．
(2)如图2，点、、均在格点上，依照（1）中方法在上作点，使．
【题型9 命题与定理】
1.定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的哪一条基本事实推理证明得到？ ．
2.下面定理中，没有逆定理的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等
3.将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
4.下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】
1.如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ．
2.如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
3.如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
4.如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点．
(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】
1.如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若四边形的面积为32，，求点E到边的距离.
2.如图，中，，平分交于点D，过点C作于点O，交于点E．
(1)求证：是线段的垂直平分线；
(2)若，求的度数．
3.如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，在边上取一点F，使，连接．
(1)求证：；
(2)试探究线段与长的数量关系，并对结论给予证明．
4.如图，，垂足为，垂足为B，E为的中点，．
（1）求证：．
（2）有同学认为是线段的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）若，求的度数．
【题型12 角平分线性质的应用】
1.如图1，在中，是的角平分线．
(1)若，，，可得到结论：__________；
(2)若，，，可得到结论：__________；
(3)图2中，，，，若是的外角平分线，与的延长线交于点E，可得到结论：__________．
2.如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，是它的角平分线，点P是线段上的任一点（不与A、D重合），，交于点E，，交于点F，若点D到的距离为3，，则 ．

4.如图所示，在中，平分，，过点D作的垂线，交于点E，．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【题型13 角平分线判定的应用】
1.已知，和都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，交于O点，连接，求证：平分．
2.如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是 ．
3.如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处 (阴影部分不能修建超市)
4.如图，，于点E，于点F，、相交于点D，则①；②；③点D在的平分线上，以上结论正确的是 ．（填序号）

【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】
1.如图，在中，点D是边上一点，已知平分交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ．
3.如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．

(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
4.在中，，线段、分别平分、交于点G．

(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
参考答案
【题型1 含30°的直角三角形性质的应用】
1.（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：过点作，垂足为，

∴.
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
2.（1）解：在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
（2）解，
，
，，，
，
当时，x最小，最大，，
，，
，
，
时，有最大值，即．
3.（1）证明：∵是的平分线，
，
，
，
，
；
即是等腰三角形；
（2）解：∵，
，
又平分，
，
由（1）可知，，
，
，
，
在中，，
，
又∵，
．
4.（1）解：是等边三角形，理由如下；
由题意得，当时，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解；∵运动时间为，
∴，
∴，
如图1所示，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2所示，当时，
同理可得，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形．
【题型2 等腰三角形的性质与判定的综合】
1.（1）解：①证明：是的高，，
，
是的高，
，
在和中，
，
，
；
②解：如图：
由①知：，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
故是等腰直角三角形，
；
（2）解：补全图形如下：
，
，
是的高，
是等腰直角三角形，
，
是的高，
，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，
，
，
，
，
．
2.（1）证明：过点A作于点F，
，
，
，
，
；
（2）证明：解：，
，
，
，
，
，
，
，
除与外所有的等腰三角形为：．
3.（1）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵在和中，
，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）证明：，
理由如下：如图：连接，
∵和中：
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵中，，
∴，
∴，
∴．
4.（1）解：，，
、、都为等腰三角形，
，，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，，
，为等腰三角形，
；
（3）证明：，，，
，
．
【题型3 等边三角形的性质与判定】
1.（1）证明：、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：，
，
等边三角形，
，
，
，
（3）证明：，
，，，
又点、分别是线段、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
是等边三角形．
2.（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵E，F分别为边的中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴；
（3）解：点D，E，F分别为边的中点，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
由（2）知：是这两个三角形的对应高，
∴，
∴，
∵的面积为8，
∴．
3.（1）解：如图，

∵是等边三角形，点是的中点，
∴平分，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
（2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：

如图，过作 交于，
∵是等边三角形，
∴，，
∵ ，
∴， ，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
（3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，，
∴， ，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
4.（1）证明：连接，，，
点与点关于射线对称，，
，，
，
，
为等边三角形，，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
垂直平分；
（2）解：解：如图，当为钝角时，由（1）知，
，
如图，当为锐角时，
，，
．
【题型4 解决“一线”的最短路径问题】
1.5
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
是等边三角形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
2.
【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解．
【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点，
∴在上，
连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，
∵在锐角三角形中，，的面积为7，
∴，
∴ ，
即的最小值为，
故答案为：．
3.B
【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解．
【详解】解：连接，
平分交于点，
，，
，
，
且，
当点在线段上时，的最小值是，
，
的最小值为7．
故选：

