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第1章《三角形的证明》综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，线段长的最大值是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．如图，在等腰中，，，O是外一点，O到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）

A．7 B．5 C． D．
4．如图，已知，，垂直平分，垂足为D，点F在上，且，连接,．下面四个结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图和均为等腰三角形，为公共顶角顶点，，连接，交于点，并连接．则的度数可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（ ）的长度相等．
A． B． C． D．
9．七巧板是一种中国传统智力玩具，是由七块板组成的，形状分别为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形，这七块板可以拼成多种图形.如图，号等腰直角三角形中，直角边的长为，号正方形的边长为．选择其中标有的四个等腰直角三角形组成一个新的图形，如图所示，图中空白部分的面积分别记为，，则与的差可以表示为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于点，平分交于点，交于点，连接交于点，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤．其中，正确的结论的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ．
12．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ．
13．如图，已知，线段上有一点P（不与B、C重合），连接，将沿翻折，得到，连接、，当为等腰三角形时，的长为 ．
14．如图，在中，平分，交边于点，若，，，则线段的长为 ．
15．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ．
16．如图，点、分别是等边的边、上的动点（其中、不与端点重合），若点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点．
（1）在、运动的过程中， ；
（2）已知等边的边长为，当运动时间为 时，为直角三角形．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点．
(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分．
18．（6分）（1）如图1，在中，，点D在上，，则 ；
（2）如图2，在中，，点D在上，，，求的度数；
（3）如图3，在四边形中，，，，求的度数．
19．（8分）在如图所示10×10的小正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．

(1)如图1，在格点上画点D，使，再在直线上找点P，使；
(2)如图2，先画的高，再作点E关于的对称点G．
20．（8分）已知，在中，，是中线，以为边在右侧作等边．
(1)如图1，连接，交于点F．
①若，求的度数；
②求证：；
(2)如图2，若点B、A、E在一条直线上，以为边在下方作等边，连接交于点P，试猜想线段与线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
21．（10分）已知，在等边 中，点，分别在，上，且，连接与交于点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线；
(3)如图3，连接，当时，若，求的长．
22．（10分）已知和都是等腰直角三角形，．
【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______．
【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________．
23．（12分）【探究】（1）已知和都是等边三角形．
①如图1，当点在上时，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究，和之间的数量关系，并说明理由．
【运用】（2）如图3，等边三角形中，，点在上，，点是线段上的点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角时，请补全图形，求的长．
24．（12分）综合与实践
【积累经验】
（1）如图1，于点A，于点，点在线段上，连接，，，且．求证：，．只需证明____________________即可；
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，为等腰直角三角形．
①如图3，当时，求点的坐标；
②直接写出其他符合条件的点的坐标．
参考答案
一．选择题
1．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，过作于，可得，即得，，得到，得到，， 得到，进而根据角平分线可得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，过作于，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：．
2．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，直角三角形中所对的边等于斜边的一半等知识点，将的最大值转化成最小是解此题的关键．过点作于，连接，设，则，结合含角的直角三角形的性质可得关于的不等式，计算可求解的最小值，进而可求得的最大值．
【详解】解：过点作于，连接，如图，
∵，
∴；
设，则，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
解得，
∴最小值为的最大值为．
故选：C．
3．D
【分析】连接，，，由，设， ，，证明，得到为的角平分线，再根据，得到，根据三线合一及勾股定理求出，再根据，得到方程求解即可．
【详解】解：连接，，，如图，

由，设， ，，
∵，，，，
∴，即，
∴为的角平分线，
又∵，
∴，
∴为的中线，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在中，，
∴
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握垂直平分线的性质，等边对等角是解题的关键．根据垂直平分线的性质得，，，推出，可判断A；通过假设结论成立，推出不符合题意的结论，据此判断B和C；根据垂直平分线的性质及直角三角形两锐角互余可判断D．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，，
∴
∵，
∴，即，
故选项A的结论错误，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
若，则，
但题中没有条件说明，
故选项B的结论错误，不符合题意；
若，则，
∵，
∴，即，
但题中没有条件说明，
故选项C的结论错误，不符合题意；
∵
∴，
即，
故选项D的结论正确，符合题意．
故选：D．
5．D
【分析】根据角平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接、，
∵，为的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
故选∶D．
6．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质．过点作，，根据等腰三角形的性质可得，，又因为，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，从而可证，可得，根据全等三角形的面积相等可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可知是的平分线，所以可得．
【详解】解：如下图所示，过点作，，
和均为等腰三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，，，
又 ，
，
，
，
，
是的平分线，
．
故选：A ．
7．B
【分析】设中点为，当与重合时，此时由折叠的性质得，由等边三角形的定义得为等边三角形，由，在的左侧，①当在线段上（不与、重合），，即可求解；②当与重合时，由等腰三角形的性质；③在的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得，从而可得，即可求解．
【详解】解：设中点为，
如图，当与重合时，
此时
由折叠得，
，
为等边三角形，
，
，
，
在的左侧，
①如图，当在线段上（不与、重合）
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
②如图，当与重合时

