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2024-2025 学年江苏省苏州市姑苏区振华中学八年级（下）期中
数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有 4000 多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆
成的图案是中心对称的是( )
A. B. C. D.
2.“打开电视机，正在播广告”，这个事件是( )
A.随机事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.确定事件
3.某校为了解八年级 300 名学生每周课外阅读时间，从八年级 6 个班级中共抽取 50 名学生作调查，下列
说法正确的是( )
A.该校 300 名八年级学生是总体 B.抽取的 50 名学生是总体的一个样本
C.每个八年级学生每周课外阅读时间是个体 D.样本容量是 6
4.若点 (3, 5) 在反比例函数 = 的图象上，则 的值为( )
A. 8 B. 15 C. 15 D. 2
5.用配方法解方程 2 2 = 0 时，配方后所得的方程是( )
A. ( + 1)2 = 1 B. ( 1)2 = 1 C. ( 1)2 = 1 D. ( + 1)2 = 1
6.若点 ( 1, 1)， (
3
2, 2)， (6, 3)三点都在反比例函数 = 的图象上，其中 1 < 2 < 0，则 1， 2， 3
的大小关系为( )
A. 1 < 2 < 3 B. 2 < 1 < 3 C. 1 = 2 < 3 D. 3 < 1 < 2
7.如图，四边形 是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩
形的是( )
A. ∠ = ∠ B. ⊥
C. ⊥ D. =
8.如图，矩形 中， = 3， = 4，动点 从 点出发，按 → → 的方向在
和 上移动，记 = ，点 到直线 的距离为 ，则 关于 的函数图象大致是( )
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A. B. C. D.
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。
9 +1.已知反比例函数 = ，其图象在所在的每一个象限内 都随 的增大而增大，则 的取值范围是______．
10.一个袋中装有 10 个红球、8 个黑球、6 个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那
么摸到黑球的概率是______．
11.“抛掷图钉实验”的结果如下：
抛掷次数 100 200 300 400 600 800 1000
针尖不着地的频数 64 118 189 252 360 488 610

针尖不着地的频数 0.64 0.59 0.63 0.63 0.60 0.61 0.61
由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是______. (精确到 0.1)
12.已知 = 是一元二次方程 2 1 = 0 的一个根，则代数式 2025 2 + 的值是______．
13.如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，∠ 的平分线与
边 相交于点 ， 是 中点，若 = 4， = 6，则 的长为______．
14 2 .如图， 、 分别是反比例函数 1 = ( < 0) 2 = ( > , 2 = ( > 0, > 0)
图象上的点，且 // 轴， 是 轴上的点，连接 ， .若△ 的面积是 3，则
的值是______．
15.如图，一次函数 = + ( ≠ 0) 的图象与反比例函数 = ( ≠ 0)的图象
相交于 ， 两点，其中点 ( 2,3)，点 的横坐标为 6，则满足 + > 0
的 的取值范围为______．
16.如图，已知 = 12， 为线段 上的一个动点，分别以 、 为边
在 的同侧作菱形 和菱形 ，点 、 、 在一条直线上，∠ =
60°. 、 分别是对角线 、 的中点．当点 在线段 上移动时，点 、
之间的距离最短为______. (结果留根号)
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三、解答题：本题共 10 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)
2 = 2
(1)解方程组
2 +
；
3 = 1
5 ≥ 1
(2)解不等式组： 2 1 5 +13 2 < 1
．
(3)解一元二次方程 2 6 3 = 0；
18.(本小题 8 分)
我校开展了“美丽校园”活动周，活动周设置了“ ：文明礼仪， ：生态环境， ：校园安全， ：卫生保
洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与.为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，
并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图.根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是______；并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中， = ______，“ ”主题对应扇形的圆心角为______度；
(3)我该校共有 3000 名学生，请根据上述调查结果，估计学校参与“校园安全”主题的学生人数．
19.(本小题 8 分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1 个单位长度，△ 的顶点均在格点上．
(1)画出将△ 关于原点 的中心对称图形△ 1 1 1．
(2)将△ 绕点 顺时针旋转 90°得到△ 1 1，画出△ 1 1．
(3)若△ 由△ 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
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20.(本小题 8 分)
如图，在△ 中， = = 10，点 在 上，过点 分别作 ， 的平行线，交 ， 于 ， 两点，
求四边形 的周长．
21.(本小题 8 分)
已知关于 的一元二次方程 2 4 + 4 2 = 0．
(1)求证：不论 为何值，方程总有实数根；
(2)若方程两根均不小于 1，求 的取值范围．
22.(本小题 8 分)
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚

里温度 (℃)随时间 ( )变化的函数图象，其中 段是恒温阶段， 段是双曲线 = 的一部分，请根据图
中信息解答下列问题：
(1)求 的值；
(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于 15℃的时间有多少小时？
23.(本小题 8 分)
如图，在△ 中，∠ = 90°， 平分∠ ， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 .求证：四边形 是正
方形．
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24.(本小题 8 分)
如图，反比例函数 = ( > 0)
3
的图象与一次函数 = 4 的图象交于 、 两点(点 在第一象限)．
(1)当点 的横坐标为 4 时．
①求 的值；
