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2025年中考数学压轴题专题训练--二次函数综合题
1.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．
(1)求b的值；
(2)请求出四边形的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点．
①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由；
②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值．
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，抛物线与x轴交于A、B两点，
与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，
求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
3.在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A．
(1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值；
(2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式；
(3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围．
4.如图1，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，，其中点的坐标为，直线与直线相交于点.
图1 图2 备用图
（1）如图2，若抛物线经过原点.
①求该抛物线的函数表达式；
②求的值；
（2）抛物线的顶点在直线上运动的过程中，请问与能否相等？若能，请直接写出符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由.
5．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的动点，设点的横坐标为．
①当时，求点的坐标；
②过点作轴，与抛物线交于点，为轴上一点，连接，，将沿着翻折，得，若四边形恰好为正方形，直接写出的值．
6.如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点 B（﹣1，0），C（2，3），
抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，
点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，
当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；
（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？
若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
7.在平面直角坐标系中，如图1，抛物线与轴交于两点，且．
(1)若抛物线与轴交于两点，坐标分别为，且．直接写出的大小关系．
(2)当时，抛物线与轴交于点，作直线．
①求抛物线的解析式．
②如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
③如图3，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
8．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（3，0），D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，
请在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；
（3）如图2，过点C作CF∥x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，
在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）M是抛物线对称轴上的一点连接BM，CM，求BM+CM的最小值．
（3）若E（m，0）为x轴正半轴上一动点，过点E作直线ED⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接BP，BC，当∠PBD+∠CBO＝45°时，请求出m的值．
11．如图，已知抛物线与x轴交于点小B，与y轴分别交于点C，其中点，点．
（1）求抛物线的解析式并确定形状；
（2）点P是线段上一动点，过P作交于D，当面积最大时，求点P的坐标；
（3）点M是位于线段上方的抛物线上一点，当恰好等于中的某个角时，直接写出M的坐标．
12.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，
点P为其顶点，对称轴l与x轴交于点D，抛物线上C、E两点关于对称轴l对称．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点G是线段OC上一动点，是否存在这样的点G，使△ODG与△CGE相似，
若存在，请求出点G坐标，若不存在请说明理由．
（3）平移抛物线，其顶点P在直线y＝x+3上运动，移动后的抛物线与直线y＝x+3的另一交点为M，
与原对称轴l交于点Q，当△PMQ是以PM为直角边的直角三角形时，请写出点Q的坐标．
13．已知抛物线，其顶点为，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值；
（3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值．
14.如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．
点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，
请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？
求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
15．已知抛物线y=ax +bx+c经过点A（-6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线在第四象限上的一个点，连接 AD、AC、CD，CD 交x轴于E．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当S△DAE=S△ACD时，求点 D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得△PAD中的一个角等于2∠BAD 若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
16.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．
参考答案
1.(1)
(2)15
(3)①不变化，；②
2.解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
【喂，可由A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，得 B（-3,0），也可设抛物线解析式为 y=a(x-1)(x+3),
把C（0，3）代入，求得 a= -1抛物线解析式为 y= - (x-1)(x+3) = ﹣x2﹣2x+3.】
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，解之得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
设P（﹣1，t），∵ B（﹣3，0），C（0，3），
由 勾股定理 或 两点之间距离公式 ，得 ：
∴ BC2=18 ，
PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2 ，
PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2
即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2
即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2
即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
3.(1)
(2)当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为
(3)
4.解：（1）①抛物线经过原点，，
对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，把代入，得，
解得：，
，
该抛物线的函数表达式为；
②设直线的解析式为，把代入，得：，
直线的解析式为，
直线与轴，轴分别交于点，，
，，
如图，过点作轴交于点，则点的纵坐标与点的纵坐标相同，
，解得：，
，，
，，
，
的值为.
（2）点的横坐标为6或或或.
附答案如下：设点的横坐标为，
①如图2-1，当，存在，
图2-1
设，，则，
，
，，
，
过点作轴于点，则，
在中，，，.
②如图2-2中，当时，存在.
图2-2
过点作轴于点，
同法，，.
图
③如图2-3中，当时，存在，
图2-3
，，
，，，
同法，，.
④当时，同法，
，
图2-4
综上所述.点的横坐标为6或或或.
5．（1）；（2）①点坐标为或；②或
6.解：（1）把点 B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，
则有，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
在y=﹣x2+2x+3中，
令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，
∴D（3，0），且A（0，3），
∴直线AD解析式为y=﹣x+3，
设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），
∵0＜t＜3，∴点M在第一象限内，
∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，l有最大值，l最大=；
∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，
∴ PM的值最大时，△PAD的面积中点，最大值=×=．
∴t=时，△PAD的面积的最大值为．
（4）如图设AD中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．
∵△PAD是直角三角形，
∴PK=AD，
∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，
整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，解得t=0或3或，
∵点P在第一象限，∴t=.
