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2025届高三二轮复习——回归教材+真题专题（3）
专题介绍;本专题的指导思想是立足教材典题、研做高考真题，认真落实考教衔接.每个专题分四部分：回归教材、知识梳理、研做高考、跟踪练习”
【回归教材】
1、人教A版2019年必修一P87拓广探索第13题：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.
2、人教A版2019年选择性必修二P87例3：求函数的单调区间．
3、人教B版2019年选择性必修三P112复习题A组第9题：求函数的极值点和单调区间，并画出这个函数的草图．
4、人教A版2019年选择性必修二P93例6：求函数在区间上的最大值与最小值．
5、人教B版2019年选择性必修三P113复习题B组第4题：已知关于的函数在区间上单调递减，求的取值范围。
6、人教B版2019年选择性必修三P101练习B第2题：求函数在区间上的最大值与最小值，其中。
7、人教A版2019年选择性必修二P99拓广探索第13题：利用信息技术工具，根据给定a，b，c，d的值，可以画出函数．的图象，当，，，时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数图象大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．

8、人教B版2019年选择性必修三P101习题6-2A第6题：设.
（1）求的极值；（2）求的单调区间；（3）求在区间上的最大值与最小值。
【知识梳理】
一、三次函数概念
定义：形如叫做三次函数，其导函数为，把叫做三次函数导函数的判别式，当时，令，记两根为。
二、三次函数的图像及单调性
三、三次函数的韦达定理
设的三个零点分别为，则
(1)； (2)
(3)； (4)
四、三次函数的对称性
结论1、 三次函数的图象关于点中心对称。
结论2、 已知三次函数中心对称点的横坐标为，两个极值点分别为
，则。
结论3、 若图像关于点对称，则图像关于轴对称。点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数。
【研做高考】
1、2024年新课标全国数学Ⅰ卷第10题：（多选）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
2、2024年新课标全国数学Ⅱ卷第11题：（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
3、2022年新课标全国Ⅰ卷数学第10题：（多选）已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
4．(2021年高考全国乙卷理科·第10题)设，若为函数的极大值点，则 (　　)
A B． C． D．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第5题)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 (　　)
A． B． C． D．
6．(2018年高考数学江苏卷·第11题)若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为 ．
7．(2014高考数学课标1理科·第11题)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为(　　)
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
8．(2015高考数学安徽理科·第15题)设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ．(写出所有正确条件的编号)
①；②；③；④；⑤．
9．(2014高考数学辽宁理科·第11题)当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A． B． C． D．
【跟踪练习】
1．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2或m＞4 B．或
C． D．2＜m＜4
2．三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
3．三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数a满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．若恰有两个不同的零点，则
D．若有三个不同的零点，则
6．（多选）已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．图象的对称中心为
C．当时，在区间内单调递减
D．当时，有两个极值点
7．（多选）设函数，则（ ）
A．有三个零点 B．是的极小值点
C．的图象关于点对称 D．当时，
8．（多选）已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．当有且仅有3个零点时，的取值范围是
C．若直线与曲线有3个不同的交点，且，则
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
9．已知三次函数无极值，且满足，则 .
10．已知三次函数的图象如图所示，则 ．
11．已知三次函数，若，则 .
1、【解析】（1）.设，则.为奇函数.的图象关于点对称.即的图象的对称中心是点.
（2）函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.
2、解：函数的定义域为R．对求导数得．
令，解得，或．和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示．
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
所以，在和上单调递增，在上单调递减，如图所示．
3、【答案】极大值点为，极小值点为，图略。
4、解：由例5可知，在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为．又由于，，所以，函数在区间上的最大值是4，最小值是．上述结论可以从函数在区间上的图象（图5.3-16）得到直观验证．
图5.3-16
5、【答案】
6、【答案】的最大值为4，时，最小值为；时，最小值为。
7、【详解】（1）时，有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，如下图所示：

题设中的函数的图象，有：在上单调递减，上单调递增，上单调递减.
（2）因为（），
当时，，则，即单调递增；
当时，，若，则，，∴时，，
单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
当时，，则，即单调递减；
当时，，若，则，，∴时，，
单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减。
8、略
1、【答案】ACD
【解析】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，
，所以，正确；故选ACD.