4.10
【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接，证明，即可得到，得，再根据当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为10．添加辅助线，构造，再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵点是的角平分线上一动点，则 ，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，
又∵是等边三角形，，
∴的最小值为10，
故答案为：10．
【题型5 解决“两线”的最短路径问题】
1.A
【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出α的度数．
【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小．
连接，，，．

∵点P与点C关于对称，
∴垂直平分，
，，，
同理，可得，，．
，，
．
又的周长为：，
，
是等边三角形，
，
．
故选：A．
2.解：如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求；
易证明的长即为最短路径长．
3.D
【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，
由轴对称的性质得，，，，，
∴．
故选：D．
4.（1）解：∵，恰好平分，
∴，
∵在和中，
∴，
∴；
（2）证：∵，恰好平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∵与互为补角，
∴，
∴，
∴，
即：，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，，
∵，恰好平分，
∴垂直平分，
如图所示，将沿对称至，沿对称至，且，分别在、上，
连接，此时与和交点即为所求、，
∴此时，的周长最小，且、两点重合，
此时，周长的最小值即为的长度，

由（2）可得，
由对称的性质可得：，，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
此时，过点作，交于点，如图所示，

∴，，
∵，
∴为等边三角形，，
由（2）知，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴周长的最小值为4．
【题型6 直角三角形全等的判定】
1.（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
2.证明：∵与分别为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
3.（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
4.（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
∴；
（2）证明：连接，
由（1）证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．
【题型7 直角三角形的性质的应用】
1.（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.C
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得，则有，再根据垂直的定义得，然后利用，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
3.12
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识．延长CB′交OE于点H，先根据平行线的性质求出，进而求出，根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，即可求出．
【详解】解：延长交于点H，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵'平分，
∴，
∴．
故答案为：12
4.（1）解：在中，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）解：在中，，
，
平分.，
，
在中，，
，
，
，
．
（3）解：在中，，
平分，
，
在中
，
，
.
【题型8 勾股定理及其逆定理】
1.（1）解：如图，
以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径；
（2）解：根据题意，得，，
∴
答：它爬行一周的路程是．
2.（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
；
（2）解：∵点落在的中点，
∴；
设，则，
∵，
∴由勾股定理得：，
，
解得：，
即的长为：．
3.（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：在中，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴的长为．
4.（1）解：①如图1中，直线即为所求；
②连接，
由图可得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图2中，即为所求．
【题型9 命题与定理】
1.两点之间线段最短
【分析】本题考查了三角形的三边关系及线段的性质，熟记线段性质是解题的关键；
根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】如图：
以第三边为例
由图可知，三角形的两边之和为：，
相当于从A点到C点经过的距离为：，
两点之间，线段最短，
从A点到C点最短的距离应为，
其余边同理可得：，，
定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由基本事实：两点之间线段最短加以解释．
故答案为：两点之间线段最短．
2.B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，平行线的性质和判定，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A、逆命题为两直线平行，内错角相等，成立，不符合题意；
B、逆命题为相等的角为对顶角，不成立，符合题意；
C、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；
D、逆命题为内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意．
故选：B．
3.如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形
【分析】本题主要考查了将命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，命题的逆命题是如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【详解】解：题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：它的两腰上的中线相等，
故逆命题写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故答案为：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．
4.2
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．
首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理；
②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；