此时，
；
③如图，在的延长线上时，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述：，
；
故选：B.
8．B
【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键．
在上取点，使得，根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：在上取点，使得，过作于，
，
垂直平分，
，，
，即的最小值为的长，
当时，最小，过作于，
，，
为等边三角形，
于点，于，
，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了等腰直角三角形、七巧板．首先分别用含和的代数式分别表示出四个等腰直角三角形的面积，可得：，根据七巧板可知，从而可得．
【详解】解：设图中重叠部分的面积为，
由图可知，两个等腰直角三角形的直角边长为，
号两个图形的面积分别为，
号正方形的边长为，
号等腰直角三角形的直角边长为，
号两个图形的面积分别为，
，，
，
由图可知，
．
故选：D．
10．B
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，等边三角形的判定，①延长交于点N，根据三角形的高，角平分线的定义及三角形的内角和定理可求出，由此可对结论①进行判断；②证明得，则是等腰三角形，然而根据已知条件无法判定或，因此不一定是等边三角形，由此可对结论②进行判断；③证明得，进而得，再证明得，进而得，由此可对结论③进行判断；④由得，证明得，进而得，则，然后 证明，得到，由此判断结论⑤，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①延长交于点N，如图所示：
∵是的高，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵是的高，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
根据已知条件无法判定或，
∴不一定是等边三角形，
故结论②不正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴结论④不正确；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①③⑤，共3个．
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，由等腰三角形的性质得，进而由勾股定理得，由折叠的性质得，可得，设，在中，由勾股定理得，得到，再利用等腰三角形的性质和勾股定理可得，最后利用三角形面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∵ ，，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，根据得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，作交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，中垂线的性质，等腰三角形的性质，分和两种情况，根据折叠的性质，中垂线的性质，勾股定理，进行求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：①当时，如图，设交于点，
∵折叠，
∴垂直平分，
∴，
∴，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，即：，
解得：，
∴；
②当时，如图，过点作，则：，
∵，
∴四边形为长方形，
∴，
∵折叠，
∴，垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
综上：或；
故答案为：或
14．
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
在上截取，连接，过点作交的延长线于点，设，证明是等腰直角三角形得，则，证明和全等得，，进而得，根据三角形的面积公式得，，，再根据，解出，进而得，，然后在由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：在上截取，连接，过点作交的延长线于点，如图所示：
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键．
【详解】解：如图，延长到点，使，连接，
，即，
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
过点作于点，
，
，
求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，
此时，设，则，
，
即当取最小值时，的值为．
故答案为：．
16． 或
【分析】（1）先证明，得到，再利用三角形外角性质，等边三角形的性质，计算即可．
（2）根据题意，得，分和两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）解：根据题意，得，
设运动t时，为直角三角形．
∵点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，等边的边长为，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得；
当时，，
∴，
∴，
解得；
故运动或时，为直角三角形；
故答案为或．
三．解答题
17．（1）解：

，
在与中，
，
；
（2）解：过作，垂足分别为、
为的中点，，
，
，
又，
，
在与中，
，
，
又，
∴ 平分．
18．解：（1）设，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2，在上取一点E，使，
，
，
，
，
即，
，，
，，
，
，，
，
；
（3），，
，
，
，
，
，
如图，延长至点G，使，连接，作，交于F，交于点P，连接，设与交于点E，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
19．（1）解：如图，直线即为所求．
取格点Q，使且，连接，交直线于点P，
则点P即为所求．

（2）解：如图，即为所求．
取格点M关于的对称点N，取点C关于的对称点K，连接，相交于点G，
则点G即为所求．

20．（1）解：①∵，是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴；
②证明：∵，是中线，是等边三角形，
∴平分，且，，，
设，
则．
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：
证明：如图，过点E作于H，
∵是等边三角形，
∴，，
∵B、A、E在一条直线上，，，
∴，，
即，
∵是等腰三角形底边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
又∵，
∴
21．（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴（），
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
由（）得，，
∴，点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴，，
∵，，
∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴（），
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（3）解∶如图，过点作于点，
由（）得，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【初步探索】解：如下图所示，延长交于点，
和都是等腰直角三角形，，
，，，
在和中，
，
，，
在中，
，
，
，
，
故答案为：，；
【拓展延伸】解：中的结论仍然成立，
理由如下：
如下图所示，延长交于点，交于点 ，
由【初步探索】可知，
，，
在中，
，
，
，
；
【知识应用】解:如下图所示，连接，
由【拓展延伸】可知，
是等腰直角三角形，，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
；
如下图所示，当点在内，点在外时，连接，
由【拓展延伸】可知，
是等腰直角三角形，，
，
又，
，
，
又，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
23．（1）①解，，理由如下：
和是等边三角形，
，，．
，
，
又，，
，
，
，
即；
②解：，理由如下：
和是等边三角形，
，．，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，补全图形，
过作交于，
，
，
，
为等边三角形，
又为等边三角形，
由（1）①同理得，
，
，
又为等边三角形，
，
24．解：（1）于，，
，，
，
即，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）如图2，过点作轴于点．
点，，
，．
由（1）可知，
，，
，
点的坐标为．
（3）①如图3，过点作轴，过点A作，交的延长线于点．
，，
，，，
．
轴，
．
，
，
，．
点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，．
，，点，
，，
解得，，
故点的坐标为
②，，过点作轴，过点作射线轴，且过点作，如图：
，
∴，
∴，
因为，
，
过点作轴，过点作，
，
，
，，
点在第一象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，，
，，，
，，
此时无解，
当，，过点作直线轴，与轴交于点，过点作于点，如图：
，，
，
即，
，
，
，，
点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，，
，，，
，，
解得，，
故点的坐标为；
当，，过点作直线轴，过点作于点，过点作于，如图：
，，
，
即，
，
，
，，
点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，，
，，，
，，
解得，，
故点的坐标为；
当时，，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，如图：
，，
，即，
，
，
，，
点在第一、三象限的角平分线上，点在轴上，
设点的坐标为，，
，，，
，，
解得，，
故点的坐标为；
综上，其他符合条件的点的坐标为，，．

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