2、【答案】AD
【解析】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，
，
于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD
3、【答案】AC
【解析】由题，，令得或，令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误，故选：AC.
4、【答案】D
【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．综上所述，成立．
5、【答案】D
【解析】函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：，故选D．
6、【答案】–3
【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此，，从而函数在上，单调递增，在上单调递减，所以，，最大值与最小值的和为
．
7、【答案】B
【解析】法一:由已知,,令,得或, 当时,; 且,有小于零的零点,不符合题意． 当时, ，要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B
法二:由已知,=有唯一的正零点,等价于 有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,
, ,要使有唯一的正零根,只需,选B
8、【答案】①③④⑤
【解析】令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，，要使方程仅有一根，则或者，解得或，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤．
9、【答案】C
【解析】当0≤x≤1时，ax3-x2+4x+3≥0可化为，令，则
，当0≤x≤1时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1]上单调递增，f(x)max=f(1)=-6，∴a≥-6；
当-2≤x＜0时，ax3-x2+4x+3≥0可化为，当-2≤x＜-1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当-1＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)min=f(-1)=-2，∴a≤-2；综上所述，实数a的取值范围是-6≤a≤-2，即实数a的取值范围是[-6，-2]．
【跟踪练习】
1、【答案】C
【详解】，由题意得导函数无变号零点 ，所以恒成立，
，解得，故选：C.
2、【答案】D
【详解】函数，求导得，观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且，函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A；由，得则，，得，排除C；由不等式的解集为，得，即，排除B；
又是方程的二根，，则，选项D符合题意.故选：D
3、【答案】A
【详解】对函数求导，得因为函数在上是减函数，则在上恒成立，即恒成立，当，即时，恒成立；当，即时，，则，即，因为，所以，即；又因为当时，不是三次函数，不满足题意，所以.故选：A．
4、【答案】C
【详解】由题设，易知或时，，时，，
所以在上递增，在上递减，且，，由，即，而在R上递增，在R上递减，显然，，故，
所以，又趋向时趋向，趋向时趋向，综上，共有3个零点.
5、【答案】ABD
【详解】，，，对称中心为，对A：因为有三个零点，所以必有两个极值点，所以，，A正确；对B，由成等差数列，及三次函数的中心对称性可知，所以，又，故，所以，所以，故B正确；对C：，即，
若恰有两个零点，则或必为极值点；若为极值点，则该方程的三个根为，，，由一元三次方程的韦达定理可知：；若为极值点，同理可得，故C错；
对D：由韦达定理，得，即，故D正确.
6、【答案】BD
【详解】对于A：当至少一个不为0，则为三次或者一次函数，值域均为；当均为0时，值域为，错误；对于B：函数满足，可知为奇函数，其图象关于中心对称，所以的图象为的图象向上移动两个单位后得到的，
即关于中心对称，正确；对于C：，当时，取，当时，在区间上单调递增，错误；对于D：，当时，有两个不相等的实数根，所以函数有两个极值点，正确.故选：BD.
7、【答案】BCD
【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A错误；
对于B，，令，解得或，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是的极小值点，故B正确；对于C，因为
，即，则的图象关于点对称，故C正确；对于D，由对于A的分析可知，当时，单调递增，则当时，单调递增，又当时，，所以，故D正确.故选：BCD.
8、【答案】BCD
【详解】选项A：由题意可得，令解得或，因为，所以令解得或，令解得，故在区间或上单调递增，在上单调递减，故A错误，选项B：要使有且仅有3个零点时，只需即，解得，故B正确；选项C：若直线与曲线有3个不同的交点，且，则点是三次函数的对称中心，设，则，
令，得，故的对称中心为，，故C正确；选项D：，设切点为，所以在点处的切线方程为：，又因为切线过点，所以，解得，令，过点可以作曲线的切线条数可转化为与图象交点个数，，
因为，所以得或，得，则在，上单调递增，在上单调递减，且，，图象如图所示，
所以当时，与图象有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确，故选：BCD
9、【答案】
【详解】由题设，则，即，所以，当且仅当时等号成立，又，故，可得，所以.
10、【答案】
【详解】由题意得，，且，由题图可知，是函数的极大值点，是极小值点，即，是的两个根，由，解得：，
∵，，∴．
11、【答案】
【详解】由题意得，，令，则，令，解得，又，故的对称中心为.故当时，.
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