②根据反比例函数的图象，直接写出当 4 < < 2( ≠ 0)时， 的取值范围；
(2)点 为 轴正半轴上一点，∠ = 90°，且△ 的面积为 10，求 的值．
25.(本小题 8 分)
如图，在平面直角坐标系 中，已知 (4,0)， (4,3)， (0,3)， 为矩形 内一点(不包括边界)，过点
分别作 轴和 轴的平行线，这两条平行线把矩形 分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面
积的值等于 的长度，则称点 为矩形 的“常积点”．
(1) 15 1在点 ( 4 , 4 )， (2,2)， (1,
5 5
3 )， (3, 3 )中，是矩形 “常积点”的为______；(填写所有正确的字母
代号)
(2)若点 (3 1,2 )是矩形 的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在 轴上，求 的值；
(3)若点 是矩形 的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在 轴上，一次函数 = ( 3) + 5( 为常
数，且 > 0)的图象上“常积点” 的个数随着 的值变化而变化，请直接写出该图象上“常积点” 的个
数及对应的 的取值范围．
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26.(本小题 8 分)
【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图 1，正方形 中，点 为线段 上一个
动点，若线段 垂直 于点 ，交线段 于点 ，交线段 于点 ，则 = ．
(1)如图②，将边长为 40 的正方形 折叠，使得点 落在 上的点 处.若折痕 = 41，则 = ______．
【继续探索】
(2)如图③，正方形 中，点 为线段 上一动点，若 垂直平分线段 ，分别交 ， ， ，
于点 ， ， ， .求证： = + ．
(3)如图④，在正方形 中， 、 分别为 ， 上的点，作 ⊥ 于 ，在 上截取 = ，
连接 ， 为 中点，连接 ， .请依题意补全图形，若 = 2，则 = ______．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. < 1
10.13
11.0.6
12.2024
13.1
14.4
15. < 2 或 0 < < 6
16.3 3
17. 2 = 2 ①解：(1)方程组整理为一般式为 ，
3 + 2 = 6 ②
① +②，得：4 = 8，
解得 = 2，
将 = 2 代入①，得：2 2 = 2，
解得 = 0，
∴ = 2方程组的解集为 = 0；
(2)解不等式 5 ≥ 1，得： ≤ 3，
2 1 5 +1
解不等式 3 2 < 1，得： > 1，
则不等式组的解集为 1 < ≤ 3；
(3) ∵ 2 6 3 = 0，
∴ 2 6 = 3，
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则 2 6 + 9 = 3 + 9，即( 3)2 = 12，
∴ 3 =± 2 3，
∴ 1 = 3 + 2 3， 2 = 3 2 3．
18.
19.解：(1)如图，△ 1 1 1即为所求；
；
(2)如图，△ 1 1即为所求；
(3)(0,1)．
20.解：∵ // ， // ，
∴四边形 是平行四边形，
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∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ = ， = ，
∴四边形 的周长= + + + = + + + = + ，
∵ = = 10，
∴四边形 的周长= 20．
21.
22.解：(1)把 (12,20) 代入 = 中得：
= 12 × 20 = 240；
(2)如图，
设 的解析式为： = + ．
把(0,10)、(2,20)代入 = + 中得：
10 =
20 = 2 + ，
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= 5
解得： = 10，
∴ 的解析式为： = 5 + 10，
当 = 15 时，15 = 5 + 10， = 1．
15 = 240 ，
解得： = 16，
16 1 = 15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于 15℃的时间有 15 小时．
23.证明：∵ ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∴四边形 是矩形，
∵ 平分∠ ，
∴ = ，
∴四边形 是正方形．
24. (1) = 4 = 3解： ①将 代入 4 得， = 3，
∴点 (4,3)，
∵ 反比例函数 = ( > 0)的图象与一次函数 =
3
4 的图象交于 点，
∴ 3 = 4，
∴ = 12；
∵ = 4 = 12② 时， 4 = 3， = 2 时， = 6，
∴由反比例函数的性质可知，当 4 < < 2( ≠ 0)时，
的取值范围是 < 3 或 > 6；
(2) 3设点 为( , 4 )，
= 5 则 4，
∵点 为 轴正半轴上一点，∠ = 90°，且△ 的面积为 10，
∴ = = = 5 4，
∴ 1 5 △ = 2 × 4 × 2 = 10，
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解得， = 2 2，
∴点 为(2 2, 3 22 )，
∴ 3 2 = 2 2 2，
解得， = 6．
25.(1) 、 、 ；
(2)如图 1，
当矩形 的面积= 4 时，2 (3 1) = 4，
解得 1 = 1， 2 =
2
3，
2
经检验：当 = 3，点 不在矩形 内部，故舍去．
当矩形 的面积= = 4 时，2 [4 (3 1)] = 4，
2
解得 3 = 1， 4 = 3，经检验都符合要求．
综上可知， 2的值是 1 或3；
(3)设点 ( , )，由(2)可得符合要求的小矩形有两类：
4
若是左侧小矩形，则可得 = 4，则点 在 1 = 上；
4
若是右侧小矩形，则可得(4 ) = 4，则点 在 2 = 4 上，
由题意，得一次函数 = (3 ) + 5 的图像一定过点 (3,5)，
∴点 4 4即为一次函数与 1 = 与 2 = 4 图像在矩形内部的交点；
8 4
如图 2，图中交点坐标分别为 (0,1)， ( 3 , 3)， ( 3 , 3)， (2,2)，
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6
当一次函数经过点 、 时， = 5；
4
当一次函数经过点 、 时， = 3；
当一次函数经过点 、 时， = 3；
当一次函数经过点 、 时， = 6．
6
如图 3，当 0 < ≤ 5时，点 有 0 个；
6 4
如图 4，当5 < ≤ 3时，点 有 1 个；
4
如图 5，当3 < ≤ 3 时，点 有 2 个；
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如图 6，当 = 3 时，点 有 1 个；
如图 7，当 3 < < 6 时，点 有 2 个；
如图 8，当 ≥ 6 时，点 有 1 个．
6
综上可知，当 0 < ≤ 5时，0 个；
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6 4
当5 < ≤ 3或 = 3 或 ≥ 6 时，1 个；
4
当3 < ≤ 3 或 3 < < 6 时，2 个．
26.
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