7.(1)
(2)①；②存在最大值，的面积最大值为：，此时；③满足条件的点M的横坐标的取值范围为：或
8．（1）；（2）存在，，
9.解：（1）把A（3，0），D（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c
得到，解得，、
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图1中，∵y=﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），∵A（3，0），B（0，1），
∴直线BE的解析式为y=3x+1，直线AB的解析式为y=﹣x+1，
∵3×（﹣）=﹣1，∴BE⊥AB，作BQ⊥EM交EM于Q，
∵∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，
∴∠ABQ=∠BEM，满足条件，此时Q（1，1）．
当点Q在AB的下方时，设Q（1，m），AB交EM于K．易知K（1，）
∵∠QBK=∠BEM，∠BQ′K=∠BQ′E，
∴△Q′BK∽△Q′EB，
∴Q′B2=Q′K Q′E，
∴12+（m﹣1）2=（﹣m） （4﹣m），解得m=，
∴Q（1，），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，1）或（1，）．
（3）如图3中，由题意知当点N的纵坐标为±2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形，
当y=2时，﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，可得N1（1+，2），N4（1﹣，2），
当y=﹣2时，﹣x2+2x+3=﹣2，解得x=1±，可得N2（1+，﹣2），N3（1﹣，﹣2），
当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，此时N5（1，4），
综上所述，满足条件的点N的坐标为：
（1+，2）或（1﹣，2）或（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）或（1，4）．
10.（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）BM+CM的最小值为；（3）或5
11．（1），直角三角形；（2）；（3）M点坐标为或
12.解：（1）用两点式表示函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，函数对称轴为x＝1，则点P坐标为（1，4），点E的坐标（2，3）；
（2）如图2，设GO＝n，则CG＝3﹣n，△ODG与△CGE相似，则，或，
其中OD＝1，CE＝2，GO＝n，则CG＝3﹣n，
将上述数值代入比例关系得：n＝1或2，即点G坐标为（0，1）或（0，2）；
（3）设图象向左平移m个单位，则沿y＝x+3，相当于向下同时平移了m个单位，
则平移后点P坐标（1﹣m，4﹣m），
平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m﹣1）2+（4﹣m）…①，
当x＝1时，y =﹣（1+m﹣1）2+（4﹣m）＝﹣m2﹣m+4，即点Q（1，﹣m2﹣m+4），
直线表达式为y＝x+3…②，联立①②并求解得：M（﹣m，3﹣m），
直线PM表达式中的k值为：＝1，
同理直线PQ表达式中的k值为：﹣m，同理直线PM表达式中的k值为：1﹣m，
①当∠MPQ＝90°时， 1×（﹣m）＝﹣1，解得：m＝1，
②当∠PMQ＝90°时， 同理可得：m＝2，故点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
13．（1）；（2）的值为45°；（3）的周长的最小值为
14.解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，
得，解得，
二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴E（0，），
∴点P的纵坐标，
当y=时，即﹣x2+2x+3=，
解得x1=，x2=（不合题意，舍），
∴点P的坐标为（，）；
（3）如图2，
P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，解得．直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
OA=1，
AB=3﹣（﹣1）=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
=AB OC+PQ OF+PQ FB
=×4×3+（﹣m2+3m）×3
=﹣（m﹣）2+，
当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，﹣m2+2m+3=，即P点的坐标为（，）．
当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．
15．（1）；（2）；（3）P点坐标为综上所述：，、、、，．
16.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴，解得：，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
（2）∵N是抛物线上第四象限的点，
∴设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），又点C（0，3），
设直线NC的解析式为y=k1x+b1，
则，解得：，
∴直线NC的解析式为y=（﹣t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，
当y=0时，x=，
∴D（，0），BD=3﹣，
∵S△NBC=S△ABC，
∴S△CDB+S△BDN=AB OC，即BD |yC﹣yN|=[3﹣（﹣1）]×3，
即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6，
整理，得：t2﹣3t﹣4=0，解得：t1=4，t2=﹣1（舍去），
当t=4时，﹣t2+2t+3=﹣5，
∴N（4，﹣5）；
（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，
连接PQ，则MM′=3，
∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，
∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），
将点M′（1，1）、N（4，﹣5）代入，
得：，解得：，
∴直线M′N的解析式为y=﹣2x+3，
当y=0时，x=，
∴Q（，0），即m=，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt△M′EN中，∵M′E=1﹣（﹣5）=6，NE=4﹣1=3，
∴M′N==3，∴M′Q+QN=3，
∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3．

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