③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；
④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理；
⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；
综上所述：③和④是定理，共2个．
故答案为：2．
【题型10 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】
1.
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而结合的周长得出，即可求出结果．
【详解】解：，，
，
垂直平分，
，
的周长为，
，
，
，
解得，
故答案为：．
2.A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出，然后利用线段和差关系求解即可．
【详解】解：∵垂直平分交于点E，，
∴，
又，
∴，
故选：A．
3.
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件结合三角形的周长计算．
【详解】解：的周长，
又垂直平分，
，
故，
，
．
故答案为：．
4.（1）解：、分别垂直平分和，
，，
的周长，
故的周长为；
（2），
，
，，
，
，
，，
，，
，
故的度数为．
【题型11 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】
1.（1）证明：，
，
又点为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，，
又，
是线段的垂直平分线，
，即；
（3）解：，
，
是线段的垂直平分线
，，
，
即，
设点E到边的距离为h，
则，
解得，即点E到边的距离为4．
2.（1）证明：∵平分，
∴，
∵于点O，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又 ，
∴是线段的垂直平分线；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知，
，
在和中，
，
，
∴，
∴．
3.（1）证明：∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图：延长交于H，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵E为边的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4.（1）∵BD⊥EC，DA⊥AB，
∴∠BEC+∠DBA=90°，∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠BEC，
在△ADB与△BEC中，
∵∠ADB=∠BEC，∠DAB=∠EBC，AB=BC，
∴△ADB △BEC（AAS），
∴BE=AD；
（2）对的，是线段的垂直平分线，理由如下：
∵E是AB中点，
∴AE=BE,
∵BE=AD，
∴AE=AD，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ADC与△AEC中，
∵AD=AE，∠DAC=∠EAC，AC=AC，
∴△ADC △AEC（SAS），
∴DC=CE，
∴C点在线段DE的垂直平分线上，
∵AD=AE，
∴A点在线段DE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分DE；
（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，
∴CD=CE，
∵△ADB △BEC（AAS），
∴DB=CE，
∴CD=BD，
∴∠CBD=∠BCD，
∵∠ABD=25°，
∴∠CBD=90° 25°=65°，
∴∠BDC=180° 2∠CBD=50°.
【题型12 角平分线性质的应用】
1.（1）解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
（2）解：由（1）可得，，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）解：过点E分别作于点H，交的延长线于点G，则，过点C作于点N，
∴，
即，
故答案为：．
2.A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图，
∵点P是的内角平分线的交点，
∴，
又的周长为，面积为，
∴，
∴
∴
∴点P到边的距离是3cm
故选：A．
3.9
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积．利用角平分线的性质求得的边的高是解题的关键．
过点P作，垂足为M，，垂足为N，先由平行线的性质与角平分线证明，再利用角平分线的性质证明，求得，即可由三角形面积公式求解．
【详解】过点P作，垂足为M，，垂足为N，如图，
是的角平分线，
，
，，
，，
，
，，
，
点D到的距离为3，
，
，
点D到PF的距离为3，
∴，
故答案为：9．
4.（1）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵平分
∴
∴；
（2）如图所示，过点D作交于点F
∵平分，，
∴
∵
∴，即
∴．
【题型13 角平分线判定的应用】
1.（1）证明：和都是等边三角形，
，
，
，
，
即，
在和中
，
（），
；
（2）证明：如图，作于，于，
，
，
平分．
2.
【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，于，
，
，，，，
，
，，
平分，
，
故答案为：．
3.3
【分析】因为要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是内角平分线的交点或者是外角平分线的交点，作图可知答案．
【详解】解：如图所示，的内角平分线的交点，外角平分线的交点，
阴影部分不能修建超市，
不能修建超市，
故满足条件的修建点共有3处，即点；
故答案为：3．
4.①②③
【分析】连接，根据垂直的定义，利用证明即可判断①；推出，由推出，再利用证明即可判断②；根据角平分线的判定即可判断③．
【详解】解：连接

于点E，于点F，
，
在和中
，故①正确；
在和中
，故②正确；
，
点D在的平分线上，故③正确；
故答案为：①②③．
【题型14 角平分线性质与判定的综合运用】
1.A
【分析】过点E作于M，于N，于H，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即可．
【详解】解：过点E作于M，于N，于H，如图：
，，
，
∴AE平分，
∴，
∵CE平分，
∴，
∴
∴DE平分，
，
由三角形外角可得：，
，
，
而，
，
故选：A．
2.
【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点，
∵的外角的平分线与内角平分线交于点，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3.（1）明：如图，过点E作于G，于H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
4.（1）解：在中，，
∵
∴，
∵平分、平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：作平分交于点，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴，
由（2）得，
∴，
∴，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于点，于点，于点，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴．

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