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第3章 《图形的平移与旋转》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将绕点逆时针旋转至，使，若，则旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称 B．轴对称和平移
C．平移和旋转 D．旋转和轴对称
5．如图，在平面直角坐标系中，点，将线段平移至的位置，则的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
6．如图，把绕点C按顺时针方向旋转得．若于点D，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
8．河北博物院开放“蔚县剪纸”等三个展厅，通过现场操作等 多种形式，让市民体验传统技艺，某市民将一个正方形彩纸依次按如图 1，如图 2 所示的方式对折，然后沿图 3 中的虚线裁剪，则将图 3 的彩纸展开铺平后的图案是（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 是内一点，，，，是由绕点顺时针旋转得到，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，将一个周长为厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、．连接，已知四边形的周长为厘米，那么平移的距离是 厘米．（用含、的代数式表示结果）．

12．如图，在中，， ，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则 ，的长为 ．
13．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ．
14．如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °．
15．如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．

16．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为（），当点的对应点恰好落在的边上时，连接，则的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为．
(1)将先向下平移6个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到，在图中作出平移后的图形；
(2)求的面积．
18．（6分）如图，三个顶点的坐标分别为．
(1)请画出绕点顺时针旋转后的．
(2)的坐标是_______．
(3)皮克定理：数学上把在平面直角坐标系中横，纵坐标均为整数的点称为格点，计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，表示多边形的面积．
若用皮克定理求三角形的面积，则________，________，________；
19．如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：．
20．（8分）如图，4×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点.在下列各图中画出四边形ABCD，使点D也为格点，且四边形ABCD分别符合下列条件:
（1）是中心对称图形(画在图1中)
（2）是轴对称图形(画在图2中)
（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形(画在图3中)
21．（8分）如图所示，将，沿射线方向平移得到，连接，连接交于点O，作射线，在上有一点H，连接．满足射线是的角平分线，相交于点D，连接．
(1)如果，则 ；
(2)如果恰好平分，探究与的数量关系，并证明；
(3) （填“”或“”或“”之一），并写出证明过程．
22．（8分）在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：．
容易知道：若，则；若，则．
已知在平面直角坐标系中，点．

(1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称．
(2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围；
(3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围．
23．（8分）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件集中，从而解决问题．
(1)阅读填空：如图，中，，，点，为边上的点，且，把绕点逆时针旋转至，_____度，，连接易证_____，则，，之间的数量关系为_____．
(2)拓展研究：请利用第题中的思想方法，解决下面的问题：
如图，等边内有一点，，请判断，，之间的数量关系并证明；
如图，在中，，，，在内部有一点，连接，，，请直接写出的最小值．
参考答案
选择题
1．B
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律；
本题关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此求解即可．
【详解】解：由平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点是，可知点关于原点对称的点的坐标为．
故选：B．
2．D
【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可．
【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2），
再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．先根据平行线的性质得到，再根据旋转的性质得到，等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到旋转角的度数．
【详解】解： ，
，
绕点逆时针旋转至，
，等于旋转角，
，
，
即旋转角的度数是．
故选：B．
4．D
【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案．
【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．
里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出的值即可．
【详解】解：由图可知：点平移后的对应点为：，
∴平移规则为：先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
∴，
∴；
故选A．
6．A
【分析】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解出答案．
【详解】解： 绕点C按顺时针方向旋转得，
，，
，
，
，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标．
【详解】解：由题意得：点、、、、、、，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标是．
故选：B．
8．D
【分析】一种方法是找一张正方形的纸按图1，图2中方式依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将纸片打开铺平所得的图案，另一种方法是看折的方式及剪的位置，找出与选项中的哪些选项不同，即可得出正确答案．
【详解】在两次对折的时，不难发现是又折成了一个正方形，
第一次剪的是在两次对折的交点处，剪一扇形，会出现半圆，所以A，C肯定错误，
第二次剪的是折成的小正方形的上面的一个圆形，会出现4个小圆，所以B肯定错误，
故选D．
9．A
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转可得，，，，进而得到都为等边三角形，即得，，得到，又可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值即为的长，最后利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
由旋转可得，，，，，
∴都为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴当四点共线时，取最小值，最小值即为的长，如图，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
10．C
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况种又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，

∵由平移得到，
，
∵，，
，
，
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
第二种情况：当点在延长线上时，过点作，

同理可得，
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
由于，则这种情况不存在；
综上所述，的度数可以为18度或36度或108度，
故选：C．
二．填空题
11．
【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可．
【详解】解：由平移性质得：，，
∵三角形的周长为厘米，
∴，
∵四边形的周长为厘米，
∴，即，
∴，
即平移的距离是，
故答案为：．
12．
【分析】此题考查了旋转的性质以及勾股定理，先根据旋转的性质得出，，，，，根据等腰直角三角形的性质可得，进而勾股定理求得，得出，进而在中，勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
连接，
在中，，
在中，
∴，
在中，
故答案为：，．
13．
【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可．
【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，，
∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，
∴必过点A，必过点B，且，
∴，
由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为，
故答案为：
15．12
【分析】由折叠的性质和平移的性质可得、、，再根据可得，再结合可得，最后代入即可解答．
【详解】解：由折叠的性质可得：；
由平移的性质可得：，，
∴，
∴
∵，即，
∴，，
∴．
故答案为12．
16．或
【分析】分两种情况讨论：当点落在上时和当点落在上时，分别利用旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
分两种情况讨论：
①当点落在上时，如下图，连接，
由旋转的性质，可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
②当点落在上时，如下图，连接，
由旋转的性质，可得，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
三．解答题
17．（1）解：作图如下：
（2）解：的面积为：．
18．（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：由图可得：；
（3）解：由图形可得：，，
∴．
19．证明：∵与关于点G中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图：
21．（1）解：延长交于M．
∵是的角平分线，
∴，
由平移得，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：．
理由：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，
理由：
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
22．（1）解：根据题意可得：
点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；
点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；
点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；
点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；
故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②，
故答案为：①②；
（2）解：点在直线上，
设点，
点，
线段后点的坐标为，，
线段与坐标轴有公共点，
当线段与轴有公共点时，，，
解得：，
当线段与轴有公共点时，，
解得：，
综上所述，点的横坐标的取值范围为或；
（3）解：线段上存在点，，
设点的坐标为，点，则，
，
，即，
点作对称后的对应为点，
，
点在轴上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
或，
点的横坐标的取值范围为或．
23．（1）解：如下图所示，
中，，，
，
由旋转可知，
，
；
，
，
由旋转可知，，
，
，
，
在和中，
；
，
，
由旋转可知，
又，
，
在中，，
；
故答案为：，，；
（2）解： ，
证明：如下图所示，把绕点逆时针旋转，连接
则，
，，，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
；
如下图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接、，
由旋转可知，，
是等边三角形，，，
，
，
，
在中，，
，
的最小值为

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